Поверхность мальчика

В геометрии чтобы доказать , поверхность Боя представляет собой погружение реальной проективной плоскости в трехмерное пространство, найденное Вернером Боем в 1901 году. Он открыл ее по заданию Дэвида Гильберта, что проективная плоскость не может быть погружена в трехмерное пространство .

Поверхность Боя была впервые параметризована Бернаром Мореном в 1978 году. ^[1] Другая параметризация была открыта Робом Куснером и Робертом Брайантом . ^[2] Поверхность Боя — это одно из двух возможных погружений реальной проективной плоскости, имеющих только одну тройную точку. ^[3]

В отличие от римской поверхности и кросс-шапочки , она не имеет других особенностей , кроме самопересечений (т. е. не имеет точек защемления ).

Параметризация [ править ]

Вид параметризации Куснера – Брайанта поверхности Боя.

Поверхность Боя можно параметризовать несколькими способами. Одна параметризация, открытая Робом Каснером и Робертом Брайантом , ^[4] заключается в следующем: дано комплексное число w которого , величина меньше или равна единице ( $\|w\|\leq 1$ ), позволять

{\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\operatorname {Im} \left[{w\left(1-w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{2}&=-{3 \over 2}\operatorname {Re} \left[{w\left(1+w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{3}&=\operatorname {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\\end{aligned}}

а затем установить

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}

затем мы получаем декартовы координаты x , y и z точки на поверхности Боя.

Если выполнить инверсию этой параметризации с центром в тройной точке, то получится полная минимальная поверхность с тремя концами (именно так эта параметризация была открыта естественным путем). Это означает, что параметризация поверхностей Боя Брайанта-Кузнера «оптимальна» в том смысле, что это «наименее изогнутое» погружение проективной плоскости в трехмерное пространство .

Свойство параметризации Брайанта – Куснера

Если w заменить отрицательной величиной, обратной его комплексно-сопряженной единице , ${\textstyle -{1 \over w^{\star }},}$ тогда функции g ₁ , g ₂ и g ₃ от w остаются неизменными.

Заменяя $w$ через его действительную и мнимую части $w = s + it$ и расширяя полученную параметризацию, можно получить параметризацию поверхности Боя в терминах рациональных функций от $s$ и $t$ . Это показывает, что поверхность Боя является не только алгебраической поверхностью , но даже рациональной поверхностью . Замечание предыдущего абзаца показывает, что общий слой этой параметризации состоит из двух точек (то есть почти каждая точка поверхности Боя может быть получена двумя значениями параметров).

к реальной проективной Отношение плоскости

Позволять $P(w)=(x(w),y(w),z(w))$ быть параметризацией Брайанта-Куснера поверхности Боя. Затем

P(w)=P\left(-{1 \over w^{\star }}\right).

Это объясняет состояние $\left\|w\right\|\leq 1$ по параметру: если $\left\|w\right\|<1,$ затем ${\textstyle \left\|-{1 \over w^{\star }}\right\|>1.}$ Однако с этим дело обстоит немного сложнее. $\left\|w\right\|=1.$ В этом случае имеется ${\textstyle -{1 \over w^{\star }}=-w.}$ Это означает, что если $\left\|w\right\|=1,$ точка поверхности Боя получается из двух значений параметров: $P(w)=P(-w).$ Другими словами, поверхность Боя параметризована диском так, что пары диаметрально противоположных точек на периметре диска эквивалентны. Это показывает, что поверхность Боя является образом реальной проективной плоскости RP. ² по гладкой карте . То есть параметризация поверхности Боя — это погружение реальной проективной плоскости в евклидово пространство .

Симметрии [ править ]

Поверхность Мальчика имеет 3-кратную симметрию . Это означает, что у него есть ось дискретной вращательной симметрии: любой поворот на 120° вокруг этой оси приведет к тому, что поверхность будет выглядеть точно так же. Поверхность Мальчика можно разрезать на три взаимно конгруэнтные части.

Приложения [ править ]

Поверхность Мальчика можно использовать при вывороте сферы , как половинную модель . Половинная модель представляет собой погружение сферы, при этом вращение меняется местами внутри и снаружи, поэтому ее можно использовать для выворота (выворачивания наизнанку) сферы. Поверхности Боя (случай p = 3) и Морена (случай p = 2) начинают последовательность половинных моделей с более высокой симметрией, впервые предложенных Джорджем Фрэнсисом, индексированных четными целыми числами 2p (для нечетных p эти погружения могут быть факторизованных через проективную плоскость). Все это дает параметризация Куснера.

