Условная вероятность

В теории вероятностей условная вероятность — это мера вероятности при возникновения события условии, что уже известно, что другое событие (по предположению, презумпции, утверждению или свидетельству) произошло. ^[1] Этот конкретный метод основан на том, что событие A происходит в некоторой связи с другим событием B. В этой ситуации событие A можно проанализировать с помощью условной вероятности относительно B. Если интересующее событие — это $A$ , а событие $B$ известно или предполагается, что оно произошло, «условная вероятность $A$ при условии $B$ » или «вероятность $A$ при условии $B$ » обычно записывается как $P(A | B)$ ^[2] или иногда $P B (A)$ . Это также можно понимать как долю вероятности B, которая пересекается с A, или отношение вероятностей обоих событий к случаю «данного» события (сколько раз происходит A, а не не предполагается, что B произошло): $P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$ . ^[3]

Например, вероятность того, что у какого-либо человека в любой день будет кашель, может составлять всего 5%. Но если мы знаем или предполагаем, что человек болен, то вероятность того, что он будет кашлять, гораздо выше. Например, условная вероятность того, что кто-то нездоров (больной) кашляет, может составлять 75%, и в этом случае мы будем иметь $P(Кашель)$ = 5% и $P(Кашель | Больной)$ = 75%. Хотя в этом примере существует связь между $A$ и $B$ , такая связь или зависимость между $A$ и $B$ не является обязательной, и они не должны возникать одновременно.

$P(A | B)$ равным $P(A)$ , т. е. безусловной вероятности или абсолютной вероятности A $может быть равным или не$ . Если $P(A | B) = P(A)$ , то события $A$ и $B$ называются независимыми : в таком случае знание о любом событии не меняет вероятность друг друга. $P(A | B)$ (условная вероятность $A$ при условии $B$ ) обычно отличается от $P(B | A)$ . Например, если у человека лихорадка денге , вероятность того, что у него будет положительный результат теста на это заболевание, может составлять 90%. В этом случае измеряется то, что если событие $B$ ( заболевание лихорадкой денге ) произошло, вероятность события $A$ ( проверенного как положительное ) при условии, что $произошло событие B,$ составляет 90%, просто записывая $P(A | B)$ = 90%. С другой стороны, если у человека положительный результат теста на лихорадку денге, у него может быть только 15% вероятность того, что он действительно заболеет этим редким заболеванием из-за высокого уровня ложноположительных результатов . В этом случае вероятность события $B$ ( заболевание лихорадкой денге ) при условии, что событие $A$ ( положительный результат теста ) произошло, составляет 15% или $P(B | A)$ = 15%. Теперь должно быть очевидно, что ошибочное приравнивание двух вероятностей может привести к различным ошибкам в рассуждениях, что обычно проявляется в ошибки базовой ставки .

Хотя условные вероятности могут предоставить чрезвычайно полезную информацию, часто предоставляется или находится под рукой ограниченная информация. Поэтому может быть полезно обратить вспять или преобразовать условную вероятность с помощью теоремы Байеса : $P(A\mid B)={{P(B\mid A)P(A)} \over {P(B)}}$ . ^[4] Другой вариант — отобразить условные вероятности в таблице условных вероятностей, чтобы пролить свет на взаимосвязь между событиями.

Определение

Кондиционирование по событию

Колмогоровское определение

Учитывая два события $A$ и $B$ из сигма-поля вероятностного пространства, при этом безусловная вероятность B $B$ больше нуля (т. е. $P(B) > 0)$ , условная вероятность $A$ условии $при$ ( $P(A\mid B)$ ) — вероятность того, что событие A произойдет, если событие B произошло или предполагается, что событие произошло. ^[5] Предполагается, что A представляет собой набор всех возможных результатов эксперимента или случайного исследования с ограниченным или сокращенным пространством выборки. Условную вероятность можно найти как частное вероятности совместного пересечения событий $А$ и $В$ , то есть, $P(A\cap B)$ , вероятность того, что и B встречаются вместе, и вероятность B $A$ : ^[2]^[6]^[7]

P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}

.

Для выборочного пространства, состоящего из исходов с равной вероятностью, вероятность события А понимается как отношение числа исходов в А к числу всех исходов в выборочном пространстве. Тогда под этим уравнением понимается доля множества $A\cap B$ множеству Б. к Обратите внимание, что приведенное выше уравнение является определением, а не просто теоретическим результатом. Обозначим величину ${\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$ как $P(A\mid B)$ и назовем это «условной вероятностью $А$ при условии $В$ ».

