Элементарная функция

В математике элементарная функция — это функция одной переменной (обычно вещественной или комплексной , которая определяется как получение сумм , произведений , корней и композиций числа конечного полиномиальных , ) рациональных , тригонометрических , гиперболических и экспоненциальных функций, а также их обратных ( например, arcsin , log или x ^{1/ н}). ^[1]

Все элементарные функции непрерывны в своей области определения .

Элементарные функции были введены Жозефом Лиувиллем в серии статей с 1833 по 1841 год. ^[2]^[3]^[4] Алгебраическое . рассмотрение элементарных функций было начато Джозефом Фелсом Риттом в 1930-х годах ^[5] Многие учебники и словари не дают точного определения элементарных функций, и математики расходятся во мнениях по этому поводу. ^[6]

Примеры

Основные примеры

К элементарным функциям одной переменной $x$ относятся:

Постоянные функции : $2,\ \pi ,\ e,$ и т. д.
Рациональные степени $x$ : $x,\ x^{2},\ {\sqrt {x}}\ (x^{\frac {1}{2}}),\ x^{\frac {2}{3}},$ и т. д.
Экспоненциальные функции : $e^{x},\ a^{x}$
Логарифмы : $\log x,\ \log _{a}x$
Тригонометрические функции : $\sin x,\ \cos x,\ \tan x,$ и т. д.
Обратные тригонометрические функции : $\arcsin x,\ \arccos x,$ и т. д.
Гиперболические функции : $\sinh x,\ \cosh x,$ и т. д.
Обратные гиперболические функции : $\operatorname {arsinh} x,\ \operatorname {arcosh} x,$ и т. д.
Все функции, полученные сложением, вычитанием, умножением или делением конечного числа любой из предыдущих функций. ^[7]
Все функции, полученные извлечением корня многочлена с коэффициентами при элементарных функциях ^[8]
Все функции, полученные составлением конечного числа любых из ранее перечисленных функций

Некоторые элементарные функции одной комплексной переменной $z$ , такие как ${\sqrt {z}}$ и $\log z$ , может быть многозначным . Кроме того, некоторые классы функций могут быть получены другими, используя последние два правила. Например, показательная функция $e^{z}$ составленная с помощью сложения, вычитания и деления, обеспечивает гиперболические функции, а исходная композиция с $iz$ вместо этого предоставляет тригонометрические функции.

Составные примеры

Примеры элементарных функций включают:

Сложение, например ( $x$ +1)
Умножение, например (2 $x$ )
Полиномиальные функции
${\frac {e^{\tan x}}{1+x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+(\log x)^{2}}}\right)$
$-i\log \left(x+i{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$

Последняя функция равна $\arccos x$ , обратный косинус , во всей комплексной плоскости .

Все мономы , многочлены , рациональные функции и алгебраические функции элементарны.

Функция абсолютного значения , на самом деле $x$ , также является элементарным, поскольку его можно выразить как произведение степени и корня $x$ : ${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$ . ^{[ сомнительно – обсудить ]}

Неэлементарные функции

Многие математики исключают неаналитические функции , такие как функция абсолютного значения , или разрывные функции, такие как ступенчатая функция . ^[9]^[6] но другие позволяют им. Некоторые предложили расширить набор, включив, например, W-функцию Ламберта . ^[10]

элементарных функций Несколько примеров не :

тетрация
гамма -функция
неэлементарные функции Лиувилля , в том числе
- экспоненциальный ( ( Ei , логарифмический интеграл ) Li или li ) и интегралы Френеля ( S и C ).
- функция ошибки , $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,$ факт, который может быть не сразу очевиден, ^{[ нужны дальнейшие объяснения ]} но может быть доказано с помощью алгоритма Риша .
другие неэлементарные интегралы , включая интеграл Дирихле и эллиптический интеграл .

Закрытие

Непосредственно из определения следует, что множество элементарных функций замкнуто относительно арифметических операций, извлечения корня и композиции. Элементарные функции замкнуты относительно дифференцирования . Они не замкнуты относительно пределов и бесконечных сумм . Важно отметить, что элементарные функции не замкнуты при интегрировании , как показывает теорема Лиувилля , см. неэлементарный интеграл . Функции Лиувилля определяются как элементарные функции и, рекурсивно, интегралы от функций Лиувилля.

Дифференциальная алгебра

Математическое определение элементарной функции или функции в элементарной форме рассматривается в контексте дифференциальной алгебры . Дифференциальная алгебра — это алгебра с дополнительной операцией вывода (алгебраической версией дифференцирования). С помощью операции вывода можно записать новые уравнения, а их решения использовать в расширениях алгебры. Начав с поля рациональных функций , к полю можно добавить два специальных типа трансцендентных расширений (логарифмическое и экспоненциальное), построив башню, содержащую элементарные функции.

Дифференциальное поле F — это поле F ₀ рациональные функции над рациональными числами Q ( например, ) вместе с отображением дифференцирования u → ∂ u . (Здесь ∂ u — новая функция. Иногда используется обозначение u ′.) Вывод отражает свойства дифференцирования, так что для любых двух элементов основного поля вывод является линейным.

