Теорема о трех пробелах

В математике теорема о трех пробелах , теорема о трех расстояниях или гипотеза Штейнхауза утверждают, что если разместить $n$ точек на окружности под углами $θ$ , $2 θ$ , $3 θ$ , ... от начальной точки, то быть не более трех различных расстояний между парами точек в соседних положениях по кругу. При наличии трех расстояний наибольшее из трех всегда равно сумме двух других. ^[1] Если $θ$ не является рациональным кратным $π$ , также будет как минимум два различных расстояния.

Этот результат был выдвинут гипотезой Хьюго Штайнхаусом и доказан в 1950-х годах Верой Т. Сос , Яношем Сурани [ ху ] и Станиславом Сверчковским ; дополнительные доказательства были добавлены другими позже. Приложения теоремы о трех зазорах включают изучение роста растений и систем музыкальной настройки, а также теорию отражения света внутри зеркального квадрата.

Заявление

Теорему о трех пробелах можно сформулировать геометрически в терминах точек окружности. В этой форме оно гласит, что если поместить $n$ точки на окружности под углами $\theta ,2\theta ,\dots ,n\theta$ от начальной точки, то между парами точек в соседних позициях по кругу будет не более трех различных расстояний. Эквивалентная и более алгебраическая форма включает дробные части кратных действительному числу . Он утверждает, что для любого положительного действительного числа $\alpha$ и целое число $n$ , дробные части чисел $\alpha ,2\alpha ,\dots ,n\alpha$ разделить единичный интервал на подинтервалы не более трех разных длин. Эти две проблемы эквивалентны при линейном соответствии между единичным интервалом и длиной окружности и соответствии между действительным числом $\alpha$ и угол $\theta =2\pi \alpha$ . ^[2]^[3]^[4]

Приложения

Рост растений

При изучении филлотаксиса (расположения листьев на стеблях растений) было замечено, что каждый последующий лист на стеблях многих растений повернут относительно предыдущего на золотой угол , примерно на 137,5°. Было высказано предположение, что этот угол максимизирует способность листьев растения собирать солнце. ^[5] Если посмотреть на стебель растения, выросший таким образом, с торца, то между двумя листьями, расположенными последовательно в циклическом порядке, заданном этим видом с торца, будет не более трех различных углов. ^[6]

Например, на рисунке наибольший из этих трех углов встречается три раза: между листьями с номерами 3 и 6, между листьями 4 и 7 и между листьями 5 и 8. Второй по величине угол встречается пять раз, между листьями 6. и 1, 9 и 4, 7 и 2, 10 и 5, и 8 и 3. И наименьший угол возникает только дважды, между створками 1 и 9 и между створками 2 и 10. Явление наличия трех типов различных промежутков зависит только на том факте, что в модели роста используется постоянный угол поворота, а не на отношении этого угла к золотому сечению ; то же самое явление произойдет и для любого другого угла поворота, а не только для золотого угла. Однако другие свойства этой модели роста действительно зависят от золотого сечения. Например, тот факт, что золотое сечение представляет собой плохо аппроксимируемое число , означает, что точки, расположенные под этим углом вдоль спирали Ферма (как и в некоторых моделях роста растений), образуют множество Делоне ; интуитивно это означает, что они расположены равномерно. ^[7]

Теория музыки

В теории музыки музыкальный интервал описывает соотношение частот между двумя музыкальными тонами . Интервалы обычно считаются согласными или гармоничными, если они представляют собой соотношение двух маленьких целых чисел; например, октава соответствует соотношению 2:1, а чистая квинта соответствует соотношению 3:2. ^[8] Два тона обычно считаются эквивалентными, если они различаются на целое число октав; эта эквивалентность может быть геометрически представлена хроматическим кругом , точки которого представляют классы эквивалентных тонов. Математически этот круг можно описать как единичный круг на комплексной плоскости , а точку на этом круге, которая представляет заданный тон, можно получить путем отображения частоты $\nu$ к комплексному числу ${\textstyle \exp(2\pi i\log _{2}\nu )}$ . Интервал с соотношением $\rho$ соответствует углу $2\pi \log _{2}\rho$ между точками на этом круге, что означает, что два музыкальных тона различаются на заданный интервал, когда две их точки на круге различаются на этот угол. Например, эта формула дает $2\pi$ (целый круг) как угол, соответствующий октаве. Поскольку 3/2 не является рациональной степенью двойки , угол на хроматическом круге, представляющий чистую пятую часть, не является рациональным кратным двойки. $2\pi$ , и аналогично другие распространенные музыкальные интервалы, кроме октавы, не соответствуют рациональным углам. ^[9]

