Сумма Гаусса

Не путать с формулой треугольного числа § .

В теории алгебраических чисел или сумма Гаусса сумма Гаусса представляет собой особый вид конечной суммы корней из единицы , обычно

$G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)$

где сумма ведется по элементам r некоторого конечного коммутативного кольца R , ψ — групповой гомоморфизм аддитивной группы R ⁺ в единичную окружность , а χ — групповой гомоморфизм единичной группы R ^× в единичный круг, расширенный до неединичного r , где он принимает значение 0. Суммы Гаусса являются аналогами для конечных полей гамма- функции .

Такие суммы повсеместно встречаются в теории чисел . Они встречаются, например, в функциональных уравнениях Дирихле L -функций , где для характера Дирихле χ уравнение, связывающее L ( s , χ ) и L (1 − s , χ ) (где χ — комплексно-сопряженное число χ ) включает в себя фактор

${\frac {G(\chi )}{|G(\chi )|}}.$

История

Случай, первоначально рассмотренный Карлом Фридрихом Гауссом, представлял собой квадратичную сумму Гаусса , для R — поле вычетов по модулю простого числа p , а χ — символ Лежандра . В этом случае Гаусс доказал, что G ( χ ) = p ^{1 ⁄ 2} или IP ^{1 ⁄ 2} для p, соответствующего 1 или 3 по модулю 4 соответственно (квадратичная сумма Гаусса также может быть оценена с помощью анализа Фурье, а также с помощью контурного интегрирования ).

Альтернативная форма этой суммы Гаусса:

$\sum e^{2\pi ir^{2}/p}$.

Квадратичные суммы Гаусса тесно связаны с теорией тэта-функций .

Общая теория сумм Гаусса была разработана в начале 19 века с использованием сумм Якоби и их простого разложения в круговых полях . Суммы Гаусса по кольцу вычетов целых чисел по модулю N представляют собой линейные комбинации тесно связанных сумм, называемых гауссовскими периодами .

Абсолютное значение сумм Гаусса обычно находится как применение теоремы Планшереля о конечных группах. В случае, когда R — поле из p элементов и χ нетривиально, абсолютное значение равно p ^{1 ⁄ 2} . Определение точного значения общих сумм Гаусса, исходя из результата Гаусса в квадратичном случае, является давней проблемой. Для некоторых случаев см. сумму Куммера .

Свойства сумм Гаусса характеров Дирихле

Сумма Гаусса характера Дирихле по модулю N равна

$G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}.$

Если х также примитивно , то

$|G(\chi )|={\sqrt {N}},$

в частности, оно не равно нулю. В более общем смысле, если N ₀ является проводником χ , а χ ₀ является примитивным характером Дирихле по модулю N ₀ , который индуцирует χ , то сумма Гаусса χ связана с суммой χ ₀ соотношением

$G(\chi )=\mu \left({\frac {N}{N_{0}}}\right)\chi _{0}\left({\frac {N}{N_{0}}}\right)G\left(\chi _{0}\right)$

где ц — функция Мёбиуса . Следовательно, G ( χ ) отлична от нуля именно тогда, когда ⁠ N / N ₀ ⁠ не содержит квадратов и относительно прост с N ₀ .

Другие отношения между G ( χ ) и суммами Гаусса других характеров включают

$G({\overline {\chi }})=\chi (-1){\overline {G(\chi )}},$

где χ — комплексно-сопряженный характер Дирихле, и если χ ′ — характер Дирихле по модулю N ′ такой, что N и N ′ взаимно просты, то

$G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)=\chi \left(N^{\prime }\right)\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right).$

Отношение между G ( χχ ′) , G ( χ ) и G ( χ ′ ) , когда χ и χ ′ имеют одинаковый модуль (и χχ ′ примитивно), измеряется суммой Якоби J ( χ , χ ′) . Конкретно,

$G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)={\frac {G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right)}{J\left(\chi ,\chi ^{\prime }\right)}}.$

Дополнительные свойства

• Суммы Гаусса можно использовать для доказательства квадратичной взаимности , кубической взаимности и четвертой взаимности .
• Суммы Гаусса можно использовать для расчета количества решений полиномиальных уравнений над конечными полями и, следовательно, для расчета определенных дзета-функций.

См. также

• Квадратичная сумма Гаусса
• Эллиптическая сумма Гаусса
• Сумма Якоби
• Куммеровая сумма
• Сумма Клоостермана
• Гауссов период
• Отношение Хассе – Давенпорта
• Теорема Чоулы – Морделла
• Теорема Стикельбергера

Ссылки

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3 , МР   0434929 , Збл   0335.10001
• Берндт, Британская Колумбия ; Эванс, Р.Дж.; Уильямс, Канзас (1998). Суммы Гаусса и Якоби . Серия монографий и продвинутых текстов Канадского математического общества. Уайли. ISBN  0-471-12807-4 . Збл   0906.11001 .
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990). Классическое введение в современную теорию чисел . Тексты для аспирантов по математике . Том. 84 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-97329-Х . Збл   0712.11001 .
• Раздел 3.4 Иванец, Хенрик ; Ковальски, Эммануэль (2004), Аналитическая теория чисел , Публикации коллоквиума Американского математического общества, том. 53, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-3633-0 , МР   2061214 , Збл   1059.11001