\partial (u+v)=\partial u+\partial v

и удовлетворяет правилу произведения Лейбница

\partial (u\cdot v)=\partial u\cdot v+u\cdot \partial v\,.

Элемент h является константой, если ∂h = 0 . Если базовое поле превышает рациональные числа, необходимо соблюдать осторожность при расширении поля для добавления необходимых трансцендентных констант.

Функция u дифференциального расширения F [ u ] дифференциального поля F называется элементарной функцией над F, если функция u

алгебраична над F или
является экспонентой , то есть ∂ u = u ∂ a для a ∈ F , или
является логарифмом , то есть ∂ u = ∂ a / a для a ∈ F .

(см. также теорему Лиувилля )

См. также

Алгебраическая функция – Математическая функция
Выражение в закрытой форме - математическая формула, включающая заданный набор операций.
Дифференциальная теория Галуа - Исследование групп симметрии Галуа дифференциальных полей
Арифметика элементарных функций - Система арифметики в теории доказательств
Теорема Лиувилля (дифференциальная алгебра) - говорит, когда первообразные элементарных функций могут быть выражены как элементарные функции.
Школьная задача по алгебре Тарского - Математическая задача
Трансцендентная функция - аналитическая функция, не удовлетворяющая полиномиальному уравнению.
Самореферентная формула Таппера - формула, которая визуально представляет себя в виде графика.

Примечания

^ Спивак, Михаил. (1994). Исчисление (3-е изд.). Хьюстон, Техас: Опубликуй или погибни. п. 359. ИСБН 0914098896 . ОСЛК 31441929 .
^ Лиувилль 1833a .
^ Лиувилль 1833b .
^ Лиувилль 1833c .
^ Поездка 1950 года .
^ Jump up to: ^а ^б Субботин Игорь Я.; Билоцкий Н.Н. (март 2008 г.). «Алгоритмы и фундаментальные концепции исчисления» (PDF) . Журнал исследований в области инновационного преподавания . 1 (1): 82–94.
^ Обыкновенные дифференциальные уравнения . Дувр. 1985. с. 17 . ISBN 0-486-64940-7 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Элементарная функция». Из MathWorld
^ Риш, Роберт Х. (1979). «Алгебраические свойства элементарных функций анализа» . Американский журнал математики . 101 (4): 743–759. дои : 10.2307/2373917 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2373917 .
^ Стюарт, Шон (2005). «Новая элементарная функция для наших учебных программ?» (PDF) . Австралийский журнал для старших математиков . 19 (2): 8–26.

Ссылки

Лиувилль, Жозеф (1833a). «Первая диссертация по определению интегралов, значение которых алгебраическое» . Журнал Политехнической школы . том XIV: 124–148.
Лиувилл, Жозеф (1833b). «Вторая диссертация об определении интегралов, значение которых алгебраическое» . Журнал Политехнической школы . том XIV: 149–193.
Лиувилль, Жозеф (1833c). «Замечание об определении интегралов, значение которых является алгебраическим» . Журнал для королевы и математики . 10 : 347–359.
Ритт, Джозеф (1950). Дифференциальная алгебра . АМС .
Розенлихт, Максвелл (1972). «Интеграция в конечных терминах». Американский математический ежемесячник . 79 (9): 963–972. дои : 10.2307/2318066 . JSTOR 2318066 .

Дальнейшее чтение

Давенпорт, Джеймс Х. (2007). «Что может означать «понять функцию»?». На пути к механизированным математическим помощникам . Конспекты лекций по информатике. Том. 4573. стр. 55–65. дои : 10.1007/978-3-540-73086-6_5 . ISBN 978-3-540-73083-5 . S2CID 8049737 .

Внешние ссылки

[1] Спивак, Михаил. (1994). Исчисление (3-е изд.). Хьюстон, Техас: Опубликуй или погибни. п. 359. ИСБН 0914098896 . ОСЛК 31441929 .

[2] Лиувилль 1833a .

[3] Лиувилль 1833b .

[4] Лиувилль 1833c .

[5] Поездка 1950 года .

[:0-6] Jump up to: ^а ^б Субботин Игорь Я.; Билоцкий Н.Н. (март 2008 г.). «Алгоритмы и фундаментальные концепции исчисления» (PDF) . Журнал исследований в области инновационного преподавания . 1 (1): 82–94.

[7] Обыкновенные дифференциальные уравнения . Дувр. 1985. с. 17 . ISBN 0-486-64940-7 .

[8] Вайсштейн, Эрик В. «Элементарная функция». Из MathWorld

[9] Риш, Роберт Х. (1979). «Алгебраические свойства элементарных функций анализа» . Американский журнал математики . 101 (4): 743–759. дои : 10.2307/2373917 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2373917 .

[10] Стюарт, Шон (2005). «Новая элементарная функция для наших учебных программ?» (PDF) . Австралийский журнал для старших математиков . 19 (2): 8–26.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]