Координаты Крускала – Секереса

Диаграмма Крускала – Секереса, проиллюстрированная для 2 GM =1. Квадранты — это внутренняя часть черной дыры (II), внутренняя часть белой дыры (IV) и две внешние области (I и III). Пунктирные линии под углом 45°, разделяющие эти четыре региона, представляют собой горизонты событий . Более темные гиперболы, ограничивающие верхнюю и нижнюю часть диаграммы, — это физические сингулярности. Более бледные гиперболы представляют контуры координаты Шварцшильда r , а прямые линии, проходящие через начало координат, представляют контуры координаты Шварцшильда t .

В общей теории относительности координаты Крускала-Секереса , названные в честь Мартина Крускала и Джорджа Секереса , представляют собой систему координат для геометрии Шварцшильда для черной дыры . Преимущество этих координат заключается в том, что они охватывают все пространственно-временное многообразие максимально расширенного решения Шварцшильда и хорошо ведут себя всюду за пределами физической сингулярности. Сингулярности координат на горизонте нет.

Координаты Крускала-Секереша также применимы к пространству-времени вокруг сферического объекта, но в этом случае не дают описания пространства-времени внутри радиуса объекта. Пространство-время в области коллапса звезды в черную дыру аппроксимируется координатами Крускала – Секереса (или координатами Шварцшильда ). Поверхность звезды остается вне горизонта событий в координатах Шварцшильда, но пересекает его в координатах Крускала – Секереса. (В любой «черной дыре», которую мы наблюдаем , мы видим ее в тот момент, когда ее материя еще не закончила коллапс, поэтому на самом деле это еще не черная дыра.) Точно так же объекты, падающие в черную дыру, остаются за горизонтом событий. в координатах Шварцшильда, но пересечь его в координатах Крускала – Секереса.

Определение

Диаграмма Крускала – Секереса. В каждом кадре анимации отображается синяя гипербола как поверхность, на которой радиальная координата Шварцшильда постоянна (и с меньшим значением в каждом последующем кадре, пока не заканчивается в сингулярностях).

Координаты Крускала – Секереса в геометрии черной дыры определяются на основе координат Шварцшильда. $(t,r,\theta ,\phi )$, заменив t и r новой времениподобной координатой T и новой пространственноподобной координатой $X$:

$T=\left({\frac {r}{2GM}}-1\right)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh \left({\frac {t}{4GM}}\right)$

$X=\left({\frac {r}{2GM}}-1\right)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh \left({\frac {t}{4GM}}\right)$

для внешнего региона $r>2GM$ за горизонтом событий и:

$T=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh \left({\frac {t}{4GM}}\right)$

$X=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh \left({\frac {t}{4GM}}\right)$

для внутреннего региона $0<r<2GM$. Здесь $GM$ — гравитационная постоянная , умноженная на параметр массы Шварцшильда, и в этой статье используются единицы измерения , где $c$ = 1.

Отсюда следует, что при объединении внешней области, горизонта событий и внутренней области радиальная координата Шварцшильда $r$ (не путать с радиусом Шварцшильда $r_{\text{s}}=2GM$), определяется в координатах Крускала–Секереша как (единственное) решение уравнения:

$T^{2}-X^{2}=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)e^{r/2GM}\ ,T^{2}-X^{2}<1$

Используя функцию Ламберта W, решение записывается как:

$r=2GM\left(1+W_{0}\left({\frac {X^{2}-T^{2}}{e}}\right)\right)$.

Более того, сразу видно, что во внешней по отношению к черной дыре области $T^{2}-X^{2}<0,\ X>0$

$t=4GM\mathop {\mathrm {artanh} } (T/X)$

тогда как во внутренней области черной дыры $0<T^{2}-X^{2}<1,\ T>0$

$t=4GM\mathop {\mathrm {artanh} } (X/T)$

В этих новых координатах метрика многообразия черных дыр Шварцшильда имеет вид

$g={\frac {32G^{3}M^{3}}{r}}e^{-r/2GM}(-dT^{2}+dX^{2})+r^{2}g_{\Omega },$

(− + + +) записано с использованием соглашения о сигнатурах метрики и где угловая составляющая метрики (риманова метрика 2-сферы) равна:

$g_{\Omega }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}$.

