Число Хегнера

В теории чисел ( число Хигнера как его назвали Конвей и Гай ) — это положительное целое число без квадратов d такое, что мнимое квадратичное поле $\mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]$ имеет номер класса 1. Эквивалентно, кольцо целых алгебраических чисел $\mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]$ имеет уникальную факторизацию .

Определение таких чисел является частным случаем проблемы чисел классов , и они лежат в основе нескольких ярких результатов в теории чисел.

Согласно теореме (Бейкера–) Штарка–Хигнера существует ровно девять чисел Хигнера:

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 и 163. (последовательность A003173 в OEIS )

Этот результат был выдвинут Гауссом и доказан с небольшими ошибками Куртом Хигнером в 1952 году. Алан Бейкер и Гарольд Старк независимо доказали этот результат в 1966 году, а Старк далее указал, что пробел в доказательстве Хигнера был незначительным.

Полином Эйлера, порождающий простые числа

Полином Эйлера, порождающий простые числа $$n^{2}+n+41,$$которое дает (различные) простые числа для n = 0, ..., 39, связано с числом Хегнера 163 = 4 · 41 - 1.

Рабинович доказал, что $$n^{2}+n+p$$дает простые числа для $n=0,\dots ,p-2$ этого квадратичного уравнения тогда и только тогда, когда дискриминант $1-4p$ является отрицательным числом Хегнера.

(Обратите внимание, что $p-1$ урожайность $p^{2}$, так $p-2$ является максимальным.)

1, 2 и 3 не имеют требуемой формы, поэтому работающими числами Хигнера являются 7, 11, 19, 43, 67, 163, что дает простые производящие функции формы Эйлера для 2, 3, 5, 11, 17, 41; назвал счастливыми числами Эйлера эти последние числа Ф. Ле Лионне .

Почти целые числа и константа Рамануджана

Константа Рамануджана — трансцендентное число. $e^{\pi {\sqrt {163}}}$, что является почти целым числом , поскольку оно очень близко к целому числу : $$e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots \approx 640\,320^{3}+744.$$

Это число было открыто в 1859 году математиком Чарльзом Эрмитом . В первоапрельской статье 1975 года в Scientific American : журнале Обозреватель журнала «Математические игры» Мартин Гарднер выдвинул ложное заявление о том, что число на самом деле было целым числом и что индийский математический гений Шриниваса Рамануджан его предсказал — отсюда и его название.

Это совпадение объясняется комплексным умножением и q -разложением инварианта j- .

Деталь

Далее j(z) обозначает j-инвариант комплексного числа z. Кратко, $\textstyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)$ является целым числом, где d является числом Хегнера, а $$e^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)+744$$через q -разложение.

Если $\tau$ является квадратичной иррациональной единицей, то ее j -инвариант $j(\tau )$ — целое алгебраическое число степени $\left|\mathrm {Cl} {\bigl (}\mathbf {Q} (\tau ){\bigr )}\right|$, класса номер $\mathbf {Q} (\tau )$ а минимальный (монический целочисленный) полином, которому он удовлетворяет, называется «многочленом класса Гильберта». Таким образом, если мнимое квадратичное расширение $\mathbf {Q} (\tau )$ имеет номер класса 1 (поэтому d — число Хегнера), j -инвариант — целое число.

q , -разложение j в с его разложением в ряд Фурье записанным в виде ряда Лорана терминах $q=e^{2\pi i\tau }$, начинается как: $$j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196\,884q+\cdots .$$

Коэффициенты $c_{n}$ асимптотически растут как $$\ln(c_{n})\sim 4\pi {\sqrt {n}}+O{\bigl (}\ln(n){\bigr )},$$и младшие коэффициенты растут медленнее, чем $200\,000^{n}$, так что для $\textstyle q\ll {\frac {1}{200\,000}}$, j очень хорошо аппроксимируется своими первыми двумя членами. Параметр $\textstyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}$ урожайность $$q=-e^{-\pi {\sqrt {163}}}\quad \therefore \quad {\frac {1}{q}}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}.$$Сейчас $$j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=\left(-640\,320\right)^{3},$$так, $$\left(-640\,320\right)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right).$$Или, $$e^{\pi {\sqrt {163}}}=640\,320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)$$где линейный член ошибки: $${\frac {-196\,884}{e^{\pi {\sqrt {163}}}}}\approx {\frac {-196\,884}{640\,320^{3}+744}}\approx -0.000\,000\,000\,000\,75$$объясняя почему $e^{\pi {\sqrt {163}}}$ находится примерно в пределах указанного выше целого числа.

Формулы Пи

Братья Чудновские в 1987 году обнаружили, что $${\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{\frac {3}{2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320)^{3k}}},$$доказательство которого использует тот факт, что $$j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}.$$Подобные формулы см. в серии Рамануджана-Сато .