Система настройки — это набор тонов, используемых для сочинения и воспроизведения музыки. Например, равная темперация, обычно используемая для фортепиано, представляет собой систему настройки, состоящую из 12 тонов, равномерно расположенных по хроматическому кругу. Некоторые другие системы настройки не распределяют свои тона одинаково, а вместо этого генерируют их некоторым количеством последовательных кратных заданному интервалу. Примером может служить пифагорейская настройка , построенная таким образом из двенадцати тонов, образующихся как последовательные кратные чистой квинты в круге квинт . Иррациональный угол, образованный на хроматическом круге чистой квинтой, близок к 7/12 окружности, и поэтому двенадцать тонов пифагорейской настройки близки, но не совпадают с двенадцатью тонами равнотемперированной, которые могли бы можно сгенерировать таким же образом, используя угол ровно 7/12 окружности. ^[10] Вместо того, чтобы располагаться под углами ровно 1/12 круга, как это было бы с тонами равной темперации, тона пифагорейской настройки разделены интервалами двух разных углов, близкими, но не точно 1/12 круга. , представляющий два разных типа полутонов . ^[11] Если бы пифагорейская система настройки была расширена на одну более совершенную квинту, до набора из 13 тонов, то последовательность интервалов между ее тонами включала бы третий, гораздо более короткий интервал, пифагорейскую запятую . ^[12]

В этом контексте теорема о трех пробелах может использоваться для описания любой системы настройки, которая генерируется таким образом последовательными кратными одному интервалу. Некоторые из этих систем настройки (например, равнотемперированная) могут иметь только один интервал, разделяющий ближайшие пары тонов, а некоторые (например, пифагорейская настройка) могут иметь только два разных интервала, разделяющих тоны, но теорема о трех пробелах подразумевает, что существуют всегда не более трех разных интервалов, разделяющих тоны. ^[13]^[14]

Зеркальное отражение

Слово Штурма — это бесконечная последовательность двух символов (например, «H» и «V»), описывающая последовательность горизонтальных и вертикальных отражений светового луча внутри зеркального квадрата, начинающуюся по линии иррационального наклона. Аналогично, та же последовательность описывает последовательность горизонтальных и вертикальных линий целочисленной сетки, которые пересекает стартовая линия. Одним из свойств, которым обладают все такие последовательности, является то, что для любого положительного целого числа $n$ последовательность имеет ровно $n + 1$ различных последовательных подпоследовательностей длины $n$ . Каждая подпоследовательность встречается бесконечно часто с определенной частотой, и теорема о трех пробелах подразумевает, что эти $n + 1$ подпоследовательности встречаются не более чем с тремя различными частотами. Если частот три, то наибольшая частота должна равняться сумме двух других. Одно из доказательств этого результата включает в себя разделение $y$ -перехватов начальных строк (по модулю 1) на $n + 1$ подинтервалы, внутри которых начальные $n$ элементов последовательности одинаковы, и применение к этому разбиению теоремы о трех пробелах. ^[15]^[16]

История и доказательства

Теорема о трёх пробелах была выдвинута Хьюго Штейнхаусом , и её первая гипотеза ^[17] Доказательства были найдены в конце 1950-х годов Верой Т. Сос . ^[18] Янош Сураньи [ ху ] , ^[19] и Станислав Сверчковский . ^[20] Позже исследователи опубликовали дополнительные доказательства. ^[21] обобщение этого результата на более высокие измерения ^[22]^[23]^[24]^[25]и связывая его с темами, включая непрерывные дроби , ^[4]^[26] симметрии и геодезические многообразий римановых , ^[27] эргодическая теория , ^[28] и пространство плоских решеток . ^[3] Майеро (2000) формализует доказательство с помощью интерактивного средства доказательства теорем Coq . ^[2]

