Jump to content

Колчан (математика)

(Перенаправлено с Ходячего колчана )

В математике , особенно в теории представлений , колчан — другое название мультидиграфа ; то есть ориентированный граф , в котором петли и несколько стрелок между двумя вершинами разрешены . Колчаны обычно используются в теории представлений: представление V колчана присваивает векторное пространство   V ( x ) каждой вершине x колчана и линейную карту   V ( a ) каждой стрелке a .

В теории категорий под колчаном можно понимать основную структуру категории , но без композиции или обозначения тождественных морфизмов. То есть существует забывчивый функтор от Cat (категория категорий) до Quiv (категория мультидиграфов). Его левым сопряженным является свободный функтор , который из колчана образует соответствующую свободную категорию .

Определение

[ редактировать ]

Колчан Γ состоит из:

  • Множество V вершин графа Γ
  • Множество E ребер Γ
  • Две функции: задающая начало или источник края и другую функцию, давая цели край.

Это определение идентично определению мультиорграфа .

Морфизм . колчанов — это отображение вершин в вершины, которое переводит направленные ребра в направленные ребра Формально, если и два колчана, то морфизм колчанов состоит из двух функций и такие, что следующие диаграммы коммутируют :

То есть,

и

Теоретико-категорное определение

[ редактировать ]

Приведенное выше определение основано на теории множеств ; теоретико-категорное определение обобщает это в функтор от свободного колчана до категории множеств .

( Свободный колчан также называемый ходячим колчаном , Кронекера , колчаном 2-Кронекера или категорией Кронекера ) Q — это категория с двумя объектами и четырьмя морфизмами: объектами являются V и E. колчаном Четыре морфизма: и тождественные морфизмы и То есть вольный колчан — это категория

Колчан тогда является функтором . (То есть, указывает два набора и и две функции ; это в полной мере то, что значит быть функтором от к .)

В более общем смысле, колчан категории C — это функтор Категория Quiv ( C ) колчанов в C — это категория функтора , где:

Обратите внимание, что Quiv — это категория предпучков противоположной категории Q. на .

Алгебра путей

[ редактировать ]

Если Г — колчан, то путь в Г — это последовательность стрелок

такой, что начало a i +1 является хвостом a i для i = 1, …, n −1 , используя соглашение об объединении путей справа налево. Обратите внимание, что путь в теории графов имеет более строгое определение и что вместо этого это понятие совпадает с тем, что в теории графов называется обходом .

Если K поле , то алгебра колчана или алгебра путей K Γ определяется как векторное пространство, имеющее все пути (длины ≥ 0) в колчане в качестве основы (включая для каждой вершины i колчана Γ тривиальный путь e i длины 0; эти пути не считаются равными для разных i ), а умножение задается конкатенацией путей. Если два пути не могут быть объединены, поскольку конечная вершина первого не равна начальной вершине второго, их произведение определяется как ноль. Это определяет ассоциативную алгебру над K . Эта алгебра имеет единичный элемент тогда и только тогда, когда колчан имеет лишь конечное число вершин. В этом случае модули над K Γ естественным образом отождествляются с представлениями Γ . Если колчан имеет бесконечное число вершин, то K Γ имеет приближенное тождество , определяемое формулой где F пробегает конечные подмножества множества вершин графа Γ .

Если колчан имеет конечное число вершин и стрелок, а конечная и начальная вершины любого пути всегда различны (т. е. Q не имеет ориентированных циклов), то K Γ является конечномерной наследственной алгеброй над K . И наоборот, если K алгебраически замкнуто, то любая конечномерная наследственная ассоциативная алгебра над K является Морита-эквивалентной алгебре путей ее колчана Ext (т. е. они имеют эквивалентные категории модулей).

Изображения колчанов

[ редактировать ]

Представление колчана Q — это ассоциация R -модуля с каждой вершиной Q и морфизм между каждым модулем для каждой стрелы.

Представление V колчана Q называется тривиальным , если для всех вершин x в Q .

