Функция Клаузена

«Функция логарифма синуса» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о исторически используемой составной функции, см. логарифмический синус .

«Функция логарифма косинуса» перенаправляется сюда. Чтобы узнать об исторически используемой составной функции, см. логарифмический косинус .

График функции Клаузена Cl ₂ ( θ )

В математике функция Клаузена , введенная Томасом Клаузеном ( 1832 ), представляет собой трансцендентную специальную функцию одной переменной. Ее можно по-разному выражать в виде определенного интеграла , тригонометрического ряда и различных других форм. Она тесно связана с полилогарифмом , интегралом обратного тангенса , полигамма-функцией , дзета-функцией Римана , эта-функцией Дирихле и бета-функцией Дирихле .

Функция Клаузена 2-го порядка , часто называемая функцией Клаузена, несмотря на то, что она всего лишь одна из многих классов, задается интегралом:

$\operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=-\int _{0}^{\varphi }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx:$

В диапазоне $0<\varphi <2\pi \,$ синусоидальная функция внутри знака абсолютного значения остается строго положительной, поэтому знаки абсолютного значения можно опускать. Функция Клаузена также имеет представление ряда Фурье :

$\operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\varphi }{k^{2}}}=\sin \varphi +{\frac {\sin 2\varphi }{2^{2}}}+{\frac {\sin 3\varphi }{3^{2}}}+{\frac {\sin 4\varphi }{4^{2}}}+\cdots$

Функции Клаузена как класс функций широко используются во многих областях современных математических исследований, особенно в отношении вычисления многих классов логарифмических и полилогарифмических интегралов, как определенных, так и неопределенных. Они также имеют многочисленные применения в отношении суммирования гипергеометрических рядов , суммирования, включающего обратный центральный биномиальный коэффициент , сумм полигамма-функции и L-рядов Дирихле .

Основные свойства

Функция Клаузена (порядка 2) имеет простые нули во всех (целых) кратных $\pi ,\,$ поскольку если $k\in \mathbb {Z} \,$ является целым числом, то $\sin k\pi =0$

$\operatorname {Cl} _{2}(m\pi )=0,\quad m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\cdots$

Имеет максимумы при $\theta ={\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=1.01494160\ldots$

и минимумы в $\theta =-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]$

$\operatorname {Cl} _{2}\left(-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=-1.01494160\ldots$

Следующие свойства являются непосредственными следствиями определения ряда:

$\operatorname {Cl} _{2}(\theta +2m\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

$\operatorname {Cl} _{2}(-\theta )=-\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

См. Лу и Перес (1992) .

Общее определение

Стандартные функции Клаузена

Функции Глейшера – Клаузена

В более общем смысле определяются две обобщенные функции Клаузена:

$\operatorname {S} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{z}}}$

$\operatorname {C} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{z}}}$

которые справедливы для комплексного z с Re z >1. Определение может быть распространено на всю комплексную плоскость посредством аналитического продолжения .

Когда z заменяется неотрицательным целым числом, стандартные функции Клаузена определяются следующим рядом Фурье :

$\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}$

$\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}$

$\operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}$

$\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}$

NB. Функции Клаузена SL-типа имеют альтернативное обозначение. $\operatorname {Gl} _{m}(\theta )\,$ и иногда называются функциями Глейшера-Клаузена (в честь Джеймса Уитбрида Ли Глейшера , отсюда и GL-нотация).

