Анализ стресса -деформации

Анализ стресса -деформации (или анализ стресса ) - это инженерная дисциплина, которая использует множество методов для определения напряжений и штаммов в материалах и структурах, подвергшихся силам . В механике континуума напряжение - это физическая величина , которая выражает внутренние силы , которые соседние частицы оказывают непрерывного материала друг на друга, в то время как деформация является мерой деформации материала.

Проще говоря, мы можем определить стресс как силу сопротивления на единицу площади, предлагаемой организмом против деформации. Стресс-это соотношение силы по площади (s = r/a, где S является напряжением, r-внутренняя сила сопротивления, а A-площадь поперечного сечения). Деформация - это отношение изменения длины к исходной длине, когда данное тело подвергается какой -то внешней силе (деформация = изменение длины ÷ исходная длина).

Анализ стресса является основной задачей для гражданских , механических и аэрокосмических инженеров, участвующих в конструкции конструкций всех размеров, таких как туннели , мосты и плотины , самолеты и ракетные тела, механические детали, даже пластиковые столовые приборы и скобы . Анализ стресса также используется при поддержании таких структур и для изучения причин структурных сбоев.

Как правило, отправной точкой для анализа стресса является геометрическое описание структуры, свойства материалов, используемых для его деталей, как соединяются детали, и максимальные или типичные силы, которые, как ожидается, будут применены к структуре. Выходные данные, как правило, являются количественным описанием того, как приложенные силы распространяются по всей структуре, что приводит к напряжениям, штаммах и отклонению всей структуры и каждому компоненту этой структуры. Анализ может учитывать силы, которые варьируются со временем, такие как вибрации двигателя или груз движущихся транспортных средств. В этом случае напряжения и деформации также будут функциями времени и пространства.

В инженерии анализ стресса часто является инструментом, а не целью само по себе; Конечной целью является дизайн структур и артефактов, которые могут противостоять указанной нагрузке, используя минимальное количество материала или удовлетворяет какой -либо другой критерии оптимальности.

Анализ стресса может быть выполнен с помощью классических математических методов, аналитического математического моделирования или вычислительного моделирования, экспериментального тестирования или комбинации методов.

Термин анализ стресса используется в этой статье ради краткости, но следует понимать, что штаммы, а отклонений структур имеют одинаковое значение, и на самом деле анализ структуры может начаться с расчета отклонений или штаммов и заканчиваться расчетом напряжений.

Объем

Общие принципы

Анализ стресса специально связан с твердыми объектами. Изучение стрессов в жидкостях и газах является предметом механики жидкости .

Анализ стресса принимает макроскопический вид материалов, характерных для механики континуума , а именно, что все свойства материалов однородны в достаточно малых масштабах. Таким образом, даже самая маленькая частица, рассматриваемая в анализе стресса, все еще содержит огромное количество атомов, а ее свойства - это средние значения свойств этих атомов.

В анализе стресса обычно игнорирует физические причины сил или точный характер материалов. Вместо этого можно предположить, что напряжения связаны с напряжением материала с помощью известных конститутивных уравнений .

По законам движения Ньютона любые внешние силы, которые действуют в систему, должны быть сбалансированы внутренними силами реакции, ^{[ 1 ]} или привести к ускорению частиц в пораженной части. В твердом объекте все частицы должны существенно перемещаться в концерте, чтобы поддерживать общую форму объекта. Отсюда следует, что любая сила, применяемая к одной части твердого объекта, должна вызывать внутренние силы реакции, которые распространяются от частицы к частицам в течение длительной части системы. За очень редкими исключениями (такими как ферромагнитные материалы или планеты), внутренние силы связаны с очень короткометражными межмолекулярными взаимодействиями и, следовательно, проявляются как поверхностные контактные силы между соседними частицами, то есть как напряжение. ^{[ 2 ]}

