Сечение (геометрия)

В геометрии и науке поперечное сечение — это непустое пересечение твердого тела в трехмерном пространстве с плоскостью или аналог в более высоких измерений пространствах . Разрезание объекта на части создает множество параллельных поперечных сечений. Границу поперечного сечения в трехмерном пространстве, параллельную двум осям , то есть параллельную плоскости, определяемой этими осями, иногда называют контурной линией ; например, если плоскость прорезает горы на карте рельефа параллельно земле, в результате получается контурная линия в двумерном пространстве, показывающая точки на поверхности гор одинаковой высоты .

В техническом рисовании поперечное сечение, представляющее собой проекцию объекта на пересекающую его плоскость, является распространенным инструментом, используемым для изображения внутреннего расположения трехмерного объекта в двух измерениях. Традиционно его заштриховывают в стиле штриховки, часто указывающей типы используемых материалов.

С помощью компьютерной аксиальной томографии компьютеры могут строить поперечные сечения на основе рентгеновских данных.

Определение

Если плоскость пересекает твердое тело (трехмерный объект), то область, общая для плоскости и твердого тела, называется поперечным сечением твердого тела. ^[1] Плоскость, содержащая поперечное сечение твердого тела, может называться секущей плоскостью .

Форма поперечного сечения твердого тела может зависеть от ориентации плоскости сечения относительно твердого тела. Например, хотя все сечения шара представляют собой диски, ^[2] сечения куба зависят от того, как плоскость сечения связана с кубом. Если плоскость сечения перпендикулярна линии, соединяющей центры двух противоположных граней куба, сечение будет квадратом, однако если плоскость сечения перпендикулярна диагонали куба, соединяющей противоположные вершины, сечение сечением может быть точка, треугольник или шестиугольник.

Плоские сечения

Родственное понятие — плоское сечение , которое представляет собой кривую пересечения плоскости с поверхностью . ^[3] Таким образом, плоское сечение — это граница поперечного сечения твердого тела в плоскости сечения.

Если поверхность в трехмерном пространстве определяется функцией двух переменных, т. е. $z = f (x, y)$ , плоскость секется секущими плоскостями, параллельными координатной плоскости (плоскости, определяемой двумя координатными осями ) называются кривыми уровня или изолиниями . ^[4]Более конкретно, секущие плоскости с уравнениями вида $z = k$ (плоскости, параллельные плоскости $xy$ ) создают плоские сечения, которые в областях применения часто называют контурными линиями .

Математические примеры поперечных и плоских сечений

Сечение многогранника представляет собой многоугольник .

Конические сечения — круги , эллипсы , параболы и гиперболы — представляют собой плоские сечения конуса с плоскостями сечения под разными углами, как показано на диаграмме слева.

Любое сечение, проходящее через центр эллипсоида, образует эллиптическую область, а соответствующие плоские сечения представляют собой эллипсы на его поверхности. Они вырождаются в диски и круги соответственно, когда плоскости сечения перпендикулярны оси симметрии. В более общем плане плоские сечения квадрики представляют собой конические сечения. ^[5]

Поперечное сечение сплошного прямого круглого цилиндра, простирающегося между двумя основаниями, представляет собой диск , если поперечное сечение параллельно основанию цилиндра, или эллиптическую область (см. Диаграмму справа), если оно не параллельно и не перпендикулярно основанию. Если плоскость сечения перпендикулярна основанию, она состоит из прямоугольника (не показан), если только она не касается только цилиндра, и в этом случае это один сегмент прямой .

Термин цилиндр может также означать боковую поверхность твердого цилиндра (см. цилиндр (геометрия) ). Если в этом смысле используется цилиндр, то приведенный выше абзац будет звучать следующим образом: Плоское сечение прямого кругового цилиндра конечной длины. ^[6] представляет собой круг, если плоскость сечения перпендикулярна оси симметрии цилиндра, или эллипс, если он не параллелен и не перпендикулярен этой оси. Если плоскость сечения параллельна оси, сечение плоскости состоит из пары параллельных отрезков прямой, если только плоскость сечения не касается цилиндра, и в этом случае сечение плоскости представляет собой один отрезок прямой.

График

z = x 2 + ху + у 2

. Для частной производной в точке (1, 1, 3), которая оставляет

y

постоянным, соответствующая касательная линия параллельна

плоскости xz

.

Плоский разрез приведенного выше графика, показывающий кривую уровня в

плоскости xz

при

y = 1.

Плоское сечение можно использовать для визуализации частной производной функции по одному из ее аргументов, как показано. Предположим $z знак равно ж (Икс, y)$ . Взяв частную производную $f (x, y)$ по $x$ , можно взять плоское сечение функции $f$ при фиксированном значении $y,$ чтобы построить кривую уровня $z$ исключительно в зависимости от $x$ ; тогда частная производная по $x$ представляет собой наклон полученного двумерного графика.

По смежным предметам

Плоское сечение функции плотности вероятности двух случайных величин , в котором плоскость сечения находится при фиксированном значении одной из переменных, является условной плотностью функции другой переменной (при условии фиксированного значения, определяющего плоское сечение). Если вместо этого плоское сечение берется при фиксированном значении плотности, в результате получается контур изоплотности . Для нормального распределения эти контуры представляют собой эллипсы.

