Эйнштейн коллектор

В дифференциальной геометрии и математической физике эйнштейновый коллектор представляет собой риманский или псевдо-римновый дифференцируемый коллектор , чей тензор рикчи пропорционален метрике . Они названы в честь Альберта Эйнштейна, потому что это условие эквивалентно высказыванию, что метрика является решением уравнений поля вакуумного эйнштейна (с космологической постоянной ), хотя и измерение, и подпись метрики могут быть произвольным, поэтому не ограничиваются Лоренцианские коллекторы (включая четырехмерные лоренцские коллекторы обычно изучались в общей теории относительности ). Эйнштейновые коллекторы в четырех евклидовых измерениях изучаются как гравитационные инстантон .

Если M является основным n -мерным коллектором , а G -его метрический тензор , условие Эйнштейна означает, что

$\mathrm {Ric} =kg$

Для некоторой постоянной k обозначает тензор рикчи G. , где RIC Эйнштейновые коллекторы с k = 0 называются Ricci-Flat Redilds .

Состояние Эйнштейна и уравнение Эйнштейна

В местных координациях условия, которое ( m , g ) является эйнштейновым коллектором просто

$R_{ab}=kg_{ab}.$

Принятие следа обеих сторон показывает, что константа пропорциональности k для эйнштейновых коллекторов связана со кривизны R скалярной

$R=nk,$

где n - измерение м .

В целом относительность , уравнение Эйнштейна с космологической постоянной λ является

$R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R+g_{ab}\Lambda =\kappa T_{ab},$

где κ - гравитационная константа Эйнштейна . Тензор -энергии . _{стресса} дает вопрос и содержание энергии в базовом пространстве В вакууме (область пространства -времени, лишенного материи) t _ab = 0 , и уравнение Эйнштейна может быть переписано в форме (при условии, что n > 2 ):

$R_{ab}={\frac {2\Lambda }{n-2}}\,g_{ab}.$

Следовательно, вакуумные растворы уравнения Эйнштейна - это (лоренцианские) многообразии Эйнштейна с k -пропорциональными космологической постоянной.

Примеры

Простые примеры коллекторов Эйнштейна включают:

• Все 2 -й коллекторы тривиально являются эйнштейновыми коллекторами. Это является результатом того, что Тенсор Римана имеет единую степень свободы.
• Любое многообразие с постоянной кривистью секции - это многообразие Эйнштейна - в частности:
  • Евклидовое пространство , которое является плоским, является простым примером рикчи-флата, следовательно, метрика Эйнштейна.
  • N ​ -sphere , $S^{n}$, с круглой метрикой Эйнштейн с $k=n-1$.
  • Гиперболическое пространство с канонической метрикой - Эйнштейн с $k=-(n-1)$.
• Сложное проективное пространство , $\mathbf {CP} ^{n}$, с -Study метрикой Fubini $k=n+1.$
• Calabi -yau Medifles признают метрику Эйнштейна, которая также является Kähler , с константой Эйнштейна $k=0$Полем Такие метрики не уникальны, а скорее приходят в семьи; В каждом классе Kähler есть метрика калаби -YAU, и метрика также зависит от выбора сложной структуры. Например, существует семейство 60 параметра таких метрик на K3 , 57 параметров которых приводят к метрикам эйнштейна, которые не связаны изометриями или пересечением.
• Метрики Kähler-einstein существуют на различных компактных сложных коллекторах из-за результатов существования Shing-Tung Yau , и более позднее исследование K-стабильности, особенно в случае коллекторов Fano .
• Геометрия Эйнштейна -Вейла представляет собой обобщение коллектора Эйнштейна для подключения к вейлу конформного класса, а не подключения метрики Леви-Сивита.

Необходимое условие для закрытого , ориентированного , 4-манипульса, которые будут Einstein, удовлетворяет неравенству Hitchin-Thorpe .

Приложения

Четырехмерные эйнштейновые коллекторы Riemannian Einstein также важны для математической физики, как гравитационные инстинты в квантовых теориях гравитации . Термин «гравитационный инстантон» обычно используется, ограничивается эйнштейном 4-манипуляциями, чьи вайл-тензор является самооцененным, и обычно предполагается, что метрика асимптотическая по отношению к стандартному метрике евклидового 4-пространства (и, следовательно, полная , но не без компактный ). В дифференциальной геометрии самостоятельные эйнштейны 4-манипуляции также известны как (4-мерные) гиперкалерные коллекторы в случае Риччи-Флат, а кватернион Kähler и в противном случае.

Высокие коллекторы Lorentzian Einstein используются в современных теориях гравитации, таких как теория струн , M-теория и супергравитация . Гиперклер и кватернион Kähler Manifles (которые являются особыми видами эйнштейновых коллекторов) также имеют применение в физике в качестве целевых пространств для нелинейных σ-моделей с суперсимметрией .

Компактные коллекторы Einstein были очень изучены в дифференциальной геометрии, и многие примеры известны, хотя построение их часто станет сложной задачей. Особенно трудно найти компактные многообразные коллекторы рикчи: в монографии по этому вопросу псевдонимум автором Артуром Бессе читателям предлагается еда в звездном ресторане в обмен на новый пример.

Смотрите также

• Эйнштейн - Гермитенский векторный пакет

Примечания и ссылки

• Бессе, Артур Л. (1987). Эйнштейн коллекторы . Классика по математике. Берлин: Спрингер. ISBN  3-540-74120-8 .