Связь с полиномами Бернулли

Функция Клаузена SL -типа представляет собой полином от $\,\theta \,$и тесно связаны с полиномами Бернулли . Эта связь очевидна из в ряд Фурье представлений полиномов Бернулли :

$B_{2n-1}(x)={\frac {2(-1)^{n}(2n-1)!}{(2\pi )^{2n-1}}}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi kx}{k^{2n-1}}}.$

$B_{2n}(x)={\frac {2(-1)^{n-1}(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos 2\pi kx}{k^{2n}}}.$

Параметр $\,x=\theta /2\pi \,$ в приведенном выше примере, а затем перестановка членов дает следующие выражения замкнутой формы (полиномиальные):

$\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )={\frac {(-1)^{m-1}(2\pi )^{2m}}{2(2m)!}}B_{2m}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right),$

$\operatorname {Sl} _{2m-1}(\theta )={\frac {(-1)^{m}(2\pi )^{2m-1}}{2(2m-1)!}}B_{2m-1}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right),$

где полиномы Бернулли $\,B_{n}(x)\,$ определяются через числа Бернулли $\,B_{n}\equiv B_{n}(0)\,$ по отношению:

$B_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{j}x^{n-j}.$

К явным оценкам, полученным на основе вышеизложенного, относятся:

$\operatorname {Sl} _{1}(\theta )={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\theta }{2}},$

$\operatorname {Sl} _{2}(\theta )={\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {\pi \theta }{2}}+{\frac {\theta ^{2}}{4}},$

$\operatorname {Sl} _{3}(\theta )={\frac {\pi ^{2}\theta }{6}}-{\frac {\pi \theta ^{2}}{4}}+{\frac {\theta ^{3}}{12}},$

$\operatorname {Sl} _{4}(\theta )={\frac {\pi ^{4}}{90}}-{\frac {\pi ^{2}\theta ^{2}}{12}}+{\frac {\pi \theta ^{3}}{12}}-{\frac {\theta ^{4}}{48}}.$

Формула дублирования

Для $0<\theta <\pi$, формула дублирования может быть доказана непосредственно из определения интеграла (результат см. также в Lu & Perez (1992) , хотя доказательство не приводится):

$\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )$

Обозначая константу Каталана через $K=\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)$, непосредственными следствиями формулы дублирования являются соотношения:

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)={\frac {K}{2}}$

$2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)$

Для функций Клаузена более высокого порядка формулы дублирования можно получить из приведенной выше; просто замените $\,\theta \,$ с фиктивной переменной $x$, и проинтегрируем на интервале $\,[0,\theta ].\,$ Повторное применение одного и того же процесса дает:

$\operatorname {Cl} _{3}(2\theta )=4\operatorname {Cl} _{3}(\theta )+4\operatorname {Cl} _{3}(\pi -\theta )$

$\operatorname {Cl} _{4}(2\theta )=8\operatorname {Cl} _{4}(\theta )-8\operatorname {Cl} _{4}(\pi -\theta )$

$\operatorname {Cl} _{5}(2\theta )=16\operatorname {Cl} _{5}(\theta )+16\operatorname {Cl} _{5}(\pi -\theta )$

$\operatorname {Cl} _{6}(2\theta )=32\operatorname {Cl} _{6}(\theta )-32\operatorname {Cl} _{6}(\pi -\theta )$

И вообще, при индукции $\,m,\;m\geq 1$

$\operatorname {Cl} _{m+1}(2\theta )=2^{m}\left[\operatorname {Cl} _{m+1}(\theta )+(-1)^{m}\operatorname {Cl} _{m+1}(\pi -\theta )\right]$

Использование обобщенной формулы дублирования позволяет расширить результат для функции Клаузена второго порядка, включив константу Каталана . Для $\,m\in \mathbb {Z} \geq 1\,$

$\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=2^{2m-1}\left[\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)\right]=\beta (2m)$

Где $\,\beta (x)\,$ – бета-функция Дирихле .

