Нормальный режим

Нормальный режим динамической системы - это шаблон движения, в которой все части системы перемещаются синусоидально с одинаковой частотой и с фиксированной фазовой соотношением. Свободное движение, описанное нормальными модами, происходит на фиксированных частотах. Эти фиксированные частоты нормальных мод системы известны как ее естественные частоты или резонансные частоты . Физический объект, такой как здание, мост или молекула, имеет набор нормальных мод и их естественные частоты, которые зависят от его структуры, материалов и граничных условий.

Самым общим движением линейной системы является суперпозиция ее нормальных мод. Режимы нормальны в том смысле, что они могут двигаться независимо, то есть, что возбуждение одного режима никогда не приведет к движению другого режима. В математических терминах нормальные режимы являются ортогональными друг другу.

Возбуждение нормальных мод в капле воды во время эффекта Лейденфроста

Общие определения

Режим

В волновой теории физики и инженерии режим в динамической системе - это состояние возбуждения стоячей волны , в котором все компоненты системы будут влиять синусоидально при фиксированной частоте, связанной с этим режимом.

Поскольку никакая реальная система не может полностью соответствовать в рамках стоячей волны, концепция режима принимается как общая характеристика конкретных состояний колебаний, таким образом, обрабатывая динамическую систему линейным образом , в которой может быть выполнена линейная суперпозиция состояний.

Типичные примеры включают в себя:

В механической динамической системе вибрирующая веревка является наиболее четким примером режима, в котором веревка является средой, напряжение на веревке является возбуждением, а смещение веревки относительно ее статического состояния является модальной переменной.
В акустической динамической системе единственный звуковой шаг - это режим, в котором воздух является средой, звуковое давление в воздухе является возбуждением, а смещение молекул воздуха является модальной переменной.
В структурной динамической системе высокий высокий здание, колеблющееся под его наиболее изгибной осью, является режимом, в котором все материалы здания - при правильных численных упрощениях - это среда, сейсмические/ветровые/экологические предложения являются возбуждениями, а смещения - это модальная переменная.
В электрической динамической системе резонансная полость, изготовленная из тонких металлических стен, охватывающая полное пространство, для ускорения частицы является чистая система стоячей волны, и, следовательно, пример режима, в котором покое пространство полости - это среда, Источником RF (модальный вариальный источник.
При обращении к музыке нормальные режимы вибрирующих инструментов (струны, воздушные трубы, барабаны и т. Д.) называются « обертонами ».

Концепция нормальных мод также находит применение в других динамических системах, таких как оптика , квантовая механика , атмосферная динамика и молекулярная динамика .

Большинство динамических систем могут быть возбуждены в нескольких режимах, возможно, одновременно. Каждый режим характеризуется одной или несколькими частотами, ^{[ сомнительно - обсудить ]} в соответствии с полем модальной переменной. Например, вибрирующая веревка в 2D-пространстве определяется одночастотным (1D-осевым смещением), но вибрирующая веревка в трехмерном пространстве определяется двумя частотами (2D осевого смещения).

Для данной амплитуды на модальной переменной, каждый режим будет хранить определенное количество энергии из -за синусоидального возбуждения.

Нормальным . или доминирующим режимом системы с несколькими режимами будет режим, сохраняющий минимальное количество энергии для данной амплитуды модальной переменной, или, эквивалентно, для заданного сохраненного количества энергии доминирующим режимом будет режим, вводящий максимальную амплитуду модальной переменной

Номера режимов

Режим вибрации характеризуется модальной частотой и формой режима. Он пронумерован в зависимости от количества половины волн в вибрации. Например, если вибрирующая луч с обоими концами, прикрепленная, отображала форму режима половины синусоидальной волны (один пик на вибрационной луче), он будет вибрировать в режиме 1. Если бы у него была полная синусоидальная волна (один пик и один впадины), он будет вибрировать в режиме 2.

В системе с двумя или более измерений, такими как изображенный диск, каждому измерению дается номер режима. Используя полярные координаты , мы имеем радиальную координату и угловую координату. Если измеряется из центра вдоль радиальной координаты, он столкнулся бы с полной волной, поэтому число режима в радиальном направлении составляет 2. Другое направление более сложное, потому что только половина диска рассматривается из-за антисимметричной (также называемой акимметрии ) природы вибрации диска в угловом направлении. Таким образом, измеряя 180 ° вдоль углового направления, вы столкнетесь с полуволной, поэтому число режима в угловом направлении составляет 1. Таким образом, число режима системы составляет 2–1 или 1–2, в зависимости от того, какая координата считается «первой» и которая считается «второй» координатой (поэтому важно всегда указывать число режимов с каждым направлением координат).

