теория возмущений k·p

В физике твердого тела k ·p теория возмущений представляет собой приближенный полуэмпирический подход для расчета зонной структуры (в частности, эффективной массы ) и оптических свойств кристаллических твердых тел. Он произносится как «к точка п», а также называется « методом к·п ». Эта теория применялась конкретно в рамках модели Латтинджера-Кона (после Хоакина Маздака Латтинджера и Уолтера Кона ) и модели Кейна (после Эвана О. Кейна ).

Предыстория

Теорема Блоха

Смотрите также: состояние Блоха

Согласно квантовой механике (в одноэлектронном приближении ), квазисвободные электроны в любом твердом теле характеризуются волновыми функциями , которые являются собственными состояниями следующего стационарного уравнения Шрёдингера :

$\left({\frac {p^{2}}{2m}}+V\right)\psi =E\psi$

где p — квантово-механический оператор импульса , V — потенциал , а m — вакуумная масса электрона. (Это уравнение не учитывает спин-орбитальный эффект ; см. ниже.)

В кристаллическом твердом теле V является периодической функцией с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка . Теорема Блоха доказывает, что решения этого дифференциального уравнения можно записать следующим образом:

$\psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )$

где k — вектор (называемый волновым вектором ), n — дискретный индекс (называемый зоны индексом ), а un _{, . k} — функция с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка

Для любого заданного n соответствующие состояния называются полосой . В каждой зоне будет существовать связь между волновым вектором k и энергией состояния En _{, , k} называемая зонной дисперсией . Вычисление этой дисперсии является одним из основных приложений k · p теории возмущений .

Теория возмущений

Смотрите также: Теория возмущений (квантовая механика)

Периодическая функция un _{, удовлетворяет следующему уравнению типа Шредингера (попросту , k} прямому разложению уравнения Шредингера с волновой функцией типа Блоха):

$H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }$

где гамильтониан ​

$H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V$

Обратите внимание, что k — вектор, состоящий из трех действительных чисел с размерностями обратной длины , а p — вектор операторов; быть явным,

$\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} =k_{x}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}})+k_{y}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}})+k_{z}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}})$

В любом случае мы запишем этот гамильтониан как сумму двух слагаемых:

$H_{\mathbf {k} }=H_{0}+H_{\mathbf {k} }',\;\;H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+V,\;\;H_{\mathbf {k} }'={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}$

Это выражение лежит в основе теории возмущений . «Невозмущенный гамильтониан» — это H ₀ , который фактически равен точному гамильтониану при k = 0 (т. е. в гамма-точке ). «Возмущение» — это термин $H_{\mathbf {k} }'$. Полученный результат называется « теорией возмущений k·p » из-за члена, пропорционального k·p . Результатом этого анализа является выражение для En _{, k k} и un _{, k 0} через энергии и волновые функции при = .

Заметим, что термин «возмущение» $H_{\mathbf {k} }'$становится все меньше по мере того, как k приближается к нулю. Следовательно, теория возмущений k·p наиболее точна для малых значений k . включено достаточное количество членов Однако если в пертурбативное разложение , то теория фактически может быть достаточно точной для любого значения k во всей зоне Бриллюэна .

Выражение для невырожденной полосы

= 0 отличается от энергии Для невырожденной зоны (т. е. зоны, энергия которой при k любой другой зоны) с экстремумом при k = 0 и без спин-орбитальной связи результат k · p теории возмущений равен ( до наименьшего нетривиального порядка ):

$u_{n,\mathbf {k} }=u_{n,0}+{\frac {\hbar }{m}}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle u_{n',0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n,0}\rangle }{E_{n,0}-E_{n',0}}}u_{n',0}$

$E_{n,\mathbf {k} }=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle |^{2}}{E_{n,0}-E_{n',0}}}$

Поскольку k — это вектор действительных чисел (а не вектор более сложных линейных операторов), матричный элемент в этих выражениях можно переписать как:

$\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle =\mathbf {k} \cdot \langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle$

Следовательно, можно вычислить энергию при любом k, лишь несколько неизвестных параметров, а именно En _{используя ,0} и $\langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle$. Последние называются «оптическими матричными элементами», тесно связанными с дипольными моментами перехода . Эти параметры обычно выводятся из экспериментальных данных.