Доказательство формулы дублирования

Из интегрального определения

$\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx$

Примените формулу дублирования для функции синуса : $\sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}$ чтобы получить

${\begin{aligned}&-\int _{0}^{2\theta }\log \left|\left(2\sin {\frac {x}{4}}\right)\left(2\cos {\frac {x}{4}}\right)\right|\,dx\\={}&-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{4}}\right|\,dx-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{4}}\right|\,dx\end{aligned}}$

Примените замену $x=2y,dx=2\,dy$ по обоим интегралам:

${\begin{aligned}&-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\end{aligned}}$

В этом последнем интеграле положим $y=\pi -x,\,x=\pi -y,\,dx=-dy$и воспользуемся тригонометрическим тождеством $\cos(x-y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$ чтобы показать это:

${\begin{aligned}&\cos \left({\frac {\pi -y}{2}}\right)=\sin {\frac {y}{2}}\\\Longrightarrow \qquad &\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )+2\int _{\pi }^{\pi -\theta }\log \left|2\sin {\frac {y}{2}}\right|\,dy\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )+2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi )\end{aligned}}$

$\operatorname {Cl} _{2}(\pi )=0\,$

Поэтому,

$\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )\,.\,\Box$

Производные функций Клаузена общего порядка

Прямое дифференцирование разложений в ряд Фурье для функций Клаузена дает:

${\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )$

${\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=-\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )$

${\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=-\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )$

${\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )$

Обратившись к Первой фундаментальной теореме исчисления , мы также имеем:

${\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\left[-\int _{0}^{\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx\,\right]=-\log \left|2\sin {\frac {\theta }{2}}\right|=\operatorname {Cl} _{1}(\theta )$

Связь с интегралом обратного касательного

Обратный касательный интеграл определяется на интервале $0<z<1$ к

$\operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{2}}}$

Он имеет следующий замкнутый вид с точки зрения функции Клаузена:

$\operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log(\tan \theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )$

Доказательство интегрального соотношения обратной касательной

Из интегрального определения обратного касательного интеграла имеем

$\operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx$

Выполнение интегрирования по частям

$\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\tan ^{-1}x\log x\,{\Bigg |}_{0}^{\tan \theta }-\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\log x}{1+x^{2}}}\,dx=$

$\theta \log \tan \theta -\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\log x}{1+x^{2}}}\,dx$

Примените замену $x=\tan y,\,y=\tan ^{-1}x,\,dy={\frac {dx}{1+x^{2}}}\,$ чтобы получить

$\theta \log \tan \theta -\int _{0}^{\theta }\log(\tan y)\,dy$

Для этого последнего интеграла примените преобразование: $y=x/2,\,dy=dx/2\,$ получить

${\begin{aligned}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left({\frac {\sin(x/2)}{\cos(x/2)}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left({\frac {2\sin(x/2)}{2\cos(x/2)}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\sin {\frac {x}{2}}\right)\,dx+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}$

Наконец, как и при доказательстве формулы дублирования, замена $x=(\pi -y)\,$ сводит этот последний интеграл к

$\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )-\operatorname {Cl} _{2}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )$

Таким образом

$\operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log \tan \theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )\,.\,\Box$

Связь с G-функцией Барнса

Серьезно $0<z<1$, функция Клаузена второго порядка может быть выражена через G-функцию Барнса (Эйлера) и гамма-функцию :

$\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)$

Или эквивалентно

$\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)$

См. Адамчик (2003) .

Связь с полилогарифмом

Функции Клаузена представляют действительную и мнимую части полилогарифма на единичном круге :

$\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )=\Im (\operatorname {Li} _{2m}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 1$

$\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\Re (\operatorname {Li} _{2m+1}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 0$

В этом легко убедиться, обратившись к определению полилогарифма в виде ряда .

$\operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}\quad \Longrightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(e^{i\theta }\right)^{k}}{k^{n}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{ik\theta }}{k^{n}}}$

По теореме Эйлера,

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

и по теореме Муавра ( формула Муавра )

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos k\theta +i\sin k\theta \quad \Rightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{n}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{n}}}$

Следовательно

$\operatorname {Li} _{2m}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )+i\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )$

$\operatorname {Li} _{2m+1}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )+i\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )$

Связь с полигамма-функцией

Функции Клаузена тесно связаны с полигамма-функцией . Действительно, функции Клаузена можно выразить как линейные комбинации синусоидальных и полигамма-функций. Одно из таких соотношений показано здесь и доказано ниже:

$\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}(2m-1)!}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right].$

