Диагональ

Чтобы узнать о других значениях, см. Диагональ (значения) .

Диагонали куба со стороной 1. AC' (показана синим цветом) — пространственная диагональ длиной ${\sqrt {3}}$, а AC (показано красным) представляет собой диагональ грани и имеет длину ${\sqrt {2}}$.

В геометрии диагональ соединяющий — это отрезок, две вершины многоугольника одном или многогранника , когда эти вершины не находятся на ребре . Неофициально любая наклонная линия называется диагональю. Слово «диагональ» происходит от древнегреческого διαγώνιος diagonios , «из угла в угол» (от διά- dia- , «сквозь», «поперек» и γωνία gonia , «угол», родственное gony «колено»); его использовали оба Страбона и Евклид для обозначения линии, соединяющей две вершины ромба или кубоида , а позже принято в латынь как diagonus («наклонная линия»).

Полигоны

Применительно к многоугольнику диагональ — это отрезок линии, соединяющий любые две непоследовательные вершины. Следовательно, четырехугольник имеет две диагонали, соединяющие противоположные пары вершин. Для любого выпуклого многоугольника все диагонали находятся внутри многоугольника, но для входящих многоугольников некоторые диагонали находятся вне многоугольника.

Любой n -сторонний многоугольник ( n ≥ 3), выпуклый или вогнутый , имеет ${\tfrac {n(n-3)}{2}}$ общее количество диагоналей, поскольку каждая вершина имеет диагонали ко всем другим вершинам, кроме себя самой и двух соседних вершин, или n - 3 диагоналей, и каждая диагональ является общей для двух вершин.

В общем случае правильный n -сторонний многоугольник имеет $\lfloor {\frac {n-2}{2}}\rfloor$ различные диагонали по длине, соответствующие шаблону 1,1,2,2,3,3... начиная с квадрата.

Стороны Диагонали 3 0 4 2 5 5 6 9 7 14 8 20 9 27 10 35

Стороны Диагонали 11 44 12 54 13 65 14 77 15 90 16 104 17 119 18 135

Стороны Диагонали 19 152 20 170 21 189 22 209 23 230 24 252 25 275 26 299

Стороны Диагонали 27 324 28 350 29 377 30 405 31 434 32 464 33 495 34 527

Стороны Диагонали 35 560 36 594 37 629 38 665 39 702 40 740 41 779 42 819

Области, образованные диагоналями

В выпуклом многоугольнике , если никакие три диагонали не совпадают в одной точке внутри, количество областей, на которые диагонали делят внутреннюю часть, определяется выражением

${\binom {n}{4}}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}.$

Для n -угольников с n =3, 4, ... количество областей равно

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246...

Это последовательность OEIS A006522.

Пересечения диагоналей

Если никакие три диагонали выпуклого многоугольника не совпадают в какой-либо точке внутри, количество внутренних пересечений диагоналей определяется выражением ${\binom {n}{4}}$. Это справедливо, например, для любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон. Формула следует из того факта, что каждое пересечение однозначно определяется четырьмя концами двух пересекающихся диагоналей: количество пересечений, таким образом, равно количеству комбинаций n вершин по четыре одновременно.

Правильные многоугольники

См. Также: Четырехугольник § Диагонали , Шестиугольник § Выпуклый равносторонний шестиугольник и Семиугольник § Диагонали и семиугольный треугольник.

Хотя количество различных диагоналей в многоугольнике увеличивается с увеличением количества его сторон, длину любой диагонали можно вычислить.

В правильном n-угольнике с длиной стороны a длина x-й кратчайшей отдельной диагонали равна:

$\sin({\frac {\pi (x+1)}{n}})\csc({\frac {\pi }{n}})*a$

Эта формула показывает, что по мере того, как число сторон приближается к бесконечности, длина x-й кратчайшей диагонали приближается к длине (x+1)a . Кроме того, формула кратчайшей диагонали упрощается в случае x = 1:

$\sin({\frac {2\pi }{n}})\csc({\frac {\pi }{n}})*a=2\cos({\frac {\pi }{n}})*a$

Если количество сторон четное, самая длинная диагональ будет эквивалентна диаметру описанной окружности многоугольника, поскольку все длинные диагонали пересекаются друг с другом в центре многоугольника.

К особым случаям относятся:

Квадрат имеет две диагонали одинаковой длины, которые пересекаются в центре квадрата. Отношение диагонали к стороне равно ${\sqrt {2}}\approx 1.414.$

Правильный пятиугольник имеет пять диагоналей одинаковой длины. Отношение диагонали к стороне – это золотое сечение . ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618.$

Правильный шестиугольник имеет девять диагоналей: шесть более коротких равны по длине; три более длинных равны друг другу по длине и пересекаются в центре шестиугольника. Отношение длинной диагонали к стороне равно 2, а отношение короткой диагонали к стороне равно. ${\sqrt {3}}$.

Правильный семиугольник имеет 14 диагоналей. Семь более коротких равны друг другу, а семь более длинных равны друг другу. Обратная сторона равна сумме обратных величин короткой и длинной диагонали.

Многогранники

См. также: Диагональ лица и Диагональ пространства.

Многогранник ) может иметь два разных типа диагоналей: диагонали граней на различных гранях, соединяющие ( твёрдый объект в трёхмерном пространстве , ограниченный двумерными гранями несмежные вершины на одной грани; и пространственные диагонали, полностью находящиеся внутри многогранника (за исключением концов вершин).

Высшие измерения

N-куб

Длины диагоналей n-мерного гиперкуба можно вычислить методом математической индукции . Самая длинная диагональ n-куба равна ${\sqrt {n}}$. Кроме того, существуют $2^{n-1}{\binom {n}{x+1}}$ кратчайшей x-й диагонали. Например, 5-куб будет иметь диагонали:

Длина диагонали Количество диагоналей ${\sqrt {2}}$ 160 ${\sqrt {3}}$ 160 2 80 ${\sqrt {5}}$ 16

Его общее число диагоналей равно 416. В общем случае n-куб имеет всего $2^{n-1}(2^{n}-n-1)$ диагонали. Это следует из более общей формы ${\frac {v(v-1)}{2}}-e$ которое описывает общее количество граней и пространственных диагоналей в выпуклых многогранниках. Здесь v представляет количество вершин, а e представляет количество ребер.

Геометрия

По аналогии подмножество декартова произведения X × X любого множества X с самим собой, состоящее из всех пар (x, x), называется диагональю и является графиком отношения равенства на равенства на X или, что то же самое, графиком отношения X или , что то же самое, отношения графиком равенства на X. тождественная от X до X. функция Это играет важную роль в геометрии; например, неподвижные точки отображения F в себя могут быть из X получены путем пересечения графика F с диагональю.

идея пересечения диагонали сама с собой В геометрических исследованиях распространена , но не напрямую, а путем ее возмущения внутри класса эквивалентности . На глубоком уровне это связано с эйлеровой характеристикой и нулями векторных полей . Например, круг S ¹ имеет числа Бетти 1, 1, 0, 0, 0 и, следовательно, эйлерову характеристику 0. Геометрический способ выразить это — посмотреть на диагональ двухтора S ¹ хС ¹ и заметьте, что он может перемещаться небольшим движением (θ, θ) в (θ, θ + ε). В общем, число пересечения графика функции с диагональю можно вычислить с использованием гомологии с помощью теоремы Лефшеца о неподвижной точке ; самопересечение диагонали является частным случаем тождественной функции.

Внешние ссылки

• Диагонали многоугольника с интерактивной анимацией
• Диагональ многоугольника из MathWorld .