Другие числа Хегнера

Для четырех наибольших чисел Хигнера получаются аппроксимации заключаются в следующем. $${\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx {\color {white}000\,0}96^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx {\color {white}000\,}960^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx {\color {white}00}5\,280^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\,320^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}$$

Альтернативно, $${\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}\left(3^{2}-1\right)^{3}{\color {white}00}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}\left(9^{2}-1\right)^{3}{\color {white}00}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}\left(21^{2}-1\right)^{3}{\color {white}0}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}\left(231^{2}-1\right)^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}$$где причина появления квадратов связана с определенным рядом Эйзенштейна . Для чисел Хегнера $d<19$, почти целое число не получается; даже $d=19$ не примечательно. Целочисленные j -инварианты хорошо факторизуемы, что следует из вида

$$12^{3}\left(n^{2}-1\right)^{3}=\left(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1)\right)^{3},$$

и фактор как, $${\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right)&={\color {white}000\,0}-96^{3}=-\left(2^{5}\cdot 3\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-43}}}{2}}\right)&={\color {white}000\,}-960^{3}=-\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-67}}}{2}}\right)&={\color {white}00}-5\,280^{3}=-\left(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=-640\,320^{3}=-\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29\right)^{3}.\end{aligned}}$$

Эти трансцендентные числа , помимо того, что они близко аппроксимируются целыми числами (которые являются просто алгебраическими числами степени 1), могут быть точно аппроксимированы алгебраическими числами степени 3, $${\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24.000\,31;&x^{3}-2x-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,31;&x^{3}-2x^{2}-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,0019;&x^{3}-2x^{2}-2x-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011;&\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2&=0\end{aligned}}$$

Корни ), модулярной функции , кубик могут быть точно заданы факторами эта-функции Дедекинда η ( τ включающей корень 24-й степени и которая объясняет число 24 в приближении. Их также можно близко аппроксимировать алгебраическими числами степени 4: $${\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,06\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {960}{24}}+7{\sqrt {3\cdot 43}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {5\,280}{24}}+31{\sqrt {3\cdot 67}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {640\,320}{24}}+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{aligned}}$$

Если $x$ обозначает выражение в скобках (например, $x=3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}$), оно удовлетворяет соответственно уравнениям четвертой степени $${\begin{aligned}x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 3x^{3}+{\color {white}000\,0}{\tfrac {2}{3}}(96+3)x^{2}-{\color {white}000\,000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 3(96-6)x-3&=0\\x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 9x^{3}+{\color {white}000\,}{\tfrac {2}{3}}(960+3)x^{2}-{\color {white}000\,00}{\tfrac {2}{3}}\cdot 9(960-6)x-3&=0\\x^{4}-{\color {white}0}4\cdot 21x^{3}+{\color {white}00}{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}-{\color {white}000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3&=0\\x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3&=0\\\end{aligned}}$$

Обратите внимание на повторное появление целых чисел $n=3,9,21,231$ а также тот факт, что $${\begin{aligned}2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {96}{24}}\right)^{2}+1^{2}\cdot 3\cdot 19\right)&=96^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {960}{24}}\right)^{2}+7^{2}\cdot 3\cdot 43\right)&=960^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {5\,280}{24}}\right)^{2}+31^{2}\cdot 3\cdot 67\right)&=5\,280^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {640\,320}{24}}\right)^{2}+2413^{2}\cdot 3\cdot 163\right)&=640\,320^{2}\end{aligned}}$$которые с соответствующей дробной степенью являются в точности j -инвариантами.

Аналогично для алгебраических чисел степени 6: $${\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}$$

где x s задаются соответственно соответствующим корнем секстических уравнений , $${\begin{aligned}5x^{6}-{\color {white}000\,0}96x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}000\,}960x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}00}5\,280x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1&=0\end{aligned}}$$

при этом снова появляются j -инварианты. Эти секстики не только алгебраичны, но и разрешимы в радикалах , поскольку факторизуются в двух кубах по расширению. $\mathbb {Q} {\sqrt {5}}$ (с первым разложением далее на два квадратика ). Эти алгебраические приближения могут быть точно выражены через эта-факторы Дедекинда. В качестве примера позвольте $\textstyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}$, затем, $${\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{24}}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{6}}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}$$

где коэффициенты эта — это алгебраические числа, приведенные выше.

Номера класса 2

Три числа 88, 148, 232, для которых мнимое квадратичное поле $\mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]$ имеет номер класса 2, не являются числами Хегнера, но обладают некоторыми схожими свойствами в терминах почти целых чисел . Например, $${\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,00}2\,508\,952^{2}-0.077\dots \\e^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,}199\,148\,648^{2}-0.000\,97\dots \\e^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744&\approx 24\,591\,257\,752^{2}-0.000\,0078\dots \\\end{aligned}}$$и $${\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx {\color {white}00}\left(6+4{\sqrt {2}}\right)^{6}+0.000\,11\dots \\e^{\pi {\sqrt {37}}}+24&\approx \left(12+2{\sqrt {37}}\right)^{6}-0.000\,0014\dots \\e^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx \left(27+5{\sqrt {29}}\right)^{6}-0.000\,000\,0011\dots \\\end{aligned}}$$

Последовательные простые числа

Учитывая нечетное простое число p , если вычислить $k^{2}\mod p$ для $\textstyle k=0,1,\dots ,{\frac {p-1}{2}}$ (этого достаточно, потому что $\left(p-k\right)^{2}\equiv k^{2}\mod p$), можно получить последовательные составные числа, за которыми следуют последовательные простые числа, тогда и только тогда, когда p является числом Хигнера.

«Квадратичные многочлены, производящие последовательные различные простые числа и группы классов комплексных квадратичных полей» Подробности см. в статье Ричарда Моллина .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Число Хигнера» . Математический мир .
• Последовательность OEIS A003173 (числа Хегнера: мнимые квадратичные поля с уникальной факторизацией)
• Проблема числа классов Гаусса для мнимых квадратичных полей, Дориан Голдфельд : Подробная история проблемы.
• Кларк, Алекс. «163 и Рамануджан Констант» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 16 мая 2013 г. Проверено 2 апреля 2013 г.