Последовательность Туэ – Морса
В математике последовательность Туэ -Морса или Пруэ-Туэ-Морса представляет собой двоичную последовательность (бесконечную последовательность нулей и единиц), которую можно получить, начиная с 0 и последовательно добавляя логическое дополнение к полученной к настоящему моменту последовательности. [1] Иногда ее называют последовательностью справедливого распределения из-за ее применения к последовательности справедливого деления или последовательности паритета . Первые несколько шагов этой процедуры дают строки 0, 01, 0110, 01101001, 0110100110010110 и т. д., которые являются префиксами последовательности Туэ–Морса. Полная последовательность начинается:
- 01101001100101101001011001101001.... [1]
Эпизод назван в честь Акселя Туэ и Марстона Морса .
Определение
[ редактировать ]Существует несколько эквивалентных способов определения последовательности Туэ – Морса.
Прямое определение
[ редактировать ]Чтобы вычислить n -й элемент t n , запишите число n в двоичном формате . Если число единиц в этом двоичном разложении нечетное, то t n = 1, если четное, то t n = 0. [2] То есть t n — это бит четности для n . Джон Х. Конвей и др . считал числа n, удовлетворяющие t n = 1, одиозными ( похожими на нечетные ) числами, а числа, для которых t n = 0, злыми (похожими на четные ) числами.
Быстрая генерация последовательности
[ редактировать ]Этот метод приводит к быстрому методу вычисления последовательности Туэ-Морса: начните с t 0 = 0 , а затем для каждого n найдите бит старшего порядка в двоичном представлении n , который отличается от того же бита в представление n - 1 . Если этот бит имеет четный индекс, t n отличается от t n − 1 , в противном случае он совпадает с t n − 1 .
В Питоне :
def generate_sequence(seq_length: int):
"""Thue–Morse sequence."""
value = 1
for n in range(seq_length):
# Note: assumes that (-1).bit_length() gives 1
x = (n ^ (n - 1)).bit_length() + 1
if x & 1 == 0:
# Bit index is even, so toggle value
value = 1 - value
yield value
Полученный алгоритм требует постоянного времени для генерации каждого элемента последовательности, используя только логарифмическое количество битов (постоянное количество слов) памяти. [3]
Рекуррентное отношение
[ редактировать ]Последовательность Туэ–Морса — это последовательность t n, удовлетворяющая рекуррентному соотношению
для всех неотрицательных целых чисел n . [2]
L-система
[ редактировать ]Последовательность Туэ-Морса представляет собой морфическое слово : [4] это результат следующей системы Линденмайера :
Переменные | 0, 1 |
---|---|
Константы | Никто |
Начинать | 0 |
Правила | (0 → 01), (1 → 10) |
Характеризация с использованием побитового отрицания
[ редактировать ]Последовательность Туэ–Морса в приведенной выше форме, как последовательность битов , может быть определена рекурсивно с помощью операции побитового отрицания . Итак, первый элемент равен 0. Затем, как только первые 2 н были указаны элементы, образующие строку s , затем следующие 2 н элементы должны образовывать побитовое отрицание s . Теперь мы определили первые 2 п +1 элементы, и мы рекурсируем.
Подробное описание первых шагов:
- Начинаем с 0.
- Побитовое отрицание 0 равно 1.
- Объединив их, первые два элемента равны 01.
- Побитовое отрицание 01 равно 10.
- Объединив их, первые 4 элемента равны 0110.
- Поразрядное отрицание 0110 равно 1001.
- Объединив их, первые 8 элементов составят 01101001.
- И так далее.
Так
- Т0 = 0 .
- Т 1 = 01.
- Т 2 = 0110.
- Т3 = 01101001 .
- Т 4 = 0110100110010110.
- Т 5 = 01101001100101101001011001101001.
- Т 6 = 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110.
- И так далее.
Бесконечный продукт
[ редактировать ]Последовательность также может быть определена следующим образом:
где t j — j -й элемент, если мы начинаем с j = 0.