Непосредственным следствием является эквивалентная формула в терминах дзета-функции Гурвица:

$\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\zeta \left(2m,{\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\zeta \left(2m,{\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right].$

show Доказательство формулы

Let $\,p\,$ and $\,q\,$ be positive integers, such that $\,q/p\,$ is a rational number $\,0<q/p<1\,$, then, by the series definition for the higher order Clausen function (of even index): $\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(kq\pi /p)}{k^{2m}}}$ We split this sum into exactly p-parts, so that the first series contains all, and only, those terms congruent to $\,kp+1,\,$ the second series contains all terms congruent to $\,kp+2,\,$ etc., up to the final p-th part, that contain all terms congruent to $\,kp+p\,$ ${\begin{aligned}&\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+1){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+1)^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+2){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+2)^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+3){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+3)^{2m}}}+\cdots \\&\cdots +\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+p-2){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+p-2)^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+p-1){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+p-1)^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+p){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+p)^{2m}}}\end{aligned}}$ We can index these sums to form a double sum: ${\begin{aligned}&\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)=\sum _{j=1}^{p}\left\{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+j)^{2m}}}\right\}\\={}&\sum _{j=1}^{p}{\frac {1}{p^{2m}}}\left\{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(k+(j/p))^{2m}}}\right\}\end{aligned}}$ Applying the addition formula for the sine function, $\,\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\,$ the sine term in the numerator becomes: $\sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]=\sin \left(kq\pi +{\frac {qj\pi }{p}}\right)=\sin kq\pi \cos {\frac {qj\pi }{p}}+\cos kq\pi \sin {\frac {qj\pi }{p}}$ $\sin m\pi \equiv 0,\quad \,\cos m\pi \equiv (-1)^{m}\quad \Longleftrightarrow m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\ldots$ $\sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]=(-1)^{kq}\sin {\frac {qj\pi }{p}}$ Consequently, $\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)=\sum _{j=1}^{p}{\frac {1}{p^{2m}}}\sin \left({\frac {qj\pi }{p}}\right)\,\left\{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kq}}{(k+(j/p))^{2m}}}\right\}$ To convert the inner sum in the double sum into a non-alternating sum, split in two in parts in exactly the same way as the earlier sum was split into p-parts: ${\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kq}}{(k+(j/p))^{2m}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(2k)q}}{((2k)+(j/p))^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(2k+1)q}}{((2k+1)+(j/p))^{2m}}}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+(j/p))^{2m}}}+(-1)^{q}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1+(j/p))^{2m}}}\\={}&{\frac {1}{2^{p}}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+(j/2p))^{2m}}}+(-1)^{q}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+\left({\frac {j+p}{2p}}\right))^{2m}}}\right]\end{aligned}}$ For $\,m\in \mathbb {Z} \geq 1\,$, the polygamma function has the series representation $\psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+z)^{m+1}}}$ So, in terms of the polygamma function, the previous inner sum becomes: ${\frac {1}{2^{2m}(2m-1)!}}\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right]$ Plugging this back into the double sum gives the desired result: $\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}(2m-1)!}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right]$

Связь с обобщенным логсинусным интегралом

Обобщенный логсинусный интеграл определяется следующим образом:

${\mathcal {L}}s_{n}^{m}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }x^{m}\log ^{n-m-1}\left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx$

В таких обобщенных обозначениях функцию Клаузена можно выразить в виде:

$\operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\mathcal {L}}s_{2}^{0}(\theta )$

Отношение Куммера

Эрнст Куммер и Роджерс дают отношение

$\operatorname {Li} _{2}(e^{i\theta })=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+i\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

действителен для $0\leq \theta \leq 2\pi$.

Связь с функцией Лобачевского

Функция Лобачевского Λ или Л — это, по сути, одна и та же функция с заменой переменной:

$\Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log |2\sin(t)|\,dt=\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )/2$

хотя название «функция Лобачевского» не совсем исторически точное, поскольку в формулах Лобачевского для гиперболического объема использовалась несколько другая функция

$\int _{0}^{\theta }\log |\sec(t)|\,dt=\Lambda (\theta +\pi /2)+\theta \log 2.$

Связь с L-функциями Дирихле.