Следующее простое доказательство принадлежит Фрэнку Лянгу. Пусть $θ$ будет углом поворота, образующим набор точек как некоторое количество последовательных кратных $θ$ на окружности. Определите разрыв как дугу $A$ окружности, которая проходит между двумя соседними точками данного набора, и определите разрыв как жесткий, если его конечные точки встречаются позже в последовательности, кратной $θ,$ чем любой другой разрыв той же длины. Из этого определения следует, что каждый зазор имеет ту же длину, что и жесткий зазор. Если $A$ — жесткий зазор, то $A + θ$ не является зазором, поскольку он имеет ту же длину и будет на один шаг позже.Единственный способ добиться этого — сделать одну из конечных точек $A$ последней точкой в последовательности кратных $θ$ (так что соответствующая конечная точка $A + θ$ отсутствует) или чтобы одна из заданных точек оказалась в пределах $A + θ$ , что не позволяет ему стать пробелом. Точка может оказаться в пределах $A + θ$ только в том случае, если она является первой точкой в последовательности, кратной $θ$ , потому что в противном случае ее предшественница в последовательности приземлилась бы в пределах $A$ , что противоречит предположению, что $A$ является пробелом. Таким образом, может быть не более трех жестких промежутков: два по обе стороны от последней точки и один, в который попал бы предшественник первой точки (если бы он был частью последовательности). Поскольку существует не более трех жестких промежутков, существует не более трех длин промежутков. ^[29]^[30]

Связанные результаты

Доказательство Ляна дополнительно показывает, что при наличии ровно трех длин промежутка самая большая длина зазора является суммой двух других. Ибо в этом случае повернутая копия $A + θ$ , имеющая в себе первую точку, разделяется этой точкой на два меньших промежутка, которые должны быть двумя другими промежутками. ^[29]^[30] Лян также доказывает более общий результат: $3d$ дистанционная теорема», согласно которой объединение $d$ различные арифметические прогрессии на окружности имеют не более $3d$ разная длина зазора. ^[29] В теореме о трех пробелах существует постоянная граница отношений между тремя пробелами тогда и только тогда, когда $θ /2 π$ — плохо аппроксимируемое число . ^[7]

Тесно связанная, но более ранняя теорема, также называемая теоремой о трех пробелах, заключается в том, что если $A$ - любая дуга окружности, то целочисленная последовательность кратных $θ$ , попадающих в $A,$ имеет не более трех длин промежутков между значениями последовательности. Опять же, если есть три длины зазора, то одна из них является суммой двух других. ^[31]^[32]

