Земной эллипсоид

Земной эллипсоид или земной сфероид — это математическая фигура, аппроксимирующая форму Земли , используемая в качестве системы отсчета для вычислений в геодезии , астрономии и науках о Земле . различные эллипсоиды В качестве приближений использовались .

Это сфероид (эллипсоид вращения которого ), малая ось (более короткий диаметр), соединяющая географические Северный и Южный полюс , примерно совмещена с осью вращения Земли. Эллипсоид определяется экваториальной осью ( $а$ ) и полярной осью ( $б$ ); их радиальная разность чуть больше 21 км, или 0,335% $а$ (что не совсем 6400 км).

Существует множество методов определения осей земного эллипсоида, от дуг меридианов до современной спутниковой геодезии или анализа и взаимосвязи континентальных геодезических сетей . Среди различных наборов данных, используемых в национальных исследованиях, есть несколько особенно важных: эллипсоид Бесселя 1841 года, международный эллипсоид Хейфорда 1924 года и (для GPS -позиционирования) эллипсоид WGS84 .

Типы

Существует два типа эллипсоида: средний и опорный.

Набор данных, который описывает глобальное среднее значение кривизны поверхности Земли, называется средним земным эллипсоидом . Это относится к теоретической связи между географической широтой и меридиональной кривизной геоида . Последний близок к среднему уровню моря , и поэтому идеальный земной эллипсоид имеет тот же объем , что и геоид.

Хотя средний земной эллипсоид является идеальной основой глобальной геодезии, для региональных так называемый опорный эллипсоид . сетей лучшим выбором может быть ^{[ 1 ]} Когда геодезические измерения необходимо вычислять на математической опорной поверхности, эта поверхность должна иметь такую же кривизну, как и региональный геоид; в противном случае приведение измерений приведет к небольшим искажениям.

В этом причина «долгой жизни» прежних опорных эллипсоидов типа Хейфорда или эллипсоида Бесселя , несмотря на то, что их главные оси отклоняются на несколько сотен метров от современных значений. Другая причина — судебная: координаты миллионов пограничных камней должны оставаться фиксированными в течение длительного периода. Если меняется их опорная поверхность, изменяются и сами координаты.

Однако для международных сетей, GPS- позиционирования или космонавтики эти региональные причины менее актуальны. Поскольку знания о фигуре Земли становятся все более точными, Международный геонаучный союз IUGG обычно адаптирует оси земного эллипсоида в соответствии с лучшими доступными данными.

Справочный эллипсоид

В геодезии эталонный эллипсоид — это математически определенная поверхность, которая аппроксимирует геоид , который является более точной, несовершенной фигурой Земли или другого планетарного тела, в отличие от идеальной, гладкой и неизмененной сферы, которая учитывает волнистость Земли. тел гравитация из-за изменения состава и плотности недр , а также последующее уплощение , вызванное центробежной силой от вращения этих массивных объектов (для планетарных тел, которые вращать). Из-за своей относительной простоты опорные эллипсоиды используются в качестве предпочтительной поверхности, на которой геодезической сети выполняются вычисления координаты точек, такие как широта , долгота и высота и определяются .

В контексте стандартизации и географических приложений геодезический опорный эллипсоид представляет собой математическую модель, используемую в качестве основы для пространственной системы отсчета или определений геодезических данных .

Параметры эллипсоида

В 1687 году Исаак Ньютон опубликовал « Начала» , в которые он включил доказательство того, что вращающееся самогравитирующее жидкое тело в равновесии принимает форму сплющенного («сплюснутого») эллипсоида вращения, образованного эллипсом, вращающимся вокруг своего меньшего диаметра; форму, которую он назвал сплюснутым сфероидом . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

В геофизике, геодезии и смежных областях слово «эллипсоид» понимается как «сплюснутый эллипсоид вращения», а более старый термин «сплюснутый сфероид» практически не используется. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Для тел, которые не могут быть хорошо аппроксимированы эллипсоидом вращения, трехосный используется (или разносторонний) эллипсоид.