Характеристики
[ редактировать ]Последовательность Туэ-Морса содержит много квадратов : экземпляры строки. , где обозначает строку , , , или , где для некоторых и это побитовое отрицание . [5] Например, если , затем . Площадь появляется в начиная с 16-го бита. Поскольку все квадраты в получаются повторением одной из этих 4 строк, все они имеют длину или для некоторых . не содержит кубов : экземпляры . Также нет перекрывающихся квадратов : экземпляры или . [6] [7] Критический показатель это 2. [8]
Последовательность Туэ-Морса представляет собой равномерно рекуррентное слово : для любой конечной строки X в последовательности существует некоторая длина n X (часто намного больше, чем длина X ), такая что X появляется в каждом блоке длины n X . [9] [10] Примечательно, что последовательность Туэ-Морса равномерно рекуррентна, не будучи ни периодической , ни в конечном итоге периодической (т. е. периодической после некоторого начального непериодического сегмента). [11]
Последовательность T 2 n является палиндромом для любого n . Кроме того, пусть q n — слово, полученное путем подсчета единиц между последовательными нулями в T 2 n . Например, q 1 = 2 и q 2 = 2102012. Поскольку T n не содержит перекрывающихся квадратов , слова q n являются палиндромными словами без квадратов .
Морфизм Туэ–Морса . µ определяется в алфавите {0,1} с помощью карты подстановки µ (0) = 01, µ (1) = 10: каждый 0 в последовательности заменяется на 01, а каждая 1 – на 10 [12] Если T последовательность Туэ–Морса, то µ ( T ) также является T. — образом, T является неподвижной точкой µ Таким . Морфизм µ является продолжаемым морфизмом на свободном моноиде {0,1} ∗ с T в качестве фиксированной точки: T по существу является единственной фиксированной точкой µ ; единственная другая фиксированная точка - это побитовое отрицание T , которое представляет собой просто последовательность Туэ – Морса для (1,0) вместо (0,1). Это свойство можно обобщить до понятия автоматической последовательности .
Производящий ряд T над бинарным полем представляет собой формальный степенной ряд
Этот степенной ряд является алгебраическим над полем рациональных функций и удовлетворяет уравнению [13]
В комбинаторной теории игр
[ редактировать ]Набор злых чисел (цифр с ) образует подпространство неотрицательных целых чисел при добавлении nim ( побитовое исключающее или ). В игре Кейлса злые ним-значения встречаются для нескольких (конечно многих) позиций в игре, при этом все оставшиеся позиции имеют одиозные ним-значения.
Задача Пруэ–Тэрри–Эскотта.
[ редактировать ]Задачу Пруэ-Тэрри-Эскотта можно определить следующим образом: учитывая целое положительное число N и целое неотрицательное число k , разбейте множество S = {0, 1, ..., N -1} на два непересекающихся подмножества S 0 и S 1 , которые имеют равные суммы степеней до k, то есть:
- для всех целых чисел i от 1 до k .
Это имеет решение, если N кратно 2. к +1 , заданный:
- S 0 состоит из целых чисел n из S, для которых t n = 0,
- S 1 состоит из целых чисел n из S, для которых t n = 1.
Например, для N = 8 и k = 2,
- 0 + 3 + 5 + 6 = 1 + 2 + 4 + 7,
- 0 2 + 3 2 + 5 2 + 6 2 = 1 2 + 2 2 + 4 2 + 7 2 .
Условие, требующее, чтобы N было кратно 2 к +1 не является строго необходимым: есть еще несколько случаев, для которых существует решение. Однако оно гарантирует более сильное свойство: если условие выполнено, то множество k -х степеней любого набора из N чисел в арифметической прогрессии можно разбить на два множества с равными суммами. Это следует непосредственно из расширения, данного биномиальной теоремой, примененной к биному, представляющему n- й элемент арифметической прогрессии.
Обобщения последовательности Туэ-Морса и проблемы Пруэ-Тэрри-Эскотта для разделения на более чем две части см. в книге Болкера, Оффнера, Ричмана и Зары, «Проблема Пруэ-Тэрри-Эскотта и обобщенные последовательности Туэ-Морса». [14]
Фракталы и черепаховая графика
[ редактировать ]Используя графику черепахи , можно сгенерировать кривую, если автомат запрограммирован с последовательностью. Когда члены последовательности Туэ-Морса используются для выбора состояний программы:
- Если t ( n ) = 0, двигаться вперед на одну единицу,
- Если t ( n ) = 1, поверните на угол π/3 радиан (60°).