См. также

Ссылки

^ Аллуш, Жан-Поль; Шалит, Джеффри (2003), «2.6 Теорема о трех расстояниях», Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения , Cambridge University Press, стр. 53–55, ISBN 9780521823326
^ Jump up to: ^а ^б Майеро, Микаэла (2000), «Теорема о трех пробелах (гипотеза Штейнхауза)», Типы доказательств и программ: Международный семинар, TYPES'99, Лёкеберг, Швеция, 12–16 июня 1999 г., Избранные статьи , Конспекты лекций по информатике , том. 1956, Springer, стр. 162–173, arXiv : cs/0609124 , doi : 10.1007/3-540-44557-9_10 , ISBN. 978-3-540-41517-6 , S2CID 3228597
^ Jump up to: ^а ^б Марклоф, Йенс; Стрёмбергссон, Андреас (2017), «Теорема о трёх пробелах и пространство решеток», The American Mathematical Monthly , 124 (8): 741–745, arXiv : 1612.04906 , doi : 10.4169/amer.math.monthly.124.8.741 , hdl : 1983/b5fd0feb-e42d-48e9-94d8-334b8dc24505 , JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.124.8.741 , MR 3706822 , S2CID 119670663
^ Jump up to: ^а ^б ван Равенштейн, Тони (1988), «Теорема о трех пробелах (гипотеза Штейнхауса)», Журнал Австралийского математического общества , серия A, 45 (3): 360–370, doi : 10.1017/S1446788700031062 , MR 0957201
^ Адам, Джон А. (2011), Математическая прогулка по природе , Princeton University Press, стр. 35–41, ISBN 9781400832903
^ ван Равенштейн, Тони (1987), «Числовые последовательности и филлотаксис», Бюллетень Австралийского математического общества , 36 (2): 333, doi : 10.1017/s0004972700026605
^ Jump up to: ^а ^б Акияма, Сигэки (март 2020 г.), «Спиральные множества Делоне и теорема о трех расстояниях», Nonlinearity , 33 (5): 2533–2540, arXiv : 1904.10815 , Bibcode : 2020Nonli..33.2533A , doi : 10.1088/1361-6544/ab74ad , S2CID 129945118
^ Хаак, Джоэл К. (1999), «Математика правильной интонации, используемая в музыке Терри Райли» , в Сарханги, Реза (ред.), Мосты: математические связи в искусстве, музыке и науке , Юго-Западный колледж, Уинфилд , Канзас: Конференция Бриджес, стр. 101–110, ISBN. 0-9665201-1-4
^ Баруан, Жиль; Кальве, Андре (2019), «Визуализация темперамента: квадратура круга?», Монтьель, Мариана; Гомес-Мартин, Франциско; Агустин-Акино, Октавио А. (ред.), Математика и вычисления в музыке: 7-я Международная конференция, MCM 2019, Мадрид, Испания, 18–21 июня 2019 г., Материалы , Springer International Publishing, стр. 333–337, doi : 10.1007/978-3-030-21392-3_27 , S2CID 184482714
^ Кэри, Норман; Клэмпитт, Дэвид (октябрь 1989 г.), «Аспекты правильно построенных гамм», Music Theory Spectrum , 11 (2): 187–206, doi : 10.2307/745935 , JSTOR 745935
^ Штром, Рейнхард; Блэкберн, Бонни Дж. , ред. (2001), Музыка как концепция и практика в позднем средневековье, Том 3, Часть 1 , Новая оксфордская история музыки, Oxford University Press, стр. 252, ISBN 9780198162056
^ Бенсон, Дональд К. (2003), Более гладкий камешек: математические исследования , Oxford University Press, стр. 51, ISBN 9780198032977
^ Кэри, Норман (2007), «Связность и сходство в хорошо сформированных и попарно хорошо сформированных шкалах», Journal of Mathematics and Music , 1 (2): 79–98, doi : 10.1080/17459730701376743 , S2CID 120586231
^ Нарушима, Теруми (2017), Микротональность и системы настройки Эрва Уилсона: картирование гармонического спектра , Исследования Рутледжа в теории музыки, Рутледж, стр. 90–91, ISBN 9781317513421
^ Лотер, М. (2002), «Стурмианские слова» , Алгебраическая комбинаторика слов , Кембридж: Cambridge University Press , стр. 40–97, ISBN 978-0-521-81220-7 , Збл 1001.68093 . Лотар использует свойство иметь $d+1$ слова длины $d$ как определение слов Штурма, а не как следствие определения. Об эквивалентности этого свойства приведенному здесь определению см. теорему 2.1.13, с. 51. О трех частотах этих слов см. теорему 2.2.37, с. 73.