Как аксиома вероятности

Некоторые авторы, например де Финетти , предпочитают вводить условную вероятность как аксиому вероятности :

P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)

.

Это уравнение для условной вероятности, хотя оно и эквивалентно математически, интуитивно может быть проще для понимания. Его можно интерпретировать как «вероятность возникновения B , умноженная на вероятность возникновения A , при условии, что B произошло, равна вероятности возникновения A и B вместе, хотя и не обязательно произойдет в одно и то же время». Кроме того, это может быть предпочтительным с философской точки зрения; Согласно основным интерпретациям вероятности , таким как субъективная теория , условная вероятность считается примитивной сущностью. Более того, это «правило умножения» может оказаться практически полезным при вычислении вероятности $A\cap B$ и вводит симметрию с аксиомой суммирования для формулы Пуанкаре:

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Таким образом, уравнения можно объединить, чтобы найти новое представление:

P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=P(A\mid B)P(B)

P(A\cup B)={P(A)+P(B)-P(A\mid B){P(B)}}

Как вероятность условного события

Условную вероятность можно определить как вероятность условного события. $A_{B}$ . Условное событие Гудмана -Нгуена-Ван Фраассена можно определить как:

A_{B}=\bigcup _{i\geq 1}\left(\bigcap _{j<i}{\overline {B}}_{j},A_{i}B_{i}\right)

, где

A_{i}

и

B_{i}

представляют состояния или элементы A или B. ^[8]

Можно показать, что

P(A_{B})={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}

что соответствует определению условной вероятности Колмогорова. ^[9]

Обусловливание событием с нулевой вероятностью

Если $P(B)=0$ , то по определению $P(A\mid B)$ является неопределенным .

Наибольший интерес представляет случай случайной величины $Y$ , обусловленной непрерывной случайной величиной $X,$ приводящей к определенному результату $x$ . Событие $B=\{X=x\}$ имеет нулевую вероятность и, как таковая, не может быть обусловлена.

Вместо того, чтобы обуславливать $X$ равным точно $x$ , мы могли бы поставить условие, что оно ближе, чем расстояние. $\epsilon$ вдали от $х$ . Событие $B=\{x-\epsilon <X<x+\epsilon \}$ обычно будет иметь ненулевую вероятность и, следовательно, может быть обусловлено.Тогда мы можем взять предел

\lim _{\epsilon \to 0}P(A\mid x-\epsilon <X<x+\epsilon ).

( 1 )

Например, если две непрерывные случайные величины $X$ и $Y$ имеют общую плотность $f_{X,Y}(x,y)$ , то по правилу Лопиталя и интегральному правилу Лейбница при дифференцировании по $\epsilon$ :

{\begin{aligned}\lim _{\epsilon \to 0}P(Y\in U\mid x_{0}-\epsilon <X<x_{0}+\epsilon )&=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\int _{x_{0}-\epsilon }^{x_{0}+\epsilon }\int _{U}f_{X,Y}(x,y)\mathrm {d} y\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}-\epsilon }^{x_{0}+\epsilon }\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\mathrm {d} y\mathrm {d} x}}\\&={\frac {\int _{U}f_{X,Y}(x_{0},y)\mathrm {d} y}{\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x_{0},y)\mathrm {d} y}}.\end{aligned}}

Результирующий предел представляет собой условное распределение вероятностей при $Y$ условии $X$ и существует, когда знаменатель, плотность вероятности $f_{X}(x_{0})$ , является строго положительным.

Соблазнительно определить неопределенную вероятность $P(A\mid X=x)$ используя предел ( 1 ), но это невозможно сделать последовательным образом. В частности, можно найти случайные величины $X$ и $W$ и значения $x$ , $w$ такие, что события $\{X=x\}$ и $\{W=w\}$ идентичны, но результирующие пределы не являются:

\lim _{\epsilon \to 0}P(A\mid x-\epsilon \leq X\leq x+\epsilon )\neq \lim _{\epsilon \to 0}P(A\mid w-\epsilon \leq W\leq w+\epsilon ).

Парадокс Бореля-Колмогорова демонстрирует это с помощью геометрического аргумента.

