Таблица символов

В теории групп , разделе абстрактной алгебры , таблица характеров — это двумерная таблица, строки которой соответствуют неприводимым представлениям , а столбцы — классам сопряженности элементов группы . Записи состоят из символов , следов матриц , представляющих элементы группы класса столбца в представлении группы данной строки. В химии , кристаллографии и спектроскопии для таблицы характеров точечных групп используются, например, классификации молекулярных колебаний в соответствии с их симметрией и для предсказания того, запрещен ли переход между двумя состояниями по причинам симметрии. Многие учебники университетского уровня по физической химии , квантовой химии , спектроскопии и неорганической химии посвящают главу использованию таблиц характеров групп симметрии.

Определение и пример

Неприводимые комплексные характеры конечной группы образуют таблицу символов кодирует много полезной информации о группе G. , которая в сжатой форме Каждая строка помечена неприводимым символом записи в строке представляют собой значения этого символа для любого представителя соответствующего класса сопряженности G , а (поскольку символы являются функциями класса ). Столбцы помечены (представителями) классов сопряженности G . Первую строку принято обозначать характером тривиального представления , которое представляет собой тривиальное действие G на одномерном векторном пространстве посредством $\rho (g)=1$ для всех $g\in G$. Таким образом, каждая запись в первой строке равна 1. Аналогичным образом принято помечать первый столбец идентификатором . Записи первого столбца — это значения неприводимых характеров в единице, степени неприводимых характеров. Символы степени 1 известны как линейные символы .

Вот таблица символов C ₃ = <u> , циклической группы с тремя элементами и генератором u :

	(1)	( в )	( в 2 )
1	1	1	1
х 1	1	ой	ой 2
х 2	1	ой 2	ой

где ω — примитивный кубический корень из единицы . Таблица символов для общих циклических групп представляет собой (скалярную кратную) матрицу ДПФ .

Другим примером является таблица символов $S_{3}$:

	(1)	(12)	(123)
х трив	1	1	1
χ знак	1	−1	1
χ стенд	2	0	−1

где (12) представляет класс сопряженности, состоящий из (12), (13), (23), а (123) представляет класс сопряженности, состоящий из (123), (132). Чтобы узнать больше о таблице символов симметричных групп, см. [1] .

Первая строка таблицы символов всегда состоит из единиц и соответствует тривиальному представлению (одномерному представлению, состоящему из матриц 1×1, содержащих запись 1). Кроме того, таблица символов всегда квадратная, потому что (1) неприводимые символы попарно ортогональны и (2) никакая другая нетривиальная функция класса не ортогональна каждому символу. (Функция класса — это функция, которая постоянна в классах сопряженности.) Это связано с важным фактом, что неприводимые представления конечной группы G находятся в биекции с ее классами сопряженности. что суммы классов образуют базис центра Эта биекция также следует из показа , групповой алгебры G , размерность которого равна числу неприводимых представлений G .

Отношения ортогональности

Основная статья: Отношения ортогональности Шура

Пространство комплекснозначных функций класса конечной группы G имеет естественный скалярный продукт :

$\left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}$

где ${\overline {\beta (g)}}$ обозначает комплексно-сопряженное значение $\beta$ на $g$. По отношению к этому скалярному продукту неприводимые характеры образуют ортонормированный базис. для пространства функций классов, что дает соотношение ортогональности строк характерастол:

$\left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}$

Для $g,h\in G$ соотношение ортогональности для столбцов выглядит следующим образом:

$\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|,&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate}}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}$

где сумма ведется по всем неприводимым характерам $\chi _{i}$ G символ и $\left|C_{G}(g)\right|$ обозначает порядок централизатора ​ ​ $g$.

Для произвольного персонажа $\chi _{i}$, оно неприводимо тогда и только тогда, когда $\left\langle \chi _{i},\chi _{i}\right\rangle =1$.

