Проблема Шенфлиса

В математике или проблема Шенфлиса теорема Шенфлиса геометрической топологии представляет собой уточнение теоремы о кривой Жордана Артура Шенфлиса . Для жордановых кривых на плоскости ее часто называют теоремой Джордана – Шенфлиса.

Оригинальная формула

Исходная формулировка проблемы Шенфлиса гласит, что каждая простая замкнутая кривая на плоскости не только разделяет плоскость на две области: одну («внутри») ограниченную , а другую («внешнюю») неограниченную; но также и то, что эти две области гомеоморфны внутренней и внешней части стандартного круга на плоскости.

Альтернативное утверждение состоит в том, что если $C\subset \mathbb {R} ^{2}$ — простая замкнутая кривая, то существует гомеоморфизм $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ такой, что $f(C)$ — единичный круг на плоскости. Элементарные доказательства можно найти у Ньюмана (1939) , Кэрнса (1951) , Мойза (1977) и Томассена (1992) . Этот результат можно сначала доказать для многоугольников, когда гомеоморфизм можно считать кусочно-линейным и тождественным отображением некоторого компактного множества; случай непрерывной кривой затем выводится путем аппроксимации многоугольниками. Эта теорема также является непосредственным следствием теоремы Каратеодори о расширении конформных отображений , как обсуждалось в Pommerenke (1992 , стр. 25).

Если кривая гладкая, то гомеоморфизм можно выбрать в качестве диффеоморфизма . Доказательства в этом случае опираются на методы дифференциальной топологии . Хотя прямые доказательства возможны (начиная, например, со случая многоугольника), существование диффеоморфизма также можно вывести, используя теорему о гладком отображении Римана для внутренней и внешней части кривой в сочетании с трюком Александера для диффеоморфизмов окружности и результат о гладкой изотопии из дифференциальной топологии.

Такая теорема справедлива только в двух измерениях. В трех измерениях есть противоположные примеры, такие как рогатая сфера Александра . Хотя они разделяют пространство на две области, эти области настолько искривлены и запутаны, что не гомеоморфны внутренней и внешней сторонам нормальной сферы.

Доказательства теоремы Джордана–Шенфлиса.

Для гладких или ломаных кривых теорему Жордана о кривой можно доказать простым способом. Действительно, кривая имеет трубчатую окрестность , определяемую в гладком случае полем единичных нормалей к кривой, а в многоугольном случае — точками, находящимися на расстоянии менее ε от кривой.В окрестности дифференцируемой точки кривой происходит изменение координаты, при котором кривая становится диаметром открытого диска. Взяв точку, не лежащую на кривой, прямая линия, направленная к кривой, начинающейся в этой точке, в конечном итоге встретится с трубчатой ​​окрестностью; путь можно продолжить рядом с кривой, пока он не встретится с диском. Оно встретит его с той или иной стороны. Это доказывает, что дополнение к кривой имеет не более двух компонент связности. С другой стороны, используя интегральную формулу Коши для числа витков , можно видеть, что число витков постоянно на связных компонентах дополнения кривой, равно нулю вблизи бесконечности и увеличивается на 1 при пересечении кривой. Следовательно, кривая разделяет плоскость ровно на две компоненты: ее «внутреннюю» и «внешнюю», причем последняя не ограничена. Тот же аргумент работает и для кусочно-дифференцируемой кривой Жордана.

Многоугольная кривая

Для простой замкнутой ломаной кривой на плоскости кусочно-линейная теорема Джордана – Шенфлиса утверждает, что существует кусочно-линейный гомеоморфизм плоскости с компактным носителем, переносящий многоугольник на треугольник и переводящий внутреннюю и внешнюю часть треугольника во внутреннюю часть. и внешний вид другого.

Внутреннюю часть многоугольника можно триангулировать с помощью маленьких треугольников, так что края многоугольника образуют края некоторых маленьких треугольников. Кусочно-линейные гомеоморфизмы можно составить из специальных гомеоморфизмов, полученных удалением ромба из плоскости и взятием кусочно-аффинного отображения, зафиксировав ребра ромба, но переместив одну диагональ в V-образную форму. Композиции гомеоморфизмов такого типа порождают кусочно-линейные гомеоморфизмы с компактным носителем; они фиксируют внешнюю часть многоугольника и действуют аффинным образом на триангуляцию внутренней части. Простое индуктивное рассуждение показывает, что всегда можно удалить свободный треугольник, у которого пересечение с границей представляет собой связное множество, состоящее из одного или двух ребер, оставив простой замкнутый жордановый многоугольник. Описанные выше специальные гомеоморфизмы или их обратные обеспечивают кусочно-линейные гомеоморфизмы, которые переносят внутреннюю часть большего многоугольника на многоугольник с удаленным свободным треугольником. Повторяя этот процесс, следует, что существует кусочно-линейный гомеоморфизм с компактным носителем, переносящий исходный многоугольник на треугольник.

