Jump to content

Список вероятностных доказательств невероятностных теорем

Теория вероятностей обычно использует результаты из других областей математики (в основном анализа). Обратные случаи, собранные ниже, относительно редки; однако теория вероятностей систематически используется в комбинаторике посредством вероятностного метода . Они особенно используются для неконструктивных доказательств.

Анализ [ править ]

  • Нормальные цифры существуют. Более того, вычислимые нормальные числа существуют . Эти невероятностные теоремы существования следуют из вероятностных результатов: (а) число, выбранное наугад (равномерно по (0,1)) является нормальным почти наверняка (что легко следует из усиленного закона больших чисел ); (б) некоторые вероятностные неравенства, лежащие в основе сильного закона. Существование нормального числа следует непосредственно из (а). Доказательство существования вычислимых нормальных чисел, основанное на (б), требует дополнительных рассуждений. Все известные доказательства используют вероятностные аргументы.
  • Вероятностно доказана теорема Дворецкого о том, что выпуклые тела большой размерности имеют шарообразные срезы. Никакая детерминированная конструкция не известна, даже для многих конкретных тел.
  • Диаметр компакта Банаха–Мазура рассчитывался с использованием вероятностной конструкции. Детерминированная конструкция неизвестна.
  • Оригинальное доказательство того, что неравенство Хаусдорфа – Юнга нельзя распространить на является вероятностным. Доказательство теоремы де Лю-Кахане-Кацнельсона (которая является более сильным утверждением) частично вероятностное. [1]
  • Первое построение Салемского множества было вероятностным. [2] Лишь в 1981 году Кауфман предложил детерминированную конструкцию. [3]
  • Любая непрерывная функция на компактном интервале может быть равномерно аппроксимирована полиномами, что является теоремой аппроксимации Вейерштрасса . Вероятностное доказательство использует слабый закон больших чисел . Невероятностные доказательства были доступны и раньше.
  • Существование нигде не дифференцируемой непрерывной функции легко следует из свойств винеровского процесса . Невероятностное доказательство было доступно ранее.
  • Формула Стирлинга была впервые открыта Абрахамом де Муавром в его « Доктрине шансов » (с константой, определенной позже Стирлингом) для использования в теории вероятностей. Несколько вероятностных доказательств формулы Стирлинга (и связанных с ней результатов) было найдено в 20 веке. [4] [5]
  • Единственные ограниченные гармонические функции, определенные на всей плоскости, являются постоянными функциями по теореме Лиувилля . Вероятностное доказательство с помощью n-мерного броуновского движения хорошо известно. [6] Невероятностные доказательства были доступны и раньше.
  • Некасательные граничные значения [7] аналитической гармонической или функции существуют почти во всех граничных точках некасательной ограниченности. Этот результат ( теорема Привалова ) и несколько результатов такого рода выводятся из мартингальной сходимости . [8] Невероятностные доказательства были доступны и раньше.
  • Граничный принцип Гарнака доказывается с помощью броуновского движения. [9] (см. также [10] ). Невероятностные доказательства были доступны и раньше.
  • Базельская сумма Эйлера , можно продемонстрировать, рассмотрев ожидаемое время выхода плоского броуновского движения из бесконечной полосы. Аналогичным образом можно вывести ряд других, менее известных личностей. [11]

Комбинаторика [ править ]

  • доказывается ряд теорем, утверждающих существование графов (и других дискретных структур) с желаемыми свойствами Вероятностным методом . Для некоторых из них имеются невероятностные доказательства.
  • Тождество максимума и минимума допускает вероятностное доказательство.
  • Неравенство числа пересечений , которое является нижней границей количества пересечений для любого рисунка графа в зависимости от количества вершин и ребер, которые имеет граф.

Алгебра [ править ]

  • Фундаментальную теорему алгебры можно доказать, используя двумерное броуновское движение. [6] Невероятностные доказательства были доступны и раньше.
  • Теорема об индексе для эллиптических комплексов доказывается вероятностными методами. [16] (а не методы уравнения теплопроводности). Невероятностное доказательство было доступно ранее.