Форма эллипсоида вращения определяется параметрами формы этого эллипса . эллипса Большая полуось a $становится$ экваториальным радиусом эллипсоида: малая полуось эллипса $b$ становится расстоянием от центра до любого полюса. Эти две длины полностью определяют форму эллипсоида.

Однако в геодезических публикациях обычно указывают большую полуось (экваториальный радиус) $a$ и сплющивание $f$ , определяемые как:

f={\frac {a-b}{a}}.

То есть $f$ — это степень сплющивания на каждом полюсе относительно радиуса на экваторе. Это часто выражается дробью 1/ $m$ ; $m = 1/ f$ тогда является «обратным сглаживанием». множество других параметров эллипса используется В геодезии , но все они могут быть связаны с одним или двумя наборами $a$ , $b$ и $f$ .

В прошлом для моделирования Земли использовалось очень много эллипсоидов с разными предполагаемыми значениями $a$ и $b$ , а также с разными предполагаемыми положениями центра и различной ориентацией осей относительно твердой Земли. Начиная с конца двадцатого века, улучшенные измерения орбит спутников и положений звезд обеспечили чрезвычайно точные определения центра масс Земли и ее оси вращения; и эти параметры были приняты также для всех современных опорных эллипсоидов.

Эллипсоид WGS-84 , широко используемый для картографирования и спутниковой навигации, имеет $f,$ близкую к 1/300 (точнее, 1/298,257223563 по определению), что соответствует разнице большой и малой полуосей примерно в 21 км (13 миль) (точнее, 21,3846857548205 км). Земли Для сравнения, Луна еще менее эллиптическая, с уплощением менее 1/825, в то время как Юпитер заметно сплюснут примерно на 1/15, а один из Сатурна трехосных спутников , Телесто , сильно сплющен, с $f$ от 1/3 до 1/15. 1/2 (это означает, что полярный диаметр составляет от 50% до 67% экваториального.

Определение

Измерение дуги — это исторический метод определения эллипсоида. Два измерения дуги меридиана позволят получить два параметра, необходимые для определения опорного эллипсоида . Например, если бы измерения гипотетически проводились точно над плоскостью экватора и над любым географическим полюсом, полученные таким образом радиусы кривизны были бы связаны с экваториальным радиусом и полярным радиусом, соответственно a и b (см.: Полярный и экваториальный радиус Земли кривизна ). Тогда сглаживание будет легко следовать из его определения:

f=(a-b)/a

.

Для двух дуговых измерений каждое на произвольных средних широтах $\varphi _{i}$ , $i=1,\,2$ , решение начинается с начального приближения для экваториального радиуса $a_{0}$ и для выравнивания $f_{0}$ . Теоретический меридиональный радиус кривизны Земли $M_{0}(\varphi _{i})$ может быть рассчитана на широте каждого измерения дуги как:

M_{0}(\varphi _{i})={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e_{0}^{2}\sin ^{2}\varphi _{i})^{\frac {3}{2}}}}

где $e_{0}^{2}=2f_{0}-f_{0}^{2}$ . ^{[ 6 ]} Тогда расхождения между эмпирическими и теоретическими значениями радиуса кривизны можно сформировать как $\delta M_{i}=M_{i}-M_{0}(\varphi _{i})$ . Наконец, поправки на начальный экваториальный радиус $\delta a$ и сплющивание $\delta f$ можно решить с помощью системы линейных уравнений сформулированной путем линеаризации , $M$ : ^{[ 7 ]}

\delta M_{i}\approx \delta a(\partial M/\partial a)+\delta f(\partial M/\partial f)

где частные производные: ^{[ 7 ]}

\partial M/\partial a\approx 1

\partial M/\partial f\approx -2a_{0}(1-1.5\sin ^{2}\varphi _{i})

Более длинные дуги с несколькими определениями промежуточных широт могут полностью определить эллипсоид, который лучше всего соответствует исследуемому региону. На практике для определения параметров эллипсоида методом наименьших квадратов используются многократные дуговые измерения . Определяемые параметры обычно представляют собой большую полуось, $a$ , и любая из малых полуосей, $b$ , сплющивание или эксцентриситет.

регионального масштаба Систематические эффекты , наблюдаемые в радиусе измерений кривизны, отражают волнистость геоида и отклонение вертикали , как это было исследовано при астрогеодезическом нивелировании .