Поскольку гомеоморфизм получается составлением конечного числа гомеоморфизмов плоскости компактного носителя, отсюда следует, что кусочно-линейный гомеоморфизм в формулировке кусочно-линейной теоремы Йордана-Шенфлиса имеет компактный носитель.

Как следствие, отсюда следует, что любой гомеоморфизм между простыми замкнутыми ломаными кривыми продолжается до гомеоморфизма между их внутренностями. Для каждого многоугольника существует гомеоморфизм данного треугольника на замыкание его внутренности. Три гомеоморфизма дают один гомеоморфизм границы треугольника. Приемом Александера этот гомеоморфизм можно расширить до гомеоморфизма замыкания внутренности треугольника. Обращая этот процесс вспять, этот гомеоморфизм дает гомеоморфизм между замыканиями внутренностей ломаных кривых.

Непрерывная кривая

Теорему Джордана-Шенфлиса для непрерывных кривых можно доказать с помощью теоремы Каратеодори о конформном отображении . В нем утверждается, что отображение Римана между внутренней частью простой жордановой кривой и открытым единичным диском непрерывно продолжается до гомеоморфизма между их замыканиями, гомеоморфно отображая жордановую кривую на единичную окружность. Чтобы доказать теорему, теорему Каратеодори можно применить к двум областям сферы Римана, определяемым кривой Жордана. Это приведет к гомеоморфизмам между их замыканиями и замкнутыми кругами | г | ≤ 1 и | г | ≥ 1. Гомеоморфизмы жордановой кривой вокружность будет отличаться гомеоморфизмом окружности, который можно расширить до единичного круга (или его дополнения) с помощью трюка Александера . Композиция с этим гомеоморфизмом даст пару гомеоморфизмов, которые совпадают на жордановой кривой и, следовательно, определяют гомеоморфизм сферы Римана, переносящей жордановую кривую на единичную окружность.

Непрерывный случай также можно вывести из многоугольного случая, аппроксимировав непрерывную кривую многоугольником. Теорема Жордана о кривой впервые выводится этим методом. Кривая Жордана задается непрерывной функцией на единичной окружности. Она и обратная функция от ее образа обратно к единичному кругу равномерно непрерывны . Таким образом, разделив круг на достаточно малые интервалы, на кривой найдутся такие точки, что отрезки линий, соединяющие соседние точки, лежат близко к кривой, скажем, по ε. Вместе эти отрезки линий образуют многоугольную кривую. Если у него есть самопересечения, они также должны создавать многоугольные петли. Стирание этих петель приводит к образованию многоугольной кривой без самопересечений, которая по-прежнему лежит близко к кривой; некоторые из его вершин могут не лежать на кривой, но все они лежат в пределах окрестности кривой. Многоугольная кривая делит плоскость на две области: одну ограниченную область U и одну неограниченную V. область И U , и V ∪ ∞ являются непрерывными образами замкнутого единичного круга. Поскольку исходная кривая содержится в небольшой окрестности ломаной, объединение изображений немного меньших концентрических открытых дисков полностью не попадает в исходную кривую, и их объединение исключает небольшую окрестность кривой. Одно из изображений представляет собой ограниченное открытое множество, состоящее из точек, вокруг которых построена кривая. обмотка номер один; другой — неограниченное открытое множество, состоящее из точек обмотки с нулевым номером. Повторение для последовательности значений ε, стремящейся к 0, приводит к объединению открытых линейно-связных ограниченных множеств точек обмотки номер один и объединения открытых линейно-связных неограниченных множеств нулевой обмотки. По построению эти два непересекающихся открытых линейно-связных множества заполняют дополнение кривой на плоскости.

Шестиугольная мозаика плоскости: если встречаются два шестиугольника, они должны иметь общее ребро.

Стандартная кирпичная кладка плоскости.

