Список вероятностных доказательств невероятностных теорем

Теория вероятностей обычно использует результаты из других областей математики (в основном анализа). Обратные случаи, собранные ниже, относительно редки; однако теория вероятностей систематически используется в комбинаторике посредством вероятностного метода . Они особенно используются для неконструктивных доказательств.

Анализ

• Нормальные цифры существуют. Более того, вычислимые нормальные числа существуют . Эти невероятностные теоремы существования следуют из вероятностных результатов: (а) число, выбранное наугад (равномерно по (0,1)) является нормальным почти наверняка (что легко следует из усиленного закона больших чисел ); (б) некоторые вероятностные неравенства, лежащие в основе сильного закона. Существование нормального числа следует непосредственно из (а). Доказательство существования вычислимых нормальных чисел, основанное на (б), требует дополнительных рассуждений. Все известные доказательства используют вероятностные аргументы.
• Вероятностно доказана теорема Дворецкого о том, что выпуклые тела большой размерности имеют шарообразные срезы. Никакая детерминированная конструкция не известна, даже для многих конкретных тел.
• Диаметр компакта Банаха–Мазура рассчитывался с использованием вероятностной конструкции. Детерминированная конструкция неизвестна.
• Оригинальное доказательство того, что неравенство Хаусдорфа – Юнга нельзя распространить на $p>2$ является вероятностным. Доказательство теоремы де Лю-Кахане-Кацнельсона (которая является более сильным утверждением) частично вероятностное.
• Первое построение Салемского множества было вероятностным. Лишь в 1981 году Кауфман предложил детерминированную конструкцию.
• Любая непрерывная функция на компактном интервале может быть равномерно аппроксимирована полиномами, что является теоремой аппроксимации Вейерштрасса . Вероятностное доказательство использует слабый закон больших чисел . Невероятностные доказательства были доступны и раньше.
• Существование нигде не дифференцируемой непрерывной функции легко следует из свойств винеровского процесса . Невероятностное доказательство было доступно ранее.
• Формула Стирлинга была впервые открыта Абрахамом де Муавром в его « Доктрине шансов » (с константой, определенной позже Стирлингом) для использования в теории вероятностей. Несколько вероятностных доказательств формулы Стирлинга (и связанных с ней результатов) было найдено в 20 веке.

• Единственные ограниченные гармонические функции, определенные на всей плоскости, являются постоянными функциями по теореме Лиувилля . Вероятностное доказательство с помощью n-мерного броуновского движения хорошо известно. Невероятностные доказательства были доступны и раньше.
• Некасательные граничные значения аналитической гармонической или функции существуют почти во всех граничных точках некасательной ограниченности. Этот результат ( теорема Привалова ) и несколько результатов такого рода выводятся из мартингальной сходимости . Невероятностные доказательства были доступны и раньше.
• Граничный принцип Гарнака доказывается с помощью броуновского движения. (см. также ). Невероятностные доказательства были доступны и раньше.
• Базельская сумма Эйлера , $\qquad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}},$ можно продемонстрировать, рассмотрев ожидаемое время выхода плоского броуновского движения из бесконечной полосы. Аналогичным образом можно вывести ряд других, менее известных личностей.

• Теорему Пикара можно доказать, используя извилистые свойства плоского броуновского движения.
• Тот факт, что каждая липшицева функция на действительной прямой дифференцируема почти всюду, можно доказать с помощью мартингальной сходимости .
• Формула многомерного обращения Фурье может быть получена с помощью слабого закона больших чисел и некоторых элементарных результатов комплексного анализа.
• Аберт и Вайс доказали с помощью вероятностной конструкции, что сдвиги Бернулли слабо содержатся (в смысле Кехриса ) в любом свободном сохраняющем меру действии дискретной счетной группы в стандартном вероятностном пространстве.

Комбинаторика

• доказывается ряд теорем, утверждающих существование графов (и других дискретных структур) с желаемыми свойствами Вероятностным методом . Для некоторых из них имеются невероятностные доказательства.
• Тождество максимума и минимума допускает вероятностное доказательство.
• Неравенство числа пересечений , которое является нижней границей количества пересечений для любого рисунка графа в зависимости от количества вершин и ребер, которые имеет граф.

Алгебра

• Фундаментальную теорему алгебры можно доказать, используя двумерное броуновское движение. Невероятностные доказательства были доступны и раньше.
• Теорема об индексе для эллиптических комплексов доказывается вероятностными методами. (а не методы уравнения теплопроводности). Невероятностное доказательство было доступно ранее.

Топология и геометрия

• Гладкая граница , очевидно, двусторонняя, но негладкая (особенно фрактальная) граница может быть весьма сложной. Предполагалось, что она двусторонняя в том смысле, что естественная проекция границы Мартина к топологической границе почти всюду не более 2 к 1. Эта гипотеза доказывается с использованием броуновского движения , местного времени , стохастического интегрирования , связи , гиперсжимаемости и т. д. (см. также ). Невероятностное доказательство было найдено 18 лет спустя.
• связывает Неравенство тора Лёвнера площадь компактной поверхности (топологически тора) с ее систолой . это Легче всего доказать , используя вероятностное понятие дисперсии . Невероятностное доказательство было доступно ранее.
• Теорема о слабом полупространстве для минимальных поверхностей утверждает, что любая полная минимальная поверхность ограниченной кривизны, не являющаяся плоскостью, не содержится ни в каком полупространстве. Эта теорема доказывается с помощью связи броуновских движений на минимальных поверхностях. Невероятностное доказательство было доступно ранее.

Теория чисел

• Теорема о нормальных числах (1909), принадлежащая Эмилю Борелю , могла быть одним из первых примеров вероятностного метода , предоставившего первое доказательство существования нормальных чисел с помощью первой версии сильного закона больших чисел ( см. также первый пункт раздела Анализ ).
• Тождества Роджерса –Рамануджана доказываются с помощью цепей Маркова . Невероятностное доказательство было доступно ранее.

Квантовая теория

• Некоммутативная динамика (называемая также квантовой динамикой) формулируется в терминах алгебр фон Неймана и непрерывных тензорных произведений гильбертовых пространств . Некоторые результаты (например, континуум взаимно неизоморфных моделей) получены вероятностными средствами ( случайные компакты и броуновское движение ). Одна часть этой теории (так называемые системы типа III) переведена на аналитический язык. и развивается аналитически; другая часть (так называемые системы типа II) существует пока только на вероятностном языке.
• Трехсторонние квантовые состояния могут привести к сколь угодно большим нарушениям неравенств Белла. (что резко контрастирует с двусторонним случаем). В доказательстве используются случайные унитарные матрицы. Других доказательств нет.

Теория информации

• Доказательство Шеннона о теоремы канальном кодировании использует случайное кодирование, чтобы показать существование кода, который достигает пропускной способности канала .

См. также

• Вероятностный метод

Внешние ссылки

• Вероятностные доказательства аналитических фактов в MathOverflow