Фундаментальная проблема

Основная проблема в анализе стресса заключается в определении распределения внутренних напряжений по всей системе, учитывая внешние силы, которые действуют на нее. В принципе, это означает определение, неявно или явно, стресс -тензор Cauchy в каждой точке. ^{[ 3 ]}

Внешние силы могут быть силами тела (такими как гравитация или магнитное притяжение), которые действуют на протяжении всего объема материала; ^{[ 4 ]} или концентрированные нагрузки (такие как трение между осью и подшипником или вес поезда на рельсе), которые предполагают, что они действуют по двумерной области, или вдоль линии, или в одной точке. Та же самая чистая внешняя сила окажет другое влияние на локальное напряжение в зависимости от того, сосредоточена ли оно или распространяется.

Типы структур

В приложениях для гражданского строительства один, как правило, рассматривает структуры, которые находятся в статическом равновесии : то есть, либо неизменные со временем, либо меняются достаточно медленно, чтобы вязкие напряжения были неважными (квазистатическими). Однако в механической и аэрокосмической инженерии часто должен проводиться анализ напряжений на частях, которые далеко от равновесия, такие как вибрирующие пластины или быстро вращающиеся колеса и оси. В этих случаях уравнения движения должны включать термины, учитывающие ускорение частиц. В применении конструктивного проектирования обычно пытается гарантировать, что напряжения повсюду значительно ниже прочности урожая материала. В случае динамических нагрузок усталость материала также необходимо учитывать . Тем не менее, эти проблемы заключаются вне объема самого анализа стресса, охватываемой материаловедением под названием « Сила материалов» , «Анализ усталости» , коррозию стресса, моделирование ползучести и другие.

Экспериментальные методы

Анализ стресса может быть выполнен экспериментально путем применения сил к испытательному элементу или структуре, а затем определяя результирующее напряжение с использованием датчиков . В этом случае процесс будет более должным образом известен как тестирование ( разрушительное или неразрушающее ). Экспериментальные методы могут использоваться в тех случаях, когда математические подходы являются громоздкими или неточными. Специальное оборудование, подходящее для экспериментального метода, используется для применения статической или динамической нагрузки.

Есть ряд экспериментальных методов, которые можно использовать:

Тестирование на растяжение является фундаментальным тестом на материалому науку, в котором образец подвергается одноосному напряжению до отказа. Результаты теста обычно используются для выбора материала для применения, для контроля качества или для прогнозирования того, как материал будет реагировать при других типах сил. Свойства, которые непосредственно измеряются с помощью испытания на растяжение, являются конечной прочностью на растяжение , максимальное удлинение и снижение площади поперечного сечения . Из этих измерений могут быть определены свойства, такие как модуль Янга , соотношение Пуассона , прочность урожая и характеристики хранения деформации образца.
Действительные датчики могут быть использованы для экспериментального определения деформации физической части. Обычно используемый тип датчика деформации представляет собой тонкий плоский резистор , который прикреплен к поверхности детали и который измеряет деформацию в заданном направлении. Из измерения деформации на поверхности в трех направлениях напряженное состояние, которое развилось в детали, может быть рассчитано.
Нейтронная дифракция - это метод, который можно использовать для определения подповерхностного штамма в части.

Фотоэластичный метод основан на том факте, что некоторые материалы демонстрируют двуметроплика на применение напряжения, а величина показателей преломления в каждой точке материала напрямую связана с состоянием напряжения в этой точке. Напряжения в структуре можно определить, сделав модель структуры из такого фотоластичного материала.
Динамический механический анализ (DMA) - это метод, используемый для изучения и характеристики вязкоупругих материалов, особенно полимеров. Внутреннее свойство полимера изучается с помощью динамического механического анализа, когда к материалу применяется синусоидальная сила (напряжение) и измеряется результирующее смещение (штамм). Для идеально эластичного твердого вещества результирующие штаммы и напряжения будут идеально в фазе. Для чисто вязкой жидкости будет сохранение фазового задержки деформации на 90 градусов относительно напряжения. Вязкоупругие полимеры имеют характеристики между тем, где некоторое фазовое задержек будет происходить во время испытаний DMA.