Условие на дискретной случайной величине

Пусть $X$ — дискретная случайная величина, а ее возможные результаты обозначаются $V$ . Например, если $X$ представляет значение брошенной игральной кости, то $V$ — это множество $\{1,2,3,4,5,6\}$ . Предположим для наглядности, что $X$ — дискретная случайная величина, так что каждое значение в $V$ имеет ненулевую вероятность.

Для значения $x$ в $V$ и события $A$ условная вероятностьдается $P(A\mid X=x)$ .Письмо

c(x,A)=P(A\mid X=x)

короче, мы видим, что это функция двух переменных $x$ и $A.$ :

Для фиксированного $A$ мы можем сформировать случайную величину $Y=c(X,A)$ . Он представляет собой результат $P(A\mid X=x)$ значение $x$ из $X.$ всякий раз, когда наблюдается

Таким образом, условную вероятность $A$ при условии $X$ можно рассматривать как случайную величину $Y$ с результатами в интервале $[0,1]$ . По закону полной вероятности равно безусловной вероятности А. $его$ ожидаемое значение

Частичная условная вероятность

Частичная условная вероятность $P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})$ речь идет о вероятности события $A$ учитывая, что каждое из событий условия $B_{i}$ произошло в какой-то степени $b_{i}$ (степень веры, степень опыта), которая может отличаться от 100%. С точки зрения частотности, частичная условная вероятность имеет смысл, если условия проверяются в повторениях эксперимента соответствующей длины. $n$ . ^[10] Такой $n$ -ограниченную частичную условную вероятность можно определить как условно ожидаемое среднее возникновение события. $A$ на стендах длиной $n$ которые соответствуют всем характеристикам вероятности $B_{i}\equiv b_{i}$ , то есть:

P^{n}(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\operatorname {E} ({\overline {A}}^{n}\mid {\overline {B}}_{1}^{n}=b_{1},\ldots ,{\overline {B}}_{m}^{n}=b_{m})

^[10]

Исходя из этого, частичную условную вероятность можно определить как

P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\lim _{n\to \infty }P^{n}(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m}),

где $b_{i}n\in \mathbb {N}$ ^[10]

Условность Джеффри ^[11]^[12]является особым случаем частичной условной вероятности, в которой события условия должны образовывать раздел :

P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\sum _{i=1}^{m}b_{i}P(A\mid B_{i})

Пример

Предположим, что кто-то тайно бросает два справедливых шестигранных игральных кубика , и мы хотим вычислить вероятность того, что выпавшее на лицевой стороне первое из них будет равно 2, учитывая информацию о том, что их сумма не превышает 5.

Пусть D _{1 —} значение, выпавшее на игральной кости 1.
Пусть D _{2 —} значение, выпавшее на игральной кости 2.

Вероятность того, что D ₁ = 2

В таблице 1 показано выборочное пространство из 36 комбинаций выпавших значений двух игральных костей, каждая из которых встречается с вероятностью 1/36, при этом числа, отображаемые в красных и темно-серых ячейках, равны D ₁ + D ₂ .

D ₁ = 2 ровно в 6 из 36 исходов; таким образом, P ( D ₁ = 2) = 6 ⁄ 36 = 1 ⁄ 6 :

Таблица 1
+		D_Д2
+		1	2	3	4	5	6
Д ₁	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

Вероятность того, что D ₁ + D ₂ ≤ 5

Таблица 2 показывает, что D ₁ + D ₂ ≤ 5 ровно для 10 из 36 исходов, таким образом, P ( D ₁ + D ₂ ≤ 5) = 10 ⁄ 36 :

Таблица 2
+		D_Д2
+		1	2	3	4	5	6
Д ₁	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

Вероятность того, что D ₁ = 2 при условии, что D ₁ + D ₂ ≤ 5

Таблица 3 показывает, что для 3 из этих 10 исходов D ₁ = 2.

Таким образом, условная вероятность P( D ₁ = 2 | D ₁ + D ₂ ≤ 5) = 3 ⁄ 10 = 0.3:

Таблица 3
+		D_Д2
+		1	2	3	4	5	6
Д ₁	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

Здесь, в более ранних обозначениях определения условной вероятности, обусловливающее событие B — это D ₁ + D ₂ ≤ 5, а событие A — это D ₁ = 2. Мы имеем $P(A\mid B)={\tfrac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\tfrac {3/36}{10/36}}={\tfrac {3}{10}},$ как видно в таблице.

