Отношения Крамерса – Кронига

Отношения Крамерса -Кронига , иногда сокращенно называемые отношениями КК , представляют собой двунаправленные математические отношения, соединяющие действительную и мнимую части любой сложной функции , аналитической в верхней полуплоскости . Отношения часто используются для вычисления действительной части из мнимой части (или наоборот) функций отклика в физических системах , поскольку для устойчивых систем причинность подразумевает условие аналитичности , и наоборот, аналитичность подразумевает причинность соответствующей устойчивой физической системы. . ^[1] Отношение названо в честь Ральфа Кронига и Ганса Крамерса . ^[2]^[3] В математике эти соотношения известны под названиями теорема Сохоцкого–Племеля и преобразование Гильберта .

Формулировка

Иллюстрация одного из соотношений Крамерса-Кронига, определяющего действительную часть восприимчивости с учетом мнимой части.

Позволять $\chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )$ быть комплексной функцией комплексной переменной $\omega$ , где $\chi _{1}(\omega )$ и $\chi _{2}(\omega )$ реальны . Предположим, что эта функция аналитична в замкнутой полуплоскости верхней $\omega$ и имеет тенденцию $0$ как $|\omega |\to \infty$ . Соотношения Крамерса – Кронига имеют вид $\chi _{1}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{2}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '$ и $\chi _{2}(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{1}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega ',$ где $\omega$ реально и где ${\mathcal {P}}$ обозначает главное значение Коши . Действительная и мнимая части такой функции не являются независимыми, что позволяет восстановить полную функцию по одной из ее частей.

Вывод

Доказательство начинается с применения теоремы Коши о вычетах для комплексного интегрирования. Учитывая любую аналитическую функцию $\chi$ в замкнутой верхней полуплоскости функция $\omega '\mapsto \chi (\omega ')/(\omega '-\omega )$ , где $\omega$ действительна, аналитична в (открытой) верхней полуплоскости. Теорема о вычетах, следовательно, утверждает, что $\oint {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '=0$ для любого замкнутого контура внутри этой области. Когда контур выбран для отслеживания реальной оси, на полюсе появляется горб . $\omega '=\omega$ и большой полукруг в верхней полуплоскости. Это следует за разложением интеграла на его вклады по каждому из этих трех сегментов контура и переходом к пределам. Длина полукруглого сегмента увеличивается пропорционально $|\omega '|$ , но интеграл по нему в пределе обращается в нуль, так как ${\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}$ исчезает быстрее, чем $1/|\omega '|$ . У нас остались отрезки по действительной оси и полукруг вокруг полюса. Обнуляем размер полукруга и получаем $0=\oint {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '={\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '-i\pi \chi (\omega ).$

Второе слагаемое в последнем выражении получено с помощью теории вычетов: ^[4] более конкретно, теорема Сохоцкого-Племеля . Переставляя, приходим к компактной форме соотношений Крамерса–Кронига: $\chi (\omega )={\frac {1}{i\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '.$

Сингл $i$ в знаменателе осуществляется связь между действительной и мнимой составляющими. Наконец, разделите $\chi (\omega )$ и уравнение на действительную и мнимую части, чтобы получить формы, указанные выше.

Физическая интерпретация и альтернативная форма

Формализм Крамерса-Кронига можно применить к функциям отклика . В некоторых линейных физических системах или в инженерных областях, таких как обработка сигналов , функция отклика $\chi (t-t')$ описывает, как некоторые зависящие от времени свойства $P(t)$ физической системы реагирует на импульсную силу $F(t')$ во время $t'.$ Например, $P(t)$ быть углом маятника и может $F(t)$ приложенная сила двигателя, приводящая в движение маятник. Ответ $\chi (t-t')$ должно быть равно нулю для $t<t'$ поскольку система не может отреагировать на силу до ее применения. Можно показать (например, прибегая к теореме Титчмарша ), что из этого условия причинности следует, что преобразование Фурье $\chi (\omega )$ из $\chi (t)$ аналитична в верхней полуплоскости. ^[5]Кроме того, если система подвергается воздействию колебательной силы с частотой, намного превышающей ее максимальную резонансную частоту, у системы почти не будет времени отреагировать до того, как сила изменит направление, и поэтому частотная характеристика $\chi (\omega )$ будет сходиться к нулю, так как $\omega$ становится очень большим. Из этих физических соображений следует, что $\chi (\omega )$ обычно удовлетворяет условиям, необходимым для отношений Крамерса-Кронига.