Отношения ортогональности могут помочь во многих вычислениях, включая:

• Разложение неизвестного символа как линейная комбинация неприводимых символов, т.е. количество копий неприводимого представления V _i в $V=\left\langle \chi ,\chi _{i}\right\rangle$.
• Построение полной таблицы символов, когда известны только некоторые из неприводимых символов.
• Нахождение порядков централизаторов представителей классов сопряженности группы.
• Находим порядок группы, $\left|G\right|=\left|Cl(g)\right|*\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(g)}}$, для любого g из G .

Если неприводимое представление V нетривиально, то $\sum _{g}\chi (g)=0.$

Более конкретно, рассмотрим регулярное представление , которое представляет собой перестановку, полученную из конечной группы G, действующей на себя ( свободное векторное пространство, натянутое на нее). Персонажи этого представления $\chi (e)=\left|G\right|$ и $\chi (g)=0$ для $g$ не личность. Тогда, учитывая неприводимое представление $V_{i}$,

$\left\langle \chi _{\text{reg}},\chi _{i}\right\rangle ={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{\text{reg}}(g)}}={\frac {1}{\left|G\right|}}\chi _{i}(1){\overline {\chi _{\text{reg}}(1)}}=\operatorname {dim} V_{i}$.

Тогда, разложив регулярные представления в сумму неприводимых представлений группы G , получим $V_{\text{reg}}=\bigoplus V_{i}^{\operatorname {dim} V_{i}}$, из чего делаем вывод

$|G|=\operatorname {dim} V_{\text{reg}}=\sum (\operatorname {dim} V_{i})^{2}$

над всеми неприводимыми представлениями $V_{i}$. Эта сумма может помочь сузить размеры неприводимых представлений в таблице символов. Например, если группа имеет классы сопряженности 10-го и 4-го порядка (например, группа диэдра 10-го порядка), то единственный способ выразить порядок группы как сумму четырех квадратов: $10=1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}$, поэтому мы знаем размерности всех неприводимых представлений.

Характеристики

Комплексное сопряжение действует на таблицу символов: поскольку комплексно-сопряженное представление снова является представлением, то же самое справедливо и для символов, и, таким образом, символ, который принимает недействительные комплексные значения, имеет сопряженный характер.

Некоторые свойства группы G можно вывести из ее таблицы характеров:

• Порядок G определяется суммой квадратов элементов первого столбца (степеней неприводимых характеров). В более общем смысле, сумма квадратов абсолютных значений записей в любом столбце дает порядок централизатора элемента соответствующего класса сопряженности.
• Все нормальные подгруппы группы G ли G (и, следовательно, является простой ) можно узнать по ее таблице символов. Ядро , характера χ — это множество элементов g из G для которых χ(g) = χ(1); это нормальная подгруппа G . Каждая нормальная подгруппа группы G является пересечением ядер некоторых неприводимых характеров G. группы
• Число неприводимых представлений группы G равно количеству классов сопряженности, которые G. имеет
• Коммутант группы G G. это пересечение ядер линейных характеров группы —
• Если G конечен, то, поскольку таблица характеров квадратная и имеет столько же строк, сколько классов сопряженности, отсюда следует, что G абелева тогда и только тогда, когда каждый класс сопряженности имеет размер 1 тогда и только тогда, когда таблица характеров группы G равна $|G|\!\times \!|G|$ тогда и только тогда, когда каждый неприводимый характер линеен.
• Из этого следует, используя некоторые результаты Рихарда Брауэра из модульной теории представлений , что простые делители порядков элементов каждого класса сопряженности конечной группы могут быть выведены из ее таблицы характеров (наблюдение Грэма Хигмана ).

Таблица символов, как правило, не определяет группу с точностью до изоморфизма : например, группа кватернионов и группа диэдра 8-го порядка имеют одну и ту же таблицу символов. Брауэр задался вопросом, определяет ли таблица характеров вместе со знанием того, как распределяются степени элементов ее классов сопряженности, конечную группу с точностью до изоморфизма. В 1964 году на это отрицательно ответил Э. К. Дейд .

