Геометрический магический квадрат

Рисунок 1.   Геомагический квадрат, состоящий из частей одинакового размера ( декомино ).

Геометрический магический квадрат , часто сокращенно называемый геомагическим квадратом , представляет собой обобщение магических квадратов, изобретенных Ли Саллоузом в 2001 году. Традиционный магический квадрат — это квадратный массив чисел (почти всегда положительные целые числа ), сумма которых, взятая в любой строке, любом столбце или по любой диагонали, равна одному и тому же целевому числу . Геомагический квадрат, с другой стороны, представляет собой квадратный массив геометрических фигур, в котором фигуры, встречающиеся в каждой строке, столбце или диагонали, можно соединить вместе, чтобы создать идентичную форму, называемую целевой фигурой . Как и в случае числовых типов, требуется, чтобы записи в геомагическом квадрате были разными. Аналогично, восемь тривиальных вариантов любого квадрата, возникающих в результате его вращения и/или отражения, считаются одним и тем же квадратом. Под размером геомагического квадрата подразумевается размер используемых в нем фигур. До сих пор интерес был сосредоточен в основном на двумерных квадратах с использованием плоских частей, но допускаются части любого размера.

Примеры

На рисунке 1 выше показан геомагический квадрат 3 × 3. Три фигуры, занимающие каждый ряд, столбец и диагональ, образуют прямоугольную мишень, как видно слева и справа, сверху и снизу. Здесь все 9 фигур являются декомино , но могут фигурировать фигуры любой формы, и не обязательно, чтобы они были одинакового размера. Например, на рисунке 2 кусочки представляют собой полимино последовательных размеров от 1 до 9 единиц. Мишень представляет собой квадрат 4×4 с внутренним квадратным отверстием.

Удивительно, но компьютерные исследования показывают, что рисунок 2 — всего лишь один из 4370 различных геомагических квадратов 3 × 3, в которых используются детали одинаковых размеров и одной и той же цели. И наоборот, рисунок 1 является одним из двух решений, использующих детали одинакового размера и одинаковую мишень. В общем, повторяющиеся размеры деталей подразумевают меньшее количество решений. Однако в настоящее время не существует теоретического обоснования для объяснения этих эмпирических результатов.

Рисунок 2:   Геомагический квадрат, состоящий из частей последовательного размера.

Рисунок 3:   Панмагический геомагический квадрат 3 × 3.

Части геомагического квадрата также могут быть непересекающимися или состоять из отдельных островов, как показано на рисунке 3. Поскольку они могут быть расположены так, чтобы взаимно перекрываться, непересекающиеся части часто могут замостить области, которые не могут быть соединены. Плоды этой дополнительной гибкости часто можно увидеть в геомагии, обладающей симметрией, отсутствующей у числовых образцов.

Помимо квадратов, использующих плоские формы, существуют трехмерные образцы, ячейки которых содержат твердые части, которые объединяются, образуя одну и ту же постоянную твердую мишень. На рис. 5 показан пример, в котором целью является куб.

История

Известная формула математика Эдуарда Люка характеризует структуру каждого магического квадрата чисел 3 × 3. Саллоуз, уже являющийся автором оригинальной работы в этой области, давно предполагал, что формула Лукаса может содержать скрытый потенциал. Это предположение было подтверждено в 1997 году, когда он опубликовал короткую статью, в которой исследовались квадраты с использованием комплексных чисел. Эта уловка привела к новой теореме, которая соотносила каждый магический квадрат 3 × 3 с уникальным параллелограммом на комплексной плоскости. Продолжая в том же духе, решающим следующим шагом стала интерпретация переменных в формуле Лукаса как обозначающих геометрические формы — диковинная идея, которая привела непосредственно к понятию геомагического квадрата. Неожиданным следствием этой находки оказалось то, что традиционные магические квадраты теперь оказались одномерными геомагическими квадратами.

Другие исследователи также обратили на это внимание. Чарльз Эшбахер , соредактор журнала развлекательной математики , говорит о том, что область магических квадратов «резко расширилась». Питер Кэмерон Лондонского математического общества , лауреат премии Уайтхеда и один из лауреатов медали Эйлера , назвал геомагические квадраты «замечательным новым занятием по развлекательной математике, которое порадует нематематиков и даст математикам пищу для размышлений». Писатель-математик Алекс Беллос сказал: «Придумать это после тысяч лет изучения магических квадратов — это просто потрясающе». Можно задаться вопросом, могут ли геомагические квадраты иметь применение помимо изучения головоломок. Кэмерон убежден в этом, говоря: «Я сразу вижу много вещей, которые хотел бы сделать с этим».

Методы строительства

За исключением тривиальных примеров, не существует известных простых методов создания геомагических квадратов. На сегодняшний день исследованы два подхода. Если используемые части представляют собой полиформы или фигуры, состоящие из повторяющихся блоков, становится возможным исчерпывающий поиск с помощью компьютера.