Мнимая часть функции отклика описывает, как система рассеивает энергию , поскольку она находится в фазе с движущей силой . ^{[ нужна ссылка ]} Соотношения Крамерса-Кронига предполагают, что наблюдения диссипативного отклика системы достаточно, чтобы определить ее противофазный (реактивный) отклик, и наоборот.

Интегралы берутся из $-\infty$ к $\infty$ , подразумевая, что мы знаем реакцию на отрицательных частотах. К счастью, в большинстве физических систем положительная частотная характеристика определяет отрицательную частотную характеристику, поскольку $\chi (\omega )$ это преобразование Фурье действительного ответа $\chi (t)$ . В дальнейшем мы сделаем это предположение.

Как следствие, $\chi (-\omega )=\chi ^{*}(\omega )$ . Это означает $\chi _{1}(\omega )$ является четной функцией частоты и $\chi _{2}(\omega )$ странно .

Используя эти свойства, мы можем свернуть диапазоны интегрирования до $[0,\infty )$ . Рассмотрим первое соотношение, которое дает действительную часть $\chi _{1}(\omega )$ . Преобразуем интеграл в интеграл определенной четности, умножив числитель и знаменатель подынтегральной функции на $\omega '+\omega$ и отделяем: $\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '+{\omega \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.$

С $\chi _{2}(\omega )$ нечетно, второй интеграл исчезает, и у нас остается $\chi _{1}(\omega )={2 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.$

Тот же вывод для мнимой части дает $\chi _{2}(\omega )=-{2 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\omega \chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '=-{2\omega \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.$

Это соотношения Крамерса-Кронига в форме, удобной для физически реалистичных функций отклика.

Соответствующее доказательство из временной области

Ху ^[6] и Холл и Хек ^[7] дать родственное и, возможно, более интуитивное доказательство, позволяющее избежать контурной интеграции. Оно основано на фактах:

Причинно-импульсная реакция может быть выражена как сумма четной функции и нечетной функции, где нечетная функция — это четная функция, умноженная на знаковую функцию .
Четная и нечетная части сигнала во временной области соответствуют действительной и мнимой частям его интеграла Фурье соответственно.
Умножение на знаковую функцию во временной области соответствует преобразованию Гильберта (т.е. свертке с помощью ядра Гильберта $1/\pi \omega$ ) в частотной области.

Объединение формул, основанных на этих фактах, дает соотношения Крамерса – Кронига. Это доказательство охватывает несколько иную основу, чем предыдущее, поскольку оно связывает действительную и мнимую части в частотной области любой функции, которая является причинной во временной области, предлагая подход, несколько отличающийся от условия аналитичности в верхней полуплоскости частотная область.

Также доступна статья с неформальной графической версией этого доказательства. ^[8]

Отношение величины (усиления) и фазы

Обычная форма Крамерса-Кронига, приведенная выше, связывает действительную и мнимую часть сложной функции отклика. Связанная с этим цель — найти связь между величиной и фазой сложной функции отклика.

В целом, к сожалению, фазу нельзя однозначно предсказать по величине. ^[9] Простым примером этого является чистая временная задержка времени T , которая имеет амплитуду 1 на любой частоте независимо от T , но имеет фазу, зависящую от T (в частности, фаза = 2 π × T × частота).

