Гипотеза Гилбрита

Гипотеза Гилбрита — это гипотеза теории чисел относительно последовательностей, генерируемых путем применения оператора прямой разности к последовательным простым числам и оставления результатов беззнаковыми, а затем повторения этого процесса для последовательных членов в полученной последовательности и так далее. Утверждение названо в честь Нормана Л. Гилбрита , который в 1958 году представил его математическому сообществу после того, как случайно заметил закономерность, выполняя арифметические действия на салфетке. Однако в 1878 году, за восемьдесят лет до открытия Гилбрита, Франсуа Прот опубликовал те же наблюдения вместе с попыткой доказательства , которая позже оказалась неверной.

Мотивирующая арифметика

Гилбрет заметил закономерность, играя с упорядоченной последовательностью простых чисел.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

Вычисление абсолютного значения разницы между термином n + 1 и термином n в этой последовательности дает последовательность

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, ...

Если тот же расчет выполняется для членов этой новой последовательности и последовательности, которая является результатом этого процесса, и снова до бесконечности для каждой последовательности, которая является результатом такого вычисления, следующие пять последовательностей в этом списке будут

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, ...

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 2, ...

Гилбрет – а до него Франсуа Прот – заметили, что первый член в каждой серии разностей оказывается равным 1.

Гипотеза

Формально сформулировать наблюдение Гилбрита значительно проще после разработки обозначений для последовательностей в предыдущем разделе. С этой целью позвольте $(p_{n})$ обозначают упорядоченную последовательность простых чисел и определяют каждый член последовательности $(d_{n}^{1})$ к

$d_{n}^{1}=p_{n+1}-p_{n},$

где $n$ является положительным. Также для каждого целого числа $k$ больше 1, пусть члены в $(d_{n}^{k})$ быть предоставлено

$d_{n}^{k}=|d_{n+1}^{k-1}-d_{n}^{k-1}|.$

Гипотеза Гилбрита утверждает, что каждый член последовательности $a_{k}=d_{1}^{k}$ для позитива $k$ равен 1.

Проверка и попытки доказательства

Франсуа Прот опубликовал то, что, по его мнению, было доказательством утверждения, которое, как позже выяснилось, было ошибочным. Андрей Одлызко это подтвердил. $d_{1}^{k}$ равен 1 для $k\leq n=3.4\times 10^{11}$ в 1993 году, но эта гипотеза остается открытой проблемой. Вместо оценки n строк Одлизко оценил 635 строк и установил, что 635-я строка начинается с 1 и продолжается только 0 и 2 для следующих n чисел. Это означает, что следующие n строк начинаются с 1.

Обобщения

В 1980 году Мартин Гарднер опубликовал гипотезу Халларда Крофта , в которой утверждалось, что свойство гипотезы Гилбрита (наличие 1 в первом члене каждой разностной последовательности) должно выполняться в более общем смысле для каждой последовательности, которая начинается с 2 и впоследствии содержит только нечетные числа . и имеет достаточно низкую границу промежутков между последовательными элементами последовательности. Эту гипотезу повторили и более поздние авторы. Однако это неверно: для каждой начальной подпоследовательности из 2 и нечетных чисел и для каждой непостоянной скорости роста существует продолжение подпоследовательности нечетными числами, промежутки которых подчиняются скорости роста, но чьи разностные последовательности не могут бесконечно начинаться с 1. часто. Одлыжко (1993) более осторожен, указывая некоторые эвристические причины верить в гипотезу Гилбрита о том, что «приведенные выше аргументы применимы ко многим другим последовательностям, в которых первый элемент равен 1, а остальные даже и где промежутки между последовательными элементами не слишком велики». большие и достаточно случайные». Однако он не дает формального определения того, что означает «достаточно случайно».

См. также

• Разностный оператор
• Премьер-разрыв
• Правило 90 , клеточный автомат , контролирующий поведение частей строк, содержащих только значения 0 и 2