Математические методы

В то время как экспериментальные методы широко используются, большинство стрессовых анализов проводится математическими методами, особенно во время дизайна.

Дифференциальная формулировка

Основная проблема анализа стресса может быть сформулирована уравнениями движения Эйлера для непрерывных тел (которые являются последствиями законов Ньютона для сохранения линейного импульса и углового импульса ) и принципа стресса Эйлера-Каучи вместе с соответствующими конститутивными уравнениями.

Эти законы дают систему дифференциальных уравнений с частичными , которые связывают тензорное поле напряжения с полем тензора деформации, как неизвестные функции, которые должны быть определены. Решение для любого тогда позволяет одному решать для другого через другой набор уравнений, называемых конститутивными уравнениями. Поля как стресс, так и тензорные поля напряжения обычно непрерывны в каждой части системы, и эта часть может рассматриваться как непрерывная среда с плавно изменяющимися конститутивными уравнениями.

Внешние силы тела будут выглядеть как независимый («правая сторона») термин в дифференциальных уравнениях, в то время как концентрированные силы появляются как граничные условия. Внешняя (приложенная) поверхностная сила, такая как давление окружающей среды или трение, может быть включена в качестве наложенного значения тензора напряжения по всей поверхности. Внешние силы, которые определяются как линейные нагрузки (такие как тяга) или точечные нагрузки (такие как вес человека, стоящего на крыше), вводя в поле стресса и могут быть введены, предполагая, что они распространяются на небольшой объем или площадь поверхности. Следовательно, основная проблема анализа стресса является проблемой пограничной стоимости .

Упругие и линейные случаи

Говорят, что система является упругой , если какие -либо деформации, вызванные прикладными силами, будут спонтанно и полностью исчезнут после удаления прикладных сил. Расчет стрессов (анализ стресса), которые развиваются в таких системах, основан на теории эластичности и бесконечно малой теории деформации . Когда приложенные нагрузки вызывают постоянную деформацию, необходимо использовать более сложные конститутивные уравнения, которые могут объяснить задействованные физические процессы ( пластиковый поток , перелом , изменение фазы и т. Д.)

Инженерные конструкции обычно разработаны таким образом, чтобы максимальные ожидаемые напряжения находятся в пределах области линейного упругого (обобщение закона Гука для непрерывных средств массовой информации) для материала, из которого будет построена структура. То есть деформации, вызванные внутренними напряжениями, линейно связаны с приложенными нагрузками. В этом случае дифференциальные уравнения, которые определяют тензор напряжения, также являются линейными. Линейные уравнения гораздо лучше поняты, чем нелинейные; Во -первых, их решение (расчет напряжений в любой желаемой точке в структуре) также будет линейной функцией приложенных сил. Для достаточно малых приложенных нагрузок, обычно можно предположить, что даже нелинейные системы являются линейными.

Встроенный напряжение (предварительно загруженное)

Предварительно загруженная структура - это та, которая имеет внутренние силы, напряжения и штаммы, налагаемые в нем различными средствами перед применением внешних сил. Например, структура может иметь кабели, которые затягиваются, в результате чего силы развиваются в структуре, прежде чем применяются любые другие нагрузки. Заполненное стекло является обычно встречающимся примером предварительно загруженной структуры, которая обладает растягиванием сил и напряжений, которые действуют на плоскости стекла и в центральной плоскости стекла, которая заставляет силы сжатия действовать на внешние поверхности этого стекла.

Представленная математическая проблема, как правило, не пополам, потому что она имеет бесконечность решений. Фактически, в любом трехмерном твердого теле у него может быть бесконечно много (и бесконечно сложных) ненулевых тензорных полей стресса, которые находятся в стабильном равновесии даже в отсутствие внешних сил. Эти поля стресса часто называют гипсторстатическими полями стресса ^{[ 5 ]} и они сосуществуют с полями стресса, которые уравновешивают внешние силы. При линейной эластичности их присутствие требуется для удовлетворения требований совместимости деформации/смещения, а в предельном анализе их присутствие требуется для максимизации грузоподъемности структуры или компонента.