В экономике производственная функция $f (x, y)$ определяет выпуск, который может быть произведен различными количествами $x$ и $y$ ресурсов, обычно труда и физического капитала. Производственную функцию фирмы или общества можно изобразить в трехмерном пространстве. Если плоское сечение взять параллельно плоскости $xy$ , результатом будет изокванта, показывающая различные комбинации использования труда и капитала, которые приведут к уровню выпуска, определяемому высотой плоского сечения. Альтернативно, если плоское сечение производственной функции взято на фиксированном уровне $y$ , то есть параллельно $плоскости xz$ , то результатом будет двумерный график, показывающий, какой объем выпуска может быть произведен при каждом из различных значений. использования $x$ одного входа в сочетании с фиксированным значением другого входа $y$ .

Также в экономике кардинальная или порядковая функция полезности $u (w, v)$ дает степень удовлетворения потребителя, получаемого путем потребления количеств $w$ и $v$ двух товаров. Если плоское сечение функции полезности берется на заданной высоте (уровень полезности), двумерный результат представляет собой кривую безразличия , показывающую различные альтернативные комбинации потребленных количеств $w$ и $v$ двух товаров, каждый из которых дает заданный уровень. полезности.

Площадь и объём

Принцип Кавальери гласит, что твердые тела с соответствующими поперечными сечениями равных площадей имеют равные объемы.

Площадь поперечного сечения ( $A'$ ) объекта, если смотреть под определенным углом, — это общая площадь ортогональной проекции объекта под этим углом. Например, цилиндр высотой h и радиусом r имеет $A'=\pi r^{2}$ если смотреть вдоль его центральной оси, и $A'=2rh$ если смотреть с ортогонального направления. Сфера радиуса r имеет $A'=\pi r^{2}$ если смотреть под любым углом. В более общем смысле, $A'$ можно рассчитать, вычислив следующий поверхностный интеграл:

A'=\iint \limits _{\mathrm {top} }d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} ,

где $\mathbf {\hat {r}}$ - единичный вектор, направленный по направлению просмотра к зрителю, $d\mathbf {A}$ — это элемент поверхности с нормалью, направленной наружу, и интеграл берется только по самой верхней поверхности, той части поверхности, которая «видима» с точки зрения наблюдателя. Для выпуклого тела каждый луч, проходящий через объект с точки зрения зрителя, пересекает всего две поверхности. Для таких объектов интеграл можно брать по всей поверхности ( $A$ ), взяв абсолютное значение подынтегральной функции (так, чтобы «верх» и «низ» объекта не вычитались, как того требует теорема о дивергенции, примененная к постоянному векторному полю $\mathbf {\hat {r}}$ ) и разделив на два:

A'={\frac {1}{2}}\iint \limits _{A}|d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} |

В высших измерениях

По аналогии с сечением твердого тела сечением $n$ -мерного тела в $n$ -мерном пространстве называется непустое пересечение тела с гиперплоскостью ( $(n - 1)$ -мерным подпространством) . Эта концепция иногда использовалась для визуализации аспектов пространств более высоких измерений. ^[7] Например, если бы четырехмерный объект прошел через наше трехмерное пространство, мы бы увидели трехмерное сечение четырехмерного объекта. В частности, 4-шар (гиперсфера), проходящий через 3-пространство, будет выглядеть как 3-шар, который увеличился до максимума, а затем уменьшился в размерах во время перехода. Этот динамический объект (с точки зрения 3-пространства) представляет собой последовательность сечений 4-шара.

Примеры в науке

В геологии структуру внутренней части планеты часто иллюстрируют с помощью диаграммы поперечного сечения планеты, проходящей через центр планеты, как показано на поперечном сечении Земли справа.

Поперечные сечения часто используются в анатомии для иллюстрации внутренней структуры органа, как показано слева.

На поперечном сечении ствола дерева , как показано слева, видны годовые кольца , которые можно использовать для определения возраста дерева и временных свойств окружающей его среды.

См. также

Начертательная геометрия
Чертеж в разобранном виде
Графическая проекция
Планы (чертежи)
Профиль калибра
Обшивка секции ; представление материалов
секущая плоскость

Примечания

^ Своковски 1983 , с. 296
^ говоря более техническим языком, поперечное сечение тройного шара представляет собой двухшаровое сечение.
^ Альберт 2016 , с. 38
^ Своковски 1983 , с. 716
^ Альберт 2016 , с. 117
^ эти цилиндры открыты , в них нет оснований
^ Стюарт 2001 , с. 59

Ссылки

Альберт, Авраам Адриан (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Дувр, ISBN 978-0-486-81026-3
Стюарт, Ян (2001), Флаттерленд / как Флатленд, только в большей степени , Persus Publishing, ISBN 0-7382-0675-Х
Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Приндл, Вебер и Шмидт, ISBN 0-87150-341-7

[1] Своковски 1983 , с. 296

[2] говоря более техническим языком, поперечное сечение тройного шара представляет собой двухшаровое сечение.

[3] Альберт 2016 , с. 38

[4] Своковски 1983 , с. 716

[5] Альберт 2016 , с. 117

[6] эти цилиндры открыты , в них нет оснований

[7] Стюарт 2001 , с. 59

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]