Линейные представления G сами по себе являются группой относительно тензорного произведения , поскольку тензорное произведение одномерных векторных пространств снова является одномерным . То есть, если $\rho _{1}:G\to V_{1}$ и $\rho _{2}:G\to V_{2}$ являются линейными представлениями, то $\rho _{1}\otimes \rho _{2}(g)=(\rho _{1}(g)\otimes \rho _{2}(g))$ определяет новое линейное представление. Это приводит к возникновению группы линейных символов, называемой группой символов при операции $[\chi _{1}*\chi _{2}](g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)$. Эта группа связана с характерами Дирихле и анализом Фурье .

Внешние автоморфизмы

Внешняя группа автоморфизмов действует на таблицу символов, переставляя столбцы (классы сопряженности) и соответственно строки, что придает таблице еще одну симметрию. Например, абелевы группы обладают внешним автоморфизмом $g\mapsto g^{-1}$, что нетривиально, за исключением элементарных абелевых 2-групп , и внешний, поскольку абелевы группы — это именно те, для которых сопряжение ( внутренние автоморфизмы ) действует тривиально. На примере $C_{3}$ выше, эта карта отправляет $u\mapsto u^{2},u^{2}\mapsto u,$ и соответственно переключается $\chi _{1}$ и $\chi _{2}$ (переключение их значений $\omega$ и $\omega ^{2}$). Обратите внимание, что этот конкретный автоморфизм (отрицательный в абелевых группах) согласуется с комплексным сопряжением.

Формально, если $\phi \colon G\to G$ является автоморфизмом группы G и $\rho \colon G\to \operatorname {GL}$ является представлением, то $\rho ^{\phi }:=g\mapsto \rho (\phi (g))$ является представлением. Если $\phi =\phi _{a}$ является внутренним автоморфизмом (сопряжение некоторым элементом a ), то на представлениях он действует тривиально, поскольку представления являются функциями класса (сопряжение не меняет их значения). Таким образом, данный класс внешних автоморфизмов действует на характеры - поскольку внутренние автоморфизмы действуют тривиально, действие группы автоморфизмов $\mathrm {Aut}$ сводится к частному $\mathrm {Out}$.

Это отношение можно использовать двояким образом: учитывая внешний автоморфизм, можно создавать новые представления (если представление не равно на классах сопряженности, которые заменяются внешним автоморфизмом), и наоборот, можно ограничить возможные внешние автоморфизмы на основе характера стол.

Нахождение колебательных мод молекулы воды с помощью таблицы символов

Чтобы найти общее количество колебательных мод молекулы воды, неприводимое представление Γ _{неприводимое} необходимо сначала вычислить из таблицы характеров молекулы воды.

Нахождение Γ _{приводимого} по Таблице характеров _H²O молекулы

Вода ( ${\ce {H2O}}$) молекула попадает под точечную группу $C_{2v}$. Ниже представлена ​​таблица символов $C_{2v}$ точечная группа, которая также является таблицей символов молекулы воды.

Таблица символов для $C_{2v}$ точечная группа

	$E$	$C_{2}$	$\sigma _{v}$	$\sigma '_{v}$
$A_{1}$	1	1	1	1	$z$	$x^{2},y^{2},z^{2}$
$A_{2}$	1	1	−1	−1	$R_{z}$	$xy$
$B_{1}$	1	−1	1	−1	$R_{y},x$	$xz$
$B_{2}$	1	−1	−1	1	$R_{x},y$	$yz$

Здесь первая строка описывает возможные операции симметрии этой точечной группы, а первый столбец представляет символы Малликена. Пятый и шестой столбцы являются функциями переменных оси.

Функции:

• $x$, $y$ и $z$ связаны с поступательным движением и ИК-активными полосами.
• $R_{x}$, $R_{y}$ и $R_{z}$ связаны с вращением вокруг соответствующей оси.
• Квадратичные функции (например, $x^{2}+y^{2}$, $x^{2}-y^{2}$, $x^{2}$, $y^{2}$, $z^{2}$, $xy$, $yz$, $zx$) относятся к активным рамановским полосам.

