Список вероятностных доказательств невероятностных теорем
(Перенаправлено из Вероятностные доказательства невероятностных теорем )
Теория вероятностей обычно использует результаты из других областей математики (в основном анализа). Обратные случаи, собранные ниже, относительно редки; однако теория вероятностей систематически используется в комбинаторике посредством вероятностного метода . Они особенно используются для неконструктивных доказательств.
Анализ [ править ]
- Нормальные цифры существуют. Более того, вычислимые нормальные числа существуют . Эти невероятностные теоремы существования следуют из вероятностных результатов: (а) число, выбранное наугад (равномерно по (0,1)) является нормальным почти наверняка (что легко следует из усиленного закона больших чисел ); (б) некоторые вероятностные неравенства, лежащие в основе сильного закона. Существование нормального числа следует непосредственно из (а). Доказательство существования вычислимых нормальных чисел, основанное на (б), требует дополнительных рассуждений. Все известные доказательства используют вероятностные аргументы.
- Вероятностно доказана теорема Дворецкого о том, что выпуклые тела большой размерности имеют шарообразные срезы. Никакая детерминированная конструкция не известна, даже для многих конкретных тел.
- Диаметр компакта Банаха–Мазура рассчитывался с использованием вероятностной конструкции. Детерминированная конструкция неизвестна.
- Оригинальное доказательство того, что неравенство Хаусдорфа – Юнга нельзя распространить на является вероятностным. Доказательство теоремы де Лю-Кахане-Кацнельсона (которая является более сильным утверждением) частично вероятностное. [1]
- Первое построение Салемского множества было вероятностным. [2] Лишь в 1981 году Кауфман предложил детерминированную конструкцию. [3]
- Любая непрерывная функция на компактном интервале может быть равномерно аппроксимирована полиномами, что является теоремой аппроксимации Вейерштрасса . Вероятностное доказательство использует слабый закон больших чисел . Невероятностные доказательства были доступны и раньше.
- Существование нигде не дифференцируемой непрерывной функции легко следует из свойств винеровского процесса . Невероятностное доказательство было доступно ранее.
- Формула Стирлинга была впервые открыта Абрахамом де Муавром в его « Доктрине шансов » (с константой, определенной позже Стирлингом) для использования в теории вероятностей. Несколько вероятностных доказательств формулы Стирлинга (и связанных с ней результатов) было найдено в 20 веке. [4] [5]
- Единственные ограниченные гармонические функции, определенные на всей плоскости, являются постоянными функциями по теореме Лиувилля . Вероятностное доказательство с помощью n-мерного броуновского движения хорошо известно. [6] Невероятностные доказательства были доступны и раньше.
- Некасательные граничные значения [7] аналитической гармонической или функции существуют почти во всех граничных точках некасательной ограниченности. Этот результат ( теорема Привалова ) и несколько результатов такого рода выводятся из мартингальной сходимости . [8] Невероятностные доказательства были доступны и раньше.
- Граничный принцип Гарнака доказывается с помощью броуновского движения. [9] (см. также [10] ). Невероятностные доказательства были доступны и раньше.
- Базельская сумма Эйлера , можно продемонстрировать, рассмотрев ожидаемое время выхода плоского броуновского движения из бесконечной полосы. Аналогичным образом можно вывести ряд других, менее известных личностей. [11]
- Теорему Пикара можно доказать, используя извилистые свойства плоского броуновского движения. [12] [13]
- Тот факт, что каждая липшицева функция на действительной прямой дифференцируема почти всюду, можно доказать с помощью мартингальной сходимости .
- Формула многомерного обращения Фурье может быть получена с помощью слабого закона больших чисел и некоторых элементарных результатов комплексного анализа. [14]
- Аберт и Вайс доказали с помощью вероятностной конструкции, что сдвиги Бернулли слабо содержатся (в смысле Кехриса ) в любом свободном сохраняющем меру действии дискретной счетной группы в стандартном вероятностном пространстве. [15]
Комбинаторика [ править ]
- доказывается ряд теорем, утверждающих существование графов (и других дискретных структур) с желаемыми свойствами Вероятностным методом . Для некоторых из них имеются невероятностные доказательства.
- Тождество максимума и минимума допускает вероятностное доказательство.
- Неравенство числа пересечений , которое является нижней границей количества пересечений для любого рисунка графа в зависимости от количества вершин и ребер, которые имеет граф.
Алгебра [ править ]
- Фундаментальную теорему алгебры можно доказать, используя двумерное броуновское движение. [6] Невероятностные доказательства были доступны и раньше.
- Теорема об индексе для эллиптических комплексов доказывается вероятностными методами. [16] (а не методы уравнения теплопроводности). Невероятностное доказательство было доступно ранее.