Полученная кривая сходится к кривой Коха , фрактальной кривой бесконечной длины, содержащей конечную площадь. Это иллюстрирует фрактальную природу последовательности Туэ – Морса. [15]
Также можно точно нарисовать кривую, используя следующие инструкции: [16]
- Если t ( n ) = 0, поверните на угол π радиан (180°),
- Если t ( n ) = 1, переместимся вперед на одну единицу, а затем повернём на угол π/3 радиан.
Справедливая последовательность
[ редактировать ]В своей книге о проблеме справедливого дележа использовали последовательность Туэ-Морса , Стивен Брэмс и Алан Тейлор но не определили ее как таковую. При распределении спорной стопки предметов между двумя сторонами, которые пришли к согласию относительно относительной ценности предметов, Брэмс и Тейлор предложили метод, который они назвали сбалансированным чередованием , или по очереди, по очереди, по очереди. . . , как способ обойти фаворитизм, присущий тому, когда одна сторона делает выбор раньше другой. Пример показал, как разводящаяся пара может достичь справедливого соглашения о разделе имущества, находящегося в совместном владении. Стороны по очереди будут первыми выбирать на разных этапах процесса выбора: Энн выбирает один предмет, затем Бен, затем Бен выбирает один предмет, затем Энн. [17]
Лайонел Левин и Кэтрин Э. Стэндж в обсуждении того, как справедливо распределить совместную трапезу, например эфиопский ужин , предложили последовательность Туэ-Морса как способ уменьшить преимущество движения первым. Они предположили, что «было бы интересно количественно оценить интуицию, согласно которой порядок Туэ-Морса имеет тенденцию давать справедливый результат». [18]
Роберт Ричман обратился к этой проблеме, но он тоже не определил последовательность Туэ-Морса как таковую на момент публикации. [19] Он представил последовательности T n как ступенчатые функции на интервале [0,1] и описал их связь с функциями Уолша и Радемахера . Он показал, что n- я производная может быть выражена через T n . Как следствие, ступенчатая функция, возникающая из T n, полиномам ортогональна порядка наиболее справедливо распределяется с использованием n − монотонно 1. Следствием этого результата является то, что ресурс, значение которого выражается как убывающая непрерывная функция, последовательности, сходящейся к Туэ-Морса, когда функция становится более плоской . На примере было показано, как наливать чашки кофе из графина одинаковой крепости с нелинейным концентрации градиентом , что послужило поводом для создания причудливой статьи в популярной прессе. [20]
Джошуа Купер и Аарон Дутл показали, почему порядок Туэ-Морса обеспечивает справедливый результат для дискретных событий. [21] Справедливее всего они посчитали устроить дуэль Галуа , в которой каждый из стрелков одинаково плохо владеет стрелковыми навыками. другого Купер и Дутл постулировали, что каждый дуэлянт потребует возможности выстрелить, как только априорная вероятность победы превысит его собственную. Они доказали, что, когда вероятность попадания дуэлянтов приближается к нулю, последовательность стрельбы сходится к последовательности Туэ – Морса. При этом они продемонстрировали, что порядок Туэ–Морса дает справедливый результат не только для последовательностей T n длины 2. н , но для последовательностей любой длины.