Такое встроенное напряжение может возникнуть из-за многих физических причин, либо во время производства (в таких процессах, как экструзия , литья или холодная работа ), либо после факта (например, из-за неравномерного нагрева или изменений содержания влаги или химического состава). Однако, если можно предположить, что система будет вести себя линейным образом в отношении нагрузки и отклика системы, то эффект предварительной нагрузки может быть учтен, добавив результаты предварительно загруженной структуры и ту же не загруженную структуру.

Однако, если нельзя предположить линейность, любое встроенное напряжение может повлиять на распределение внутренних сил, вызванных приложенными нагрузками (например, путем изменения эффективной жесткости материала) или даже вызвать неожиданный сбой материала. По этим причинам был разработан ряд методов, чтобы избежать или уменьшить встроенное напряжение, такие как отжиг холодных стеклянных и металлических деталей, расширение суставов в зданиях и роликовые суставы для мостов.

Упрощения

Анализ стресса упрощается, когда физические измерения и распределение нагрузок позволяют обрабатывать структуру как одно- или двумерную. При анализе моста его трехмерная структура может быть идеализирована как единая плоская структура, если все силы действуют в плоскости фермы моста. Кроме того, каждый элемент структуры фермы может затем обратиться к однородным членам с силами, действующими вдоль оси каждого члена. В этом случае дифференциальные уравнения сводятся к конечному набору уравнений с конечно многими неизвестными.

Если распределение напряжений можно предположить, что является равномерным (или предсказуемым или неважным) в одном направлении, то можно использовать предположение о плоском напряжении и поведении плоского деформации и уравнениях, которые описывают поля напряжения, являются функцией только двух координат. , вместо трех.

Даже при предположении линейного упругого поведения материала связь между тензорами напряжения и деформации обычно экспрессируется тензором жесткости четвертого порядка с 21 независимым коэффициентом (симметричная матрица жесткости 6 × 6). Эта сложность может потребоваться для общих анизотропных материалов, но для многих общих материалов это может быть упрощено. Для ортотропных материалов , таких как древесина, чья жесткость симметрична по отношению к каждому из трех ортогональных плоскостей, достаточно девяти коэффициентов, чтобы выразить отношения стресса и пребывания. Для изотропных материалов эти коэффициенты уменьшаются до двух.

Можно быть в состоянии определить априори , что в некоторых частях системы напряжение будет иметь определенный тип, такой как одноосное натяжение или сжатие , простое сдвиг , изотропное сжатие или натяжение, кручение , изгиб и т. Д. Поле напряжения может быть представлено менее чем из шести чисел и, возможно, только одним.

Решение уравнений

В любом случае, для двух- или трехмерных доменов необходимо решить систему дифференциальных уравнений с частичными с указанными граничными условиями. Аналитические (замкнутые) решения для дифференциальных уравнений могут быть получены, когда геометрия, конститутивные отношения и граничные условия достаточно просты. Для более сложных задач необходимо обычно прибегать к численным приближениям, таким как метод конечных элементов , метод конечных различий и метод граничного элемента .

