Jump to content

Введение в 3-многообразия

Первое издание

«Введение в 3-многообразия» — это математическая книга по низкоразмерной топологии . Она была написана Дженнифер Шультенс и опубликована Американским математическим обществом в 2014 году как 151-й том их серии книг «Аспирантура по математике» .

Многообразие — это пространство, топология которого вблизи любой из его точек такая же, как топология вблизи точки евклидова пространства ; однако его глобальная структура может быть неевклидовой. Знакомые примеры двумерных многообразий включают сферу , тор и бутылку Клейна ; эта книга посвящена трехмерным многообразиям и двумерным поверхностям внутри них. Особое внимание уделяется расщеплению Хегора — двумерной поверхности, разделяющей трехмерное многообразие на два тела-ручки . Он призван представить основные идеи в этой области, но не включает подробные доказательства многих из изложенных в нем результатов, во многих случаях потому, что эти доказательства длинные и технические. [1]

В книге семь глав. Первые два являются вводными, дающими материал о многообразиях в целом, Hauptvermutung , доказывающим существование и эквивалентность триангуляций для маломерных многообразий, классификацией двумерных поверхностей , накрывающими пространствами и группой классов отображений . Третья глава начинает материал книги о 3-многообразиях. о разложении многообразий на более мелкие пространства путем разрезания их по поверхностям. Например, трехмерная теорема Шенфлиса утверждает, что разрезание евклидова пространства сферой может дать только два топологических шара; аналогичная теорема Дж. У. Александера утверждает, что по крайней мере одна сторона любого тора в евклидовом пространстве должна быть полноторием . Однако для более сложных многообразий разрезание по несжимаемым поверхностям можно использовать для построения JSJ-разложения многообразия. В эту главу также включен материал о расслоенных пространствах Зейферта . Четвертая глава посвящена теории узлов , инвариантам узлов , тонкому положению и связи между узлами и их инвариантами с многообразиями через узел дополняет подпространства евклидова пространства на других сторонах торов. [1] [2]

Рецензент Бруно Циммерманн называет главы 5 и 6 «сердцем книги». [1] хотя рецензент Майкл Берг с этим не согласен, считая главу 4, посвященную теории узлов, более важной. [3] В главе 5 обсуждаются нормальные поверхности , поверхности, которые контролируемым образом пересекают тетраэдры триангуляции многообразия. Параметризируя эти поверхности тем, сколько частей каждого возможного типа они могут иметь в каждом тетраэдре триангуляции, можно свести многие вопросы о многообразиях, такие как распознавание тривиальных узлов и тривиальных многообразий, к вопросам теории чисел , о существовании решений. некоторым диофантовым уравнениям . В книге этот инструмент используется для доказательства существования и единственности простых разложений многообразий. Глава 6 посвящена расщеплениям Хигора — поверхностям, которые разбивают данное многообразие на два тела-ручки . Он включает в себя теорему Райдемайстера и Зингера об общих уточнениях («стабилизациях») расщеплений Хигора, сводимости расщеплений, единственности расщеплений данного рода для евклидова пространства, а также график Рубинштейна – Шарлемана, инструмент для изучения расщеплений Хигора. . [1] [2]

В последней главе рассматриваются более сложные темы, включая гипотезу геометризации , хирургию Дена , слоения , расслоения и комплексы кривых . [1] [2] Имеются два приложения: по общему положению и по теории Морса . [4]

Аудитория и прием

[ редактировать ]

Хотя эта книга написана в форме учебника для аспирантов вводного уровня, в ней представлены многие последние разработки, что делает ее интересной и для специалистов в этой области. [1] [2] небольшие знания в области общей топологии Необходимы , а дополнительное знакомство с алгебраической топологией и дифференциальной геометрией может оказаться полезным при чтении книги. [2] [4] Включено множество иллюстраций и упражнений. [4]

Рецензент Бруно Циммерманн утверждает, что книга «написана красиво и интуитивно, поэтому ее приятно читать». [1] Рецензент Майкл Берг называет ее «отличной книгой, которая богато иллюстрирует масштаб выбранной ею темы… очень хорошо написанной, ясной и ясной в изложении». [3]

[ редактировать ]

Другие связанные книги по математике трехмерных многообразий включают «3-многообразия» Джона Хемпела (1976), «Узлы, связи, косы и 3-многообразия» Виктора В. Прасолова и Алексея Б. Сосинского (1997), «Алгоритмическая топология и классификация трехмерных многообразий». -многообразия Сергея В. Матвеева (2-е изд., 2007 г.) и сборник неопубликованных конспектов лекций по 3-многообразиям Аллена Хэтчера . [2]

  1. ^ Перейти обратно: а б с д и ж г Циммерманн, Бруно, «Обзор введения в 3-многообразия », zbMATH , Zbl   1295.57001
  2. ^ Перейти обратно: а б с д и ж Перселл, Джессика С. , «Обзор введения в 3-многообразия », Mathematical Reviews , MR   3203728
  3. ^ Перейти обратно: а б Берг, Майкл (июль 2014 г.), «Обзор введения в 3-многообразия » , MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки
  4. ^ Перейти обратно: а б с Кэп, А. (сентябрь 2016 г.), «Обзор введения в 3-многообразия », Monthly Books for Mathematics , 181 (3): 751–752, doi : 10.1007/s00605-016-0971-4
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 344e4d2e4d1fb8761179cdbbda51ab0a__1704021780
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/34/0a/344e4d2e4d1fb8761179cdbbda51ab0a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Introduction to 3-Manifolds - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)