Учитывая теорему Жордана о кривой, теорему Джордана-Шенфлиса можно доказать следующим образом.

• Первый шаг — показать, что плотный набор точек кривой доступен изнутри кривой, т. е. они находятся в конце отрезка, полностью лежащего внутри кривой. Действительно, данная точка кривой сколь угодно близка к некоторой точке внутри, и вокруг этой точки существует наименьший замкнутый диск, который пересекает кривую только на ее границе; эти граничные точки расположены близко к исходной точке кривой и по построению доступны.
• Второй шаг — доказать, что для заданного конечного числа доступных точек A _i на кривой, соединенной с отрезками A _i B _i внутри нее, внутри существуют непересекающиеся ломаные с вершинами на каждом из отрезков, расстояние до которых равно исходная кривая сколь угодно мала. Для этого требуется мозаика плоскости одинаково маленькими плитками, так что если две плитки встречаются, у них есть общая сторона или сегмент стороны: примерами являются стандартная шестиугольная мозаика ; или стандартная кирпичная кладка прямоугольниками или квадратами с обычными или натяжными связями. Достаточно построить ломаную так, чтобы ее расстояние до жордановой кривой было сколь угодно мало. Ориентируйте мозаику так, чтобы ни одна сторона плитки не была параллельна любой A _i B _i . Размер плиток можно брать сколь угодно маленьким. Возьмите объединение всех замкнутых плиток, содержащих хотя бы одну точку жордановой кривой. Его граница состоит из непересекающихся ломаных кривых. Если размер плиток достаточно мал, конечные точки B _i будет лежать внутри ровно одной из ломаных граничных кривых. Расстояние до кривой Жордана менее чем в два раза превышает диаметр плиток, поэтому оно сколь угодно мало.
• Третий шаг — доказать, что любой гомеоморфизм f между кривой и данным треугольником можно расширить до гомеоморфизма между замыканиями их внутренностей. Действительно, возьмем последовательность ε ₁ , ε ₂ , ε ₃ , ..., убывающую до нуля. Выберите конечное число точек A _i на жордановой кривой Γ, расстояние между последовательными точками которых меньше ε ₁ . Сделайте построение второго шага с плитками диаметром меньше ε ₁ и примите C _i за точки ломаной Γ _1, пересекающие A _i B _i . Возьмем точки f ( A _i ) на треугольнике. Зафиксируйте начало координат в треугольнике Δ и масштабируйте треугольник, чтобы получить меньший треугольник Δ ₁ на расстоянии меньше ε ₁ от исходного треугольника. Пусть D _i будут точками пересечения радиуса через f ( A _i ) и меньшего треугольника. Существует кусочно-линейный гомеоморфизм F ₁ ломаной на меньший треугольник, C _i на Di _. переносящий По теореме Джордана-Шенфлиса оно продолжается до гомеоморфизма F ₁ между замыканиями их внутренностей. Теперь проделаем тот же процесс для ε ₂ с новым набором точек на кривой Жордана. Это создаст второй полигональный путь Γ ₂ между Γ ₁ и Γ. Аналогично существует второй треугольник ∆2 _между ∆1 _и ∆. Сегменты прямых для доступных точек на Γ делят многоугольную область между Γ ₂ и Γ ₁ на объединение многоугольных областей; аналогично для радиусов соответствующих точек на Δ делит область между Δ ₂ и Δ ₁ на объединение многоугольных областей. Гомеоморфизм F ₁ можно расширить до гомеоморфизмов между различными многоугольниками, совпадающими по общим ребрам (замкнутым интервалам на отрезках или радиусах). По полигональной теореме Джордана-Шенфлиса каждый из этих гомеоморфизмов распространяется на внутреннюю часть многоугольника. Вместе они дают гомеоморфизм F2 _; замыкания внутренности Г2 _на внутренности _А2 замыкание F2 _​ расширяет F1 _​ . Продолжая таким же образом, получим ломаные Γ _n и треугольники Δ _n с гомомеоморфизмом F _n между замыканиями их внутренностей; F _n расширяет F _{n – 1} . Области внутри Γ _n увеличивается в область внутри Γ; а треугольники Δn _{увеличиваются} до Δ. Гомеоморфизмы Fn _{соединяются вместе ,} образуя гомеоморфизм F из внутренности Γ во внутреннюю часть Δ. По построению он имеет предел f на граничных кривых Γ и Δ. Следовательно, F — искомый гомеоморфизм.
• Четвертый шаг — доказать, что любой гомеоморфизм жордановых кривых можно расширить до гомеоморфизма замыканий их внутренностей. По результату третьего шага достаточно показать, что любой гомеоморфизм границы треугольника продолжается до гомеоморфизма замыкания его внутренности. Это следствие трюка Александра. (Трюк Александера также устанавливает гомеоморфизм между сплошным треугольником и замкнутым диском: гомеоморфизм — это просто естественное радиальное продолжение проекции треугольника на описанную окружность относительно его центра.)
• Последний шаг — доказать, что для двух жордановых кривых существует гомеоморфизм плоскости компактного носителя, переводящей одну кривую на другую. Фактически каждая кривая Жордана лежит внутри одного и того же большого круга, а внутри каждого большого круга есть радиусы, соединяющие две диагонально противоположные точки кривой. Каждая конфигурация делит плоскость на внешнюю часть большого круга, внутреннюю часть жордановой кривой и область между ними на две ограниченные области, ограниченные жордановыми кривыми (состоящими из двух радиусов, полукруга и одной из половин жордановой кривой). изгиб). Возьмем тождественный гомеоморфизм большого круга; кусочно-линейные гомеоморфизмы между двумя парами радиусов; и гомеоморфизм между двумя парами половин жордановых кривых, заданный линейной репараметризацией. Четыре гомеоморфизма объединяются на граничных дугах, образуя гомеоморфизм плоскости, заданный тождеством большого круга и переносящий одну жордановую кривую на другую.