Для рациональных значений $\theta /\pi$ (то есть для $\theta /\pi =p/q$ для некоторых целых чисел p и q ) функция $\sin(n\theta )$ можно понимать как периодическую орбиту элемента в циклической группе и, таким образом, $\operatorname {Cl} _{s}(\theta )$ может быть выражена в виде простой суммы, включающей дзета-функцию Гурвица . Это позволяет отношения между некоторыми L-функциями Дирихле легко вычислять .

Серийное ускорение

Рядовое ускорение для функции Клаузена определяется выражением

${\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\log |\theta |+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}$

что справедливо для $|\theta |<2\pi$. Здесь, $\zeta (s)$ — дзета-функция Римана . Более быстро сходящаяся форма имеет вид

${\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\log \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\log \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}.$

Сближению способствует тот факт, что $\zeta (n)-1$ быстро приближается к нулю для больших значений n . Обе формы можно получить с помощью методов повторного суммирования, используемых для получения рациональных дзета-рядов ( Борвейн и др., 2000 ).

Особые значения

Вспомним G-функцию Барнса , константу Каталана K и константу V. Гизекинга Некоторые особые значения включают в себя

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=K$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=V$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-3\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+\pi \log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {2\pi }{3}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)+{\frac {\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}\right)$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {5}{8}}\right)}{G\left({\frac {3}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)+{\frac {3\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\right)$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {11}{12}}\right)}{G\left({\frac {1}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{12}}\right)+{\frac {\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}-1}}\right)$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {5\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{12}}\right)}{G\left({\frac {5}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {5}{12}}\right)+{\frac {5\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}+1}}\right)$

В общем случае из формулы отражения G-функции Барнса

$\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)$

Эйлера Эквивалентно, используя формулу отражения для гамма-функции, тогда:

$\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log {\big (}\Gamma (z)\Gamma (1-z){\big )}$

Обобщенные специальные значения

Некоторые специальные значения для функций Клаузена более высокого порядка включают:

$\operatorname {Cl} _{2m}(0)=\operatorname {Cl} _{2m}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2m}(2\pi )=0$

$\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\beta (2m)$

$\operatorname {Cl} _{2m+1}(0)=\operatorname {Cl} _{2m+1}(2\pi )=\zeta (2m+1)$

$\operatorname {Cl} _{2m+1}(\pi )=-\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{2m}}}\right)\zeta (2m+1)$

$\operatorname {Cl} _{2m+1}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=-{\frac {1}{2^{2m+1}}}\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{4m+1}}}\right)\zeta (2m+1)$

где $\beta (x)$ – бета-функция Дирихле , $\eta (x)$ - это эта-функция Дирихле (также называемая знакопеременной дзета-функцией), и $\zeta (x)$ — дзета-функция Римана .

Интегралы от прямой функции

Следующие интегралы легко доказываются из серийного представления функции Клаузена:

$\int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m}(x)\,dx=\zeta (2m+1)-\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )$

$\int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m+1}(x)\,dx=\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )$

$\int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m}(x)\,dx=\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )$

$\int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m+1}(x)\,dx=\zeta (2m+2)-\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )$

Методы анализа Фурье можно использовать для нахождения первых моментов квадрата функции. $\operatorname {Cl} _{2}(x)$ на интервале $[0,\pi ]$:

$\int _{0}^{\pi }\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=\zeta (4),$

$\int _{0}^{\pi }t\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx={\frac {221}{90720}}\pi ^{6}-4\zeta ({\overline {5}},1)-2\zeta ({\overline {4}},2),$

$\int _{0}^{\pi }t^{2}\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=-{\frac {2}{3}}\pi \left[12\zeta ({\overline {5}},1)+6\zeta ({\overline {4}},2)-{\frac {23}{10080}}\pi ^{6}\right].$

Здесь $\zeta$ обозначает кратную дзета-функцию .