Использование в выводе

В статистическом выводе условная вероятность — это обновление вероятности события на основе новой информации. ^[13] Новая информация может быть включена следующим образом: ^[1]

Пусть A , интересующее событие, находится в выборочном пространстве , скажем ( X , P ).
Возникновение события A, зная, что событие B произошло или произойдет, означает возникновение A, поскольку оно ограничено B , т.е. $A\cap B$ .
Без знания о возникновении B информация о возникновении A была бы просто P ( A )
Вероятность того, что А знает, что событие Б произошло или произойдет, будет вероятностью $A\cap B$ относительно P ( B ) — вероятность того, что событие B произошло.
Это приводит к ${\textstyle P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)}$ всякий раз, когда P ( B ) > 0 и 0 в противном случае.

В результате этого подхода получается вероятностная мера, согласующаяся с исходной вероятностной мерой и удовлетворяющая всем аксиомам Колмогорова . Эта условная вероятностная мера также могла бы возникнуть в результате предположения, что относительная величина вероятности A по отношению к X будет сохранена по отношению к B (см. Формальный вывод ниже).

Слова «доказательства» или «информация» обычно используются в байесовской интерпретации вероятности . Обусловливающее событие интерпретируется как свидетельство обусловленного события. То есть P ( A ) — это вероятность A до учета свидетельства E , а P ( A | E ) — это вероятность A после учета свидетельств E или после обновления P ( A ). Это согласуется с частотной интерпретацией, которая является первым определением, данным выше.

Пример

При передаче кода Морзе существует определенная вероятность того, что полученная «точка» или «тире» окажется ошибочной. Зачастую это воспринимается как вмешательство в передачу сообщения. Поэтому важно при отправке «точки» учитывать, например, вероятность того, что «точка» была получена. Это представлено: $P({\text{dot sent }}|{\text{ dot received}})=P({\text{dot received }}|{\text{ dot sent}}){\frac {P({\text{dot sent}})}{P({\text{dot received}})}}.$ В азбуке Морзе соотношение точек и тире в момент отправки составляет 3:4, поэтому вероятность появления «точки» и «тире» равна $P({\text{dot sent}})={\frac {3}{7}}\ and\ P({\text{dash sent}})={\frac {4}{7}}$ . Если предположить, что вероятность того, что точка будет передана как тире, равна 1/10, а вероятность того, что тире будет передана как точка, также равна 1/10, то для расчета можно использовать правило Байеса. $P({\text{dot received}})$ .

$P({\text{dot received}})=P({\text{dot received }}\cap {\text{ dot sent}})+P({\text{dot received }}\cap {\text{ dash sent}})$

$P({\text{dot received}})=P({\text{dot received }}\mid {\text{ dot sent}})P({\text{dot sent}})+P({\text{dot received }}\mid {\text{ dash sent}})P({\text{dash sent}})$

$P({\text{dot received}})={\frac {9}{10}}\times {\frac {3}{7}}+{\frac {1}{10}}\times {\frac {4}{7}}={\frac {31}{70}}$

Сейчас, $P({\text{dot sent }}\mid {\text{ dot received}})$ можно рассчитать:

$P({\text{dot sent }}\mid {\text{ dot received}})=P({\text{dot received }}\mid {\text{ dot sent}}){\frac {P({\text{dot sent}})}{P({\text{dot received}})}}={\frac {9}{10}}\times {\frac {\frac {3}{7}}{\frac {31}{70}}}={\frac {27}{31}}$ ^[14]

Статистическая независимость

События A и B считаются статистически независимыми , если вероятность пересечения A и B равна произведению вероятностей A и B:

P(A\cap B)=P(A)P(B).

Если P ( B ) не равно нулю, то это эквивалентно утверждению, что

P(A\mid B)=P(A).

Аналогично, если P ( A ) не равно нулю, то

P(B\mid A)=P(B)

также эквивалентно. поскольку условные вероятности могут быть неопределенными, а предпочтительное определение симметрично относительно A и B. Хотя производные формы могут показаться более интуитивными, они не являются предпочтительным определением , Независимость не относится к непересекающемуся событию. ^[15]

Следует также отметить, что для пары независимых событий [AB] и события C пара определяется как условно независимая, если произведение истинно: ^[16]

$P(AB\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid C)$

Эта теорема может быть полезна в приложениях, где наблюдается множество независимых событий.

Независимые события против взаимоисключающих событий

Понятия взаимонезависимых событий и взаимоисключающих событий являются отдельными и различными. В следующей таблице сравниваются результаты для двух случаев (при условии, что вероятность события кондиционирования не равна нулю).