Таким образом, математика поддерживает использование последовательности Туэ-Морса вместо чередующихся ходов, когда целью является справедливость, но более ранние ходы монотонно отличаются от более поздних по некоторому значимому качеству, независимо от того, меняется ли это качество непрерывно. [19] или дискретно. [21]
Спортивные соревнования составляют важный класс задач справедливой последовательности, поскольку строгое чередование часто дает несправедливое преимущество одной команде. Игнасио Паласиос-Уэрта предложил изменить последовательный порядок на Туэ-Морса, чтобы улучшить ex post справедливость различных турнирных соревнований, таких как последовательность ударов ногами в серии пенальти в футболе. [22] Он провел серию полевых экспериментов с профессиональными игроками и обнаружил, что команда, начавшая удар первой, выиграла 60% игр, используя ABAB (или T1 ), и ), 54%, используя ABBA (или T2 . 51%, используя полную версию Туэ-Морса (или T2) Т н ). В результате ABBA проходит обширные испытания в ФИФА (чемпионаты Европы и мира) и английской федерации профессионального футбола ( Кубок EFL ). [23] Было также обнаружено, что схема подачи ABBA повышает справедливость теннисных тай-брейков . [24] В соревновательной гребле Т 2 — единственное расположение членов экипажа , гребущих по левому и правому борту , которое устраняет поперечные силы (и, следовательно, боковое покачивание) на четырехчленной гоночной лодке без рулевого, тогда как Т 3 — одна из четырех оснасток, позволяющая избежать покачивания. на восьмиместной лодке. [25]
Справедливость особенно важна при драфте игроков . Многие профессиональные спортивные лиги пытаются достичь конкурентного паритета , предоставляя более ранние выборы в каждом раунде более слабым командам. Напротив, лигам фэнтези-футбола не нужно исправлять уже существующий дисбаланс, поэтому они часто используют «змеиный» драфт (вперед, назад и т. д.; или Т 1 ). [26] Ян Аллан утверждал, что «разворот в третьем раунде» (вперед, назад, назад, вперед и т. д.; или Т 2 ) был бы еще более справедливым. [27] Ричман предположил, что самый справедливый способ для «капитана А» и «капитана Б» выбирать стороны в баскетбольной игре отражает Т 3 : у капитана А есть первый, четвертый, шестой и седьмой варианты выбора, а у капитана Б — второй, третий, пятый и восьмой варианты. [19]
Хэш-коллизии
[ редактировать ]Начальный 2 к биты последовательности Туэ-Морса отображаются в 0 с помощью широкого класса полиномиальных хэш-функций по модулю степени двойки , что может привести к хеш-коллизиям . [28]
Дзета-функция Римана
[ редактировать ]Определенные линейные комбинации рядов Дирихле, коэффициенты которых являются членами последовательности Туэ – Морса, приводят к тождествам, включающим дзета-функцию Римана (Tóth, 2022). [29] ). Например:
где это член последовательности Туэ-Морса. Фактически для всех с действительной частью больше, чем , у нас есть
История
[ редактировать ]Последовательность Туэ-Морса была впервые изучена Эженом Пруэ в 1851 году. [30] который применил это к теории чисел . Однако Пруэ не упомянул эту последовательность явно; это было оставлено Акселю Туэ в 1906 году, который использовал его для изучения комбинаторики слов . Последовательность привлекла внимание всего мира только благодаря работе Марстона Морса в 1921 году, когда он применил ее к дифференциальной геометрии . Последовательность открывалась независимо много раз, не всегда профессиональными математиками-исследователями; например, Макс Эйве , гроссмейстер по шахматам и учитель математики , открыл его в 1929 году в приложении к шахматам : используя его свойство бескубности (см. выше), он показал, как обойти правило тройного повторения , направленное на предотвращение бесконечно затяжных игр. объявив повторение ходов ничьей. В то время для срабатывания правила требовались последовательные идентичные состояния доски; Позже в правило были внесены поправки, согласно которым одна и та же позиция на доске повторяется три раза в любой момент, поскольку последовательность показывает, что последовательный критерий можно обходить навсегда.
См. также
[ редактировать ]- Теория Дежана
- Функция Фабиуса
- Первое отличие последовательности Туэ – Морса
- Код Грея [31] [32]
- Константа судебного пристава-Лорети
- Константа Пруэ–Тюэ–Морса
Примечания
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A010060 (последовательность Туэ-Морса)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Перейти обратно: а б Аллуш и Шалит (2003 , стр. 15)
- ^ Арндт (2011) .
- ^ Лотарь (2011 , стр. 11)
- ^ Брлек (1989) .
- ^ Лотарь (2011 , стр. 113)
- ^ Пифей Фогг (2002 , стр. 103)
- ^ Кригер (2006) .
- ^ Лотарь (2011 , стр. 30)
- ^ Берте и Риго (2010) .
- ^ Лотарь (2011 , стр. 31)
- ^ Берстель и др. (2009 , стр. 70)
- ^ Берстель и др. (2009 , стр. 80)
- ^ Болкер и др. (2016) .
- ^ Ма и Холденер (2005) .
- ^ Абель, Закари (23 января 2012 г.). «Навигационные черепахи Туэ-Морса» . Треугольные вещи .