Топология и геометрия [ править ]

Теория чисел [ править ]

Квантовая теория [ править ]

  • Некоммутативная динамика (называемая также квантовой динамикой) формулируется в терминах алгебр фон Неймана и непрерывных тензорных произведений гильбертовых пространств . [25] Некоторые результаты (например, континуум взаимно неизоморфных моделей) получены вероятностными средствами ( случайные компакты и броуновское движение ). [26] [27] Одна часть этой теории (так называемые системы типа III) переведена на аналитический язык. [28] и развивается аналитически; [29] другая часть (так называемые системы типа II) существует пока только на вероятностном языке.
  • Трехсторонние квантовые состояния могут привести к сколь угодно большим нарушениям неравенств Белла. [30] (что резко контрастирует с двусторонним случаем). В доказательстве используются случайные унитарные матрицы. Других доказательств нет.

Теория информации [ править ]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Карел де Леу, Ицхак Кацнельсон и Жан-Пьер Кахан, О коэффициентах Фурье непрерывных функций. (французский) ЧР Акад. наук. Париж сер. А–Б 285:16 (1977), А1001–А1003.
  2. ^ Салем, Рафаэль (1951). «О сингулярных монотонных функциях, спектр которых имеет заданную хаусдорфову размерность» . Арк. Мат . 1 (4): 353–365. Бибкод : 1951АрМ.....1..353С . дои : 10.1007/bf02591372 .
  3. ^ Кауфман, Роберт (1981). «О теореме Ярника и Безиковича» . Акта Арит . 39 (3): 265–267. дои : 10.4064/aa-39-3-265-267 .
  4. ^ Блит, Колин Р.; Патхак, Прамод К. (1986), «Заметка о простых доказательствах теоремы Стирлинга», American Mathematical Monthly , 93 (5): 376–379, doi : 10.2307/2323600 , JSTOR   2323600 .
  5. ^ Гордон, Луи (1994), «Стохастический подход к гамма-функции», American Mathematical Monthly , 101 (9): 858–865, doi : 10.2307/2975134 , JSTOR   2975134 .
  6. Перейти обратно: Перейти обратно: а б Ревуз, Дэниел; Йор, Марк (1994), Непрерывные мартингалы и броуновское движение (2-е изд.), Springer (см. Упражнение (2.17) в Разделе V.2, стр. 187).
  7. ^ См . теорему Фату .
  8. ^ Дарретт, Ричард (1984), Броуновское движение и мартингалы в анализе , Калифорния: Уодсворт, ISBN  0-534-03065-3 .
  9. ^ Басс, РФ ; Бурдзи, К. (1989), «Вероятностное доказательство граничного принципа Харнака», Семинар по случайным процессам , Бостон: Birkhäuser (опубликовано в 1990 г.), стр. 1–16, hdl : 1773/2249 .
  10. ^ Басс, Ричард Ф. (1995), Вероятностные методы анализа , Springer, стр. 228 .
  11. ^ Марковски, Грег Т. (2011), «Об ожидаемом времени выхода плоского броуновского движения из односвязных областей» , Electronic Communications in Probability , 16 : 652–663, arXiv : 1108.1188 , doi : 10.1214/ecp.v16-1653 , S2CID   55705658 .
  12. ^ Дэвис, Берджесс (1975), «Теорема Пикара и броуновское движение», Труды Американского математического общества , 213 : 353–362, doi : 10.2307/1998050 , JSTOR   1998050 .
  13. ^ Дэвис, Берджесс (1979), «Броуновское движение и аналитические функции», Annals of Probability , 7 (6): 913–932, doi : 10.1214/aop/1176994888 .
  14. ^ Вонг, ТК ; Ям, SCP (2018), «Вероятностное доказательство формулы обращения Фурье», Статистика и вероятностные письма , 141 : 135–142, doi : 10.1016/j.spl.2018.05.028 , S2CID   125351871 .
  15. ^ Аберт, Миклош; Вайс, Бенджамин (2011). «Действия Бернулли слабо содержатся во всяком свободном действии». arXiv : 1103.1063v2 [ math.DS ].
  16. ^ Бисмут, Жан-Мишель (1984), «Теоремы Атьи – Зингера: вероятностный подход. I. Теорема об индексе», J. Funct. Анальный. , 57 : 56–99, doi : 10.1016/0022-1236(84)90101-0 .