Топология и геометрия [ править ]
- Гладкая граница , очевидно, двусторонняя, но негладкая (особенно фрактальная) граница может быть весьма сложной. Предполагалось, что она двусторонняя в том смысле, что естественная проекция границы Мартина [17] к топологической границе почти всюду не более 2 к 1. [18] Эта гипотеза доказывается с использованием броуновского движения , местного времени , стохастического интегрирования , связи , гиперсжимаемости и т. д. [19] (см. также [20] ). Невероятностное доказательство было найдено 18 лет спустя. [21]
- связывает Неравенство тора Лёвнера площадь компактной поверхности (топологически тора) с ее систолой . это Легче всего доказать , используя вероятностное понятие дисперсии . [22] Невероятностное доказательство было доступно ранее.
- Теорема о слабом полупространстве для минимальных поверхностей утверждает, что любая полная минимальная поверхность ограниченной кривизны, не являющаяся плоскостью, не содержится ни в каком полупространстве. Эта теорема доказывается с помощью связи броуновских движений на минимальных поверхностях. [23] Невероятностное доказательство было доступно ранее.
Теория чисел [ править ]
- Теорема о нормальных числах (1909), принадлежащая Эмилю Борелю , могла быть одним из первых примеров вероятностного метода , предоставившего первое доказательство существования нормальных чисел с помощью первой версии сильного закона больших чисел ( см. также первый пункт раздела Анализ ).
- Тождества Роджерса –Рамануджана доказываются с помощью цепей Маркова . [24] Невероятностное доказательство было доступно ранее.
Квантовая теория [ править ]
- Некоммутативная динамика (называемая также квантовой динамикой) формулируется в терминах алгебр фон Неймана и непрерывных тензорных произведений гильбертовых пространств . [25] Некоторые результаты (например, континуум взаимно неизоморфных моделей) получены вероятностными средствами ( случайные компакты и броуновское движение ). [26] [27] Одна часть этой теории (так называемые системы типа III) переведена на аналитический язык. [28] и развивается аналитически; [29] другая часть (так называемые системы типа II) существует пока только на вероятностном языке.
- Трехсторонние квантовые состояния могут привести к сколь угодно большим нарушениям неравенств Белла. [30] (что резко контрастирует с двусторонним случаем). В доказательстве используются случайные унитарные матрицы. Других доказательств нет.
Теория информации [ править ]
- Доказательство Шеннона о теоремы канальном кодировании использует случайное кодирование, чтобы показать существование кода, который достигает пропускной способности канала .
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Карел де Леу, Ицхак Кацнельсон и Жан-Пьер Кахан, О коэффициентах Фурье непрерывных функций. (французский) ЧР Акад. наук. Париж сер. А–Б 285:16 (1977), А1001–А1003.
- ^ Салем, Рафаэль (1951). «О сингулярных монотонных функциях, спектр которых имеет заданную хаусдорфову размерность» . Арк. Мат . 1 (4): 353–365. Бибкод : 1951АрМ.....1..353С . дои : 10.1007/bf02591372 .
- ^ Кауфман, Роберт (1981). «О теореме Ярника и Безиковича» . Акта Арит . 39 (3): 265–267. дои : 10.4064/aa-39-3-265-267 .
- ^ Блит, Колин Р.; Патхак, Прамод К. (1986), «Заметка о простых доказательствах теоремы Стирлинга», American Mathematical Monthly , 93 (5): 376–379, doi : 10.2307/2323600 , JSTOR 2323600 .
- ^ Гордон, Луи (1994), «Стохастический подход к гамма-функции», American Mathematical Monthly , 101 (9): 858–865, doi : 10.2307/2975134 , JSTOR 2975134 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Ревуз, Дэниел; Йор, Марк (1994), Непрерывные мартингалы и броуновское движение (2-е изд.), Springer (см. Упражнение (2.17) в Разделе V.2, стр. 187).
- ^ См . теорему Фату .
- ^ Дарретт, Ричард (1984), Броуновское движение и мартингалы в анализе , Калифорния: Уодсворт, ISBN 0-534-03065-3 .
- ^ Басс, РФ ; Бурдзи, К. (1989), «Вероятностное доказательство граничного принципа Харнака», Семинар по случайным процессам , Бостон: Birkhäuser (опубликовано в 1990 г.), стр. 1–16, hdl : 1773/2249 .
- ^ Басс, Ричард Ф. (1995), Вероятностные методы анализа , Springer, стр. 228 .
- ^ Марковски, Грег Т. (2011), «Об ожидаемом времени выхода плоского броуновского движения из односвязных областей» , Electronic Communications in Probability , 16 : 652–663, arXiv : 1108.1188 , doi : 10.1214/ecp.v16-1653 , S2CID 55705658 .
- ^ Дэвис, Берджесс (1975), «Теорема Пикара и броуновское движение», Труды Американского математического общества , 213 : 353–362, doi : 10.2307/1998050 , JSTOR 1998050 .