- ^ Брэмс и Тейлор (1999) .
- ^ Левин и Штанге (2012) .
- ^ Перейти обратно: а б с Ричман (2001)
- ^ Абрахамс (2010) .
- ^ Перейти обратно: а б Купер и Дутл (2013)
- ^ Паласиос-Уэрта (2012) .
- ^ Паласиос-Уэрта (2014) .
- ^ Коэн-Зада, Крумер и Шапир (2018) .
- ^ Барроу (2010) .
- ^ «Типы фэнтезийных проектов» . НФЛ.com . Архивировано из оригинала 12 октября 2018 года.
- ^ Аллан, Ян (16 июля 2014 г.). «Отмененные драфты третьего раунда» . Индекс фэнтези . Проверено 1 сентября 2020 г.
- ^ Пачоцкий, Якуб; Радошевский, Якуб (2013). «Где использовать и как не использовать полиномиальное хеширование строк» (PDF) . Олимпиады по информатике . 7 : 90–100.
- ^ Тот, Ласло (2022). «Линейные комбинации рядов Дирихле, связанных с последовательностью Туэ-Морса». Целые числа . 22 (статья 98). arXiv : 2211.13570 .
- ^ Вездесущий эпизод Пруэ-Тюэ-Морса Жана-Поля Аллюша и Джеффри Шаллита
- ^ Фредриксен, Гарольд (1992). «Коды Грея и последовательность Туэ-Морса-Хедлунда». Журнал комбинаторной математики и комбинаторных вычислений (JCMCC) . 11 . Аспирантура ВМФ, математический факультет, Монтерей, Калифорния, США: 3–11.
- ^ Эриксон, Джон (30 октября 2018 г.). «Об асимптотическом относительном изменении последовательностей перестановок» . Проверено 31 января 2021 г. [1]
Ссылки
[ редактировать ]- Абрахамс, Марк (12 июля 2010 г.). «Как налить идеальную чашку кофе» . Хранитель .
- Арндт, Йорг (2011). «1.16.4 Последовательность Туэ – Морса» (PDF) . Вопросы вычислений: идеи, алгоритмы, исходный код . Спрингер. п. 44.
- Аллуш, Жан-Поль; Шалит, Джеффри (2003). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-82332-6 . Збл 1086.11015 .
- Барроу, Джон Д. (2010). «Гребля и задача об одной сумме имеют свои моменты». Американский журнал физики . 78 (7): 728–732. arXiv : 0911.3551 . Бибкод : 2010AmJPh..78..728B . дои : 10.1119/1.3318808 . S2CID 119207447 .
- Берстель, Жан; Лауве, Аарон; Ройтенауэр, Кристоф; Салиола, Франко В. (2009). Комбинаторика слов. Слова Кристоффеля и повторы в словах . Серия монографий по CRM. Том. 27. Провиденс, Род-Айленд, США: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4480-9 . Коллекция 1161.68043 .
- Берта, Валери ; Риго, Мишель, ред. (2010). Комбинаторика, автоматы и теория чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 135. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 7. ISBN 978-0-521-51597-9 . Збл 1197.68006 .
- Болкер, Итан; Оффнер, Карл; Ричман, Роберт; Зара, Каталин (2016). «Проблема Пруэ – Тэрри – Эскотта и обобщенные последовательности Туэ – Морса». Журнал комбинаторики . 7 (1): 117–133. arXiv : 1304.6756 . дои : 10.4310/JOC.2016.v7.n1.a5 . S2CID 118040795 . }
- Брамс, Стивен Дж.; Тейлор, Алан Д. (1999). Беспроигрышное решение: гарантия справедливого распределения акций для всех . WW Norton & Co., Inc., стр. 36–44 . ISBN 978-0-393-04729-5 .
- Брлек, Сречко (1989). «Перечень факторов в слове Туэ-Морса». Дискретная прикладная математика . 24 (1–3): 83–96. дои : 10.1016/0166-218x(92)90274-e .
- Коэн-Зада, Дэнни; Крумер, Алекс; Шапир, Предложение Моше (2018). «Тестирование эффекта порядка подачи на тай-брейке в теннисе» . Журнал экономического поведения и организации . 146 : 106–115. дои : 10.1016/j.jebo.2017.12.012 . S2CID 89610106 .