	Если статистически независимы	Если взаимоисключающие
$P(A\mid B)=$	$P(A)$	0
$P(B\mid A)=$	$P(B)$	0
$P(A\cap B)=$	$P(A)P(B)$	0

В действительности взаимоисключающие события не могут быть статистически независимыми (если только оба они невозможны), поскольку знание о том, что одно происходит, дает информацию о другом (в частности, о том, что последнее заведомо не произойдет).

Распространенные заблуждения

Эти заблуждения не следует путать с «условной ошибкой» Роберта К. Шопа 1978 года , в которой рассматриваются контрфактические примеры, вызывающие вопросы .

Предполагая, что условная вероятность имеет размер, аналогичный ее обратной величине.

В общем случае нельзя предполагать, что P ( A | B ) ≈ P ( B | A ). Это может быть коварной ошибкой даже для тех, кто хорошо знаком со статистикой. ^[17] Связь между P ( A | B ) и P ( B | A ) определяется теоремой Байеса :

{\begin{aligned}P(B\mid A)&={\frac {P(A\mid B)P(B)}{P(A)}}\\\Leftrightarrow {\frac {P(B\mid A)}{P(A\mid B)}}&={\frac {P(B)}{P(A)}}\end{aligned}}

То есть P( A | B ) ≈ P( B | A ) только в том случае, если P ( B )/ P ( A ) ≈ 1 или, что то же самое, P ( A ) ≈ P ( B ).

Предполагая, что предельные и условные вероятности имеют одинаковый размер.

В общем случае нельзя предполагать, что P ( A ) ≈ P ( A | B ). Эти вероятности связаны законом полной вероятности :

P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}).

где события $(B_{n})$ счетное разбиение образуют $\Omega$ .

Эта ошибка может возникнуть из-за предвзятости отбора . ^[18] Например, в контексте медицинского заявления пусть SC _{последствие} будет событием, когда ( хроническое заболевание) S возникает вследствие обстоятельства (острое состояние C. ) Пусть H — событие, когда человек обращается за медицинской помощью. Предположим, что в большинстве случаев C не вызывает S (так что P ( SC ₎ низкое). Предположим также, что за медицинской помощью обращаются только в том случае, если произошло из-за C. S Поэтому, исходя из опыта пациентов, врач может ошибочно заключить, что ( SC ) _P высокое. Фактическая вероятность, наблюдаемая врачом, равна ( SC | _P H ) .

Избыточный или недостаточный вес априорных показателей

Частичный или полный неучет априорной вероятности называется пренебрежением базовой ставкой . Обратная ситуация – недостаточная корректировка априорной вероятности – это консерватизм .

Формальный вывод

Формально P ( A | B ) определяется как вероятность A в соответствии с новой функцией вероятности в выборочном пространстве, такая, что результаты, не входящие в B, имеют вероятность 0 и согласуются со всеми исходными вероятностными мерами . ^[19]^[20]

Пусть Ω — дискретное выборочное пространство с элементарными событиями { ω }, и пусть P — вероятностная мера относительно σ-алгебры Ω. Предположим, нам сообщили, что событие B ⊆ Ω произошло. Чтобы отразить это, новое распределение вероятностей (обозначенное условным обозначением) должно быть назначено { ω }. Все события, которых нет в B, будут иметь нулевую вероятность в новом распределении. Для событий в B должны соблюдаться два условия: вероятность B равна единице и относительные величины вероятностей должны сохраняться. Первое требуется аксиомами вероятности , а второе вытекает из того факта, что новая вероятностная мера должна быть аналогом P , в котором вероятность B равна единице - и поэтому каждое событие, которое не находится в B , имеет нулевая вероятность. Следовательно, для некоторого масштабного коэффициента α новое распределение должно удовлетворять:

$\omega \in B:P(\omega \mid B)=\alpha P(\omega )$
$\omega \notin B:P(\omega \mid B)=0$
$\sum _{\omega \in \Omega }{P(\omega \mid B)}=1.$

Подставляя 1 и 2 в 3, чтобы выбрать α :

{\begin{aligned}1&=\sum _{\omega \in \Omega }{P(\omega \mid B)}\\&=\sum _{\omega \in B}{P(\omega \mid B)}+{\cancelto {0}{\sum _{\omega \notin B}P(\omega \mid B)}}\\&=\alpha \sum _{\omega \in B}{P(\omega )}\\[5pt]&=\alpha \cdot P(B)\\[5pt]\Rightarrow \alpha &={\frac {1}{P(B)}}\end{aligned}}

