Основное уравнение

Основные уравнения математической модели описывают, как значения неизвестных переменных (т.е. зависимых переменных ) изменяются, когда изменяются одна или несколько известных (т.е. независимых ) переменных.

Физические системы можно моделировать феноменологически на различных уровнях сложности, при этом каждый уровень отражает разную степень детализации системы. Основное уравнение представляет собой наиболее подробную и фундаментальную феноменологическую модель, доступную в настоящее время для данной системы.

Например, на самом грубом уровне балка представляет собой просто одномерную кривую, крутящий момент которой является функцией местной кривизны. На более детальном уровне балка представляет собой двумерное тело, тензор напряжений которого является функцией локального тензора деформации, а тензор деформации является функцией его деформации. Тогда уравнения представляют собой систему УЧП. Обратите внимание, что оба уровня сложности являются феноменологическими, но один глубже другого. Другой пример: в гидродинамике уравнения Навье-Стокса являются более точными, чем уравнения Эйлера .

По мере развития этой области и углубления нашего понимания лежащих в ее основе механизмов основные уравнения могут быть заменены или уточнены новыми, более точными моделями, которые лучше отражают поведение системы. Эти новые основные уравнения можно будет считать самым глубоким уровнем феноменологической модели на тот момент.

Массовый баланс

Баланс масс , также называемый материальным балансом , представляет собой применение закона сохранения массы к анализу физических систем. Это простейшее определяющее уравнение, представляющее собой просто бюджет (расчет баланса) рассматриваемого количества:

${\text{Input}}+{\text{Generation}}={\text{Output}}+{\text{Accumulation}}\ +{\text{Consumption}}$

Дифференциальное уравнение

Физика

Основные уравнения в классической физике, которые читал лекции в университетах перечислены ниже.

• баланс массы
• баланс (линейного) импульса
• баланс углового момента
• баланс энергии
• баланс энтропии
• Уравнение Максвелла-Фарадея для индуцированного электрического поля
• Уравнение Ампера-Максвелла для индуцированного магнитного поля
• Уравнение Гаусса для электрического потока
• Уравнение Гаусса для магнитного потока

Классическая механика сплошной среды

Все основные уравнения классической механики сплошной среды являются уравнениями баланса , и поэтому каждое из них содержит производную по времени, которая вычисляет, насколько зависимая переменная изменяется со временем. Для изолированной системы без трения/невязкости первые четыре уравнения представляют собой известные уравнения сохранения классической механики.

Закон Дарси о движении подземных вод имеет вид объемного потока, вызванного градиентом давления. Поток в классической механике обычно не является основным уравнением, но обычно является определяющим уравнением транспортных свойств . Закон Дарси первоначально был установлен как эмпирическое уравнение, но позже было показано, что его можно вывести как аппроксимацию уравнения Навье-Стокса в сочетании с эмпирическим составным членом силы трения. Это объясняет двойственность закона Дарси как основного уравнения и определяющего уравнения абсолютной проницаемости.

Нелинейность материальной производной в уравнениях баланса в целом, а также сложность уравнения количества движения Коши и уравнения Навье-Стокса делают основные уравнения классической механики уязвимыми для установления более простых приближений.

Некоторые примеры основных дифференциальных уравнений в классической механике сплошной среды:

• Поток Хеле-Шоу
• Теория пластин
  • Теория пластин Кирхгофа – Любви
  • Теория пластин Миндлина – Рейсснера
• Вихревое излияние
• Кольцевой плавник
• Космонавтика
• Метод конечных объемов для нестационарного течения
• Акустическая теория
• Дисперсионное твердение
• Теорема Кельвина о циркуляции
• Ядерная функция для решения интегрального уравнения поверхностного радиационного обмена
• Нелинейная акустика
• Моделирование больших вихрей
• Уравнения Фёппля – фон Кармана
• Timoshenko beam theory

Биология

Известным примером управления дифференциальными уравнениями в биологии является

• Уравнения Лотки-Вольтерра - это уравнения жертвы-хищника.

Последовательность состояний

Управляющее уравнение также может быть уравнением состояния , уравнением, описывающим состояние системы, и, таким образом, на самом деле быть определяющим уравнением, которое «подняло ряды», поскольку рассматриваемая модель не предполагала включать в себя член, зависящий от времени. уравнение. Так обстоит дело с моделью нефтедобывающего завода , который в среднем работает в установившемся режиме. Результаты одного расчета термодинамического равновесия являются входными данными для следующего расчета равновесия вместе с некоторыми новыми параметрами состояния и так далее. В этом случае алгоритм и последовательность входных данных образуют цепочку действий или вычислений, описывающую изменение состояний от первого состояния (исключительно на основе входных данных) до последнего состояния, которое в конечном итоге выходит из последовательности вычислений.

См. также

• Определяющее уравнение
• Массовый баланс
• Основное уравнение
• Математическая модель
• Примитивные уравнения