Фактор безопасности

Конечная цель любого анализа состоит в том, чтобы позволить сравнить развитые напряжения, штаммы и отклонения с теми, которые разрешены по критериям проектирования. Все структуры и их компоненты, очевидно, должны быть разработаны, чтобы иметь пропускную способность, превышающую то, что, как ожидается, будет развиваться во время использования структуры для устранения сбоя. Напряжение, которое рассчитывается для развития в элементе, сравнивается с прочностью материала, из которого составлен элемент путем расчета соотношения силы материала к расчетному напряжению. Соотношение, очевидно, должно быть больше, чем 1,0, если член не должен терпеть неудачу. Тем не менее, отношение допустимого напряжения к развитому напряжению должно быть более 1,0, поскольку коэффициент безопасности (коэффициент проектирования) будет указан в требованиях к конструкции для структуры. Все структуры предназначены для превышения нагрузки, которые, как ожидается, будут испытывать эти структуры во время их использования. Коэффициент проектирования (число больше 1,0) представляет собой степень неопределенности в значении нагрузок, прочности материала и последствиях отказа. Напряжение (или нагрузка, или отклонение), ожидается, что структура будет испытывать, известна как работа, дизайн или ограничение напряжения. Предельное напряжение, например, выбрано как какая -то часть Прочность урожая материала, из которого производится структура. Соотношение окончательной прочности материала к допустимому напряжению определяется как фактор безопасности против окончательного отказа.

Лабораторные испытания обычно выполняются на образцах материала, чтобы определить урожайность и окончательную силу этих материалов. Статистический анализ прочности многих образцов материала выполняется для расчета конкретной прочности материала этого материала. Анализ обеспечивает рациональный метод определения прочности материала и приводит к значению меньше, например, 99,99% от значений из протестированных образцов. По этому методу, в некотором смысле, отдельный фактор безопасности был применен над и выше коэффициента проектирования безопасности, применяемого к конкретной конструкции, в которой используется указанный материал.

Целью поддержания коэффициента безопасности на прочность урожая является предотвращение вредных деформаций, которые нарушают использование структуры. Самолет с постоянно согнутым крылом может не иметь возможности перемещать свои контрольные поверхности и, следовательно, не работает. Хотя давая материал структуры может сделать структуру непригодным для использования, это не обязательно приводит к коллапсу структуры. Коэффициент безопасности на максимальную прочность на растяжение заключается в предотвращении внезапного перелома и коллапса, что приведет к большей экономической потере и возможной гибели жизни.

Крыло самолета может быть спроектировано с коэффициентом безопасности 1,25 на прочти урожая крыла и коэффициентом безопасности 1,5 в его окончательной прочности. Тестовые приспособления, которые применяют эти нагрузки к крылу во время теста, могут быть разработаны с коэффициентом безопасности 3,0 на максимальную прочность, в то время как структура, укрывающаяся в тестовом приборе, может иметь конечный коэффициент безопасности десяти. Эти значения отражают степень доверия, которую ответственные органы обладают в своем понимании среды нагрузки, их уверенность в силе материала, точность аналитических методов, используемых в анализе, ценность структур, ценность жизни этих Полет, те, кто находится рядом с испытательными светильниками, и те, кто находится в здании.

Коэффициент безопасности используется для расчета максимально допустимого напряжения: ${\text{maximum allowable stress}}={\frac {\text{ultimate tensile strength}}{\text{factor of safety}}}$

Перенос нагрузки

Оценка нагрузок и напряжений в структурах направлена на поиск пути переноса нагрузки. Нагрузки будут переданы физическим контактом между различными компонентными частями и внутри структур. Передача нагрузки может быть идентифицирована визуально или простой логикой для простых структур. более сложные методы, такие как теоретическая твердая механика Для более сложных структур могут потребоваться или числовые методы. Численные методы включают метод прямой жесткости , который также называется методом конечных элементов .

Объект состоит в том, чтобы определить критические напряжения в каждой части и сравнить их с силой материала (см. Прочность материалов ).

Для деталей, которые разорвались в эксплуатации, проводится судебно -медицинская экспертиза или анализ отказа для выявления слабости, когда разбитые части анализируются на причину или причины отказа. Метод стремится идентифицировать самый слабый компонент в пути нагрузки. Если это та часть, которая на самом деле не удалась, то она может подтвердить независимые доказательства неудачи. Если нет, то необходимо искать другое объяснение, такое как дефектная часть с более низкой прочностью на растяжение, чем, например.