Морфизм , между представлениями колчана Q , представляет собой набор линейных отображений такой, что для каждой стрелки a в Q от x до y , т.е. квадраты, которые f образует со стрелками V и V', все коммутируют. Морфизм f является изоморфизмом , если f ( x ) обратим для всех вершин x в колчане. С помощью этих определений представления колчана образуют категорию .

Если V и W — представления колчана Q , то прямая сумма этих представлений определяется для всех вершин x в Q и является прямой суммой линейных отображений V ( a ) и W ( a ) .

Представление называется разложимым, если оно изоморфно прямой сумме ненулевых представлений.

Также можно дать категорическое определение представления колчана. Сам колчан можно рассматривать как категорию, где вершины — это объекты, а пути — это морфизмы. Тогда представление Q — это просто ковариантный функтор из этой категории в категорию конечномерных векторных пространств . Морфизмы представлений Q представляют собой в точности естественные преобразования между соответствующими функторами.

Для конечного колчана Γ (колчана с конечным числом вершин и ребер) пусть K Γ — его алгебра путей. Пусть e i обозначает тривиальный путь в вершине i . можно сопоставить Тогда вершине i проективный K K Γ -модуль состоящий Γ e i , из линейных комбинаций путей, имеющих стартовую вершину i . Это соответствует представлению Γ , полученному путем помещения копии K в каждую вершину, которая лежит на пути, начинающемся с i и 0 в каждой другой вершине. Каждому ребру, соединяющему две копии K, мы сопоставляем тождественное отображение.

Эту теорию связали с кластерными алгебрами Дерксен, Вейман и Зелевинский. [1]

Колчан с отношениями

[ редактировать ]

Чтобы обеспечить коммутативность некоторых квадратов внутри колчана, обобщением является понятие колчанов с отношениями (также называемых связанными колчанами).Отношение на колчане Q — это K линейная комбинация путей Q. из Колчан со связью — это пара ( Q , I ) , где Q — колчан и аидеал алгебры путей. Фактор K Γ/ I является алгеброй путей ( Q , I ) .

Колчан Разнообразие

[ редактировать ]

Зная размерности векторных пространств, присвоенных каждой вершине, можно сформировать многообразие, характеризующее все представления этого колчана с указанными размерностями, и рассмотреть условия устойчивости. Они дают разновидности колчана, построенные Кингом (1994) .

Теорема Габриэля

[ редактировать ]

Колчан называется конечным типом , если он имеет лишь конечное число классов изоморфизма неразложимых представлений . Габриэль (1972) классифицировал все колчаны конечного типа, а также их неразложимые представления. Точнее, теорема Габриэля утверждает, что:

  1. (Связный) колчан имеет конечный тип тогда и только тогда, когда его основной граф (когда направления стрелок игнорируются) является одной из ADE Дынкина : An диаграмм , D n , E 6 , E 7 , E 8 .
  2. Неразложимые представления находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными корнями системы корней диаграммы Дынкина.

Длаб и Рингель (1973) нашли обобщение теоремы Габриэля, в котором встречаются все диаграммы Дынкина конечномерных полупростых алгебр Ли. обобщил это на все колчаны и соответствующие им алгебры Каца – Муди Виктор Кац .

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Дерксен, Харм; Вейман, Ежи; Зелевинский, Андрей (21 апреля 2008 г.), Колчаны с потенциалами и их представления I: Мутации , arXiv : 0704.0649 . Опубликовано в журнале J. Amer. Математика. Соц. 23 (2010), с. 749-790.

Кириллов, Александр (2016), Представления колчана и разновидности колчана , Американское математическое общество, ISBN  978-1-4704-2307-0

Конспекты лекций

[ редактировать ]

Исследовать

[ редактировать ]

Источники

[ редактировать ]
  1. ^ Герарделли, Франческо; Международный летний математический центр, ред. (1983). Теория инвариантов: материалы 1-й сессии Международного математического центра (CIME) 1982 г., состоявшейся в Монтекатини, Италия, 10-18 июня 1982 г. Конспекты лекций по математике. Берлин Гейдельберг: Springer. ISBN  978-3-540-12319-4 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: e6196d9a3124d32c21bb1210378fdfe0__1718364780
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/e6/e0/e6196d9a3124d32c21bb1210378fdfe0.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Quiver (mathematics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)