Итак, новое вероятностей распределение

$\omega \in B:P(\omega \mid B)={\frac {P(\omega )}{P(B)}}$
$\omega \notin B:P(\omega \mid B)=0$

Теперь об общем событии А :

{\begin{aligned}P(A\mid B)&=\sum _{\omega \in A\cap B}{P(\omega \mid B)}+{\cancelto {0}{\sum _{\omega \in A\cap B^{c}}P(\omega \mid B)}}\\&=\sum _{\omega \in A\cap B}{\frac {P(\omega )}{P(B)}}\\[5pt]&={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\end{aligned}}

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Гут, Аллан (2013). Вероятность: аспирантура (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4614-4707-8 .
^ Перейти обратно: ^а ^б «Условная вероятность» . www.mathsisfun.com . Проверено 11 сентября 2020 г.
^ Декинг, Фредерик Мишель; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хендрик Пауль; Местер, Людольф Эрвин (2005). «Современное введение в теорию вероятности и статистику » Тексты Спрингера в статистике : 26. doi : 10.1007/1-84628-168-7 . ISBN 978-1-85233-896-1 . ISSN 1431-875X .
^ Декинг, Фредерик Мишель; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хендрик Пауль; Местер, Людольф Эрвин (2005). «Современное введение в теорию вероятности и статистику » Тексты Спрингера в статистике : 25–40. дои : 10.1007/ 1-84628-168-7 ISBN 978-1-85233-896-1 . ISSN 1431-875X .
^ Райхл, Линда Элизабет (2016). «2.3 Вероятность». Современный курс статистической физики (4-е исправленное и обновленное изд.). ВИЛИ-ВЧ. ISBN 978-3-527-69049-7 .
^ Колмогоров, Андрей (1956), Основы теории вероятностей , Челси.
^ «Условная вероятность» . www.stat.yale.edu . Проверено 11 сентября 2020 г.
^ Фламинио, Томмазо; Годо, Луис; Хосни, Хайкел (01 сентября 2020 г.). «Бульевы алгебры кондиционалов, вероятностей и логики» . Искусственный интеллект . 286 : 103347. arXiv : 2006.04673 . дои : 10.1016/j.artint.2020.103347 . ISSN 0004-3702 . S2CID 214584872 .
^ Ван Фраассен, Бас К. (1976), Харпер, Уильям Л.; Хукер, Клиффорд Алан (ред.), «Вероятности кондиционалов» , «Основы теории вероятностей, статистических выводов и статистических теорий науки: Том I. Основы и философия эпистемических применений теории вероятностей» , Серия Университета Западного Онтарио по философии Наука, Дордрехт: Springer Нидерланды, стр. 261–308, номер документа : 10.1007/978-94-010-1853-1_10 , ISBN. 978-94-010-1853-1 , получено 4 декабря 2021 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Драхейм, Дирк (2017). «Обобщенная кондиционализация Джеффри (частая семантика частичной кондиционализации)» . Спрингер . Проверено 19 декабря 2017 г.
^ Джеффри, Ричард К. (1983), Логика решения, 2-е издание , University of Chicago Press, ISBN 9780226395821
^ «Байесовская эпистемология» . Стэнфордская энциклопедия философии. 2017 . Проверено 29 декабря 2017 г.
^ Казелла, Джордж; Бергер, Роджер Л. (2002). Статистический вывод . Даксбери Пресс. ISBN 0-534-24312-6 .
^ «Условная вероятность и независимость» (PDF) . Проверено 22 декабря 2021 г.
^ Таймс, Хенк (2012). Понимание вероятности (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9781139206990 . ISBN 978-1-107-65856-1 .
^ Пфайффер, Пол Э. (1978). Условная независимость в прикладной теории вероятности . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер Бостон. ISBN 978-1-4612-6335-7 . OCLC 858880328 .
^ Паулос, Дж. А. (1988) Неумение считать: математическая неграмотность и ее последствия , Хилл и Ван. ISBN 0-8090-7447-8 (стр. 63 и далее )
^ Ф. Томас Брюсс Эффект Вятта-Эрпа или соблазнительная сила малых вероятностей (на немецком языке), Spectrum of Science (немецкое издание журнала Scientific American), Том 2, 110–113, (2007).
^ Джордж Казелла и Роджер Л. Бергер (1990), Статистический вывод , Duxbury Press, ISBN 0-534-11958-1 (стр. 18 и далее )
^ Введение Гринстеда и Снелла в вероятность , с. 134

Внешние ссылки

[Allan_Gut_2013-1] Перейти обратно: ^а ^б Гут, Аллан (2013). Вероятность: аспирантура (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4614-4707-8 .