Университетский стресс

Линейный элемент структуры является по существу, по сути, одномерным и часто подвергается осевой нагрузке. Когда структурный элемент подвергается натяжению или сжатию, его длина будет иметь тенденцию удлинять или сокращать, а площадь его поперечного сечения изменяется на количество, которое зависит от соотношения Пуассона материала. В инженерных приложениях элементы конструкции испытывают небольшие деформации, а снижение площади поперечного сечения очень мало и их можно пренебрегать, то есть площадь поперечного сечения предполагается постоянной во время деформации. Для этого случая напряжение называется инженерным напряжением или номинальным напряжением и рассчитывается с использованием исходного поперечного сечения. $\sigma _{\mathrm {e} }={\tfrac {P}{A_{o}}}$ где P-приложенная нагрузка, а O _- это исходная область поперечного сечения.

В некоторых других случаях, например, эластомеры и пластиковые материалы, изменение площади поперечного сечения является значительным. Для случая материалов, где объем сохраняется (т.е. соотношение Пуассона = 0,5), если требуется истинное напряжение , его необходимо рассчитать с использованием истинной площади поперечного сечения вместо исходной площади поперечного сечения, как: $\sigma _{\mathrm {true} }=(1+\varepsilon _{\mathrm {e} })(\sigma _{\mathrm {e} }),$ где

$\varepsilon _{\mathrm {e} }\,\!$ является номинальным (инженерным) штаммом , и
$\sigma _{\mathrm {e} }\,\!$ является номинальным (инженерным) стрессом.

Взаимосвязь между истинным напряжением и инженерным напряжением определяется $\varepsilon _{\mathrm {true} }=\ln(1+\varepsilon _{\mathrm {e} }).$

При одноосном напряжении истинный стресс тогда превышает номинальный стресс. Конверс удерживается в сжатии.

Графическое представление стресса в точке

Круг Мора , эллипсоид стресса Лейма (вместе с поверхностью директора стресса ) и квадратный квадрат Стресса Коши -это двумерные графические представления состояния напряжения в точке . Они допускают графическое определение величины тензора напряжения в данной точке для всех плоскостей, проходящих через эту точку. Круг Мора является наиболее распространенным графическим методом.

Круг Мора , названный в честь Кристиана Отто Мора , является локусом точек, которые представляют состояние стресса на отдельные плоскости на всех их ориентациях. Абсцисса , $\sigma _{\mathrm {n} }\,\!$ и ордината , $\tau _{\mathrm {n} }\,\!$ Каждая точка на круге - это нормальные компоненты напряжения и напряжения сдвига, соответственно, действуя на определенную плоскость разреза с единичным вектором $\mathbf {n} \,\!$ с компонентами $\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)\,\!$ .

Стресс -эллипсоид Ламе

Поверхность эллипсоида представляет локус конечных точек всех векторов стресса, действующих на всех плоскостях, проходящих через данную точку в теле континуума. Другими словами, конечные точки всех векторов стресса в данной точке в теле континуума лежат на поверхности эллипсоида напряжения, то есть радиус-вектор от центра эллипсоида, расположенного в рассмотрении материала, в точку на Поверхность эллипсоида равна вектору напряжения на некоторой плоскости, проходящей через точку. В двух измерениях поверхность представлена эллипсом ( фигура).

Стресс -квадроцикл Cauchy

Квадроцикл напряжения Коши, также называемый поверхностью напряжения , является поверхностью второго порядка, которая прослеживает изменение вектора нормального напряжения $\sigma _{\mathrm {n} }$ Поскольку ориентация плоскостей, проходящих через данную точку, изменяется.

