Закон Снелла

Преломление света на границе раздела двух сред с разными показателями преломления , при n ₂ > n ₁ . Поскольку во второй среде скорость меньше (v ₂ < v ₁ ), то угол преломления θ ₂ меньше угла падения θ ₁ ; то есть луч в среде с более высоким индексом ближе к нормальному.

Закон Снелла (также известный как закон Снеллиуса-Декарта , Ибн-Сахля закон , и закон преломления ) — это формула , используемая для описания взаимосвязи между углами падения и преломления , когда речь идет о свете или других волнах , проходящих через границу между двумя различными изотропными средами , такими как вода, стекло или воздух. В оптике закон используется при трассировке лучей для расчета углов падения или преломления, а также в экспериментальной оптике для определения показателя преломления материала. Закон также выполняется в метаматериалах , которые позволяют свету изгибаться «назад» под отрицательным углом преломления с отрицательным показателем преломления .

Закон гласит, что для данной пары сред отношение синусов угла падения ( $\theta _{1}$) и угол преломления ( $\theta _{2}$) равен показателю преломления второй среды относительно первой ( $n_{21}$), что равно отношению показателей преломления ( ${\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}$) двух сред или, что то же самое, к отношению фазовых скоростей ( ${\tfrac {v_{1}}{v_{2}}}$) в двух СМИ.

${\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}=n_{21}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}$

Закон следует из Ферма принципа наименьшего времени , который, в свою очередь, следует из распространения света в виде волн.

История

Репродукция страницы рукописи Ибн Саля , показывающей открытие им закона преломления.

Птолемей , в Александрии , Египет, обнаружил зависимость между углами преломления, но она была неточной для немалых углов. Птолемей был уверен, что нашел точный эмпирический закон, частично в результате небольшого изменения своих данных, чтобы они соответствовали теории (см.: предвзятость подтверждения ).

Взгляд на историю «Закона синусов» 1837 года.

Закон в конечном итоге был назван в честь Снелла , хотя впервые он был открыт персидским ученым Ибн Салем при багдадском дворе в 984 году. В рукописи « О горящих зеркалах и линзах » Саль использовал этот закон для получения формы линз, которые фокусируют свет без геометрических аберраций .

Альхазен в своей «Книге оптики» (1021) был близок к повторному открытию закона преломления, но не пошел на этот шаг.

Закон был заново открыт Томасом Хэрриотом в 1602 году. который, однако, не опубликовал своих результатов, хотя переписывался с Кеплером именно по этому вопросу. В 1621 году голландский астроном Виллеброрд Снеллиус (1580–1626) — Снелл — вывел математически эквивалентную форму, которая осталась неопубликованной при его жизни. Рене Декарт независимо вывел закон, используя эвристические аргументы сохранения импульса в терминах синусов в своем эссе 1637 года «Диоптрика» , и использовал его для решения ряда оптических задач. Отвергнув решение Декарта, Пьер де Ферма пришел к тому же решению, основанному исключительно на своем принципе наименьшего времени . Декарт предполагал, что скорость света бесконечна, однако при выводе закона Снеллиуса он также предполагал, что чем плотнее среда, тем больше скорость света. Ферма поддерживал противоположные предположения, т. е. скорость света конечна, и его вывод зависел от того, что скорость света в более плотной среде меньше. В выводе Ферма также использовалось его изобретение адекватности — математической процедуры, эквивалентной дифференциальному исчислению, для нахождения максимумов, минимумов и тангенсов.

В своей влиятельной книге по математике «Геометрия» Декарт решает задачу, над которой работали Аполлоний Пергский и Папп Александрийский . Даны n прямых L и точка P(L) на каждой прямой. Найдите геометрическое место точек Q таких, что длины отрезков QP(L) удовлетворяют определенным условиям. Например, когда n = 4, по линиям a, b, c и d и точке A на a, B на b и т. д. найдите геометрическое место точек Q таких, что произведение QA*QB равняется произведению КК*КД. Когда не все линии параллельны, Папп показал, что локусы являются коническими, но когда Декарт рассмотрел большее n, он получил кривые кубической и более высокой степени. Чтобы показать интерес к кубическим кривым, он показал, что они естественным образом возникают в оптике из закона Снеллиуса.