Однако в частном случае системы с минимальной фазой существует уникальное соотношение амплитуды и фазы : ^[9] иногда называемое соотношением усиления и фазы Боде . Термины «отношения Баярда-Боде» и «теорема Баярда-Боде» после работ Марселя Баярда (1936) и Хендрика Уэйда Боде (1945) также используются либо для соотношений Крамерса-Кронига в целом, либо для отношения амплитуда-фаза в частности, в частности. в области телекоммуникаций и теории управления . ^[10]^[11]

Приложения в физике

Оптика

Комплексный показатель преломления

Соотношения Крамерса-Кронига используются для связи действительной и мнимой частей комплексного показателя преломления. ${\tilde {n}}=n+i\kappa$ среды, где $\kappa$ – коэффициент экстинкции . ^[12] Следовательно, по сути, это также применимо к комплексной относительной диэлектрической проницаемости и электрической восприимчивости . ^[13]

Уравнение Зеллмейера напрямую связано с соотношениями Крамера-Кронига и используется для аппроксимации реального и комплексного показателя преломления материалов вдали от каких-либо резонансов. ^[14]^[15]

Круговое двойное лучепреломление

В оптическом вращении соотношения Крамерса-Кронига устанавливают связь между оптической вращающейся дисперсией и круговым дихроизмом .

Магнитооптика

Соотношения Крамерса–Кронига позволяют точно решать нетривиальные задачи рассеяния, которые находят приложения в магнитооптике. ^[16]

Эллипсометрия

В эллипсометрии соотношения Крамера-Кронига применяются для проверки измеренных значений действительной и комплексной частей показателя преломления тонких пленок. ^[17]

Электронная спектроскопия

В спектроскопии потерь энергии электронов образца анализ Крамерса-Кронига позволяет рассчитать энергетическую зависимость как реальной, так и мнимой частей световой оптической проницаемости , а также других оптических свойств, таких как коэффициент поглощения и отражательная способность . ^[18]

Короче говоря, измеряя количество электронов высокой энергии (например, 200 кэВ), которые теряют заданное количество энергии при прохождении очень тонкого образца (приближение однократного рассеяния), можно вычислить мнимую часть диэлектрической проницаемости при этой энергии. Используя эти данные вместе с анализом Крамерса-Кронига, можно также рассчитать действительную часть диэлектрической проницаемости (как функцию энергии).

Это измерение производится с помощью электронов, а не света, и может быть выполнено с очень высоким пространственным разрешением. Таким образом, можно, например, искать полосы поглощения ультрафиолетового (УФ) излучения в лабораторном образце межзвездной пыли размером менее 100 нм, то есть слишком маленькими для УФ-спектроскопии. Хотя электронная спектроскопия имеет худшее энергетическое разрешение, чем световая спектроскопия , данные о свойствах в видимом, ультрафиолетовом и мягком рентгеновском диапазонах спектра могут быть записаны в одном и том же эксперименте.

В фотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением электронов соотношения Крамерса-Кронига можно использовать для связи реальной и мнимой частей собственной энергии . Это характерно для многочастичного взаимодействия, которое электрон испытывает в материале. Яркими примерами являются высокотемпературные сверхпроводники , где в зонной дисперсии наблюдаются изломы, соответствующие действительной части собственной энергии, а также наблюдаются изменения ширины МДП, соответствующие мнимой части собственной энергии. ^[19]

Адронное рассеяние

Соотношения Крамерса-Кронига также используются под названием «интегральные дисперсионные соотношения» в отношении адронного рассеяния. ^[20] В данном случае функцией является амплитуда рассеяния. Затем с помощью оптической теоремы мнимая часть амплитуды рассеяния связана с полным сечением , которое является физически измеримой величиной.

Рассеяние электронов

Подобно рассеянию адронов, соотношения Крамерса-Кронига используются в высоких энергий рассеянии электронов . В частности, они входят в вывод правила сумм Герасимова–Дрелла–Хирна . ^[21]

Геофизика

Для распространения сейсмических волн соотношение Крамера-Кронига помогает найти правильную форму добротности в затухающей среде. ^[22]

Электрохимическая импедансная спектроскопия

Тест Крамерса-Кронига используется в аккумуляторах и топливных элементах ( диэлектрическая спектроскопия ) для проверки линейности , причинности и стационарности . Поскольку на практике получить данные во всем диапазоне частот, как того требует формула Крамерса-Кронига, не представляется возможным, обязательно проводятся аппроксимации.

