Конфигурация Мёбиуса – Кантора

Конфигурация Мёбиуса – Кантора.

В геометрии конфигурация Мёбиуса -Кантора представляет собой конфигурацию, состоящую из восьми точек и восьми линий, по три точки на каждой линии и по три линии, проходящие через каждую точку. Невозможно нарисовать точки и линии, имеющие такой порядок вхождений, на евклидовой плоскости , но возможно на комплексной проективной плоскости .

Август Фердинанд Мёбиус ( 1828 ) задался вопросом, существует ли пара многоугольников с p сторонами каждый, обладающих тем свойством, что вершины одного многоугольника лежат на линиях, проходящих через края другого многоугольника, и наоборот. Если это так, вершины и края этих многоугольников будут образовывать проективную конфигурацию . Для $p=4$ нет решения в евклидовой плоскости , но Зелигман Кантор ( 1882 ) нашел пары многоугольников этого типа для обобщения задачи, в которой точки и ребра принадлежат комплексной проективной плоскости . То есть в решении Кантора координаты вершин многоугольника являются комплексными числами . Решение Кантора для $p=4$, пара взаимно вписанных четырехугольников в комплексной проективной плоскости, называется конфигурацией Мёбиуса – Кантора.

Семь линий конфигурации можно сделать прямыми, но не все восемь.

HSM Coxeter ( 1950 ) предоставляет следующие простые комплексные проективные координаты для восьми точек конфигурации Мёбиуса – Кантора:

(1,0,0), (0,0,1), (ω, −1, 1), (−1, 0, 1),

(−1,ω ² ,1), (1,ω,0), (0,1,0), (0,−1,1),

где ω обозначает комплексный кубический корень из 1 .

Восемь точек и восемь линий конфигурации Мёбиуса–Кантора с этими координатами образуют восемь вершин и восемь 3-ребер комплексного многоугольника 3{3}3. Коксетер назвал его многоугольником Мёбиуса-Кантора .

Абстрактная картина заболеваемости

Граф Мёбиуса–Кантора , граф Леви конфигурации Мёбиуса–Кантора. Вершины одного цвета представляют собой точки конфигурации, а вершины другого цвета представляют собой линии.

Более абстрактно, конфигурацию Мёбиуса – Кантора можно описать как систему из восьми точек и восьми троек точек, причем каждая точка принадлежит ровно трем тройкам. С учетом дополнительных условий (естественных для точек и прямых), согласно которым ни одна пара точек не принадлежит более чем одной тройке и что никакие две тройки не имеют более одной точки пересечения, любые две системы этого типа эквивалентны при некоторой перестановке точек. . То есть конфигурация Мёбиуса–Кантора является единственной проективной конфигурацией типа (8 ₃ 8 ₃ ).

Граф Мёбиуса-Кантора получил свое название от графа Леви конфигурации Мёбиуса-Кантора. Он имеет одну вершину на каждую точку и одну вершину на тройку, с ребром, соединяющим две вершины, если они соответствуют точке и тройке, содержащей эту точку.

Точки и линии конфигурации Мёбиуса–Кантора можно описать как матроид , элементы которого являются точками конфигурации, а нетривиальные плоскости — линиями конфигурации. В этом матроиде множество S точек независимо тогда и только тогда, когда либо $|S|\leq 2$ или S состоит из трех неколлинеарных точек. Как матроид, он был назван матроидом Маклейна в честь работы Сондерса Маклейна ( 1936 ), доказавшей, что он не может быть ориентирован ; это один из нескольких известных минор-минимальных неориентируемых матроидов.

Связанные конфигурации

Представляет интерес также решение задачи Мёбиуса о взаимно вписанных многоугольниках для значений p больше четырех. В частности, одно из возможных решений $p=5$ — это конфигурация Дезарга , набор из десяти точек и десяти линий, по три точки на линию и по три линии на точку, которая допускает евклидову реализацию. Конфигурация Мёбиуса — трёхмерный аналог конфигурации Мёбиуса–Кантора, состоящий из двух взаимно вписанных тетраэдров.

Конфигурацию Мёбиуса-Кантора можно расширить, добавив четыре линии к четырем парам точек, еще не соединенных линиями, а также добавив девятую точку к четырем новым линиям. Полученная конфигурация, конфигурация Гессе , разделяет с конфигурацией Мёбиуса-Кантора свойство реализуемости с комплексными координатами, но не с реальными координатами. Удаление любой точки из конфигурации Гессе создает копию конфигурации Мёбиуса-Кантора.Обе конфигурации также можно описать алгебраически в терминах абелевой группы. $\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{3}$ с девятью элементами.Эта группа имеет четыре подгруппы третьего порядка (подмножества элементов вида $(i,0)$, $(i,i)$, $(i,2i)$, и $(0,i)$ соответственно), каждый из которых можно использовать для разделения девяти элементов группы на три смежных класса по три элемента в каждом. Эти девять элементов и двенадцать смежных классов образуют конфигурацию Гессе. Удаление нулевого элемента и четырех смежных классов, содержащих ноль, приводит к конфигурации Мёбиуса – Кантора.

Ссылки

• Коксетер, HSM (1950), «Самодвойственные конфигурации и регулярные графы», Бюллетень Американского математического общества , 56 (5): 413–455, doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09407-5 , MR   0038078 .
• Коксетер, HSM; Шепард, GC (1992), «Портреты семейства сложных многогранников», Леонардо , 25 (3/4): 239, doi : 10.2307/1575843 , JSTOR   1575843 . Перепечатано в The Visual Mind , MIT Press, 1993, стр. 19–26, MR. 1255836 .
• Долгачев, Игорь В. (2004), «Абстрактные конфигурации в алгебраической геометрии», Конференция Фано , Турин: Туринский университет, стр. 423–462, arXiv : math.AG/0304258 , MR   2112585 .
• Кантор, Зелигманн (1882), «О конфигурациях (3, 3) с индексами 8, 9 и их связи с кривыми третьего порядка», труды Класса математических и естественных наук Императорской Академии наук, Вена , 84 (1): 915–932 .
• Маклейн, Сондерс (1936), «Некоторые интерпретации абстрактной линейной зависимости с точки зрения проективной геометрии», Американский журнал математики , 58 (1): 236–240, doi : 10.2307/2371070 , MR   1507146 .
• Мёбиус, Август Фердинанд (1828 г.): «Можно ли каждую из двух трёхгранных пирамид назвать переписанной и вписанной относительно другой одновременно?» (PDF) , Журнал чистой и прикладной математики , 3 : 273–278 . В собрании сочинений (1886), т. 1, стр. 439–446.
• Циглер, Гюнтер М. (1991), «Некоторые минимальные неориентируемые матроиды третьего ранга», Geometriae Dedicata , 38 (3): 365–371, doi : 10.1007/BF00181199 , MR   1112674 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Конфигурация Мёбиуса-Кантора» , MathWorld