Moy–Prasad filtration

В математике фильтрация Мой-Прасада — это семейство фильтраций редуктивных p -адических групп и их алгебр Ли , названное в честь Аллена Мойя и Гопала Прасада . Семья параметризируется зданием Брюа-Титса ; то есть каждая точка здания дает разную фильтрацию. В качестве альтернативы, поскольку начальный член в каждой фильтрации в точке здания является парахорической подгруппой для этой точки, фильтрацию Мой-Прасада можно рассматривать как фильтрацию парахорической подгруппы редуктивной группы.

Основное применение фильтрации Мой-Прасада относится к теории представлений p глубиной -адических групп, где ее можно использовать для определения определенного рационального числа, называемого представления . Представления глубины r можно лучше понять, изучая r- ю подгруппу Мой–Прасада. Эта информация затем приводит к лучшему пониманию общей структуры представлений, а это понимание, в свою очередь, имеет применение в других областях математики, таких как теория чисел, с помощью программы Ленглендса .

Подробное описание фильтрации Мой-Прасада и связанных с ней полустабильных точек см. в главе 13 книги «Теория Брюа-Титса: новый подход» Ташо Калеты и Гопала Прасада.

История

В своей основополагающей работе по теории зданий Брюа и Тит определили подгруппы, связанные с вогнутыми функциями корневой системы. Эти подгруппы являются частным случаем подгрупп Мой-Прасада, определяемых при расщеплении группы . Основные нововведения Мой и Прасад должны были обобщить конструкцию Брюа-Титса на квазирасщепляемые группы , в частности торы , и использовать подгруппы для изучения теории представлений объемлющей группы.

Примеры

В следующих примерах используются p -адические рациональные числа. $\mathbb {Q} _{p}$ и p -адические целые числа $\mathbb {Z} _{p}$. Читатель, незнакомый с этими кольцами, может вместо этого заменить $\mathbb {Q} _{p}$ рациональными числами $\mathbb {Q}$ и $\mathbb {Z} _{p}$ целыми числами $\mathbb {Z}$ не теряя основной идеи.

Мультипликативная группа

Простейший пример p -адической редуктивной группы: $\mathbb {Q} _{p}^{\times }$, группа p единиц -адических мультипликативная . С $\mathbb {Q} _{p}^{\times }$ абелева , , имеет единственную парагорическую подгруппу $\mathbb {Z} _{p}^{\times }$. Подгруппы Мой – Прасад $\mathbb {Z} _{p}^{\times }$ это высшие группы единиц $U^{(r)}$, где для простоты $r$ является положительным целым числом: $$(\mathbb {Z} _{p}^{\times })_{r}=1+(p\,\mathbb {Z} _{p})^{r}=\{u\in \mathbb {Z} _{p}^{\times }:u\equiv 1{\bmod {p^{r}}}\}.$$Алгебра Ли $\mathbb {Q} _{p}^{\times }$ является $\mathbb {Q} _{p}$, а ее подалгебры Мой–Прасада являются идеалами ненулевыми $\mathbb {Z} _{p}$: $$(\mathbb {Z} _{p})_{r}=(p\,\mathbb {Z} _{p})^{r}=\{p^{r}a:a\in \mathbb {Z} _{p}\}.$$В более общем смысле, если $r$ является положительным действительным числом, то мы используем функцию пола , чтобы определить $r$подгруппа и подалгебра Мой–Прасада: $$(\mathbb {Z} _{p}^{\times })_{r}:=(\mathbb {Z} _{p}^{\times })_{\lfloor r\rfloor },\qquad (\mathbb {Z} _{p})_{r}:=(\mathbb {Z} _{p})_{\lfloor r\rfloor }$$Этот пример иллюстрирует общее явление: хотя фильтрация Мой-Прасада индексируется неотрицательными действительными числами, фильтрация скачет только на дискретном периодическом подмножестве, в данном случае натуральных числах. В частности, обычно бывает так, что $r$й и $s$подгруппы Мой–Прасада равны, если $s$ лишь немного больше, чем $r$.