Выражение метрики в такой форме ясно показывает, что радиальные нулевые геодезические, т.е. с постоянным $\Omega =\Omega (\theta ,\phi )$ параллельны одной из прямых $T=\pm X$. В координатах Шварцшильда радиус Шварцшильда $r_{\text{s}}=2GM$ - радиальная координата горизонта событий $r=r_{\text{s}}=2GM$. В координатах Крускала – Секереса горизонт событий определяется выражением $T^{2}-X^{2}=0$. Обратите внимание, что метрика совершенно четко определена и несингулярна на горизонте событий. Особенность кривизны находится в точке $T^{2}-X^{2}=1$.

Максимально расширенное решение Шварцшильда

Преобразование между координатами Шварцшильда и координатами Крускала – Секереса, определенными для r > 2 GM и $-\infty <t<\infty$ может быть продолжена как аналитическая функция, по крайней мере, до первой особенности, возникающей при $T^{2}-X^{2}=1$. Таким образом, приведенная выше метрика является решением уравнений Эйнштейна во всей этой области. Допустимые значения:

$-\infty <X<\infty \,$

$-\infty <T^{2}-X^{2}<1$

Обратите внимание, что это расширение предполагает, что решение всюду аналитично.

В максимально расширенном решении фактически есть две особенности при r = 0: одна для положительного T и одна для отрицательного T . Отрицательная Т- сингулярность — это обращенная во времени черная дыра, которую иногда называют « белой дырой ». Частицы могут покинуть белую дыру, но никогда не смогут вернуться.

Максимально расширенную геометрию Шварцшильда можно разделить на 4 области, каждая из которых может быть покрыта подходящим набором координат Шварцшильда.С другой стороны, координаты Крускала – Секереса охватывают все многообразие пространства-времени. Четыре региона разделены горизонтами событий.

я	внешний регион	$-X<T<+X$	$2GM<r$
II	внутренняя черная дыра	$\vert X\vert <T<{\sqrt {1+X^{2}}}$	$0<r<2GM$
III	параллельная внешняя область	$+X<T<-X$	$2GM<r$
IV	внутренняя белая дыра	$-{\sqrt {1+X^{2}}}<T<-\vert X\vert$	$0<r<2GM$

Приведенное выше преобразование между координатами Шварцшильда и Крускала–Секереса применимо только в областях I и II (если считать квадратный корень положительным). Аналогичное преобразование можно записать и в двух других регионах.

Временная координата Шварцшильда t определяется выражением

$\tanh \left({\frac {t}{4GM}}\right)={\begin{cases}T/X&{\text{(in I and III)}}\\X/T&{\text{(in II and IV)}}\end{cases}}$

В каждом регионе он проходит от $-\infty$ к $+\infty$ с бесконечностями на горизонте событий.

Основываясь на требованиях унитарности квантового процесса ' излучения т Хокинга, Хоофт предложил что области I и III, а также II и IV являются просто математическими артефактами, возникающими в результате выбора ветвей в качестве корней, а не параллельных вселенных, и что отношение эквивалентности

$(T,X,\Omega )\sim (-T,-X,-\Omega )$

должны быть наложены там, где $-\Omega$ является антиподом $\Omega$ на 2-сфере. Если мы подумаем, что регионы III и IV имеют сферические координаты, но с отрицательным выбором квадратного корня для вычисления $r$, то мы просто соответственно используем противоположные точки на сфере для обозначения одной и той же точки в пространстве, поэтому, например,

$(t^{\text{(I)}},r^{\text{(I)}},\Omega ^{\text{(I)}})=(t,r,\Omega )\sim (t^{\text{(III)}},r^{\text{(III)}},\Omega ^{\text{(III)}})=(t,-r,-\Omega ).$