Полное состояние напряжения в теле при определенной деформированной конфигурации, т.е., в определенное время во время движения тела, подразумевает знание шести независимых компонентов стрессового тензора $(\sigma _{11},\sigma _{22},\sigma _{33},\sigma _{12},\sigma _{23},\sigma _{13})\,\!$ , или три главных стресса $(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})\,\!$ , в каждой материальной точке в теле в то время. Тем не менее, числовой анализ и аналитические методы позволяют только для расчета тензора напряжения в определенном количестве дискретных материалов. Чтобы графически представлять в двух измерениях. Это частичное изображение поля напряжения различные наборы контурных линий : может использоваться ^{[ 6 ]}

Изобары - это кривые, по которым основной стресс, например, $\sigma _{1}$ постоянно.
Изохроматика представляют собой кривые, вдоль которых максимальное напряжение сдвига постоянно. Эти кривые непосредственно определяются с использованием методов фотоупругих.
Изопахи представляют собой кривые, вдоль которых среднее нормальное напряжение является постоянным.
Изостатика или стрессовые траектории ^{[ 7 ]} система кривых, которые находятся в каждой материальной точке, касающейся основных оси напряжения - см. Рисунок ^{[ 8 ]}
Изоклиники - это кривые, на которых основные оси делают постоянный угол с данным фиксированным эталонным направлением. Эти кривые также могут быть получены непосредственно с помощью методов фотоластичности.
Линии скольжения - это кривые, на которых напряжение сдвига максимально.

Смотрите также

Ссылки

^ Смит Д.Р., Трусделл С. (1993). Введение в механику Continuum после Truesdell и Noll . Гейдельберг: Спрингер. ISBN 0-7923-2454-4 .
^ Лю есть (2002). Механика континуума . Гейдельберг: Спрингер. ISBN 3-540-43019-9 .
^ Фаган М.Дж., Постема М. (2007). Введение в анализ стресса и деформации . Кингстон на корпусе: Университет Халл. doi : 10.5281/Zenodo.7503946 . ISBN 978-90-812588-1-4 .
^ Irgens F (2008). Механика континуума . Гейдельберг: Спрингер. ISBN 978-3-540-74297-5 .
^ Рамсей А. «Гипстотатические стрессовые поля» . www.ramsay-maunder.co.uk . Получено 6 мая 2017 года .
^ Jaeger JC, Cook NG, Zimmerman RW (2007). Основы каменной механики (4 -е изд.). Хобокен: Wiley-Blackwell. ISBN 978-0-632-05759-7 .
^ Maunder E. «Визуализация полей стресса - от стрессовых траекторий до моделей распорки и связки» . www.ramsay-maunder.co.uk . Получено 15 апреля 2017 года .
^ Ангус Р. "Траектории стресса" . Рамсей Маундер Ассоциации . Получено 15 апреля 2017 года .

[Smith-1] Смит Д.Р., Трусделл С. (1993). Введение в механику Continuum после Truesdell и Noll . Гейдельберг: Спрингер. ISBN 0-7923-2454-4 .

[Liu-2] Лю есть (2002). Механика континуума . Гейдельберг: Спрингер. ISBN 3-540-43019-9 .

[Fagan-3] Фаган М.Дж., Постема М. (2007). Введение в анализ стресса и деформации . Кингстон на корпусе: Университет Халл. doi : 10.5281/Zenodo.7503946 . ISBN 978-90-812588-1-4 .

[Irgens-4] Irgens F (2008). Механика континуума . Гейдельберг: Спрингер. ISBN 978-3-540-74297-5 .

[5] Рамсей А. «Гипстотатические стрессовые поля» . www.ramsay-maunder.co.uk . Получено 6 мая 2017 года .

[Jaeger-6] Jaeger JC, Cook NG, Zimmerman RW (2007). Основы каменной механики (4 -е изд.). Хобокен: Wiley-Blackwell. ISBN 978-0-632-05759-7 .

[7] Maunder E. «Визуализация полей стресса - от стрессовых траекторий до моделей распорки и связки» . www.ramsay-maunder.co.uk . Получено 15 апреля 2017 года .

[8] Ангус Р. "Траектории стресса" . Рамсей Маундер Ассоциации . Получено 15 апреля 2017 года .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]