Уравнение состояния Берча – Мурнагана

Не путать с уравнением состояния Мурнагана .

, Изотермическое уравнение состояния Бёрча-Мурнагана опубликованное в 1947 году Альбертом Фрэнсисом Бёрчем из Гарварда : Это зависимость между объемом тела и давлением, которому оно подвергается. Берч предложил это уравнение на основе работы Фрэнсиса Доминика Мурнагана из Университета Джонса Хопкинса, опубликованной в 1944 году: так что уравнение названо в честь обоих учёных.

Выражения для уравнения состояния

Изотермическое уравнение состояния Берча – Мурнагана третьего порядка имеет вид

$$P(V)={\frac {3B_{0}}{2}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{7/3}-\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{5/3}\right]\left\{1+{\frac {3}{4}}\left(B_{0}^{\prime }-4\right)\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{2/3}-1\right]\right\}.$$

где P — давление, V ₀ — эталонный объем, V — деформированный объем, B ₀ — модуль объемного сжатия, а B ₀ ' — производная модуля объемного сжатия по давлению. Модуль объемного сжатия и его производная обычно получаются путем подбора экспериментальных данных и определяются как

$$B_{0}=-V\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{P=0}$$

и

$$B_{0}'=\left({\frac {\partial B}{\partial P}}\right)_{P=0}$$

Выражение для уравнения состояния получается путем разложения свободной энергии Гельмгольца по степеням конечного параметра деформации f , определяемого как

$$f={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{2/3}-1\right]\,,$$

в виде серии. Это становится более очевидным, если записать уравнение через f . Развернутое до третьего порядка по конечной деформации, уравнение выглядит следующим образом:

$$P(f)=3B_{0}f(1+2f)^{5/2}(1+af+{\mathit {higher~order~terms}})\,,$$

с $a={\frac {3}{2}}(B_{0}'-4)$.

Внутренняя энергия E ( V ) находится путем интегрирования давления:

$$E(V)=E_{0}+{\frac {9V_{0}B_{0}}{16}}\left\{\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{2/3}-1\right]^{3}B_{0}^{\prime }+\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{2/3}-1\right]^{2}\left[6-4\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{2/3}\right]\right\}.$$

См. также

• Альберт Фрэнсис Берч
• Фрэнсис Доминик Мурнаган
• Уравнение состояния Мурнагана