По мнению Дейкстерхейса, «В De natura lucis et proprietate (1662) Исаак Воссиус сказал, что Декарт видел статью Снелла и придумал свое собственное доказательство. Теперь мы знаем, что это обвинение незаслуженно, но с тех пор оно принималось много раз». И Ферма, и Гюйгенс повторили это обвинение в том, что Декарт скопировал Снелла. По -французски закон Снеллиуса иногда называют «законом Декарта» или чаще « законом Снелла-Декарта ».

Христиана Гюйгенса Строительство

В своем «Трактате о Люмьере» 1678 года Христиан Гюйгенс показал, как закон синусов Снелла можно объяснить или вывести из волновой природы света, используя то, что мы стали называть принципом Гюйгенса-Френеля .

С развитием современной оптической и электромагнитной теории древний закон Снелла вышел на новый этап. В 1962 году Николаас Бломберген показал, что на границе нелинейной среды закон Снелла должен быть записан в общем виде. В 2008 и 2011 годах также было продемонстрировано, что плазмонные метаповерхности изменяют направления отражения и преломления светового луча.

Объяснение

Закон Снелла на стене в Лейдене

Закон Снелла используется для определения направления лучей света через преломляющие среды с различными показателями преломления. Показатели преломления сред, обозначенные $n_{1}$, $n_{2}$ и т. д. используются для обозначения коэффициента, на который уменьшается скорость светового луча при прохождении через преломляющую среду, такую ​​​​как стекло или вода, в отличие от его скорости в вакууме.

Когда свет проходит границу между средами, в зависимости от относительных показателей преломления двух сред свет будет преломляться либо под меньшим углом, либо под большим. Эти углы измеряются относительно нормальной линии , перпендикулярной границе. В случае света, идущего из воздуха в воду, свет будет преломляться по направлению к нормальной линии, поскольку в воде свет замедляется; свет, идущий из воды в воздух, будет преломляться от нормальной линии.

Преломление между двумя поверхностями также называют обратимым, поскольку, если бы все условия были одинаковыми, углы были бы одинаковыми для света, распространяющегося в противоположном направлении.

Закон Снеллиуса в целом верен только для изотропных или зеркальных сред (например, стекла ). В анизотропных средах, таких как некоторые кристаллы , двойное лучепреломление может разделить преломленный луч на два луча: обыкновенный луч , или o -луч, который следует закону Снелла, и другой необыкновенный луч , или e -луч, который может не быть компланарным падающему лучу.

Когда свет или другая волна монохроматичны, то есть имеют одну частоту, закон Снелла также можно выразить через соотношение длин волн в двух средах: $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$:

${\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}$

Выводы и формулы

Волновые фронты от точечного источника в контексте закона Снелла. Область ниже серой линии имеет более высокий показатель преломления и пропорционально более низкую скорость света , чем область над ней.

Закон Снелла можно вывести различными способами.

Ферма

Закон Снелла можно вывести из принципа Ферма , который гласит, что свет проходит путь, который занимает наименьшее время. Взяв производную длины оптического пути , можно найти стационарную точку, определяющую путь, пройденный светом. (Бывают ситуации, когда свет нарушает принцип Ферма, не идя по наименьшему пути во времени, как при отражении в (сферическом) зеркале.) По классической аналогии, область с более низким показателем преломления заменяется пляжем, областью с более высоким показателем преломления. индекс у моря, а самый быстрый способ для спасателя на пляже добраться до тонущего в море человека — это пробежать по пути, который подчиняется закону Снеллиуса.

Свет из среды 1, точки Q, попадает в среду 2, происходит преломление и, наконец, свет достигает точки P.

Как показано на рисунке справа, предположим, что показатели преломления среды 1 и среды 2 равны $n_{1}$ и $n_{2}$соответственно. Свет попадает в среду 2 из среды 1 через точку О.

$\theta _{1}$ - угол падения, $\theta _{2}$ – угол преломления относительно нормали.

Фазовые скорости света в среде 1 и среде 2 равны

$v_{1}=c/n_{1}$ и

$v_{2}=c/n_{2}$ соответственно.

$c$ это скорость света в вакууме.