Гравиметрия — еще один метод определения уплощения Земли согласно теореме Клеро .

Современная геодезия больше не использует простые дуги меридианов или сети наземной триангуляции, а использует методы спутниковой геодезии , особенно спутниковую гравиметрию .

Геодезические координаты

Геодезические координаты — это тип криволинейной ортогональной системы координат, используемой в геодезии на основе опорного эллипсоида . Они включают геодезическую широту (север/юг) $φ$ , долготу (восток/запад) $λ$ и эллипсоидную высоту $h$ (также известную как геодезическая высота). ^{[ 8 ]}).

Триада также известна как эллипсоидные координаты Земли. ^{[ 9 ]} (не путать с эллипсоидно-гармоническими координатами или эллипсоидными координатами ).

Исторические земные эллипсоиды

Перечисленные ниже модели опорных эллипсоидов пригодились в геодезических работах, и многие из них используются до сих пор. Старые эллипсоиды названы в честь человека, который их создал, и указан год их разработки. В 1887 году английский геодезист полковник Александр Росс Кларк CB FRS RE был награжден Золотой медалью Королевского общества за работу по определению фигуры Земли. Международный эллипсоид был разработан Джоном Филлмором Хейфордом в 1910 году и принят Международным союзом геодезии и геофизики (IUGG) в 1924 году, который рекомендовал его для международного использования.

На заседании IUGG 1967 года, состоявшемся в Люцерне, Швейцария, эллипсоид под названием GRS-67 ( Геодезическая система отсчета 1967 года) был рекомендован к принятию. Новый эллипсоид не рекомендовался для замены Международного эллипсоида (1924 г.), но предлагался для использования там, где требуется более высокая степень точности. Он стал частью ГРС-67, которая была одобрена и принята на заседании IUGG в Москве в 1971 году. Он используется в Австралии для австралийских геодезических данных и в южноамериканских датумах 1969 года.

GRS-80 (Геодезическая справочная система 1980 г.), одобренная и принятая IUGG на встрече в Канберре, Австралия, в 1979 г., основана на экваториальном радиусе (большой полуоси земного эллипсоида). $a$ , общая масса $GM$ , динамический форм-фактор $J_{2}$ и угловая скорость вращения $\omega$ , делая обратное сглаживание $1/f$ производная величина. Разница в минуте $1/f$ наблюдаемое между GRS-80 и WGS-84, является результатом непреднамеренного усечения определяющих констант последнего: хотя WGS-84 был разработан так, чтобы тесно соответствовать GRS-80, случайно полученное из WGS-84 уплощение немного отличалось от Уплощение GRS-80 из-за нормированного гравитационного коэффициента зональной гармоники второй степени, полученного на основе значения GRS-80 для $J_{2}$ , было усечено до восьми значащих цифр в процессе нормализации. ^{[ 10 ]}

Эллипсоидальная модель описывает только геометрию эллипсоида и нормального гравитационного соответствующую ей формулу поля. Обычно эллипсоидная модель является частью более обширной геодезической базы данных . Например, более старый ED-50 ( Европейский датум 1950 года ) основан на Хейфордском или международном эллипсоиде . WGS-84 отличается тем, что одно и то же имя используется как для полной геодезической системы отсчета, так и для ее составной эллипсоидной модели. Тем не менее, две концепции – эллипсоидальная модель и геодезическая система отсчета – остаются разными.

Обратите внимание, что один и тот же эллипсоид может иметь разные названия. Для однозначной идентификации лучше всего упомянуть определяющие константы.

