Введение в 3-многообразия
«Введение в 3-многообразия» — это математическая книга по низкоразмерной топологии . Она была написана Дженнифер Шультенс и опубликована Американским математическим обществом в 2014 году как 151-й том их серии книг «Аспирантура по математике» .
Темы
[ редактировать ]Многообразие — это пространство, топология которого вблизи любой из его точек такая же, как топология вблизи точки евклидова пространства ; однако его глобальная структура может быть неевклидовой. Знакомые примеры двумерных многообразий включают сферу , тор и бутылку Клейна ; эта книга посвящена трехмерным многообразиям и двумерным поверхностям внутри них. Особое внимание уделяется расщеплению Хегора — двумерной поверхности, разделяющей трехмерное многообразие на два тела-ручки . Он призван представить основные идеи в этой области, но не включает подробные доказательства многих из изложенных в нем результатов, во многих случаях потому, что эти доказательства длинные и технические. [1]
В книге семь глав. Первые два являются вводными, дающими материал о многообразиях в целом, Hauptvermutung , доказывающим существование и эквивалентность триангуляций для маломерных многообразий, классификацией двумерных поверхностей , накрывающими пространствами и группой классов отображений . Третья глава начинает материал книги о 3-многообразиях. о разложении многообразий на более мелкие пространства путем разрезания их по поверхностям. Например, трехмерная теорема Шенфлиса утверждает, что разрезание евклидова пространства сферой может дать только два топологических шара; аналогичная теорема Дж. У. Александера утверждает, что по крайней мере одна сторона любого тора в евклидовом пространстве должна быть полноторием . Однако для более сложных многообразий разрезание по несжимаемым поверхностям можно использовать для построения JSJ-разложения многообразия. В эту главу также включен материал о расслоенных пространствах Зейферта . Четвертая глава посвящена теории узлов , инвариантам узлов , тонкому положению и связи между узлами и их инвариантами с многообразиями через узел дополняет подпространства евклидова пространства на других сторонах торов. [1] [2]
Рецензент Бруно Циммерманн называет главы 5 и 6 «сердцем книги». [1] хотя рецензент Майкл Берг с этим не согласен, считая главу 4, посвященную теории узлов, более важной. [3] В главе 5 обсуждаются нормальные поверхности , поверхности, которые контролируемым образом пересекают тетраэдры триангуляции многообразия. Параметризируя эти поверхности тем, сколько частей каждого возможного типа они могут иметь в каждом тетраэдре триангуляции, можно свести многие вопросы о многообразиях, такие как распознавание тривиальных узлов и тривиальных многообразий, к вопросам теории чисел , о существовании решений. некоторым диофантовым уравнениям . В книге этот инструмент используется для доказательства существования и единственности простых разложений многообразий. Глава 6 посвящена расщеплениям Хигора — поверхностям, которые разбивают данное многообразие на два тела-ручки . Он включает в себя теорему Райдемайстера и Зингера об общих уточнениях («стабилизациях») расщеплений Хигора, сводимости расщеплений, единственности расщеплений данного рода для евклидова пространства, а также график Рубинштейна – Шарлемана, инструмент для изучения расщеплений Хигора. . [1] [2]
В последней главе рассматриваются более сложные темы, включая гипотезу геометризации , хирургию Дена , слоения , расслоения и комплексы кривых . [1] [2] Имеются два приложения: по общему положению и по теории Морса . [4]
Аудитория и прием
[ редактировать ]Хотя эта книга написана в форме учебника для аспирантов вводного уровня, в ней представлены многие последние разработки, что делает ее интересной и для специалистов в этой области. [1] [2] небольшие знания в области общей топологии Необходимы , а дополнительное знакомство с алгебраической топологией и дифференциальной геометрией может оказаться полезным при чтении книги. [2] [4] Включено множество иллюстраций и упражнений. [4]
Рецензент Бруно Циммерманн утверждает, что книга «написана красиво и интуитивно, поэтому ее приятно читать». [1] Рецензент Майкл Берг называет ее «отличной книгой, которая богато иллюстрирует масштаб выбранной ею темы… очень хорошо написанной, ясной и ясной в изложении». [3]
Связанное чтение
[ редактировать ]Другие связанные книги по математике трехмерных многообразий включают «3-многообразия» Джона Хемпела (1976), «Узлы, связи, косы и 3-многообразия» Виктора В. Прасолова и Алексея Б. Сосинского (1997), «Алгоритмическая топология и классификация трехмерных многообразий». -многообразия Сергея В. Матвеева (2-е изд., 2007 г.) и сборник неопубликованных конспектов лекций по 3-многообразиям Аллена Хэтчера . [2]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б с д и ж г Циммерманн, Бруно, «Обзор введения в 3-многообразия », zbMATH , Zbl 1295.57001
- ^ Перейти обратно: а б с д и ж Перселл, Джессика С. , «Обзор введения в 3-многообразия », Mathematical Reviews , MR 3203728
- ^ Перейти обратно: а б Берг, Майкл (июль 2014 г.), «Обзор введения в 3-многообразия » , MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки
- ^ Перейти обратно: а б с Кэп, А. (сентябрь 2016 г.), «Обзор введения в 3-многообразия », Monthly Books for Mathematics , 181 (3): 751–752, doi : 10.1007/s00605-016-0971-4