Плавная кривая

Доказательства в гладком случае зависят от нахождения диффеоморфизма между внутренней/внешней частью кривой и замкнутым единичным кругом (или его дополнением в расширенной плоскости). Это можно решить, например, с помощью теоремы о гладком отображении Римана , для которой доступен ряд прямых методов, например, с помощью задачи Дирихле на кривой или ядер Бергмана . (Такие диффеоморфизмы будут голоморфны внутри и снаружи кривой; более общие диффеоморфизмы можно построить легче, используя векторные поля и потоки.) Учитывая, что гладкая кривая лежит внутри расширенной плоскости или 2-сферы, эти аналитические методы дают гладкую кривую. отображается до границы между замыканием внутренней/внешней гладкой кривой и внутренней части единичного круга. Две идентификации гладкой кривой и единичного круга будут отличаются диффеоморфизмом единичной окружности. С другой стороны, диффеоморфизм f единичной окружности можно расширить до диффеоморфизма F единичного круга с помощью расширения Александера :

$\displaystyle {F(re^{i\theta })=r\exp[i\psi (r)g(\theta )+i(1-\psi (r))\theta ],}$

где ψ — гладкая функция со значениями в [0,1], равная 0 вблизи 0 и 1 вблизи 1, а f ( e ^{я я} ) = и ^{ig (θ)} , причем g (θ + 2π) = g (θ) + 2π . Составление одного из диффеоморфизмов с расширением Александера позволяет соединить два диффеоморфизма вместе, чтобы получить гомеоморфизм 2-сферы, который ограничивается диффеоморфизмом на замкнутом единичном круге и замыканиями его дополнения, которые он переносит на внутреннюю и внешнюю среду. исходной гладкой кривой. По изотопической теореме в дифференциальной топологии гомеоморфизм можно привести к диффеоморфизму на всей 2-сфере, не меняя его на единичной окружности. Этот диффеоморфизм затем обеспечивает гладкое решение проблемы Шенфлиса.

Теорему Джордана-Шенфлиса можно вывести, используя дифференциальную топологию . Фактически это непосредственное следствие классификации с точностью до диффеоморфизма гладких ориентированных 2-многообразий с краем, как описано у Хирша (1994) . Действительно, гладкая кривая делит 2-сферу на две части. По классификации каждый диффеоморфен единичному кругу и, с учетом теоремы об изотопии, склеен диффеоморфизмом границы. По трюку Александера такой диффеоморфизм распространяется и на сам диск. Таким образом, существует диффеоморфизм 2-сферы, переносящий гладкую кривую на единичную окружность.