Пусть Т — время, необходимое свету для прохождения из точки Q через точку О в точку Р.

$T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+l^{2}-2lx+x^{2}}}{v_{2}}}$

где a, b, l и x обозначены на рисунке справа, причем x является изменяющимся параметром.

Чтобы свести его к минимуму, можно дифференцировать:

${\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0$ (стационарная точка)

Обратите внимание, что ${\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}$

и ${\frac {l-x}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta _{2}$

Поэтому,

${\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0$

${\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}={\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}$

${\frac {n_{1}\sin \theta _{1}}{c}}={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}}{c}}$

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}$

Гюйгенса

Дополнительная информация: принцип Гюйгенса – Френеля.

В качестве альтернативы закон Снелла можно вывести, используя интерференцию всех возможных путей световой волны от источника к наблюдателю - это приводит к деструктивной интерференции везде, кроме экстремумов фазы (где интерференция конструктивна), которые становятся реальными путями.

Максвелла

Дополнительная информация: уравнения Френеля.

Другой способ вывода закона Снелла включает применение общих граничных условий уравнений Максвелла для электромагнитного излучения и индукции .

сохранения энергии и

Еще один способ вывода закона Снелла основан на соображениях трансляционной симметрии. Например, однородная поверхность, перпендикулярная направлению z, не может изменить поперечный импульс. Поскольку вектор распространения ${\vec {k}}$ пропорциональна импульсу фотона, поперечному направлению распространения $(k_{x},k_{y},0)$должны оставаться одинаковыми в обоих регионах. Без ограничения общности примем плоскость падения в $z,x$ самолет $k_{x{\text{Region}}_{1}}=k_{x{\text{Region}}_{2}}$. Используя известную зависимость волнового числа от показателя преломления среды, мы сразу выводим закон Снеллиуса.

$k_{x{\text{Region}}_{1}}=k_{x{\text{Region}}_{2}}\,$

$n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\,$

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\,$

где $k_{0}={\frac {2\pi }{\lambda _{0}}}={\frac {\omega }{c}}$— волновое число в вакууме. Хотя ни одна поверхность не является по-настоящему однородной на атомном уровне, полная трансляционная симметрия является отличным приближением, когда область однородна в масштабе длины волны света.

Векторная форма

См. Также: Зеркальное отражение § Направление отражения.

Учитывая нормализованный вектор света ${\vec {l}}$ (направленный от источника света к поверхности) и нормализованный вектор плоской нормали ${\vec {n}}$, можно определить нормированные отраженные и преломленные лучи через косинусы угла падения $\theta _{1}$ и угол преломления $\theta _{2}$, без явного использования значений синуса или каких-либо тригонометрических функций или углов:

$\cos \theta _{1}=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}$

Примечание: $\cos \theta _{1}$ должно быть положительным, что будет, если ${\vec {n}}$ — вектор нормали, который указывает от поверхности к стороне, откуда исходит свет, к области с индексом $n_{1}$. Если $\cos \theta _{1}$ отрицательно, то ${\vec {n}}$ указывает на сторону без света, поэтому начните с ${\vec {n}}$ заменен его отрицательным.

${\vec {v}}_{\mathrm {reflect} }={\vec {l}}+2\cos \theta _{1}{\vec {n}}$

Этот отраженный вектор направления указывает обратно на ту сторону поверхности, откуда исходил свет.

Теперь примените закон Снелла к отношению синусов, чтобы вывести формулу вектора направления преломленного луча:

$\sin \theta _{2}=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)\sin \theta _{1}=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\sqrt {1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}}}$

$\cos \theta _{2}={\sqrt {1-(\sin \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}$

${\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\vec {l}}+\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right){\vec {n}}$

Формула может показаться проще с точки зрения переименованных простых значений. $r=n_{1}/n_{2}$ и $c=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}$, избегая появления имен тригонометрических функций или имен углов:

${\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=r{\vec {l}}+\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}\right){\vec {n}}$

Пример:

${\vec {l}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec {n}}=\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9$

$c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362$

${\vec {v}}_{\mathrm {reflect} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=\{0.636396,-0.771362\}$

Значения косинуса можно сохранить и использовать в уравнениях Френеля для определения интенсивности результирующих лучей.