в Обервольфахе Модель

Модель поверхности мальчика в Обервольфахе

В Институте математических исследований Обервольфаха есть большая модель поверхности Мальчика перед входом, построенная и подаренная Mercedes-Benz в январе 1991 года. Эта модель имеет трехкратную вращательную симметрию и минимизирует энергию Уиллмора поверхности. Он состоит из стальных полос, которые представляют собой изображение сетки полярных координат в соответствии с параметризацией, заданной Робертом Брайантом и Робом Каснером. Меридианы (лучи) становятся обычными лентами Мёбиуса , т.е. закрученными на 180 градусов. Все полосы, кроме одной, соответствующие кругам широты (радиальные круги вокруг начала координат), раскручены, а та, что соответствует границе единичного круга, представляет собой ленту Мёбиуса, скрученную в три раза по 180 градусов — как и эмблема института. ( Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, 2011 ).

сделана для Клиффорда Столла . Модель

Модель была изготовлена из стекла стеклодувом Лукасом Кларком в сотрудничестве с Адамом Сэвиджем для презентации Клиффорду Столлу Адама Сэвиджа . Она была представлена на YouTube- канале Tested . Все трое появились на видео, обсуждая это. ^[5]

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

^ Морен, Бернар (13 ноября 1978 г.). «Уравнения выворота сферы» ( PDF) . Доклады Академии наук . Серия А (на французском языке). 287 : 879–882.
^ Куснер, Роб (1987). «Конформная геометрия и полные минимальные поверхности» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 17 (2): 291–295. дои : 10.1090/S0273-0979-1987-15564-9 . .
^ Гудман, Сью; Марек Коссовски (2009). «Погружения проективной плоскости с одной тройной точкой» . Дифференциальная геометрия и ее приложения . 27 (4): 527–542. дои : 10.1016/j.difgeo.2009.01.011 . ISSN 0926-2245 .
^ Рэймонд О'Нил Уэллс (1988). «Поверхности в конформной геометрии (Роберт Брайант)». Математическое наследие Германа Вейля (12–16 мая 1987 г., Университет Дьюка, Дарем, Северная Каролина) . Учеб. Симпозиумы. Чистая математика. Том. 48. Американская математическая соц. стр. 227–240. дои : 10.1090/pspum/048/974338 . ISBN 978-0-8218-1482-6 .
^ Адам, Сэвидж. «Этот объект нельзя было создать» . Ютуб . Проверено 22 июня 2023 г.

Источники [ править ]

Кирби, Роб (ноябрь 2007 г.), «Какова поверхность Боя?» (PDF) , Уведомления AMS , 54 (10): 1306–1307 Здесь описывается кусочно-линейная модель поверхности Боя.
- Кассельман, Билл (ноябрь 2007 г.), «Collapsing Boy's Umbrellas» (PDF) , Уведомления AMS , 54 (10): 1356 Статья на обложке, сопровождающей статью Роба Кирби.
Институт математических исследований Обервольфаха (2011), Поверхность мальчика в Обервольфахе (PDF) .
Сандерсон, Б. Boy's будет Boy's (без даты, 2006 г. или ранее).
Вайсштейн, Эрик В. «Поверхность мальчика» . Математический мир .

Внешние ссылки [ править ]

Поверхность Боя в MathCurve; содержит различные визуализации, различные уравнения, полезные ссылки и ссылки
Плоское развёртывание поверхности Мальчика – апплет из журнала Plus Magazine .
Ресурсы поверхности Боя , включая оригинальную статью , и встраивание тополога в поверхность Мальчика Обервольфаха .
Поверхность LEGO Boy
Бумажная модель поверхности Мальчика – выкройка и инструкция.
Модель поверхности Боя в Constructive Solid Geometry вместе с инструкциями по сборке.
Видео визуализации поверхности мальчика из Математического института Сербской академии искусств и наук.
Этот объект должно было быть невозможно создать Адам Сэвидж делает музейный стенд для стеклянной модели поверхности

[Morin_1978-1] Морен, Бернар (13 ноября 1978 г.). «Уравнения выворота сферы» ( PDF) . Доклады Академии наук . Серия А (на французском языке). 287 : 879–882.

[Kusner_1987-2] Куснер, Роб (1987). «Конформная геометрия и полные минимальные поверхности» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 17 (2): 291–295. дои : 10.1090/S0273-0979-1987-15564-9 . .

[Goodman2009-3] Гудман, Сью; Марек Коссовски (2009). «Погружения проективной плоскости с одной тройной точкой» . Дифференциальная геометрия и ее приложения . 27 (4): 527–542. дои : 10.1016/j.difgeo.2009.01.011 . ISSN 0926-2245 .

[Wells1988-4] Рэймонд О'Нил Уэллс (1988). «Поверхности в конформной геометрии (Роберт Брайант)». Математическое наследие Германа Вейля (12–16 мая 1987 г., Университет Дьюка, Дарем, Северная Каролина) . Учеб. Симпозиумы. Чистая математика. Том. 48. Американская математическая соц. стр. 227–240. дои : 10.1090/pspum/048/974338 . ISBN 978-0-8218-1482-6 .

[5] Адам, Сэвидж. «Этот объект нельзя было создать» . Ютуб . Проверено 22 июня 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]