Общая линейная группа

Другим важным примером p -адической редуктивной группы является общая линейная группа. ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})$; этот пример обобщает предыдущий, потому что ${\text{GL}}_{1}(\mathbb {Q} _{p})=\mathbb {Q} _{p}^{\times }$. С ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})$ неабелева (когда $n\geq 2$), имеет бесконечно много парагорических подгрупп. Одна конкретная парахорическая подгруппа - это ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})$. Подгруппы Мой – Прасад ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})$ — подгруппы элементов, равные единичной матрице $1$ по модулю больших степеней $p$. В частности, когда $r$ является положительным целым числом, которое мы определяем $${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}=1+(p\,{\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}))^{r}=\{u\in {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}):u\equiv 1{\bmod {p^{r}}}\}.$$где ${\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})$ — алгебра n × n матриц размера с коэффициентами из $\mathbb {Z} _{p}$. Алгебра Ли ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})$ является ${\text{M}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})$, а ее подалгебры Мой–Прасада представляют собой пространства матриц, равных нулевой матрице по модулю больших степеней $p$; когда $r$ является положительным целым числом, которое мы определяем $${\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}=(p\,{\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}))^{r}=\{u\in {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}):u\equiv 0{\bmod {p^{r}}}\}.$$Наконец, как и прежде, если $r$ является положительным действительным числом, то мы используем функцию пола , чтобы определить $r$-я подгруппа и подалгебра Мой–Прасада: $${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}:={\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{\lfloor r\rfloor },\qquad {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}:={\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{\lfloor r\rfloor }$$В этом примере группы Мой-Прасада чаще обозначаются как ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})_{x,r}$ вместо ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}$, где $x$ является точкой построения ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})$ соответствующая парагорическая подгруппа которой есть ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}).$

Характеристики

Хотя фильтрация Мой-Прасада обычно используется для изучения теории представлений p -адических групп, можно построить подгруппы Мой-Прасада над любым гензелевым дискретнозначным . полем $k$, а не только над неархимедовым локальным полем. Поэтому в этом и последующих разделах мы будем предполагать, что базовое поле $k$ является гензелевым, дискретнозначным и с кольцом целых чисел ${\mathcal {O}}_{k}$. Тем не менее, читатель может для простоты предположить, что $k=\mathbb {Q} _{p}$, так что ${\mathcal {O}}_{k}=\mathbb {Z} _{p}$.

Позволять $G$ быть редуктивным $k$-группа, пусть $r\geq 0$, и пусть $x$ быть точкой расширенного здания Брюа-Титса $G$. $r$подгруппа Мой-Прасад $G(k)$ в $x$ обозначается $G(k)_{x,r}$. Аналогичным образом, $r$th Moy–Prasad Lie subalgebra of ${\mathfrak {g}}$ в $x$ обозначается ${\mathfrak {g}}_{x,r}$; это бесплатно ${\mathcal {O}}_{k}$- охват модуля ${\mathfrak {g}}_{x,r}$или, другими словами, решетка . (На самом деле, алгебра Ли ${\mathfrak {g}}_{x,r}$ также может быть определено, когда $r<0$, хотя группа $G(k)_{x,r}$ не могу.)

Возможно, самым основным свойством фильтрации Мой-Прасада является то, что она уменьшается: если $r\leq s$ затем ${\mathfrak {g}}_{x,r}\supseteq {\mathfrak {g}}_{x,s}$ и $G(k)_{x,r}\supseteq G(k)_{x,s}$. Затем обычно определяют подгруппу и подалгебру $$G(k)_{x,r+}:=\bigcup _{s>r}G(k)_{x,s},\qquad {\mathfrak {g}}_{x,r+}:=\bigcup _{s>r}{\mathfrak {g}}_{x,s}.$$Это соглашение является всего лишь сокращенным обозначением, поскольку для любого $r$, есть $\varepsilon >0$ такой, что ${\mathfrak {g}}_{x,r+}={\mathfrak {g}}_{x,r+\varepsilon }$ и $G(k)_{x,r+}=G(k)_{x,r+\varepsilon }$.

Фильтрация Мой-Прасада удовлетворяет следующим дополнительным свойствам.