Полное внутреннее отражение обозначается отрицательным подкоренным числом в уравнении для $\cos \theta _{2}$, что может произойти только для лучей, переходящих в менее плотную среду ( $n_{2}<n_{1}$).

Полное внутреннее отражение

Демонстрация отсутствия преломления под углами, превышающими критический угол.

Основная статья: Полное внутреннее отражение

Когда свет распространяется из среды с более высоким показателем преломления в среду с более низким показателем преломления, закон Снелла, по-видимому, требует в некоторых случаях (всякий раз, когда угол падения достаточно велик), чтобы синус угла преломления был больше единицы. Это, конечно, невозможно, и свет в таких случаях полностью отражается от границы — явление, известное как полное внутреннее отражение . Наибольший возможный угол падения, при котором луч все равно преломляется, называется критическим углом ; в этом случае преломленный луч проходит вдоль границы между двумя средами.

Преломление света на границе двух сред.

Например, рассмотрим луч света, движущийся из воды в воздух под углом падения 50°. Показатели преломления воды и воздуха равны примерно 1,333 и 1 соответственно, поэтому закон Снелла дает нам соотношение

$\sin \theta _{2}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{1}={\frac {1.333}{1}}\cdot \sin \left(50^{\circ }\right)=1.333\cdot 0.766=1.021,$

который невозможно удовлетворить. Критический угол θ _крит – это значение θ ₁ , при котором θ ₂ равен 90°:

$\theta _{\text{crit}}=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\sin \theta _{2}\right)=\arcsin {\frac {n_{2}}{n_{1}}}=48.6^{\circ }.$

Дисперсия

Основная статья: Дисперсия (оптика)

Во многих средах распространения волн скорость волн меняется в зависимости от частоты или длины волн; это верно для распространения света в большинстве прозрачных веществ, кроме вакуума. Такие среды называются дисперсионными. В результате углы, определяемые законом Снелла, также зависят от частоты или длины волны, так что луч смешанной длины волны, такой как белый свет, будет распространяться или рассеиваться. Такая дисперсия света в стекле или воде лежит в основе возникновения радуги и других оптических явлений , при которых разные длины волн выглядят как разные цвета.

В оптических приборах дисперсия приводит к хроматической аберрации ; размытие, зависящее от цвета, которое иногда является эффектом ограничения разрешения. Это было особенно актуально для преломляющих телескопов до изобретения ахроматических объективов.

Медиа с потерями, поглощающие или проводящие средства

См. Также: Математическое описание непрозрачности.

В проводящей среде диэлектрическая проницаемость и показатель преломления имеют комплексные значения. Следовательно, то же самое относится и к углу преломления и волновому вектору. Это означает, что в то время как поверхности постоянной реальной фазы представляют собой плоскости, нормали которых составляют угол, равный углу преломления с нормалью интерфейса, поверхности постоянной амплитуды, напротив, представляют собой плоскости, параллельные самому интерфейсу. Поскольку эти две плоскости, вообще говоря, не совпадают друг с другом, волна называется неоднородной. Преломленная волна затухает экспоненциально, причем показатель степени пропорционален мнимой составляющей показателя преломления.

См. также

• Кривая брахистохроны - самый быстрый спуск по кривой без трения, простое доказательство Якоба Бернулли.
• Вариационное исчисление - Дифференциальное исчисление в функциональных пространствах
• Расчет затухания радиоволн в атмосфере
• Затухающая волна - тип поля, в котором чистый поток электромагнитной энергии равен нулю. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Гамильтонова оптика
• Список показателей преломления
• Интерферометрическое уравнение с N-щелью
• Отражение (физика) - «отскок» волн на границе раздела.
• Окно Снелла - подводное явление, обусловленное законом Снелла.
• Показатель преломления в зависимости от длины волны света . Эмпирическая связь между показателем преломления и длиной волны.

Внешние ссылки

• Ибн Сахль и закон Снеллиуса
• Открытие закона преломления
• Закон преломления Снелла (волновые фронты), Тодд Роуленд, Демонстрационный проект Wolfram
• Закон Снелла на стене в центре Лейдена. Архивировано 27 апреля 2018 г. в Wayback Machine.
• Эффект береговой линии