На практике сумма по n часто включает только одну или две ближайшие полосы, поскольку они, как правило, являются наиболее важными (из-за знаменателя). Однако для повышения точности, особенно при больших k , необходимо включить больше полос, а также больше членов в пертурбативное разложение, чем написано выше.

Эффективная масса

Основная статья: Эффективная масса (физика твердого тела)

Используя приведенное выше выражение для закона дисперсии энергии, можно найти упрощенное выражение для эффективной массы в зоне проводимости полупроводника. Для аппроксимации дисперсионного уравнения в случае зоны проводимости примем энергию Е _n0 за минимальную энергию зоны проводимости E _c0 и в суммируемость включаем только слагаемые с энергиями вблизи максимума валентной зоны, где разность энергий в знаменателе наименьшая. . (Эти члены вносят наибольший вклад в суммирование.) Затем этот знаменатель аппроксимируется как ширина запрещенной зоны E _g , что приводит к энергетическому выражению:

$E_{c}({\boldsymbol {k}})\approx E_{c0}+{\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{{E_{g}}m^{2}}}\sum _{n}{|\langle u_{c,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n,0}\rangle |^{2}}$

Тогда эффективная масса в направлении ℓ составит:

${\frac {1}{{m}_{\ell }}}={{1} \over {\hbar ^{2}}}\sum _{m}\cdot {{\partial ^{2}E_{c}({\boldsymbol {k}})} \over {\partial k_{\ell }\partial k_{m}}}\approx {\frac {1}{m}}+{\frac {2}{E_{g}m^{2}}}\sum _{m,\ n}{\langle u_{c,0}|p_{\ell }|u_{n,0}\rangle }{\langle u_{n,0}|p_{m}|u_{c,0}\rangle }$

Игнорируя детали матричных элементов, ключевые последствия заключаются в том, что эффективная масса меняется при наименьшей запрещенной зоне и стремится к нулю, когда щель стремится к нулю. Полезное приближение для матричных элементов в полупроводниках с прямой запрещенной зоной :

${\frac {2}{E_{g}m^{2}}}\sum _{m,\ n}{|\langle u_{c,0}|p_{\ell }|u_{n,0}\rangle |}{|\langle u_{c,0}|p_{m}|u_{n,0}\rangle |}\approx 20\mathrm {eV} {\frac {1}{mE_{g}}}\ ,$

что применимо в пределах около 15% или выше к большинству полупроводников групп IV, III-V и II-VI.

В отличие от этого простого приближения, в случае энергии валентной зоны необходимо ввести спин-орбитальное взаимодействие (см. ниже) и отдельно рассматривать гораздо больше зон. Расчет приведен в Ю и Кардоне . В валентной зоне подвижными носителями являются дырки . Обнаружено, что существует два типа дырок, называемые тяжелыми и легкими , с анизотропными массами.

k·p-модель со спин-орбитальным взаимодействием

С учетом спин-орбитального взаимодействия уравнение Шредингера для u имеет вид:

$H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }$

где

$H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar }{m}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}(\nabla V\times (\mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} ))\cdot {\vec {\sigma }}$

где ${\vec {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$— вектор, состоящий из трех матриц Паули . Этот гамильтониан можно подвергнуть тому же анализу теории возмущений, что и выше.

Расчет в вырожденном случае

Для вырожденных или почти вырожденных зон, в частности валентных зон в некоторых материалах, например арсениде галлия , уравнения можно анализировать методами вырожденной теории возмущений . К моделям этого типа относятся « модель Латтинджера – Кона » (также известная как «модель Кона – Латтинджера»), и « модель Кейна ».

В общем случае эффективный гамильтониан $H^{\rm {eff}}$ вводится, и в первом порядке ее матричные элементы могут быть выражены как

$H_{\mathbf {k} ,mn}^{\rm {eff}}=\langle u_{m,0}|H_{0}|u_{n,0}\rangle +\mathbf {k} \cdot \langle u_{m,0}|\nabla _{\mathbf {k} }H_{\mathbf {k} }'|u_{n,0}\rangle$

После ее решения получены волновые функции и энергетические зоны.

См. также

Электронная зонная структура

• Электронная зонная структура
• Модель почти свободных электронов
• Модель Кронига – Пенни

Свойства полосы

• Запрещенная зона
• Эффективная масса
• Плотность штатов
• поверхность Ферми

Волновые функции

• Функции Ванье
• Теорема Блоха

Фундаментальная теория

• Уравнения Кона – Шэма
• Приближение локальной плотности