На высоких частотах (> 1 МГц) обычно можно с уверенностью предположить, что в импедансе преобладает омическое сопротивление электролита, хотя индуктивности часто наблюдаются артефакты .

На низких частотах тест КК можно использовать для проверки достоверности экспериментальных данных. В аккумуляторной практике данные, полученные в ходе экспериментов продолжительностью менее одной минуты, обычно не выдерживают испытания на частотах ниже 10 Гц. Поэтому следует проявлять осторожность при интерпретации таких данных. ^[23]

В электрохимической практике из-за конечного диапазона частот экспериментальных данных Z-HIT вместо соотношений Крамерса-Кронига используется соотношение . В соответствии с принципом Крамерса-Кронига (который написан для бесконечного диапазона частот), интеграция Z-HIT требует только конечного диапазона частот. Кроме того, Z-HIT более устойчив к ошибкам Re и Im импеданса, поскольку его точность зависит главным образом от точности фазовых данных.

См. также

Ссылки

Цитаты

^ Джон С. Толл (1956). «Причинность и дисперсионное соотношение: логические основы». Физический обзор . 104 (6): 1760–1770. Бибкод : 1956PhRv..104.1760T . дои : 10.1103/PhysRev.104.1760 .
^ Р. де Л. Крониг (1926). «К теории рассеяния рентгеновских лучей». J. Опт. Соц. Являюсь . 12 (6): 547–557. дои : 10.1364/JOSA.12.000547 .
^ Х.А. Крамерс (1927). «Распространение света атомами». Атти Конг. Резидент. Физик, (Труды Конгресса столетия Вольты) Комо . 2 : 545–557.
^ Г. Арфкен (1985). Математические методы для физиков . Орландо: Академическая пресса. ISBN 0-12-059877-9 .
^ Джон Дэвид Джексон (1999). Классическая электродинамика . Уайли. стр. 332–333 . ISBN 0-471-43132-Х .
^ Ху, Бен Ю-Куанг (1 сентября 1989 г.). «Крамерс – Крониг в две строки». Американский журнал физики . 57 (9): 821. Бибкод : 1989AmJPh..57..821H . дои : 10.1119/1.15901 . ISSN 0002-9505 .
^ Стивен Х. Холл; Говард Л. Хек. (2009). Улучшенная целостность сигнала для высокоскоростных цифровых устройств . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. стр. 331–336. ISBN 978-0-470-19235-1 .
^ Колин Уорвик. «Понимание соотношения Крамерса-Кронига с помощью графического доказательства» (PDF) .
^ Jump up to: ^а ^б Джон Беххофер (2011). «Крамерс-Крониг, Боде и значение нуля». Американский журнал физики . 79 (10): 1053–1059. arXiv : 1107.0071 . Бибкод : 2011AmJPh..79.1053B . дои : 10.1119/1.3614039 . S2CID 51819925 .
^ Эрве Сизун (30 марта 2006 г.). Распространение радиоволн для телекоммуникационных приложений . Спрингер. Бибкод : 2004rwpt.book.....S . ISBN 978-3-540-26668-6 .
^ Мария М. Серон; Хулио Х. Браславский; Грэм К. Гудвин (1997). Фундаментальные ограничения фильтрации и контроля (PDF) . п. 21.
^ Фокс, Марк (2010). Оптические свойства твердых тел (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . п. 44-46. ISBN 978-0-19-957337-0 .
^ Орфанидис, Софокл Дж. (2016). Электромагнитные волны и антенны . п. 27-29.
^ «2.7: Отношения Крамерса-Крёнига» . Инженерные библиотеки LibreTexts . 06.04.2021 . Проверено 9 июля 2024 г.
^ «Оптические константы» . Дж. А. Вуллам . 20 февраля 2019 г. Проверено 9 июля 2024 г.
^ Чэнь Сунь; Николай А. Синицын (2015). «Точные вероятности перехода для линейной развертки через резонанс Крамерса-Кронига». Дж. Физ. А: Математика. Теор . 48 (50): 505202. arXiv : 1508.01213 . Бибкод : 2015JPhA...48X5202S . дои : 10.1088/1751-8113/48/50/505202 . S2CID 118437244 .
^ «Техника Крамерса-Кронига и эллипсометрии» . Профессор Роберт Б. Лафлин, факультет физики Стэнфордского университета . 20 марта 2007 г. Проверено 9 июля 2024 г.
^ РФ Эгертон (1996). Спектроскопия электронных потерь энергии в электронном микроскопе (2-е изд.). Нью-Йорк: Пленум Пресс. ISBN 0-306-45223-5 .
^ Андреа Дамаселли (2003). «Фотоэмиссионные исследования купратных сверхпроводников с угловым разрешением». Преподобный Мод. Физ . 75 (2): 473–541. arXiv : cond-mat/0208504 . Бибкод : 2003РвМП...75..473Д . дои : 10.1103/RevModPhys.75.473 . S2CID 118433150 .
^ Блок ММ; Р. Н. Кан (1985). «Прямое упругое рассеяние высоких энергий pp̅ и pp и полные сечения» . Преподобный Мод. Физ . 57 (2): 563–598. Бибкод : 1985РвМП...57..563Б . дои : 10.1103/RevModPhys.57.563 .
^ А. Деур, С. Дж. Бродский, Г. Ф. де Терамонд (2019) «Спиновая структура нуклона», представитель. Прог. Физ. 82 076201
^ Футтерман, Уолтер И. (1962). «Дисперсионные объемные волны». Журнал геофизических исследований . 67 (13): 5279–5291. Бибкод : 1962JGR....67.5279F . дои : 10.1029/JZ067i013p05279 .
^ Уркиди-Макдональд, Мирна; Реал, Сильвия; Макдональд, Дигби Д. (1 октября 1990 г.). «Применение преобразований Крамерса-Кронига в анализе данных электрохимического импеданса - III. Стабильность и линейность» . Электрохимика Акта . 35 (10): 1559–1566. дои : 10.1016/0013-4686(90)80010-L . ISSN 0013-4686 . Проверено 2 августа 2023 г.