С другой стороны, диффеоморфизм можно построить и непосредственно, используя теорему Джордана-Шенфлиса для многоугольников и элементарные методы дифференциальной топологии, а именно потоки, определяемые векторными полями. Когда жордановая кривая гладкая (параметризованная длиной дуги), единичные нормальные векторы дают ненулевое векторное поле X ₀ в трубчатой ​​окрестности U ₀ кривой. Возьмем ломаную во внутренней части кривой, близкой к границе и поперечной кривой (в вершинах векторное поле должно находиться строго в пределах угла, образованного краями). По кусочно-линейной теореме Джордана – Шенфлиса существует кусочно-линейный гомеоморфизм, аффинный по соответствующей триангуляции внутренней части многоугольника, переводящий многоугольник в треугольник. Возьмем внутреннюю точку P в одном из маленьких треугольников триангуляции. Это соответствует точке Q в треугольнике изображения. На треугольнике изображения имеется радиальное векторное поле, образованное прямыми линиями, направленными в Q. сторону Это дает серию линий в маленьких треугольниках, составляющих многоугольник. Каждый определяет векторное поле X _i в окрестности U _i замыкания треугольника. Каждое векторное поле трансверсально сторонам при условии, что Q выбирается в «общем положении» так, чтобы оно не было коллинеарно ни одному из конечного числа ребер триангуляции. Смещая, если необходимо, можно предположить, что P и Q находятся в начале координат 0. В треугольнике, содержащем P, векторное поле можно принять в качестве стандартного радиального векторного поля. Аналогично ту же процедуру можно применить к внешней стороне гладкой кривой после применения преобразования Мёбиуса для отображения ее в конечную часть плоскости и ∞ в 0. В этом случае окрестности U _i треугольников имеют отрицательные индексы. Возьмем векторные поля X _i со знаком минус, направленные в сторону от точки, удаленной на бесконечность. Вместе U ₀ и U _i с i ≠ 0 образуют открытую оболочку 2-сферы. Возьмем гладкое разбиение единицы ψ _i, подчиненное покрытию U _i, и положим

$\displaystyle {X=\sum \psi _{i}\cdot X_{i}.}$

X — гладкое векторное поле на двух сферах, обращающееся в нуль только в точках 0 и ∞. Он имеет индекс 1 в точке 0 и -1 в точке ∞. Вблизи 0 векторное поле равно радиальному векторному полю, направленному в сторону 0. Если α _t — гладкий поток, определяемый X , точка 0 является притягивающей точкой , а ∞ — точкой отталкивания. Когда t стремится к +∞, поток send указывает на 0; в то время как по мере того, как t стремится к –∞, точки отправляются в ∞. Замена X на f ⋅ X на f, положительную функцию, меняет параметризацию интегральных кривых X гладкую , но не сами интегральные кривые. При соответствующем выборе f, равного 1, вне небольшого кольца вблизи 0, все интегральные кривые, начинающиеся в точках гладкой кривой, достигнут меньшего круга, ограничивающего кольцо, в один и тот же момент s . Таким образом, диффеоморфизм αs _{переносит} гладкую кривую на этот маленький круг. Масштабное преобразование, фиксирующее 0 и ∞, затем переносит маленький круг на единичный круг. Составление этих диффеоморфизмов дает диффеоморфизм, переносящий гладкую кривую на единичную окружность.

Обобщения

Действительно существует многомерное обобщение, предложенное Мортоном Брауном ( 1960 ) и независимо Барри Мазуром ( 1959 ) с Морсом (1960) , которое также называется обобщенной теоремой Шенфлиса . Он гласит, что если ( n - 1)-мерная сфера S вложена в n -мерную сферу S ^н локально плоским образом (т.е. вложение продолжается до вложения утолщенной сферы), то пара ( S ^н , S ) гомеоморфна паре ( S ^н , С ^{п -1} ), где S ^{п -1} — экватор n -сферы. Браун и Мазур получили премию Веблена за свой вклад. И доказательства Брауна, и доказательства Мазура считаются «элементарными» и используют индуктивные аргументы.

Проблема Шенфлиса может быть поставлена ​​в категориях, отличных от топологически локально плоской категории, т.е. ограничивает ли гладко (кусочно-линейно) вложенная ( n - 1)-сфера в n -сферу гладкий (кусочно-линейный) n -шар? При n = 4 проблема остается открытой для обеих категорий. См. многообразие Мазура . При n ≥ 5 вопрос в гладкой категории имеет утвердительный ответ и следует из теоремы о h-кобордизме .