• Скачок в фильтрации Мой-Прасада определяется как индекс (т.е. неотрицательное действительное число) $r$ такой, что $G(k)_{x,r+}\neq G(k)_{x,r}$. Множество скачков дискретно и счетно бесконечно .
• Если $r\leq s$ затем $G(k)_{x,s}$ является нормальной подгруппой $G(k)_{x,r}$ и ${\mathfrak {g}}_{x,s}$ является идеалом ​ ${\mathfrak {g}}_{x,r}$. Это условное обозначение в теме записи $G(k)_{x,r:s}:=G(k)_{x,r}/G(k)_{x,s}$ и ${\mathfrak {g}}_{x,r:s}:={\mathfrak {g}}_{x,r}/{\mathfrak {g}}_{x,s}$ для связанных частных.
• Частное $G(k)_{x,0:0+}$ является редуктивной группой над вычетов полем ${\mathcal {O}}_{k}$, а именно максимальный редуктивный фактор специального слоя ${\mathcal {O}}_{k}$-группа, лежащая в основе парахорического $G(k)_{x,0}$. В частности, если $k$ является неархимедовым локальным полем (например, $\mathbb {Q} _{p}$), то этот фактор является конечной группой лиева типа .
• $[G(k)_{x,r},G(k)_{x,s}]\subseteq G(k)_{x,r+s}$ и $[{\mathfrak {g}}_{x,r},{\mathfrak {g}}_{x,s}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{x,r+s}$; здесь первая скобка — коммутатор , а вторая — скобка Ли.
• Для любого автоморфизма $\theta$ из $G$ у нас есть $\theta (G(k)_{x,r})=G(k)_{\theta (x),r}$ и ${\text{d}}\theta ({\mathfrak {g}}_{x,r})={\mathfrak {g}}_{\theta (x),r}$, где ${\text{d}}\theta$ является производной от $\theta$.
• Для любого униформизатора $\varpi$ из $k$ у нас есть $\varpi {\mathfrak {g}}_{x,r}={\mathfrak {g}}_{x,r+1}$.

При определенных технических предположениях о $G$, выполняется еще одно важное свойство. По свойству подгруппы коммутатора фактор $G(k)_{x,r:s}$ абелева, если $r\leq s\leq 2r$. В этом случае имеет место канонический изоморфизм ${\mathfrak {g}}_{x,r:s}\cong G(k)_{x,r:s}$, называемый изоморфизмом Мой-Прасада . Техническое предположение, необходимое для существования изоморфизма Мой-Прасада, состоит в том, что $G$ быть ручным , это означает, что $G$ распадается по аккуратно разветвленному расширению базового поля $k$. Если это предположение нарушается, то ${\mathfrak {g}}_{x,r:s}$ и $G(k)_{x,r:s}$ не обязательно изоморфны.

Глубина представления

Мой-Прасад можно использовать для определения важного числового инварианта гладкого представления. $(\pi ,V)$ из $G(k)$, глубина представления: это наименьшее число $r$ такое, что в какой-то момент $x$ в здании $G$, существует ненулевой вектор $V$ исправлено $G(k)_{x,r+}$.

В продолжении статьи, определяющей их фильтрацию, Мой и Прасад доказали структурную теорему для суперкаспидальных представлений нулевой глубины. Позволять $x$ быть точкой в ​​минимальной грани построения $G$; то есть парахорическая подгруппа $G(k)_{x,0}$ является максимальной парагорической подгруппой. Частное $G(k)_{x,0:0+}$ — конечная группа лиева типа. Позволять $\tau$ быть инфляцией, чтобы $G(k)_{x,0}$ представления этого фактора, которое является каспидальным в смысле Хариш-Чандры (см. также теорию Делиня-Люстига ). Стабилизатор $G(k)_{x}$ из $x$ в $G(k)$ содержит парахорическую группу $G(k)_{x,0}$ как нормальная подгруппа конечного индекса. Позволять $\rho$ быть неприводимым представлением $G(k)_{x}$ чьи ограничения на $G(k)_{x,0}$ содержит $\tau$ как субпредставительство. Тогда компактная индукция $\rho$ к $G(k)$ представляет собой суперкаспидальное представление с нулевой глубиной. Более того, каждое суперкаспидальное представление нулевой глубины изоморфно одному из этих форм.

В ручном случае ожидается, что локальное соответствие Ленглендса сохранит глубину, где глубина L-параметра определяется с использованием верхней нумерационной фильтрации на группе Вейля.