^ Алессандри, Паскаль; Берте, Валери (1998), «Три теоремы о расстоянии и комбинаторика слов» , L'Enseignement mathématique , 44 (1–2): 103–132, MR 1643286 ; см., в частности, раздел 2.1, «Сложность и частоты кодировок вращений»
^ Хейнс, Алан; Марклоф, Йенс (2020), «Высокомерные задачи Штейнгауза и Слейтера с помощью однородной динамики», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 53 (2): 537–557, arXiv : 1707.04094 , doi : 10.24033/asens.2427 , MR 4094564 , S2CID 67851217 , Первые доказательства этого замечательного факта были опубликованы в 1957 году Сосом, в 1958 году Сурани и в 1959 году Сверчковским.
^ Сос, В.Т. (1958), «О распространении mod 1 последовательности $n\alpha$ », Ann. Univ. Sci. Будапешт, Секция математики Этвёша , 1 : 127–134 .
^ Сураньи, Дж. (1958), «О расположении кратных действительному числу по модулю 1», Ann. Университет наук. Будапешт, квартал Этвёш. Матем. , 1 : 107–111.
^ Сверчковский, С. (1959), «О последовательных установках дуги на окружности», Fundamenta Mathematicae , 46 (2): 187–189, doi : 10.4064/fm-46-2-187-189 , MR 0104651
^ Эти доказательства кратко рассмотрены и классифицированы Марклофом и Стрёмбергссоном (2017) , из которого взята следующая классификация этих доказательств и многие ссылки на них.
^ Халтон, Джон Х. (1965), «Распределение последовательности $\{n\xi \}\,(n=0,\,1,\,2,\,\ldots )$ », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 61 (3): 665–670, doi : 10.1017/S0305004100039013 , MR 0202668 , S2CID 123400321
^ Шевалье, Николя (2007), «Циклические группы и теорема о трех расстояниях», Canadian Journal of Mathematics , 59 (3): 503–552, doi : 10.4153/CJM-2007-022-3 , MR 2319157 , S2CID 123011205
^ Виджай, Суджит (2008), «Одиннадцати евклидовых расстояний достаточно», Journal of Number Theory , 128 (6): 1655–1661, arXiv : math/0609536 , doi : 10.1016/j.jnt.2007.08.016 , MR 2419185 , S2CID 119655772
^ Блехер, Павел М.; Хомма, Юков; Джи, Линдон Л.; Редер, Роланд К.В.; Шен, Джеффри Д. (2012), «Расстояния до ближайших соседей по окружности: многомерный случай», Journal of Statistical Physics , 146 (2): 446–465, arXiv : 1107.4134 , Bibcode : 2012JSP...146..446B , doi : 10.1007/s10955-011-0367-8 , MR 2873022 , S2CID 99723
^ Слейтер, Ноэль Б. (1967), «Пробелы и шаги в последовательности $n\theta {\bmod {1}}$ », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 63 (4): 1115–1123, doi : 10.1017/S0305004100042195 , MR 0217019 , S2CID 121496726
^ Бирингер, Ян; Шмидт, Бенджамин (2008), «Теорема« Три разрыва »и« Геометрия риманы », Geometriae Dedicata 136 : 175–190 : 0803.1250 , doi : 10.1007 s10711-008-9283-8 , , г. Arxiv / ,
^ Хейнс, Алан; Койвусало, Хна; Уолтон, Джеймс; Садун, Лоренцо (2016), «Проблемы с пробелами и частоты патчей в наборах вырезок и проектов» (PDF) , Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 161 (1): 65–85, Bibcode : 2016MPCPS.161...65H , doi : 10.1017/S0305004116000128 , MR 3505670 , S2CID 55686324
^ Jump up to: ^а ^б ^с Лян, Фрэнк М. (1979), «Краткое доказательство $3d$ Теорема о расстоянии», Дискретная математика , 28 (3): 325–326, doi : 10.1016/0012-365X(79)90140-7 , MR 0548632
^ Jump up to: ^а ^б Шиу, Питер (2018), «Сноска к теореме о трех пробелах», The American Mathematical Monthly , 125 (3): 264–266, doi : 10.1080/00029890.2018.1412210 , MR 3768035 , S2CID 125810745
^ Слейтер, Н.Б. (1950), "Распределение целых чисел $N$ для чего $\theta N<\phi$ », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 46 (4): 525–534, doi : 10.1017/S0305004100026086 , MR 0041891 , S2CID 120454265
^ Флорек, К. (1951), "Замечание о распределении чисел. $n\xi \,(\operatorname {mod} 1)$ ", Colloquium Mathematicum , 2 : 323–324.