  17. ^ Пока у нас нет статьи о границе Мартина , см. Компактификация (математика)#Другие теории компактификации .
  18. ^ Бишоп, К. (1991), «Характеристика пуассоновских областей», Arkiv for Matematik , 29 (1): 1–24, Bibcode : 1991ArM....29....1B , doi : 10.1007/BF02384328 (см. раздел 6).
  19. ^ Цирельсон, Борис (1997), «Тройные точки: от неброуновской фильтрации к гармоническим мерам», Geometric and Functional Analysis , 7 (6), Birkhauser: 1096–1142, doi : 10.1007/s000390050038 , S2CID   121617197 . авторский сайт
  20. ^ Цирельсон, Борис (1998), «В пределах и за пределами броуновских инноваций», Труды международного конгресса математиков , Documenta mathematica, vol. Дополнительный том ICM 1998, III, Берлин: der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, стр. 311–320, ISSN   1431-0635 .
  21. ^ Толса, Ксавье; Вольберг, Александр (2017). «О теореме Цирельсона о тройных точках для гармонической меры». Уведомления о международных математических исследованиях . 2018 (12): 3671–3683. arXiv : 1608.04022 . дои : 10.1093/imrn/rnw345 .
  22. ^ Горовиц, Чарльз; Усади Кац, Карин; Кац, Михаил Георгиевич (2008). «Неравенство тора Лёвнера с изосистолическим дефектом». Журнал геометрического анализа . 19 (4): 796–808. arXiv : 0803.0690 . дои : 10.1007/s12220-009-9090-y . S2CID   18444111 .
  23. ^ Нил, Роберт В. (2008), «Мартингальный подход к минимальным поверхностям», Journal of Functional Analysis , 256 (8), Elsevier: 2440–2472, arXiv : 0805.0556 , doi : 10.1016/j.jfa.2008.06.033 , S2CID   15228691 . Также arXiv:0805.0556 .
  24. ^ Фулман, Джейсон (2001), «Вероятностное доказательство тождеств Роджерса-Рамануджана» , Бюллетень Лондонского математического общества , 33 (4): 397–407, arXiv : math/0001078 , doi : 10.1017/S0024609301008207 , S2CID   673691 , заархивировано из оригинала 7 июля 2012 г. Также arXiv:math.CO/0001078 .
  25. ^ Арвесон, Уильям (2003), Некоммутативная динамика и E-полугруппы , Нью-Йорк: Springer, ISBN  0-387-00151-4 .
  26. ^ Цирельсон, Борис (2003), «Неизоморфные системы произведений», в Прайсе, Джеффри (ред.), Достижения в квантовой динамике , Современная математика, том. 335, Американское математическое общество, стр. 273–328, ISBN.  0-8218-3215-8 . Также arXiv:math.FA/0210457 .
  27. ^ Цирельсон, Борис (2008), «Об автоморфизмах систем Арвесона типа II (вероятностный подход)» , New York Journal of Mathematics , 14 : 539–576 .
  28. ^ Бхат, Б.В.Раджарама; Сринивасан, Раман (2005), «О системах произведений, возникающих из систем сумм», Бесконечномерный анализ, квантовая вероятность и смежные темы (IDAQP) , 8 (1): 1–31, arXiv : math/0405276 , doi : 10.1142/S0219025705001834 , S2CID   15106610 . Также arXiv:math.OA/0405276 .
  29. ^ Изуми, Масаки; Сринивасан, Раман (2008), «Обобщенные потоки CCR», Communications in Mathematical Physics , 281 (2): 529–571, ​​arXiv : 0705.3280 , Bibcode : 2008CMaPh.281..529I , doi : 10.1007/s00220-008-0447- z , S2CID   12815055 . Также arXiv:0705.3280 .
  30. ^ Перес-Гарсия, Д.; Вольф, ММ; К., Паласуэлос; Вильянуэва, И.; Юнге, М. (2008), «Неограниченное нарушение трехчастных неравенств Белла», Communications in Mathematical Physics , 279 (2): 455–486, arXiv : quant-ph/0702189 , Bibcode : 2008CMaPh.279..455P , doi : 10.1007/s00220-008-0418-4 , S2CID   29110154

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: dff8ccf7b8c9e3820f4cc51dabfe267d__1713788820
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/df/7d/dff8ccf7b8c9e3820f4cc51dabfe267d.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
List of probabilistic proofs of non-probabilistic theorems - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)