Строительство

Хотя мы определили $x$ лежать в расширенном здании $G$, оказывается, что подгруппа Мой–Прасада $G(k)_{x,r}$ зависит только от имиджа $x$ в уменьшенном здании, чтобы ничего не потерять, думая о $x$ как точка в уменьшенном здании.

Наше описание конструкции следует статье Ю о гладких моделях.

Тори

Поскольку алгебраические торы представляют собой особый класс редуктивных групп, к ним применима и теория фильтрации Мой–Прасада. Однако оказывается, что построение подгрупп Мой–Прасада для общей редуктивной группы основано на конструкции для торов, поэтому мы начнем с обсуждения случая, когда $G=T$ является тором. Поскольку приведенное построение тора является целью, существует только один выбор для $x$, и поэтому мы будем подавлять $x$ из обозначений и напишем $T(k)_{r}:=T(k)_{x,r}$.

Сначала рассмотрим частный случай, когда $T$ ограничение Вейля ​ $\mathbb {G} _{\text{m}}$ вдоль конечного сепарабельного расширения $\ell$ из $k$, так что $T(k)=\ell ^{\times }$. В этом случае мы определяем $T(k)_{r}$ как набор $a\in \ell ^{\times }$ такой, что ${\text{val}}_{k}(x-1)\geq r$, где ${\text{val}}_{k}:\ell \to \mathbb {R}$ является уникальным расширением оценки $k$ к $\ell$.

Тор называется индуцированным, если он является прямым произведением конечного числа торов вида, рассмотренного в предыдущем абзаце. $r$Подгруппа Мой–Прасада индуцированного тора определяется как произведение $r$подгруппа этих факторов Мой-Прасад.

Во-вторых, рассмотрим случай, когда $r=0$ но $T$ является произвольным тором. Здесь подгруппа Мой – Прасад $T(k)_{0}$ определяется как целые точки lft-модели Нерона $T$. Это определение согласуется с ранее данным, когда $T$ является индуцированным тором.

Оказывается, каждый тор можно вложить в индуцированный тор. Чтобы определить подгруппы Мой – Прасада общего тора $T$, то выбираем вложение $T$ в индуцированном торе $S$ и определить $T(k)_{r}:=T(k)_{0}\cap S(k)_{r}$. Эта конструкция не зависит от выбора индуцированного тора и вложения.

Редуктивные группы

Для простоты сначала опишем построение подгруппы Мой–Прасада. $G(k)_{x,r}$ в случае, когда $G$ разделен ​ . Далее мы прокомментируем общее определение.

Позволять $T$ быть максимальным расщепляемым тором $G$ в чьей квартире находится $x$, и пусть $\Phi$ быть системой корневой $G$ относительно $T$.

Для каждого $\alpha \in \Phi$, позволять $U_{\alpha }$ быть корневой подгруппой $G$ относительно $\alpha$. Как абстрактная группа $U_{\alpha }$ изоморфен $\mathbb {G} _{\text{a}}$, хотя канонического изоморфизма нет. Суть $x$ определяет для каждого корня $\alpha$, аддитивная оценка $v_{\alpha ,x}:U_{\alpha }(k)\to \mathbb {R}$. Мы определяем $U_{\alpha }(k)_{x,r}:=\{u\in U_{\alpha }(k):v_{\alpha ,x}(u)\geq r\}$.

Наконец, подгруппа Мой-Прасад $G(k)_{x,r}$ определяется как подгруппа $G(k)$ созданные подгруппами $U_{\alpha }(k)_{x,r}$ для $\alpha \in \Phi$ и подгруппа $T(k)_{r}$.

Если $G$ не расщеплена, то подгруппа Мой–Прасада $G(k)_{x,r}$ определяется путем неразветвленного происхождения из случая квазирасщепления, что является стандартным приемом в теории Брюа – Титса. Более конкретно, сначала обобщается определение подгрупп Мой-Прасада, данное выше, которое применяется, когда $G$ расщепляется в случае, когда $G$ является лишь квазиразбитым, используя относительную корневую систему . Отсюда подгруппа Мой–Прасада может быть определена для произвольного $G$ переходя к максимальному неразветвленному расширению $k^{\text{nr}}$ из $k$, поле, над которым каждая редуктивная группа, и в частности $G$, квазирасщеплен, а затем взять неподвижные точки этой группы Мой–Прасада под группой Галуа $k^{\text{nr}}$ над $k$.