[automatic-1] Аллуш, Жан-Поль; Шалит, Джеффри (2003), «2.6 Теорема о трех расстояниях», Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения , Cambridge University Press, стр. 53–55, ISBN 9780521823326

[mayero-2] Jump up to: ^а ^б Майеро, Микаэла (2000), «Теорема о трех пробелах (гипотеза Штейнхауза)», Типы доказательств и программ: Международный семинар, TYPES'99, Лёкеберг, Швеция, 12–16 июня 1999 г., Избранные статьи , Конспекты лекций по информатике , том. 1956, Springer, стр. 162–173, arXiv : cs/0609124 , doi : 10.1007/3-540-44557-9_10 , ISBN. 978-3-540-41517-6 , S2CID 3228597

[ms-3] Jump up to: ^а ^б Марклоф, Йенс; Стрёмбергссон, Андреас (2017), «Теорема о трёх пробелах и пространство решеток», The American Mathematical Monthly , 124 (8): 741–745, arXiv : 1612.04906 , doi : 10.4169/amer.math.monthly.124.8.741 , hdl : 1983/b5fd0feb-e42d-48e9-94d8-334b8dc24505 , JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.124.8.741 , MR 3706822 , S2CID 119670663

[vr88-4] Jump up to: ^а ^б ван Равенштейн, Тони (1988), «Теорема о трех пробелах (гипотеза Штейнхауса)», Журнал Австралийского математического общества , серия A, 45 (3): 360–370, doi : 10.1017/S1446788700031062 , MR 0957201

[mnw-5] Адам, Джон А. (2011), Математическая прогулка по природе , Princeton University Press, стр. 35–41, ISBN 9781400832903

[vr87-6] ван Равенштейн, Тони (1987), «Числовые последовательности и филлотаксис», Бюллетень Австралийского математического общества , 36 (2): 333, doi : 10.1017/s0004972700026605

[akiyama-7] Jump up to: ^а ^б Акияма, Сигэки (март 2020 г.), «Спиральные множества Делоне и теорема о трех расстояниях», Nonlinearity , 33 (5): 2533–2540, arXiv : 1904.10815 , Bibcode : 2020Nonli..33.2533A , doi : 10.1088/1361-6544/ab74ad , S2CID 129945118

[haack-8] Хаак, Джоэл К. (1999), «Математика правильной интонации, используемая в музыке Терри Райли» , в Сарханги, Реза (ред.), Мосты: математические связи в искусстве, музыке и науке , Юго-Западный колледж, Уинфилд , Канзас: Конференция Бриджес, стр. 101–110, ISBN. 0-9665201-1-4

[barcal-9] Баруан, Жиль; Кальве, Андре (2019), «Визуализация темперамента: квадратура круга?», Монтьель, Мариана; Гомес-Мартин, Франциско; Агустин-Акино, Октавио А. (ред.), Математика и вычисления в музыке: 7-я Международная конференция, MCM 2019, Мадрид, Испания, 18–21 июня 2019 г., Материалы , Springer International Publishing, стр. 333–337, doi : 10.1007/978-3-030-21392-3_27 , S2CID 184482714

[carcla-10] Кэри, Норман; Клэмпитт, Дэвид (октябрь 1989 г.), «Аспекты правильно построенных гамм», Music Theory Spectrum , 11 (2): 187–206, doi : 10.2307/745935 , JSTOR 745935

[semitones-11] Штром, Рейнхард; Блэкберн, Бонни Дж. , ред. (2001), Музыка как концепция и практика в позднем средневековье, Том 3, Часть 1 , Новая оксфордская история музыки, Oxford University Press, стр. 252, ISBN 9780198162056

[pebble-12] Бенсон, Дональд К. (2003), Более гладкий камешек: математические исследования , Oxford University Press, стр. 51, ISBN 9780198032977

[carey-13] Кэри, Норман (2007), «Связность и сходство в хорошо сформированных и попарно хорошо сформированных шкалах», Journal of Mathematics and Music , 1 (2): 79–98, doi : 10.1080/17459730701376743 , S2CID 120586231

[microtonal-14] Нарушима, Теруми (2017), Микротональность и системы настройки Эрва Уилсона: картирование гармонического спектра , Исследования Рутледжа в теории музыки, Рутледж, стр. 90–91, ISBN 9781317513421

[sturmian-15] Лотер, М. (2002), «Стурмианские слова» , Алгебраическая комбинаторика слов , Кембридж: Cambridge University Press , стр. 40–97, ISBN 978-0-521-81220-7 , Збл 1001.68093 . Лотар использует свойство иметь $d+1$ слова длины $d$ как определение слов Штурма, а не как следствие определения. Об эквивалентности этого свойства приведенному здесь определению см. теорему 2.1.13, с. 51. О трех частотах этих слов см. теорему 2.2.37, с. 73.

[albert-16] Алессандри, Паскаль; Берте, Валери (1998), «Три теоремы о расстоянии и комбинаторика слов» , L'Enseignement mathématique , 44 (1–2): 103–132, MR 1643286 ; см., в частности, раздел 2.1, «Сложность и частоты кодировок вращений»

[haymar-17] Хейнс, Алан; Марклоф, Йенс (2020), «Высокомерные задачи Штейнгауза и Слейтера с помощью однородной динамики», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 53 (2): 537–557, arXiv : 1707.04094 , doi : 10.24033/asens.2427 , MR 4094564 , S2CID 67851217 , Первые доказательства этого замечательного факта были опубликованы в 1957 году Сосом, в 1958 году Сурани и в 1959 году Сверчковским.