Источники

Мансур Шейх-Бахае (2005). «Основы нелинейной оптики. Соотношения Крамерса – Кронига в нелинейной оптике». В Роберте Д. Гюнтере (ред.). Энциклопедия современной оптики . Амстердам: Академическая пресса. ISBN 0-12-227600-0 .
Валерио Лукарини; Яркко Дж. Сааринен; Кай-Эрик Пейпонен; Эрик М. Вартиайнен (2005). Соотношения Крамерса-Кронига в исследовании оптических материалов . Гейдельберг: Спрингер. Бибкод : 2005kkro.book.....L . ISBN 3-540-23673-2 .
Фредерик В. Кинг (2009). «19–22». Преобразования Гильберта . Том. 2. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-51720-1 .
Джей Ди Джексон (1975). «раздел 7.10». Классическая электродинамика (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-43132-Х .

[1] Джон С. Толл (1956). «Причинность и дисперсионное соотношение: логические основы». Физический обзор . 104 (6): 1760–1770. Бибкод : 1956PhRv..104.1760T . дои : 10.1103/PhysRev.104.1760 .

[2] Р. де Л. Крониг (1926). «К теории рассеяния рентгеновских лучей». J. Опт. Соц. Являюсь . 12 (6): 547–557. дои : 10.1364/JOSA.12.000547 .

[3] Х.А. Крамерс (1927). «Распространение света атомами». Атти Конг. Резидент. Физик, (Труды Конгресса столетия Вольты) Комо . 2 : 545–557.

[4] Г. Арфкен (1985). Математические методы для физиков . Орландо: Академическая пресса. ISBN 0-12-059877-9 .

[5] Джон Дэвид Джексон (1999). Классическая электродинамика . Уайли. стр. 332–333 . ISBN 0-471-43132-Х .

[6] Ху, Бен Ю-Куанг (1 сентября 1989 г.). «Крамерс – Крониг в две строки». Американский журнал физики . 57 (9): 821. Бибкод : 1989AmJPh..57..821H . дои : 10.1119/1.15901 . ISSN 0002-9505 .