Ссылки

• Белл, Стивен Р.; Кранц, Стивен Г. (1987), «Гладкость границы конформных отображений», Rocky Mountain Journal of Mathematics , 17 : 23–40, doi : 10.1216/rmj-1987-17-1-23
• Белл, Стивен Р. (1992), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение , Исследования по высшей математике, CRC Press, ISBN  978-0-8493-8270-3
• Бинг, Р.Х. (1983), Геометрическая топология трехмерных многообразий , Публикации коллоквиума -, том. 40, Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-1040-8
• Браун, Мортон (1960), «Доказательство обобщенной теоремы Шенфлиса», Бюллетень Американского математического общества , 66 (2): 74–76, CiteSeerX   10.1.1.228.5491 , doi : 10.1090/S0002-9904-1960- 10400-4 , МР   0117695
• Кэрнс, Стюарт С. (1951), «Элементарное доказательство теоремы Джордана-Шенфлиса», Труды Американского математического общества , 2 (6): 860–867, doi : 10.1090/S0002-9939-1951-0046635-9 , МР   0046635
• Каратеодори, Константин (1913), «О назначении ребер в конформном отображении», Göttingen Nachrichten : 509–518.
• ду Карму, Манфредо П. (1976), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Прентис-Холл, ISBN  978-0-13-212589-5
• Голузин, Геннадий М. (1969), Геометрическая теория функций комплексного переменного , Переводы математических монографий, вып. 26, Американское математическое общество
• Хирш, Моррис (1994), Дифференциальная топология (2-е изд.), Springer
• Каток, Анатоль Б .; Клименхага, Вон (2008), Лекции о поверхностях: (почти) все, что вы хотели о них знать , Студенческая математическая библиотека, том. 46, Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-4679-7
• Керцман, Норберто (1977), Уравнение Монжа-Ампера в комплексном анализе , Proc. Симп. Чистая математика., вып. XXX, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR   0454082.
• Мацумото, Юкио (2002), Введение в теорию Морса , Переводы математических монографий, том. 208, Американское математическое общество, ISBN.  978-0821810224
• Мазур, Барри (1959), «О вложениях сфер», Бюллетень Американского математического общества , 65 (2): 59–65, doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10274-3 , MR   0117693
• Милнор, Джон (1965), Лекции по теореме h-кобордизма , Princeton University Press
• Мойс, Эдвин Э. (1977), Геометрическая топология в размерностях 2 и 3 , Тексты для аспирантов по математике, том. 47, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, номер номера : 10.1007/978-1-4612-9906-6 , ISBN.  978-0-387-90220-3 , МР   0488059
• Морс, Марстон (1960), «Редукция проблемы расширения Шенфлиса», Бюллетень Американского математического общества , 66 (2): 113–115, doi : 10.1090/S0002-9904-1960-10420-X , MR   0117694
• Нэпьер, Терренс; Рамачандран, Мохан (2011), Введение в римановы поверхности , Springer, ISBN  978-0-8176-4692-9
• Ньюман, Максвелл Герман Александр (1939), Элементы топологии плоских множеств точек , Cambridge University Press
• Николаеску, Ливиу (2011), Приглашение к теории Морса (2-е изд.), Springer, ISBN  9781461411048
• Поммеренке, Кристиан (1975), Однолистные функции, с главой Герда Йенсена, посвященной квадратичным дифференциалам , Studia Mathematica/Mathematical Textbooks, vol. 15, Ванденхук и Рупрехт
• Поммеренке, Кристиан (1992), Граничное поведение конформных отображений , Basic Teachings of the Mathematical Sciences, vol. 299, Спрингер, ISBN  978-3540547518
• Шенфлис, А. (1906), «Вклад в теорию точечных множеств III» , Mathematical Annals , 62 (2): 286–328, doi : 10.1007/bf01449982 , S2CID   123992220
• Шастри, Анант Р. (2011), Элементы дифференциальной топологии , CRC Press, ISBN  9781439831601
• Смейл, Стивен (1961), «О градиентных динамических системах», Annals of Mathematics , 74 (1): 199–206, doi : 10.2307/1970311 , JSTOR   1970311
• Тейлор, Майкл Э. (2011), Уравнения в частных производных I. Основная теория , Прикладные математические науки, том. 115 (второе изд.), Springer, ISBN  978-1-4419-7054-1
• Томассен, Карстен (1992), «Теорема Джордана-Шенфлиса и классификация поверхностей», American Mathematical Monthly , 99 (2): 116–130, doi : 10.2307/2324180 , JSTOR   2324180