[sos-18] Сос, В.Т. (1958), «О распространении mod 1 последовательности $n\alpha$ », Ann. Univ. Sci. Будапешт, Секция математики Этвёша , 1 : 127–134 .

[suranyi-19] Сураньи, Дж. (1958), «О расположении кратных действительному числу по модулю 1», Ann. Университет наук. Будапешт, квартал Этвёш. Матем. , 1 : 107–111.

[sw-20] Сверчковский, С. (1959), «О последовательных установках дуги на окружности», Fundamenta Mathematicae , 46 (2): 187–189, doi : 10.4064/fm-46-2-187-189 , MR 0104651

[21] Эти доказательства кратко рассмотрены и классифицированы Марклофом и Стрёмбергссоном (2017) , из которого взята следующая классификация этих доказательств и многие ссылки на них.

[halton-22] Халтон, Джон Х. (1965), «Распределение последовательности $\{n\xi \}\,(n=0,\,1,\,2,\,\ldots )$ », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 61 (3): 665–670, doi : 10.1017/S0305004100039013 , MR 0202668 , S2CID 123400321

[chevallier-23] Шевалье, Николя (2007), «Циклические группы и теорема о трех расстояниях», Canadian Journal of Mathematics , 59 (3): 503–552, doi : 10.4153/CJM-2007-022-3 , MR 2319157 , S2CID 123011205

[vijay-24] Виджай, Суджит (2008), «Одиннадцати евклидовых расстояний достаточно», Journal of Number Theory , 128 (6): 1655–1661, arXiv : math/0609536 , doi : 10.1016/j.jnt.2007.08.016 , MR 2419185 , S2CID 119655772

[bhjrs-25] Блехер, Павел М.; Хомма, Юков; Джи, Линдон Л.; Редер, Роланд К.В.; Шен, Джеффри Д. (2012), «Расстояния до ближайших соседей по окружности: многомерный случай», Journal of Statistical Physics , 146 (2): 446–465, arXiv : 1107.4134 , Bibcode : 2012JSP...146..446B , doi : 10.1007/s10955-011-0367-8 , MR 2873022 , S2CID 99723

[slater67-26] Слейтер, Ноэль Б. (1967), «Пробелы и шаги в последовательности $n\theta {\bmod {1}}$ », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 63 (4): 1115–1123, doi : 10.1017/S0305004100042195 , MR 0217019 , S2CID 121496726

[birsch-27] Бирингер, Ян; Шмидт, Бенджамин (2008), «Теорема« Три разрыва »и« Геометрия риманы », Geometriae Dedicata 136 : 175–190 : 0803.1250 , doi : 10.1007 s10711-008-9283-8 , , г. Arxiv / ,

[hkws-28] Хейнс, Алан; Койвусало, Хна; Уолтон, Джеймс; Садун, Лоренцо (2016), «Проблемы с пробелами и частоты патчей в наборах вырезок и проектов» (PDF) , Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 161 (1): 65–85, Bibcode : 2016MPCPS.161...65H , doi : 10.1017/S0305004116000128 , MR 3505670 , S2CID 55686324

[liang-29] Jump up to: ^а ^б ^с Лян, Фрэнк М. (1979), «Краткое доказательство $3d$ Теорема о расстоянии», Дискретная математика , 28 (3): 325–326, doi : 10.1016/0012-365X(79)90140-7 , MR 0548632

[shiu-30] Jump up to: ^а ^б Шиу, Питер (2018), «Сноска к теореме о трех пробелах», The American Mathematical Monthly , 125 (3): 264–266, doi : 10.1080/00029890.2018.1412210 , MR 3768035 , S2CID 125810745

[slater50-31] Слейтер, Н.Б. (1950), "Распределение целых чисел $N$ для чего $\theta N<\phi$ », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 46 (4): 525–534, doi : 10.1017/S0305004100026086 , MR 0041891 , S2CID 120454265

[florek-32] Флорек, К. (1951), "Замечание о распределении чисел. $n\xi \,(\operatorname {mod} 1)$ ", Colloquium Mathematicum , 2 : 323–324.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]