[7] Стивен Х. Холл; Говард Л. Хек. (2009). Улучшенная целостность сигнала для высокоскоростных цифровых устройств . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. стр. 331–336. ISBN 978-0-470-19235-1 .

[8] Колин Уорвик. «Понимание соотношения Крамерса-Кронига с помощью графического доказательства» (PDF) .

[Bechhoefer-9] Jump up to: ^а ^б Джон Беххофер (2011). «Крамерс-Крониг, Боде и значение нуля». Американский журнал физики . 79 (10): 1053–1059. arXiv : 1107.0071 . Бибкод : 2011AmJPh..79.1053B . дои : 10.1119/1.3614039 . S2CID 51819925 .

[10] Эрве Сизун (30 марта 2006 г.). Распространение радиоволн для телекоммуникационных приложений . Спрингер. Бибкод : 2004rwpt.book.....S . ISBN 978-3-540-26668-6 .

[11] Мария М. Серон; Хулио Х. Браславский; Грэм К. Гудвин (1997). Фундаментальные ограничения фильтрации и контроля (PDF) . п. 21.

[12] Фокс, Марк (2010). Оптические свойства твердых тел (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . п. 44-46. ISBN 978-0-19-957337-0 .

[13] Орфанидис, Софокл Дж. (2016). Электромагнитные волны и антенны . п. 27-29.

[b841-14] «2.7: Отношения Крамерса-Крёнига» . Инженерные библиотеки LibreTexts . 06.04.2021 . Проверено 9 июля 2024 г.

[l609-15] «Оптические константы» . Дж. А. Вуллам . 20 февраля 2019 г. Проверено 9 июля 2024 г.

[16] Чэнь Сунь; Николай А. Синицын (2015). «Точные вероятности перехода для линейной развертки через резонанс Крамерса-Кронига». Дж. Физ. А: Математика. Теор . 48 (50): 505202. arXiv : 1508.01213 . Бибкод : 2015JPhA...48X5202S . дои : 10.1088/1751-8113/48/50/505202 . S2CID 118437244 .

[u938-17] «Техника Крамерса-Кронига и эллипсометрии» . Профессор Роберт Б. Лафлин, факультет физики Стэнфордского университета . 20 марта 2007 г. Проверено 9 июля 2024 г.

[18] РФ Эгертон (1996). Спектроскопия электронных потерь энергии в электронном микроскопе (2-е изд.). Нью-Йорк: Пленум Пресс. ISBN 0-306-45223-5 .

[19] Андреа Дамаселли (2003). «Фотоэмиссионные исследования купратных сверхпроводников с угловым разрешением». Преподобный Мод. Физ . 75 (2): 473–541. arXiv : cond-mat/0208504 . Бибкод : 2003РвМП...75..473Д . дои : 10.1103/RevModPhys.75.473 . S2CID 118433150 .

[20] Блок ММ; Р. Н. Кан (1985). «Прямое упругое рассеяние высоких энергий pp̅ и pp и полные сечения» . Преподобный Мод. Физ . 57 (2): 563–598. Бибкод : 1985РвМП...57..563Б . дои : 10.1103/RevModPhys.57.563 .

[SR_review-21] А. Деур, С. Дж. Бродский, Г. Ф. де Терамонд (2019) «Спиновая структура нуклона», представитель. Прог. Физ. 82 076201

[22] Футтерман, Уолтер И. (1962). «Дисперсионные объемные волны». Журнал геофизических исследований . 67 (13): 5279–5291. Бибкод : 1962JGR....67.5279F . дои : 10.1029/JZ067i013p05279 .

[23] Уркиди-Макдональд, Мирна; Реал, Сильвия; Макдональд, Дигби Д. (1 октября 1990 г.). «Применение преобразований Крамерса-Кронига в анализе данных электрохимического импеданса - III. Стабильность и линейность» . Электрохимика Акта . 35 (10): 1559–1566. дои : 10.1016/0013-4686(90)80010-L . ISSN 0013-4686 . Проверено 2 августа 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]