Имя опорного эллипсоида	Экваториальный радиус (м)	Полярный радиус (м)	Обратное сглаживание	Где используется
Мопертюи (1738)	6,397,300	6,363,806.283	191	Франция
Плесси (1817)	6,376,523.0	6,355,862.9333	308.64	Франция
Эверест (1830 г.)	6,377,299.365	6,356,098.359	300.80172554	Индия
Эверест 1830 г. Модифицированный (1967 г.)	6,377,304.063	6,356,103.0390	300.8017	Западная Малайзия и Сингапур
Эверест 1830 г. (определение 1967 г.)	6,377,298.556	6,356,097.550	300.8017	Бруней и Восточная Малайзия
Эйри (1830)	6,377,563.396	6,356,256.909	299.3249646	Британия
Бессель (1841)	6,377,397.155	6,356,078.963	299.1528128	Европа, Япония
Кларк (1866)	6,378,206.4	6,356,583.8	294.9786982	Северная Америка
Кларк (1878)	6,378,190	6,356,456	293.4659980	Северная Америка
Кларк (1880)	6,378,249.145	6,356,514.870	293.465	Франция, Африка
Гельмерт (1906)	6,378,200	6,356,818.17	298.3	Египет
Хейфорд (1910)	6,378,388	6,356,911.946	297	олень
Интернационал (1924)	6,378,388	6,356,911.946	297	Европа
Красовский (1940)	6,378,245	6,356,863.019	298.3	СССР, Россия, Румыния
WGS66 (1966)	6,378,145	6,356,759.769	298.25	США/Министерство обороны
Австралийский национальный (1966)	6,378,160	6,356,774.719	298.25	Австралия
Новый Интернационал (1967)	6,378,157.5	6,356,772.2	298.24961539
ГРС-67 (1967 г.)	6,378,160	6,356,774.516	298.247167427
Южная Америка (1969)	6,378,160	6,356,774.719	298.25	Южная Америка
WGS-72 (1972 г.)	6,378,135	6,356,750.52	298.26	США/Министерство обороны
ГРС-80 (1979 г.)	6,378,137	6,356,752.3141	298.257222101	Глобальная СУМО ^{[ 11 ]}
WGS-84 (1984 г.)	6,378,137	6,356,752.3142	298.257223563	Глобальный GPS
ИРЛАНДСКИЙ (1989)	6,378,136	6,356,751.302	298.257
ИРЛАНДСКИЙ (2003) ^{[ 12 ]}	6,378,136.6	6,356,751.9	298.25642	^{[ 11 ]}

См. также

Ссылки

^ Александр, JC (1985). «Численные вычисления геодезических эллипсоидов». Обзор СИАМ . 27 (2): 241–247. Бибкод : 1985SIAMR..27..241A . дои : 10.1137/1027056 .
^ Хейне, Джордж (сентябрь 2013 г.). «Эйлер и уплощение Земли». Математические горизонты . 21 (1): 25–29. дои : 10.4169/mathhorizons.21.1.25 . S2CID 126412032 .
^ Чой, Чарльз К. (12 апреля 2007 г.). «Странно, но факт: Земля не круглая» . Научный американец . Проверено 4 мая 2021 г.
^ Торге, W (2001) Геодезия (3-е издание), опубликовано де Грютером, ISBN 3-11-017072-8
^ Снайдер, Джон П. (1993). Выравнивание Земли: две тысячи лет картографических проекций . Издательство Чикагского университета. п. 82. ИСБН 0-226-76747-7 .
^ Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции — Рабочее руководство . Профессиональный документ USGS 1395. Вашингтон, округ Колумбия: Государственная типография. п. 17.
^ Перейти обратно: ^а ^б Bomford, G. (1952). Geodesy .
^ Национальная геодезическая служба (США).; Национальная геодезическая служба (США) (1986). Геодезический словарь . Технические публикации NOAA. Министерство торговли США, Национальное управление океанических и атмосферных исследований, Национальная океаническая служба, картографическая и геодезическая службы. п. 107 . Проверено 24 октября 2021 г.
^ Аванж, JL; Графаренд, EW; Паланц, Б.; Залетник, П. (2010). Алгебраическая геодезия и геоинформатика . Шпрингер Берлин Гейдельберг. п. 156. ИСБН 978-3-642-12124-1 . Проверено 24 октября 2021 г.
^ Технический отчет NIMA TR8350.2, «Мировая геодезическая система Министерства обороны 1984 г., ее определение и связь с местными геодезическими системами», третье издание, 4 июля 1997 г. [1]
^ Перейти обратно: ^а ^б Обратите внимание, что текущие лучшие оценки, данные Конвенциями IERS, «не следует путать с традиционными значениями, такими как значения Геодезической базовой системы GRS80... которые, например, используются для выражения географических координат» ( глава 1). ); обратите внимание также, что «решения ITRF задаются декартовыми экваториальными координатами X, Y и Z. При необходимости они могут быть преобразованы в географические координаты (λ, φ, h), относящиеся к эллипсоиду. В этом случае рекомендуется эллипсоид GRS80». ( гл. 4 ).
^ IERS Conventions (2003). Архивировано 19 апреля 2014 г. в Wayback Machine (глава 1, стр. 12).