Интегральные оценки, включающие прямую функцию

Большое количество тригонометрических и логарифмо-тригонометрических интегралов можно оценить с помощью функции Клаузена и различных общих математических констант, таких как $\,K\,$ ( постоянная Каталана ), $\,\log 2\,$и частные случаи дзета-функции , $\,\zeta (2)\,$ и $\,\zeta (3)\,$.

Перечисленные ниже примеры следуют непосредственно из интегрального представления функции Клаузена, а доказательства требуют немного больше, чем базовая тригонометрия, интегрирование по частям и периодическое почленное интегрирование виде рядов Фурье определений функций Клаузена в .

$\int _{0}^{\theta }\log(\sin x)\,dx=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )-\theta \log 2$

$\int _{0}^{\theta }\log(\cos x)\,dx={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )-\theta \log 2$

$\int _{0}^{\theta }\log(\tan x)\,dx=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )$

$\int _{0}^{\theta }\log(1+\cos x)\,dx=2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )-\theta \log 2$

$\int _{0}^{\theta }\log(1-\cos x)\,dx=-2\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-\theta \log 2$

$\int _{0}^{\theta }\log(1+\sin x)\,dx=2K-2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)-\theta \log 2$

$\int _{0}^{\theta }\log(1-\sin x)\,dx=-2K+2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)-\theta \log 2$

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 27.8» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 1005. ИСБН  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
• Клаузен, Томас (1832). «О функции sin φ + (1/2 ² ) sin 2φ + (1/3 ² ) sin 3φ + и т. д.» . Журнал чистой и прикладной математики . 8 : 298–300. ISSN   0075-4102 .
• Вуд, Ван Э. (1968). «Эффективный расчет интеграла Клаузена» . Математика. Комп . 22 (104): 883–884. дои : 10.1090/S0025-5718-1968-0239733-9 . МР   0239733 .
• Леонард Левин (ред.). Структурные свойства полилогарифмов (1991) Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд. ISBN   0-8218-4532-2
• Лу, Хун Юнг; Перес, Кристофер А. (1992). «Безмассовый однопетлевой скалярный трехточечный интеграл и связанные с ним Клаузена, Глейшера и L-функции» (PDF) .
• Кёльбиг, Курт Зигфрид (1995). «Коэффициенты Чебышева для функции Клаузена Cl ₂ (x)» . Дж. Компьютер. Прил. Математика . 64 (3): 295–297. дои : 10.1016/0377-0427(95)00150-6 . МР   1365432 .
• Борвейн, Джонатан М .; Брэдли, Дэвид М.; Крэндалл, Ричард Э. (2000). «Вычислительные стратегии для дзета-функции Римана» (PDF) . Дж. Компьютер. Прил. Математика . 121 (1–2): 247–296. Бибкод : 2000JCoAM.121..247B . дои : 10.1016/s0377-0427(00)00336-8 . МР   1780051 . Архивировано из оригинала (PDF) 25 сентября 2006 г. Проверено 9 июля 2005 г.
• Адамчик, Виктор. С. (2003). «Вклад в теорию функции Барнса». arXiv : math/0308086v1 .
• Калмыков Михаил Ю.; Шепляков, А. (2005). «LSJK - библиотека C ++ для числового вычисления произвольной точности обобщенного логарифмического интеграла». Вычислить. Физ. Коммун . 172 : 45–59. arXiv : hep-ph/0411100 . Бибкод : 2005CoPhC.172...45K . дои : 10.1016/j.cpc.2005.04.013 .
• Борвейн, Джонатан М.; Штрауб, Армин (2013). «Соотношения для полилогарифмов Нильсена». Дж. Прибл. Теория . Том. 193. стр. 74–88. дои : 10.1016/j.jat.2013.07.003 .
• Матар, Р.Дж. (2013). «Реализация сумм Клаузена в C99». arXiv : 1309.7504 [ math.NA ].