[:0-2] Перейти обратно: ^а ^б «Условная вероятность» . www.mathsisfun.com . Проверено 11 сентября 2020 г.

[3] Декинг, Фредерик Мишель; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хендрик Пауль; Местер, Людольф Эрвин (2005). «Современное введение в теорию вероятности и статистику » Тексты Спрингера в статистике : 26. doi : 10.1007/1-84628-168-7 . ISBN 978-1-85233-896-1 . ISSN 1431-875X .

[4] Декинг, Фредерик Мишель; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хендрик Пауль; Местер, Людольф Эрвин (2005). «Современное введение в теорию вероятности и статистику » Тексты Спрингера в статистике : 25–40. дои : 10.1007/ 1-84628-168-7 ISBN 978-1-85233-896-1 . ISSN 1431-875X .

[:1-5] Райхл, Линда Элизабет (2016). «2.3 Вероятность». Современный курс статистической физики (4-е исправленное и обновленное изд.). ВИЛИ-ВЧ. ISBN 978-3-527-69049-7 .

[6] Колмогоров, Андрей (1956), Основы теории вероятностей , Челси.

[7] «Условная вероятность» . www.stat.yale.edu . Проверено 11 сентября 2020 г.

[8] Фламинио, Томмазо; Годо, Луис; Хосни, Хайкел (01 сентября 2020 г.). «Бульевы алгебры кондиционалов, вероятностей и логики» . Искусственный интеллект . 286 : 103347. arXiv : 2006.04673 . дои : 10.1016/j.artint.2020.103347 . ISSN 0004-3702 . S2CID 214584872 .

[9] Ван Фраассен, Бас К. (1976), Харпер, Уильям Л.; Хукер, Клиффорд Алан (ред.), «Вероятности кондиционалов» , «Основы теории вероятностей, статистических выводов и статистических теорий науки: Том I. Основы и философия эпистемических применений теории вероятностей» , Серия Университета Западного Онтарио по философии Наука, Дордрехт: Springer Нидерланды, стр. 261–308, номер документа : 10.1007/978-94-010-1853-1_10 , ISBN. 978-94-010-1853-1 , получено 4 декабря 2021 г.

[Draheim2017b-10] Перейти обратно: ^а ^б ^с Драхейм, Дирк (2017). «Обобщенная кондиционализация Джеффри (частая семантика частичной кондиционализации)» . Спрингер . Проверено 19 декабря 2017 г.

[11] Джеффри, Ричард К. (1983), Логика решения, 2-е издание , University of Chicago Press, ISBN 9780226395821

[12] «Байесовская эпистемология» . Стэнфордская энциклопедия философии. 2017 . Проверено 29 декабря 2017 г.

[Casella_and_Berger_2002-13] Казелла, Джордж; Бергер, Роджер Л. (2002). Статистический вывод . Даксбери Пресс. ISBN 0-534-24312-6 .

[14] «Условная вероятность и независимость» (PDF) . Проверено 22 декабря 2021 г.

[15] Таймс, Хенк (2012). Понимание вероятности (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9781139206990 . ISBN 978-1-107-65856-1 .

[16] Пфайффер, Пол Э. (1978). Условная независимость в прикладной теории вероятности . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер Бостон. ISBN 978-1-4612-6335-7 . OCLC 858880328 .

[17] Паулос, Дж. А. (1988) Неумение считать: математическая неграмотность и ее последствия , Хилл и Ван. ISBN 0-8090-7447-8 (стр. 63 и далее )

[18] Ф. Томас Брюсс Эффект Вятта-Эрпа или соблазнительная сила малых вероятностей (на немецком языке), Spectrum of Science (немецкое издание журнала Scientific American), Том 2, 110–113, (2007).

[19] Джордж Казелла и Роджер Л. Бергер (1990), Статистический вывод , Duxbury Press, ISBN 0-534-11958-1 (стр. 18 и далее )

[grinstead-20] Введение Гринстеда и Снелла в вероятность , с. 134

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]