При определении символов для представления присвойте $1$ если оно останется неизменным, $0$ если бы он двигался, и $-1$ если бы он изменил свое направление. Простой способ определения характеров приводимого представления $\Gamma _{\text{reducible}}$, состоит в том, чтобы умножить « количество несмещенных атомов» на « вклад на атом » вдоль каждой из трех осей ( $x,y,z$) при выполнении операции симметрии.

Если не указано иное, для операции идентификации $E$, «вклад на несмещенный атом» для каждого атома всегда равен $3$, поскольку ни один из атомов не меняет своего положения во время этой операции. Для любой операции отражательной симметрии $\sigma$, «вклад на атом» всегда $1$, как и при любом отражении, атом остается неизменным вдоль двух осей и меняет свое направление вдоль другой оси. Для операции обратной симметрии $i$, «вклад на несмещенный атом» всегда равен $-3$, поскольку при этой операции каждая из трех осей атома меняет свое направление. Самый простой способ рассчитать «вклад на несмещенный атом» для $C_{n}$ и $S_{n}$ операция симметрии заключается в использовании приведенных ниже формул

$C_{n}=2\cos \theta +1$

$S_{n}=2\cos \theta -1$

где, $\theta ={\frac {360}{n}}$

Упрощенная версия приведенных выше утверждений обобщена в таблице ниже.

Операция	Вклад на несмещенный атом
$E$	3
$C_{2}$	−1
$C_{3}$	0
$C_{4}$	1
$C_{6}$	2
$\sigma _{xy/yz/zx}$	1
$i$	−3
$S_{3}$	−2
$S_{4}$	−1
$S_{6}$	0

Характер $\Gamma _{\text{reducible}}$ для любой операции симметрии $=$ Количество несмещенных атомов во время этой операции $\times$ Вклад на несмещенный атом по каждой из трех осей

Находим персонажей для $\Gamma _{\text{red}}$

$C_{2v}$	$E$	$C_{2}$	$\sigma _{v(xz)}$	$\sigma '_{v(yz)}$
Количество несмещенных атомов	3	1	3	1
Вклад на несмещенный атом	3	−1	1	1
$\Gamma _{\text{red}}$	9	−1	3	1

Вычисление неприводимого представления Γ _{неприводимого} по приводимому представлению Γ _{приводимого} вместе с таблицей характеров

Из приведенного выше обсуждения появилась новая таблица символов для молекулы воды ( $C_{2v}$ группа точек) можно записать как

Новая таблица символов для ${\ce {H2O}}$ молекула, включая $\Gamma _{\text{red}}$

	$E$	$C_{2}$	$\sigma _{v(xz)}$	$\sigma '_{v(yz)}$
$A_{1}$	1	1	1	1
$A_{2}$	1	1	−1	−1
$B_{1}$	1	−1	1	−1
$B_{2}$	1	−1	−1	1
$\Gamma _{\text{red}}$	9	−1	3	1

Использование новой таблицы символов, включая $\Gamma _{\text{red}}$, приводимое представление для всех движений ${\ce {H2O}}$ Молекулу можно восстановить, используя приведенную ниже формулу

$N={\frac {1}{h}}\sum _{x}(X_{i}^{x}\times X_{r}^{x}\times n^{x})$

где,

$h=$ порядок группы,

$X_{i}^{x}=$ характер $\Gamma _{\text{reducible}}$ для определенного класса,

$X_{r}^{x}=$ символ из приводимого представления для определенного класса,

$n^{x}=$ количество операций в классе

Так,

$N_{A_{1}}={\frac {1}{4}}[(9\times 1\times 1)+((-1)\times 1\times 1)+(3\times 1\times 1)+(1\times 1\times 1)]=3$

$N_{A_{2}}={\frac {1}{4}}[(9\times 1\times 1+((-1)\times 1\times 1)+(3\times (-1)\times 1)+(1\times (-1)\times 1)]=1$

