Гиперболический треугольник

В гиперболической геометрии гиперболический треугольник — это треугольник в гиперболической плоскости . Он состоит из трех отрезков, называемых сторонами или ребрами , и трех точек, называемых углами или вершинами .

Как и в евклидовом случае, три точки гиперболического пространства произвольной размерности всегда лежат в одной плоскости. Следовательно, плоские гиперболические треугольники также описывают треугольники, возможные в любом более высоком измерении гиперболических пространств.

Определение

Гиперболический треугольник состоит из трех неколлинеарных точек и трех отрезков между ними. ^[1]

Характеристики

Гиперболические треугольники обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам треугольников в евклидовой геометрии :

В каждом гиперболическом треугольнике есть вписанная окружность , но не в каждом гиперболическом треугольнике есть описанная окружность (см. ниже). Его вершины могут лежать на орицикле или гиперцикле .

Гиперболические треугольники обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам треугольников сферической или эллиптической геометрии :

Два треугольника с одинаковой суммой углов равны по площади.
Существует верхняя граница площади треугольников.
Существует верхняя граница радиуса вписанной окружности .
Два треугольника конгруэнтны тогда и только тогда, когда они соответствуют конечному произведению отражений от линий.
Два треугольника, у которых соответствующие углы равны, равны (т. е. все подобные треугольники равны).

Гиперболические треугольники обладают некоторыми свойствами, противоположными свойствам треугольников сферической или эллиптической геометрии:

Сумма углов треугольника меньше 180°.
Площадь треугольника пропорциональна недостатку суммы его углов от 180°.

Гиперболические треугольники также обладают некоторыми свойствами, которых нет в других геометриях:

Некоторые гиперболические треугольники не имеют описанной окружности , это тот случай, когда хотя бы одна из его вершин является идеальной точкой или когда все его вершины лежат на орицикле или на одностороннем гиперцикле .
Гиперболические треугольники тонкие , существует максимальное расстояние δ от точки на ребре до одного из двух других ребер. Этот принцип породил δ-гиперболическое пространство .

Треугольники с идеальными вершинами

Определение треугольника можно обобщить, разрешив вершины на идеальной границе плоскости, сохраняя при этом стороны внутри плоскости. Если пара сторон предельно параллельна (т.е. расстояние между ними стремится к нулю, поскольку они стремятся к идеальной точке , но не пересекаются), то они заканчиваются в идеальной вершине, представленной в виде точки омеги .

Можно также сказать, что такая пара сторон образует нулевой угол .

Треугольник с нулевым углом невозможен в евклидовой геометрии для прямых сторон, лежащих на различных прямых. Однако такие нулевые углы возможны при касательных окружностях .

Треугольник с одной идеальной вершиной называется омега-треугольником .

Особыми треугольниками с идеальными вершинами являются:

Треугольник параллелизма

Треугольник, в котором одна вершина — идеальная точка, один угол — прямой: третий угол — это угол параллельности длины стороны между прямым и третьим углом.

Треугольник Швейкарта

Треугольник, у которого две вершины — идеальные точки, а оставшийся угол — прямой , один из первых гиперболических треугольников (1818 г.), описанных Фердинандом Карлом Швейкартом .

Идеальный треугольник

Треугольник, все вершины которого являются идеальными точками, идеальный треугольник — это самый большой треугольник в гиперболической геометрии из-за нулевой суммы углов.

Стандартизованная гауссова кривизна

Отношения между углами и сторонами аналогичны отношениям сферической тригонометрии ; Масштаб длины как для сферической геометрии, так и для гиперболической геометрии может быть определен, например, как длина стороны равностороннего треугольника с фиксированными углами.

Шкала длин наиболее удобна, если длины измеряются в единицах абсолютной длины (специальной единицы длины, аналогичной соотношению расстояний в сферической геометрии ). Выбор этой шкалы длины упрощает формулы. ^[2]

В терминах модели полуплоскости Пуанкаре абсолютная длина соответствует бесконечно малой метрике $ds={\frac {|dz|}{\operatorname {Im} (z)}}$ а в диска Пуанкаре модели $ds={\frac {2|dz|}{1-|z|^{2}}}$ .

С точки зрения (постоянной и отрицательной) гауссовой кривизны $K$ гиперболической плоскости единица абсолютной длины соответствует длине

R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}

.

В гиперболическом треугольнике сумма углов А , В , С (соответственно противоположных стороне с соответствующей буквой) строго меньше прямого угла . Разность между мерой прямого угла и суммой мер углов треугольника называется дефектом треугольника . Площадь умноженному гиперболического треугольника равна его дефекту, квадрат R $на$ :

(\pi -A-B-C)R^{2}{}{}\!

.

Эта теорема, впервые доказанная Иоганном Генрихом Ламбертом , ^[3] связано с теоремой Жирара в сферической геометрии.

Тригонометрия

Во всех формулах, приведенных ниже, стороны $a$ , $b$ и $c$ должны быть измерены в абсолютной длине , единице так, чтобы гауссова кривизна $K$ плоскости была равна −1. Другими словами, величина $R$ в предыдущем абзаце предполагается равной 1.

Тригонометрические формулы для гиперболических треугольников зависят от гиперболических функций sinh, cosh и tanh.

Тригонометрия прямоугольных треугольников

Если С — прямой угол, то:

Синус синус угла А — это гиперболический синус стороны, противоположной углу, разделенной гиперболический гипотенузы на .

\sin A={\frac {\textrm {sinh(opposite)}}{\textrm {sinh(hypotenuse)}}}={\frac {\sinh a}{\,\sinh c\,}}.\,

Косинус А угла гиперболический — это гиперболический тангенс прилежащего катета, разделенный на тангенс гипотенузы.