Групповые схемы

The $k$-группа $G$ несет в себе гораздо большую структуру, чем группа $G(k)$ рациональных точек: первое — алгебраическое многообразие , тогда как второе — лишь абстрактная группа. По этой причине работа не только с абстрактной группой имеет множество технических преимуществ. $G(k)$, но и разнообразие $G(k)$. Аналогично, хотя мы описали $G(k)_{x,r}$ как абстрактная группа, определенная подгруппа $G(k)$, желательно $G(k)_{x,r}$ быть группой целых точек групповой схемы $G_{x,r}$ определено над кольцом целых чисел, так что $G(k)_{x,r}=G_{x,r}({\mathcal {O}}_{k})$. Фактически можно построить такую ​​групповую схему. $G_{x,r}$.

Алгебры Ли

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли $G$. Аналогично процедуре, что и для редуктивных групп, а именно путем определения фильтрации Мой–Прасада на алгебре Ли тора и алгебре Ли корневой группы, можно определить алгебры Ли Мой–Прасада ${\mathfrak {g}}_{x,r}$ из ${\mathfrak {g}}$; они свободны ${\mathcal {O}}_{k}$-модули, то есть ${\mathcal {O}}_{k}$-решетки в $k$-векторное пространство ${\mathfrak {g}}$. Когда $r\geq 0$, оказывается, что ${\mathfrak {g}}_{x,r}$ это просто алгебра Ли ${\mathcal {O}}_{k}$-групповая схема $G_{x,r}$.

Набор индексирования

Мы определили фильтрацию Мой–Прасада в точке $x$ индексироваться набором $\mathbb {R}$ действительных чисел. В теме принято немного расширять набор индексации, до набора ${\widetilde {\mathbb {R} }}$ состоящий из $\mathbb {R}$ и формальные символы $r+$ с $r\in \mathbb {R}$. Элемент $r+$ считается бесконечно большим, чем $r$, и фильтрация распространяется на этот случай, определяя $G(k)_{x,r+}:=\bigcup _{s>r}G(k)_{x,s}$. Поскольку оценка на $k$ дискретен, существует $\varepsilon >0$ такой, что $G(k)_{x,r+}=G(k)_{x,r+\varepsilon }$.

См. также

• Подгруппа конгруэнтности

Ссылки

• Босх, Зигфрид; Люткебомерт, Вернер; Рейно, Мишель (1990). Модели Нерона . Результаты математики и ее пограничные области (3). Том 21. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-642-51438-8 . ISBN  978-3-540-50587-7 . МР   1045822 .
• Брюа, Ф.; Титс, Дж. (1972). «Редуктивные группы на локальном теле» . Математические публикации ИХЭН . 41 (1): 5–251. дои : 10.1007/BF02715544 . ISSN   0073-8301 . МР   0327923 .
• Чен, Цао-Сянь; Камгарпур, Масуд (2014). «Сохранение глубины в локальном геометрическом соответствии Ленглендса». arXiv : 1404.0598 [ math.RT ].
• Хаким Дж.; Мурнаган, Ф. (8 июля 2010 г.). «Выдающиеся ручные суперкуспидальные представления». Международные научные статьи по математике . Издательство Оксфордского университета (ОУП). arXiv : 0709.3506 . дои : 10.1093/imrp/rpn005 . ISSN   1687-3017 . МР   2431732 .
• Мой, Аллен; Прасад, Гопал (1994). «Неуточненные минимальные K-типы для p -адических групп». Математические изобретения . 116 (1): 393–408. дои : 10.1007/BF01231566 . hdl : 2027.42/46580 . ISSN   0020-9910 . МР   1253198 .
• Мой, Аллен; Прасад, Гопал (1996). «Функторы Жаке и неочищенные минимальные K-типы». Комментарии по математике Helvetici . 71 (1). Издательство Европейского математического общества: 98–121. дои : 10.1007/bf02566411 . ISSN   0010-2571 . МР   1371680 .
• Ю, Цзю-Кан (2015). «Гладкие модели, связанные с вогнутыми функциями в теории Брюа-Титса». Автор схем в группах, Том III . Панор. Синтезы. Том 47. стр. 227–258. МР   3525846 .