В линейных системах каждый режим полностью не зависит от всех других режимов. В целом все режимы имеют разные частоты (с более низкими режимами, имеющими более низкие частоты) и различные формы режима.

Узлы

В одномерной системе в данном режиме вибрация будет иметь узлы или места, где смещение всегда равна нулю. Эти узлы соответствуют точкам в форме режима, где форма режима равна нулю. Поскольку вибрация системы определяется формой режима, умноженной на функцию времени, смещение точек узла всегда остается нулевым.

При расширении до двухмерной системы эти узлы становятся линиями, где смещение всегда равна нулю. Если вы посмотрите на анимацию выше, вы увидите два круга (один примерно на полпути между краем и центром, а другой на самом краю) и прямой линии, разделившись по распределению диска, где смещение близко к нулю. В идеализированной системе эти линии точно равны нулю, как показано справа.

В механических системах

В анализе консервативных систем с небольшими смещениями из равновесия, важных для акустики , молекулярных спектров и электрических цепей , система может быть преобразована в новые координаты, называемые нормальными координатами. Каждая нормальная координата соответствует одной частоте колебаний системы, а соответствующее движение системы называется нормальным режимом вибрации. ^{[ 1 ]}^: 332

Связанные генераторы

Рассмотрим два равных тела (не влияют на гравитация), каждый из массовых $m$ , прикрепленных к трем источникам, каждый с константой пружины $k$ . Они прикреплены следующим образом, образуя систему, которая является физически симметричной:

где точки края фиксируются и не могут двигаться. Пусть $x 1 (t)$ обозначает горизонтальное смещение левой массы и $x 2 (t)$ обозначает смещение правой массы.

Обозначение ускорения (вторая производная x $как (t)$ по времени) ${\textstyle {\ddot {x}}}$ , уравнения движения :

${\begin{aligned}m{\ddot {x}}_{1}&=-kx_{1}+k(x_{2}-x_{1})=-2kx_{1}+kx_{2}\\m{\ddot {x}}_{2}&=-kx_{2}+k(x_{1}-x_{2})=-2kx_{2}+kx_{1}\end{aligned}}$

Поскольку мы ожидаем колебательного движения нормального режима (где $ω$ одинаково для обеих масс), мы пытаемся:

${\begin{aligned}x_{1}(t)&=A_{1}e^{i\omega t}\\x_{2}(t)&=A_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}$

Заменить их в уравнения движения дает нам:

${\begin{aligned}-\omega ^{2}mA_{1}e^{i\omega t}&=-2kA_{1}e^{i\omega t}+kA_{2}e^{i\omega t}\\-\omega ^{2}mA_{2}e^{i\omega t}&=kA_{1}e^{i\omega t}-2kA_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}$

Опустив экспоненциальный коэффициент (потому что он является общим для всех терминов) и упрощают урожайность:

${\begin{aligned}(\omega ^{2}m-2k)A_{1}+kA_{2}&=0\\kA_{1}+(\omega ^{2}m-2k)A_{2}&=0\end{aligned}}$

И в матрицы представлении :

${\begin{bmatrix}\omega ^{2}m-2k&k\\k&\omega ^{2}m-2k\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}=0$

Если матрица слева инвертируется, уникальным решением является тривиальное решение $(a 1, a 2) = (x 1, x 2) = (0, 0)$ . Не тривиальные решения можно найти для тех значений $ω$ , посредством которых матрица слева является единственным ; т.е. не обратима. Отсюда следует, что определитель матрицы должен быть равен 0, поэтому:

$(\omega ^{2}m-2k)^{2}-k^{2}=0$

Решение для $ω$ , два положительных решения:

${\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {k}{m}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}$

Заменить $ω 1$ в матрицу и решать $(a 1, a 2)$ , дает $(1, 1)$ . Замена $ω 2$ приводит к $(1, -1)$ . (Эти векторы являются собственными векторами , а частоты являются собственными значениями .)

Первый нормальный режим: ${\vec {\eta }}_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}^{1}(t)\\x_{2}^{1}(t)\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{1}t+\varphi _{1})}$

Что соответствует обеим массам, движущимся в одном направлении одновременно. Этот режим называется антисимметричным.

Второй нормальный режим:

${\vec {\eta }}_{2}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}(t)\\x_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}}=c_{2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{2}t+\varphi _{2})}$

Это соответствует массам, движущимся в противоположных направлениях, в то время как центр масс остается неподвижным. Этот режим называется симметричным.

Общее решение представляет собой суперпозицию нормальных мод , где $C 1$ , $C 2$ , $φ 1$ и $φ 2$ определяются начальными условиями задачи.