- ^ Дэвис, Берджесс (1979), «Броуновское движение и аналитические функции», Annals of Probability , 7 (6): 913–932, doi : 10.1214/aop/1176994888 .
- ^ Вонг, ТК ; Ям, SCP (2018), «Вероятностное доказательство формулы обращения Фурье», Статистика и вероятностные письма , 141 : 135–142, doi : 10.1016/j.spl.2018.05.028 , S2CID 125351871 .
- ^ Аберт, Миклош; Вайс, Бенджамин (2011). «Действия Бернулли слабо содержатся во всяком свободном действии». arXiv : 1103.1063v2 [ math.DS ].
- ^ Бисмут, Жан-Мишель (1984), «Теоремы Атьи – Зингера: вероятностный подход. I. Теорема об индексе», J. Funct. Анальный. , 57 : 56–99, doi : 10.1016/0022-1236(84)90101-0 .
- ^ Пока у нас нет статьи о границе Мартина , см. Компактификация (математика)#Другие теории компактификации .
- ^ Бишоп, К. (1991), «Характеристика пуассоновских областей», Arkiv for Matematik , 29 (1): 1–24, Bibcode : 1991ArM....29....1B , doi : 10.1007/BF02384328 (см. раздел 6).
- ^ Цирельсон, Борис (1997), «Тройные точки: от неброуновской фильтрации к гармоническим мерам», Geometric and Functional Analysis , 7 (6), Birkhauser: 1096–1142, doi : 10.1007/s000390050038 , S2CID 121617197 . авторский сайт
- ^ Цирельсон, Борис (1998), «В пределах и за пределами броуновских инноваций», Труды международного конгресса математиков , Documenta mathematica, vol. Дополнительный том ICM 1998, III, Берлин: der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, стр. 311–320, ISSN 1431-0635 .
- ^ Толса, Ксавье; Вольберг, Александр (2017). «О теореме Цирельсона о тройных точках для гармонической меры». Уведомления о международных математических исследованиях . 2018 (12): 3671–3683. arXiv : 1608.04022 . дои : 10.1093/imrn/rnw345 .
- ^ Горовиц, Чарльз; Усади Кац, Карин; Кац, Михаил Георгиевич (2008). «Неравенство тора Лёвнера с изосистолическим дефектом». Журнал геометрического анализа . 19 (4): 796–808. arXiv : 0803.0690 . дои : 10.1007/s12220-009-9090-y . S2CID 18444111 .
- ^ Нил, Роберт В. (2008), «Мартингальный подход к минимальным поверхностям», Journal of Functional Analysis , 256 (8), Elsevier: 2440–2472, arXiv : 0805.0556 , doi : 10.1016/j.jfa.2008.06.033 , S2CID 15228691 . Также arXiv:0805.0556 .
- ^ Фулман, Джейсон (2001), «Вероятностное доказательство тождеств Роджерса-Рамануджана» , Бюллетень Лондонского математического общества , 33 (4): 397–407, arXiv : math/0001078 , doi : 10.1017/S0024609301008207 , S2CID 673691 , заархивировано из оригинала 7 июля 2012 г. Также arXiv:math.CO/0001078 .
- ^ Арвесон, Уильям (2003), Некоммутативная динамика и E-полугруппы , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-00151-4 .
- ^ Цирельсон, Борис (2003), «Неизоморфные системы произведений», в Прайсе, Джеффри (ред.), Достижения в квантовой динамике , Современная математика, том. 335, Американское математическое общество, стр. 273–328, ISBN. 0-8218-3215-8 . Также arXiv:math.FA/0210457 .
- ^ Цирельсон, Борис (2008), «Об автоморфизмах систем Арвесона типа II (вероятностный подход)» , New York Journal of Mathematics , 14 : 539–576 .
- ^ Бхат, Б.В.Раджарама; Сринивасан, Раман (2005), «О системах произведений, возникающих из систем сумм», Бесконечномерный анализ, квантовая вероятность и смежные темы (IDAQP) , 8 (1): 1–31, arXiv : math/0405276 , doi : 10.1142/S0219025705001834 , S2CID 15106610 . Также arXiv:math.OA/0405276 .
- ^ Изуми, Масаки; Сринивасан, Раман (2008), «Обобщенные потоки CCR», Communications in Mathematical Physics , 281 (2): 529–571, arXiv : 0705.3280 , Bibcode : 2008CMaPh.281..529I , doi : 10.1007/s00220-008-0447- z , S2CID 12815055 . Также arXiv:0705.3280 .
- ^ Перес-Гарсия, Д.; Вольф, ММ; К., Паласуэлос; Вильянуэва, И.; Юнге, М. (2008), «Неограниченное нарушение трехчастных неравенств Белла», Communications in Mathematical Physics , 279 (2): 455–486, arXiv : quant-ph/0702189 , Bibcode : 2008CMaPh.279..455P , doi : 10.1007/s00220-008-0418-4 , S2CID 29110154