$N_{B_{1}}={\frac {1}{4}}[(9\times 1\times 1)+((-1)\times (-1)\times 1)+(3\times 1\times 1)+(1\times (-1)\times 1)]=3$

$N_{B_{2}}={\frac {1}{4}}[(9\times 1\times 1)+((-1)\times (-1)\times 1)+(3\times (-1)\times 1)+(1\times 1\times 1)]=2$

Итак, сокращенное представление для всех движений молекулы воды будет иметь вид

$\Gamma _{\text{irreducible}}=3A_{1}+A_{2}+3B_{1}+2B_{2}$

Поступательное движение молекулы воды

Поступательное движение будет соответствовать приводимым представлениям в таблице символов, которые имеют $x$, $y$ и $z$ функция

Для ${\ce {H2O}}$молекула

$A_{1}$	$z$
$A_{2}$
$B_{1}$	$x$
$B_{2}$	$y$

Поскольку только приводимые представления $B_{1}$, $B_{2}$ и $A_{1}$ соответствуют $x$, $y$ и $z$ функция,

$\Gamma _{\text{translational}}=A_{1}+B_{1}+B_{2}$

Вращательное движение молекулы воды

Вращательное движение будет соответствовать приводимым представлениям в таблице символов, которые имеют $R_{x}$, $R_{y}$ и $R_{z}$ функция

Для ${\ce {H2O}}$ молекула

$A_{1}$
$A_{2}$	$R_{z}$
$B_{1}$	$R_{y}$
$B_{2}$	$R_{x}$

Поскольку только приводимые представления $B_{2}$, $B_{1}$ и $A_{2}$ соответствуют $x$, $y$ и $z$ функция,

$\Gamma _{\text{rotational}}=A_{2}+B_{1}+B_{2}$

Полные колебательные моды молекулы воды

Полная колебательная мода, $\Gamma _{\text{vibrational}}=\Gamma _{\text{irreducible}}-\Gamma _{\text{translational}}-\Gamma _{\text{rotational}}$

$=(3A_{1}+A_{2}+3B_{1}+2B_{2})-(A_{1}+B_{1}+B_{2})-(A_{2}+B_{1}+B_{2})$

$=2A_{1}+B_{1}$

Итак, всего $2+1=3$ Для молекул воды возможны колебательные моды, и две из них являются симметричными колебательными модами (как $2A_{1}$), а другая мода колебаний антисимметрична (т.к. $1B_{1}$)

Проверка того, является ли молекула воды ИК-активной или рамановской.

Существуют некоторые правила, согласно которым ИК-активность или рамановская активность должны быть активными для определенного режима.

• Если есть $x$, $y$ или $z$ для любого неприводимого представления мода ИК-активна
• Если существуют квадратичные функции, такие как $x^{2}+y^{2}$, $x^{2}-y^{2}$, $x^{2}$, $y^{2}$, $z^{2}$, $xy$, $yz$ или $xz$ для любого неприводимого представления мода рамановская активна.
• Если нет $x$, $y$, $z$ ни квадратичные функции для любого неприводимого представления, то мода не является ни ИК-активной, ни рамановской-активной.

Поскольку моды колебаний молекулы воды $\Gamma _{\text{vibrational}}$ содержит оба $x$, $y$ или $z$ и квадратичные функции, он имеет как ИК-активные колебательные моды, так и рамановские активные колебательные моды.

Аналогичные правила будут применяться и к остальным неприводимым представлениям. $\Gamma _{\text{irreducible}},\Gamma _{\text{translational}},\Gamma _{\text{rotational}}$

См. также

• Неприводимое представление § Приложения в теоретической физике и химии
• Молекулярная симметрия
• Список таблиц символов для химически важных групп трехмерных точек
• Таблицы символов небольших групп по GroupNames
• Айзекс, И. Мартин (1976). Теория характеров конечных групп . Дуврские публикации.
• Роуленд, Тодд; Вайсштейн, Эрик В. «Таблица символов» . Математический мир .