Например, в случае с Рисунком 1 первым шагом будет определение размеров используемых частей (в данном случае все равно) и формы желаемой мишени. Тогда первоначальная программа сможет сгенерировать список L, соответствующий каждому возможному разбиению этой целевой формы на 3 различных декомино (полиомино размером 10). Каждое декомино представлено уникальным целым числом, так что L будет состоять из списка триад целых чисел. Последующая процедура может затем по очереди запускать и проверять каждую комбинацию из трех разных триад. Тест будет состоять в том, чтобы рассматривать триады-кандидаты как записи строк в квадрате 3 × 3, а затем проверять, содержат ли сформированные таким образом столбцы и диагонали по 3 целых числа, которые также находятся в L , то есть также являются целевыми. -плиточные триады. Если да, то геомагический квадрат 3 × 3 с использованием 9 декомино и выбранной цели был идентифицирован. Если это не помогло, можно попробовать альтернативные формы мишеней. Усовершенствованную версию того же метода можно использовать для поиска более крупных квадратов или квадратов, включающих кусочки разного размера.

Альтернативный метод построения начинается с тривиального геомагического квадрата, показывающего повторяющиеся части, формы которых затем изменяются так, чтобы сделать каждый из них отличным, но без нарушения магических свойств квадрата. Это достигается с помощью алгебраического шаблона, такого как показанный ниже, отдельные переменные в котором затем интерпретируются как различные формы, которые либо добавляются к исходным частям, либо удаляются из них, в зависимости от их знака.

Рисунок 4.   «Самоблокирующийся» геомагический квадрат.

Рисунок 4 иллюстрирует такую ​​геометрическую интерпретацию шаблона, в которой k интерпретируется как небольшой квадрат, а a , b , c и d представляют собой выступы (+) и/или углубления (-), посредством которых он изменяется, образуя 16 различных частей мозаики.

${\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline k+a+b&k-a+d&k-c-d&k-b+c\\\hline k+a-b&k-a-d&k-c+d&k+b+c\\\hline k-a-b&k+a-d&k+c+d&k+b-c\\\hline k-a+b&k+a+d&k+c-d&k-b-c\\\hline \end{array}}$

магическими

Вопреки впечатлению, которое создается на первый взгляд, было бы заблуждением рассматривать термин «геомагический квадрат» как относящийся к некоторой категории магического квадрата. На самом деле дело обстоит с точностью до наоборот: каждый (аддитивный) магический квадрат является частным случаем геомагического квадрата, но никогда наоборот. Это становится ясным на примере ниже, который появляется в обширной статье о геомагических квадратах Жана-Поля Делаэ в Pour la Science , французской версии журнала Scientific American . В этом случае целевая «форма» геомагического квадрата справа — это просто одномерный сегмент длиной 15 единиц, причем части снова представляют собой не более чем сегменты прямой линии. Таким образом, последнее, очевидно, является прямым переводом числового магического квадрата слева в геометрические термины.

Цель — 15 4 9 2 3 5 7 8 1 6

Цель: •••••••••••••• •••• ••••••••• •• ••• ••••• ••••••• •••••••• • ••••••

Как говорит Делахайе: «Этот пример показывает, что концепция геомагического квадрата обобщает магические квадраты. Результат здесь вряд ли впечатляющий, но, к счастью, есть другие геомагические квадраты, которые не являются результатом такого перевода».

Дело в том, что каждый числовой магический квадрат можно понимать как одномерный геомагический квадрат, как указано выше. Или, как говорит сам Саллоуз: «Традиционные магические квадраты с числами затем оказываются частным случаем «геомагических» квадратов, в которых все элементы одномерны». Однако это не исчерпывает одномерный случай, поскольку существуют одномерные геомагические квадраты, компоненты которых представляют собой несвязные отрезки линий и которые не соответствуют ни одному числовому магическому квадрату. Таким образом, даже в первом измерении традиционные типы соответствуют лишь небольшому подмножеству всех геометрических магических квадратов.

Специальные типы

Более богатая структура геомагических квадратов отражается в существовании экземпляров, демонстрирующих гораздо большую степень «магии», чем это возможно с числовыми типами. Таким образом, панмагический квадрат — это квадрат, в котором каждая диагональ, включая так называемые ломаные диагонали , обладает тем же магическим свойством, что и строки и столбцы. Однако легко показать, что панмагический квадрат размером 3 × 3 невозможно построить с помощью чисел, тогда как геометрический пример можно увидеть на рисунке 3. Ни о каком сопоставимом примере с использованием связанных частей пока не сообщалось.

Рисунок 5.   Трехмерный геомагический квадрат с кубической формой цели.

Рисунок 6.   Геомагический квадрат, части которого представляют собой набор плиток с самозамощением.

Помимо геомагии, существуют квадраты со вспомогательными свойствами, делающими их еще более отличительными. Например, на рисунке 6, который является волшебным только для строк и столбцов, 16 частей образуют так называемый набор плиток с самозамощением . Такой набор определяется как любой набор из n различных фигур, каждая из которых может быть составлена ​​из меньших копий полного набора из n фигур.

Второй пример — рисунок 4, который представляет собой так называемый «самоблокирующийся» геомагический квадрат. Здесь 16 частей больше не содержатся в отдельных ячейках, а сами определяют форму квадратных ячеек, чтобы объединиться вместе, образуя мозаику квадратной формы.

в популярной

Марка Макао с изображением геометрического магического квадрата

9 октября 2014 года почтовое отделение Макао выпустило серию марок на основе магических квадратов . Марка ниже, изображающая один из геомагических квадратов, созданных Саллоузом, была выбрана для включения в эту коллекцию.

Ссылки

Источники

• Саллоус, Ли, Геометрические магические квадраты: новый интересный поворот с использованием цветных фигур вместо чисел , Dover Publications, апрель 2013 г., ISBN   0486489094

Внешние ссылки

• Сайт Geomagic Squares
• Формальное математическое определение геомагических квадратов.