Библиография

П.К. Зайдельманн (председатель) и др. (2005), «Отчет рабочей группы IAU/IAG по картографическим координатам и элементам вращения: 2003», Небесная механика и динамическая астрономия , 91, стр. 203–215.
- Веб-адрес: https://astrogeology.usgs.gov/Projects/WGCCRE.
Спецификация реализации OpenGIS для географической информации – Простой доступ к функциям – Часть 1: Общая архитектура , Приложение B.4. 2005-11-30
- Веб-адрес: http://www.opengeospatial.org.

Внешние ссылки

[1] Александр, JC (1985). «Численные вычисления геодезических эллипсоидов». Обзор СИАМ . 27 (2): 241–247. Бибкод : 1985SIAMR..27..241A . дои : 10.1137/1027056 .

[2] Хейне, Джордж (сентябрь 2013 г.). «Эйлер и уплощение Земли». Математические горизонты . 21 (1): 25–29. дои : 10.4169/mathhorizons.21.1.25 . S2CID 126412032 .

[3] Чой, Чарльз К. (12 апреля 2007 г.). «Странно, но факт: Земля не круглая» . Научный американец . Проверено 4 мая 2021 г.

[torge-4] Торге, W (2001) Геодезия (3-е издание), опубликовано де Грютером, ISBN 3-11-017072-8

[flattening-5] Снайдер, Джон П. (1993). Выравнивание Земли: две тысячи лет картографических проекций . Издательство Чикагского университета. п. 82. ИСБН 0-226-76747-7 .

[6] Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции — Рабочее руководство . Профессиональный документ USGS 1395. Вашингтон, округ Колумбия: Государственная типография. п. 17.

[Bomford1052-7] Перейти обратно: ^а ^б Bomford, G. (1952). Geodesy .

[Geodetic_coordinates_National_Geodetic_Survey_(U.S.)._National_Geodetic_Survey_(U.S.)_1986_p._107-8] Национальная геодезическая служба (США).; Национальная геодезическая служба (США) (1986). Геодезический словарь . Технические публикации NOAA. Министерство торговли США, Национальное управление океанических и атмосферных исследований, Национальная океаническая служба, картографическая и геодезическая службы. п. 107 . Проверено 24 октября 2021 г.

[Geodetic_coordinates_Awange_Grafarend_Paláncz_Zaletnyik_2010_p._156-9] Аванж, JL; Графаренд, EW; Паланц, Б.; Залетник, П. (2010). Алгебраическая геодезия и геоинформатика . Шпрингер Берлин Гейдельберг. п. 156. ИСБН 978-3-642-12124-1 . Проверено 24 октября 2021 г.

[10] Технический отчет NIMA TR8350.2, «Мировая геодезическая система Министерства обороны 1984 г., ее определение и связь с местными геодезическими системами», третье издание, 4 июля 1997 г. [1]

[IERS-11] Перейти обратно: ^а ^б Обратите внимание, что текущие лучшие оценки, данные Конвенциями IERS, «не следует путать с традиционными значениями, такими как значения Геодезической базовой системы GRS80... которые, например, используются для выражения географических координат» ( глава 1). ); обратите внимание также, что «решения ITRF задаются декартовыми экваториальными координатами X, Y и Z. При необходимости они могут быть преобразованы в географические координаты (λ, φ, h), относящиеся к эллипсоиду. В этом случае рекомендуется эллипсоид GRS80». ( гл. 4 ).

[12] IERS Conventions (2003). Архивировано 19 апреля 2014 г. в Wayback Machine (глава 1, стр. 12).

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]