\cos A={\frac {\textrm {tanh(adjacent)}}{\textrm {tanh(hypotenuse)}}}={\frac {\tanh b}{\,\tanh c\,}}.\,

Тангенс А угла гиперболический — это гиперболический тангенс противоположного катета, разделенный на синус соседнего катета.

\tan A={\frac {\textrm {tanh(opposite)}}{\textrm {sinh(adjacent)}}}={\frac {\tanh a}{\,\sinh b\,}}

.

Гиперболический косинус катета, прилежащего к углу А, равен косинусу угла В, делённому на синус угла А.

{\textrm {cosh(adjacent)}}={\frac {\cos B}{\sin A}}

.

Гиперболический косинус гипотенузы является произведением гиперболических косинусов катетов.

{\textrm {cosh(hypotenuse)}}={\textrm {cosh(adjacent)}}{\textrm {cosh(opposite)}}

.

Гиперболический косинус гипотенузы также является произведением косинусов углов, разделенных на произведение их синусов . ^[4]

{\textrm {cosh(hypotenuse)}}={\frac {\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}=\cot A\cot B

Отношения между углами

Также у нас есть следующие уравнения: ^[5]

\cos A=\cosh a\sin B

\sin A={\frac {\cos B}{\cosh b}}

\tan A={\frac {\cot B}{\cosh c}}

\cos B=\cosh b\sin A

\cosh c=\cot A\cot B

Область

Площадь прямоугольного треугольника равна:

{\textrm {Area}}={\frac {\pi }{2}}-\angle A-\angle B

Площадь любого другого треугольника равна:

{\textrm {Area}}={\pi }-\angle A-\angle B-\angle C

также

{\textrm {Area}}=2\arctan(\tanh({\frac {a}{2}})\tanh({\frac {b}{2}}))

^{[ нужна ссылка ]}^[6]

Угол параллельности

Экземпляр омега-треугольника с прямым углом обеспечивает конфигурацию для проверки угла параллельности треугольника.

В этом случае угол B = 0, a = c = $\infty$ и ${\textrm {tanh}}(\infty )=1$ , в результате чего $\cos A={\textrm {tanh(adjacent)}}$ .

Равносторонний треугольник

Формулы тригонометрии прямоугольных треугольников также дают отношения между сторонами s и углами A равностороннего треугольника (треугольника, в котором все стороны имеют одинаковую длину и все углы равны).

Отношения:

\cos A={\frac {{\textrm {tanh}}({\frac {1}{2}}s)}{{\textrm {tanh}}(s)}}

\cosh({\frac {1}{2}}s)={\frac {\cos({\frac {1}{2}}A)}{\sin(A)}}={\frac {1}{2\sin({\frac {1}{2}}A)}}

Общая тригонометрия

Независимо от того, является ли C прямым углом или нет, выполняются следующие соотношения:Гиперболический закон косинусов выглядит следующим образом:

\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C,

Его двойственная теорема :

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c,

Также существует закон синусов :

{\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}},

и формула из четырех частей:

\cos C\cosh a=\sinh a\coth b-\sin C\cot B

которая выводится так же, как и аналогичная формула в сферической тригонометрии .

См. также

Для гиперболической тригонометрии:

Ссылки

^ Стотерс, Уилсон (2000), Гиперболическая геометрия , Университет Глазго , интерактивный учебный веб-сайт.
^ Нидэм, Тристан (1998). Визуальный комплексный анализ . Издательство Оксфордского университета. п. 270. ИСБН 9780198534464 .
^ Рэтклифф, Джон (2006). Основы гиперболических многообразий . Тексты для аспирантов по математике. Том. 149. Спрингер. п. 99. ИСБН 9780387331973 . То, что площадь гиперболического треугольника пропорциональна дефекту его угла, впервые появилось в монографии Ламберта «Теория параллелизма» , опубликованной посмертно в 1786 году.
^ Мартин, Джордж Э. (1998). Основы геометрии и неевклидова плоскость (Исправленное 4-е печатное изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. п. 433 . ISBN 0-387-90694-0 .
^ Smogorzhevski, A.S. Lobachevskian geometry . Moscow 1982: Mir Publishers. p. 63. {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
^ «Площадь прямоугольного гиперболического треугольника как функция длин сторон» . обмена стеками Математика . Проверено 11 октября 2015 г.

Дальнейшее чтение

Светлана Каток (1992) Фуксовы группы , University of Chicago Press ISBN 0-226-42583-5

[1] Стотерс, Уилсон (2000), Гиперболическая геометрия , Университет Глазго , интерактивный учебный веб-сайт.

[2] Нидэм, Тристан (1998). Визуальный комплексный анализ . Издательство Оксфордского университета. п. 270. ИСБН 9780198534464 .

[3] Рэтклифф, Джон (2006). Основы гиперболических многообразий . Тексты для аспирантов по математике. Том. 149. Спрингер. п. 99. ИСБН 9780387331973 . То, что площадь гиперболического треугольника пропорциональна дефекту его угла, впервые появилось в монографии Ламберта «Теория параллелизма» , опубликованной посмертно в 1786 году.

[4] Мартин, Джордж Э. (1998). Основы геометрии и неевклидова плоскость (Исправленное 4-е печатное изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. п. 433 . ISBN 0-387-90694-0 .

[5] Smogorzhevski, A.S. Lobachevskian geometry . Moscow 1982: Mir Publishers. p. 63. {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

[6] «Площадь прямоугольного гиперболического треугольника как функция длин сторон» . обмена стеками Математика . Проверено 11 октября 2015 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]