Это означает, что $r^{\text{(I)}}\Omega ^{\text{(I)}}=r^{\text{(III)}}\Omega ^{\text{(III)}}=r\Omega$.Так как это свободное действие группы $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ сохраняя метрику, это дает корректно определенное лоренцево многообразие (всюду, кроме особенности). Он определяет предел $t^{\text{(II)}}=-\infty$ внутренней области II, соответствующей отрезку координатной линии $T=-X,\ T>0,X<0$ с лимитом $t^{\text{(I)}}=-\infty$ внешней области I, соответствующей $T=-X,\ T<0,X>0$. Идентификация означает, что, хотя каждая пара $(T,X)\sim (-T,-X)\neq (0,0)$ соответствует сфере, точка $(T,X)=(0,0)$ (соответствует горизонту событий $r=2GM$ на картине Шварцшильда) соответствует не сфере, а проективной плоскости $\mathbf {RP} ^{2}=S^{2}/\pm$ вместо этого, и топология основного многообразия больше не является $\mathbb {R} ^{4}-\mathrm {line} =\mathbb {R} ^{2}\times S^{2}$. Многообразие больше не является просто связным , поскольку петля (включающая сверхсветовые части), идущая из точки пространства-времени обратно в себя, но в противоположных координатах Крускала – Секереса, не может быть сведена к нулевой петле.

Качественные особенности диаграммы Крускала – Секереса

Координаты Крускала – Секереса обладают рядом полезных особенностей, которые делают их полезными для построения интуиции о пространстве-времени Шварцшильда. Главным из них является тот факт, что все радиальные светоподобные геодезические ( мировые линии световых лучей, движущихся в радиальном направлении) выглядят как прямые линии под углом 45 градусов, если их нарисовать на диаграмме Крускала – Секереса (это можно вывести из метрическое уравнение, приведенное выше, которое гарантирует, что если $dX=\pm dT\,$ тогда подходящее время $ds=0$). Все времяподобные мировые линии объектов, движущихся медленнее света, в каждой точке будут иметь наклон ближе к вертикальной оси времени ( координате T ), чем 45 градусов. Итак, световой конус, нарисованный на диаграмме Крускала-Секереша, будет выглядеть точно так же, как световой конус на диаграмме Минковского в специальной теории относительности .

Горизонты событий, ограничивающие внутренние области черной дыры и белой дыры, также представляют собой пару прямых линий под углом 45 градусов, что отражает тот факт, что луч света, испускаемый на горизонте в радиальном направлении (направленный наружу в случае черной дыры, внутрь в случае с белой дырой) навсегда осталась бы на горизонте. Таким образом, два горизонта черной дыры совпадают с границами будущего светового конуса события в центре диаграммы (при Т = X =0), а два горизонта белой дыры совпадают с границами светового конуса прошлого этого события. то же событие. Любое событие внутри внутренней области черной дыры будет иметь будущий световой конус, который останется в этой области (так что любая мировая линия внутри будущего светового конуса события в конечном итоге попадет в сингулярность черной дыры, которая выглядит как гипербола, ограниченная двумя черными дырами). горизонтов), и любое событие внутри внутренней области белой дыры будет иметь световой конус прошлого, который останется в этой области (так что любая мировая линия внутри этого светового конуса прошлого должна была возникнуть в сингулярности белой дыры, гиперболе, ограниченной двумя белыми дырами). горизонты дыр). Обратите внимание: хотя горизонт выглядит как расширяющийся наружу конус, площадь этой поверхности, определяемая выражением р просто $16\pi M^{2}$, константа. Т.е. эти координаты могут быть обманчивыми, если не соблюдать осторожность.

Может быть поучительно рассмотреть, как будут выглядеть кривые постоянной координаты Шварцшильда , нанесенные на диаграмму Крускала – Секереса. Оказывается, кривые постоянной r -координаты в координатах Шварцшильда всегда выглядят как гиперболы, ограниченные парой горизонтов событий под углом 45 градусов, а линии постоянной t -координаты в шварцшильдовских координатах всегда выглядят как прямые линии под разными углами, проходящие через центр диаграммы. Горизонт событий черной дыры, граничащий с внешней областью I, совпадал бы с t -координатой Шварцшильда $+\infty$ в то время как горизонт событий белой дыры, граничащий с этой областью, совпадал бы с t -координатой Шварцшильда $-\infty$, что отражает тот факт, что в координатах Шварцшильда падающей частице требуется бесконечное координатное время, чтобы достичь горизонта (т.е. расстояние частицы от горизонта приближается к нулю, когда t -координата Шварцшильда приближается к бесконечности), а частица, летящая вверх от горизонта, должна пересекли его в бесконечном координатном времени в прошлом. Это всего лишь артефакт того, как определяются координаты Шварцшильда; свободно падающей частице потребуется только конечное собственное время (время, измеренное ее собственными часами), чтобы пройти между внешним наблюдателем и горизонтом событий, и если мировая линия частицы нарисована на диаграмме Крускала – Секереса, это также будет только возьмем конечное координатное время в координатах Крускала – Секереса.