- Купер, Джошуа; Дутл, Аарон (2013). «Жадные игры Галуа» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 120 (5): 441–451. arXiv : 1110.1137 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.05.441 . S2CID 1291901 .
- Кригер, Далия (2006). «О критических показателях в неподвижных точках нестирающихся морфизмов». В Ибарре, Оскар Х.; Данг, Чжэ (ред.). Развитие теории языка: материалы 10-й международной конференции, DLT 2006, Санта-Барбара, Калифорния, США, 26–29 июня 2006 г. Конспекты лекций по информатике. Том. 4036. Шпрингер-Верлаг . стр. 280–291. ISBN 978-3-540-35428-4 . Збл 1227.68074 .
- Левин, Лайонел; Штанге, Кэтрин Э. (2012). «Как получить максимальную пользу от совместной трапезы: сначала спланируйте последний кусочек» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 119 (7): 550–565. arXiv : 1104.0961 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.119.07.550 . S2CID 14537479 .
- Лотер, М. (2011). Алгебраическая комбинаторика на словах . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 90. С предисловием Жана Берстеля и Доминика Перрена (перепечатка издания 2002 г. в твердом переплете). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-18071-9 . Артикул 1221.68183 .
- Ма, Джун; Холденер, Джуди (2005). «Когда Туэ-Морс встречает Коха» (PDF) . Фракталы . 13 (3): 191–206. дои : 10.1142/S0218348X05002908 . МР 2166279 .
- Паласиос-Уэрта, Игнасио (2012). «Турниры, справедливость и последовательность Пруэ – Туэ – Морса» (PDF) . Экономическое расследование . 50 (3): 848–849. дои : 10.1111/j.1465-7295.2011.00435.x . S2CID 54036493 .
- Паласиос-Уэрта, Игнасио (2014). Красивая теория игр . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0691144023 .
- Пифей Фогг, Н. (2002). Берта, Валери; Ференци, Себастьен; Модуит, Кристиан; Сигел, А. (ред.). Замены в динамике, арифметике и комбинаторике . Конспект лекций по математике. Том. 1794. Берлин, Германия: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44141-0 . Збл 1014.11015 .
- Ричман, Роберт (2001). «Рекурсивные двоичные последовательности разностей» (PDF) . Сложные системы . 13 (4): 381–392.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Бюжо, Янн (2012). Распределение по модулю единицы и диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике. Том. 193. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-11169-0 . Збл 1260.11001 .
- Лотер, М. (2005). Прикладная комбинаторика к словам . Энциклопедия математики и ее приложений. Полет. 105. Коллективная работа Жана Берстеля, Доминика Перрена, Максима Крошмора, Эрика Лапорта, Мехрияра Мори, Нади Пизанти, Мари-Франс Саго, Жезины Рейнерт , Софи Шбат , Михаэля Уотермана, Филиппа Жаке, Войцеха Шпанковского , Доминика Пулалона, Жиля Шеффера, Роман Колпаков, Григорий Кучеров, Жан-Поль Аллуш и Валери Берте. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-84802-2 . Збл 1133.68067 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- «Последовательность Туэ-Морса» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность Туэ-Морса» . Математический мир .
- Аллуш, Ж.-П.; Шалит, Дж. О. Вездесущая последовательность Пруэ-Тюэ-Морса . (содержит множество приложений и некоторую историю)
- Последовательность Туэ – Морса над (1,2) (последовательность A001285 в OEIS )
- Последовательность OEIS A000069 (одиозные числа: числа с нечетным числом единиц в двоичном представлении)
- Последовательность OEIS A001969 (Злые числа: числа с четным числом единиц в двоичном представлении)
- Уменьшение влияния дрейфа смещения постоянного тока в аналоговых IP с помощью последовательности Туэ-Морса . Техническое применение последовательности Туэ – Морса.
- MusiNum — Музыка в цифрах . Бесплатное программное обеспечение для создания самоподобной музыки на основе последовательности Туэ – Морса и связанных с ней числовых последовательностей.
- Паркер, Мэтт . «Самая справедливая сцена обмена» (видео) . стендапматематика . Проверено 20 января 2016 г.