Проемный процесс, продемонстрированный здесь, может быть обобщен и сформулирован с использованием формализма лагранжской механики или гамильтонианской механики .

Стоящие волны

Постоянная волна - это непрерывная форма нормальной моды. В стоячей волне все космические элементы (т. Е. $(x, y, z)$ координаты) колеблются на одной и той же частоте и в фазе (достигая точки равновесия вместе), но каждый имеет различную амплитуду.

Общая форма стоячей волны - это:

$\Psi (t)=f(x,y,z)(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t))$

где $f (x, y, z)$ представляет зависимость амплитуды от местоположения, а косинус/синус - колебания во времени.

Физически стоящие волны формируются вмешательством ( суперпозиция) волн и их отражением (хотя можно также сказать, что противоположность; движущаяся волна является суперпозицией стоящих волн). Геометрическая форма среды определяет, какова будет интерференционная картина, таким образом, определяет $форму f (x, y, z)$ стоячей волны. Эта зависимость пространства называется нормальным режимом .

Обычно для проблем с непрерывной зависимостью от $(x, y, z)$ нет единого или конечного числа нормальных мод, но существует бесконечно много нормальных мод. Если проблема ограничена (т.е. она определена на конечном разделе пространства), существует множество нормальных мод (обычно пронумерованные $n = 1, 2, 3, ...$ ). Если проблема не ограничена, существует непрерывный спектр нормальных мод.

Упругие твердые вещества

В любом твердого веществе при любой температуре первичные частицы (например, атомы или молекулы) не являются стационарными, а скорее вибрируют о средних положениях. У изоляторов способность твердого теплости хранить тепловую энергию почти полностью связана с этими вибрациями. Многие физические свойства твердого вещества (например, модуль эластичности) могут быть предсказаны, учитывая знание частот, с помощью которых частицы вибрируют. Самое простое предположение (от Einstein) состоит в том, что все частицы колеблются вокруг их средних положений с той же естественной частотой $ν$ . Это эквивалентно предположению, что все атомы вибрируют независимо с частотой $ν$ . Эйнштейн также предположил, что допустимыми энергетическими состояниями этих колебаний являются гармоники или неотъемлемые кратные $Hν$ . Спектр сигналов может быть описан математически с использованием серии флуктуаций синусоидальной плотности (или тепловых фононов ).

Впоследствии Debye признал, что каждый генератор тесно связан с соседними осцилляторами. Таким образом, заменив идентичные развященные осцилляторы Эйнштейна на то же количество связанных осцилляторов, Дебай коррелировал упругие вибрации одномерного твердого вещества с количеством математически особых способов вибрации растянутой строки (см. Рисунок). Чистый тон с самой низкой высотой или частотой называется фундаментальным, а кратные этой частоты называются его гармоническими обертонами. Он назначил одному из генераторов частоту фундаментальной вибрации всего блока твердого тела. Он назначил оставшимся генераторам частоты гармоник этого фундаментального, причем наибольшие из этих частот ограничиваются движением наименьшей первичной единицы.

Нормальные способы вибрации кристалла в целом являются суперпозициями многих обертонов, каждый с соответствующей амплитудой и фазой. длины волны (низкая частота) Более длинные фононы - это именно те акустические вибрации, которые рассматриваются в теории звука. Как продольные, так и поперечные волны могут распространяться с помощью твердого вещества, в то время как, как правило, только продольные волны поддерживаются жидкостями.

В продольном режиме смещение частиц из их положения равновесия совпадает с направлением распространения волны. Механические продольные волны также упоминались как волны сжатия . Для поперечных мод отдельные частицы переносят перпендикулярно распространению волны.

Согласно квантовой теории, средняя энергия нормального вибрационного режима кристаллического твердого вещества с характерной частотой $ν$ составляет:

$E(\nu )={\frac {1}{2}}h\nu +{\frac {h\nu }{e^{h\nu /kT}-1}}$

Термин $(1/2) Hν$ представляет «энергию с нулевой точкой» или энергию, которую будет иметь генератор в абсолютном нуле. $E (ν)$ имеет тенденцию к классическому значению $kt$ при высоких температурах

$E(\nu )=kT\left[1+{\frac {1}{12}}\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{2}+O\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{4}+\cdots \right]$

Зная термодинамическую формулу,

$\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{N,V}={\frac {1}{T}}$

Энтропия в обычном режиме:

${\begin{aligned}S\left(\nu \right)&=\int _{0}^{T}{\frac {d}{dT}}E\left(\nu \right){\frac {dT}{T}}\\[10pt]&={\frac {E\left(\nu \right)}{T}}-k\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)\end{aligned}}$

Свободная энергия:

$F(\nu )=E-TS=kT\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)$

который, для $kt ≫ hν$ , имеет тенденцию к:

$F(\nu )=kT\log \left({\frac {h\nu }{kT}}\right)$

Чтобы рассчитать внутреннюю энергию и удельное тепло, мы должны знать количество нормальных мод вибрации, частоту между значениями $ν$ и $ν + dν$ . Разрешить это число будет $f (ν) dν$ . Поскольку общее количество нормальных мод составляет $3 Н$ , функция $f (ν)$ определяется как:

$\int f(\nu )\,d\nu =3N$

Интеграция выполняется на всех частотах кристалла. Тогда внутренняя энергия, которую $вы$ будете даны:

$U=\int f(\nu )E(\nu )\,d\nu$

В квантовой механике

Связанные состояния В квантовой механике аналогичны режимам. Волны в квантовых системах представляют собой колебания в амплитуде вероятности, а не на смещении материала. Частота колебаний $F$ относится к энергии режима с помощью $E = HF$ , где $H$ является постоянной Планка . Таким образом, такая система, как атом, состоит из линейной комбинации режимов определенной энергии. Эти энергии характерны для конкретного атома. (Сложный) квадрат амплитуды вероятности в точке пространства дает вероятность измерения электрона в этом месте. Пространственное распределение этой вероятности характерно для атома. ^{[ 2 ]}^{: I49 - S5}

В сейсмологии

Нормальные моды генерируются на земле из длинных сейсмических волн длины волны от больших землетрясений, мешающих формировать стоящие волны.

Для упругих, изотропных, гомогенных сферных, сфероидальных, тороидальных и радиальных (или дышащих) возникают моды. Сфероидальные моды включают только P и SV -волны (например, волны Rayleigh ) и зависят от обертона $N$ и углового порядка $L$ , но имеют вырождение азимутального порядка $m$ . Увеличение $L$ концентрирует фундаментальную ветвь ближе к поверхности и в целом $L$ это имеет тенденцию к волнам Рэлея. Тороидальные моды включают только SH -волны (например, любовные волны ) и не существуют во внешнем ядре жидкости. Радиальные моды - это всего лишь подмножество сфероидальных мод с $L = 0$ . Вырождение не существует на Земле, так как оно нарушается вращением, эллиптичностью и трехмерной гетерогенной скоростью и структурой плотности.

Можно предположить, что каждый режим может быть изолирован, аппроксимация самообразования или что многие режимы закрываются по частоте , резонируя , приближение к перекрестной связи. Самообращение исключительно изменяет фазовую скорость, а не количество волн вокруг большого круга, что приведет к растяжению или сокращению картины стоячей волны. Модальная перекрестная связь происходит из-за вращения Земли, из асферической эластичной структуры или из-за эллиптичности Земли и приводит к смешиванию фундаментальных сфероидальных и тороидальных мод.

Смотрите также

Ссылки

^ Гольдштейн, Герберт; Пул, Чарльз П.; Сафко, Джон Л. (2008). Классическая механика (3 -е изд., [Nachdr.] Ed.). Сан -Франциско, Мюнхен: Аддисон Уэсли. ISBN 978-0-201-65702-9 .
^ Фейнман, Ричард П. (2011). Фейнманские лекции по физике. Том 1: В основном механика, радиация и тепло (новое издание Millennium, в мягкой обложке первая опубликованная изд.). Нью -Йорк: Основные книги. ISBN 978-0-465-04085-8 .

Дальнейшее чтение

Блевинс, Роберт Д. (2001). Формулы для естественной частоты и формы режима (переиздание изд.). Малабар, Флорида: Кригер Паб. ISBN 978-1575241845 .
Цу, HS; Bergman, LA, Eds. (2008). Динамика и контроль распределенных систем . Кембридж [Англия]: издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521033749 .
Ширер, Питер М. (2009). Введение в сейсмологию (2 -е изд.). Кембридж: издательство Кембриджского университета. С. 231–237. ISBN 9780521882101 .

Внешние ссылки

Гарвардские записи лекций по нормальным режимам

[Goldstein3-1] Гольдштейн, Герберт; Пул, Чарльз П.; Сафко, Джон Л. (2008). Классическая механика (3 -е изд., [Nachdr.] Ed.). Сан -Франциско, Мюнхен: Аддисон Уэсли. ISBN 978-0-201-65702-9 .

[FeynmanLectures-2] Фейнман, Ричард П. (2011). Фейнманские лекции по физике. Том 1: В основном механика, радиация и тепло (новое издание Millennium, в мягкой обложке первая опубликованная изд.). Нью -Йорк: Основные книги. ISBN 978-0-465-04085-8 .

[ 1 ]

[ 2 ]