Система координат Шварцшильда может охватывать только одну внешнюю область и одну внутреннюю область, например области I и II на диаграмме Крускала – Секереса. С другой стороны, система координат Крускала – Секереса может охватывать «максимально расширенное» пространство-время, которое включает область, охватываемую координатами Шварцшильда. Здесь «максимально расширенный» относится к идее о том, что пространство-время не должно иметь никаких «краев»: любой геодезический путь может быть продлен сколь угодно далеко в любом направлении, если только он не упирается в гравитационную сингулярность . Технически это означает, что максимально расширенное пространство-время является либо «геодезически полным» (это означает, что любая геодезическая может быть расширена до сколь угодно больших положительных или отрицательных значений ее «аффинного параметра», что в случае времяподобной геодезической может быть просто собственным временем ), или если какие-либо геодезические неполны, то это может быть только потому, что они заканчиваются в сингулярности. Чтобы удовлетворить этому требованию, было обнаружено, что помимо внутренней области черной дыры (область II), в которую частицы попадают, когда они падают через горизонт событий снаружи (область I), должно существовать отдельное внутреннее пространство белой дыры. область (область IV), которая позволяет нам расширить траектории частиц, которые, как видит внешний наблюдатель, поднимаются вверх от горизонта событий, а также отдельную внешнюю область (область III), которая позволяет нам расширить некоторые возможные траектории частиц в двух внутренних областях. регионы. На самом деле существует множество возможных способов расширить внешнее решение Шварцшильда в максимально расширенное пространство-время, но расширение Крускала-Секереша уникально тем, что оно представляет собой максимальное, аналитическое , односвязное вакуумное решение , в котором все максимально расширенные геодезические либо полны, либо скаляр кривизны расходится вдоль них за конечное аффинное время.

Вариант светового конуса

В литературе координаты Крускала – Секереса иногда встречаются и в варианте светового конуса:

$U=T-X$

$V=T+X,$

в котором метрика определяется выражением

$ds^{2}=-{\frac {32G^{3}M^{3}}{r}}e^{-r/2GM}(dUdV)+r^{2}d\Omega ^{2},$

и r определяется неявно уравнением

$UV=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)e^{r/2GM}.$

Эти координаты светового конуса обладают той полезной особенностью, что радиально исходящие нулевые геодезические определяются выражением $U={\text{constant}}$, а радиально входящие нулевые геодезические имеют вид $V={\text{constant}}$. Кроме того, горизонт(ы) событий (будущего и прошлого) задаются уравнением $UV=0$, а особенность кривизны задается уравнением $UV=1$.

Координаты светового конуса тесно связаны с координатами Эддингтона – Финкельштейна .

См. также

• Координаты Шварцшильда
• Подробности о Леметре
• Координаты Эддингтона – Финкельштейна
• Изотропные координаты
• Координаты Гулстранд – Пенлеве

Ссылки

Источники

• Аштекар, Абхай (2006). Сто лет теории относительности . Всемирная научная издательская компания . ISBN  978-981-256-394-1 .
• Эллис, Джордж ; Ланца, Антонио; Миллер, Джон (1994). Возрождение общей теории относительности и космологии: обзор, посвященный 65-летию Денниса Шиамы . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-43377-8 .
• Хокинг, Стивен В .; Эллис, Джордж Ф.Р. (1975). Крупномасштабная структура пространства-времени . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-09906-6 .
• Хобсон, Майкл Пол; Эфстатиу, Джордж ; Ласенби, Энтони Н. (2006). Общая теория относительности: введение для физиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-82951-9 .
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . У. Х. Фриман . ISBN  978-0-7167-0344-0 .
• Муханов Вячеслав; Виницкий, Сергей (2007). Введение в квантовые эффекты в гравитации . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-86834-1 .