Теорема Гурвица (композиционные алгебры)

В математике наделенных теорема Гурвица — теорема Адольфа Гурвица (1859–1919), опубликованная посмертно в 1923 году, решающая проблему Гурвица для конечномерных унитарных вещественных неассоциативных алгебр, невырожденной положительно определенной квадратичной формой . Теорема утверждает, что если квадратичная форма определяет гомоморфизм положительных действительных чисел в ненулевой части алгебры, то алгебра должна быть изоморфна действительным числам , комплексным числам , кватернионам или октонионам , и что других возможностей нет. Такие алгебры, иногда называемые алгебрами Гурвица , являются примерами композиционных алгебр .

Теория композиционных алгебр впоследствии была обобщена на произвольные квадратичные формы и произвольные поля . ^[1] Из теоремы Гурвица следует, что мультипликативные формулы для сумм квадратов могут встречаться только в 1, 2, 4 и 8 измерениях, и этот результат первоначально был доказан Гурвицем в 1898 году. Это частный случай проблемы Гурвица , решенной также Радоном (1922) . Последующие доказательства ограничений на размерность были даны Экманом (1943) с использованием теории представлений конечных групп и Ли (1948) и Шевалле (1954) с использованием алгебр Клиффорда . Теорема Гурвица была применена в алгебраической топологии к задачам о векторных полях на сферах и гомотопических группах классических групп. ^[2] и в квантовой механике к классификации простых йордановых алгебр . ^[3]

Евклидовы алгебры Гурвица

Определение

Алгебра Гурвица или композиционная алгебра — это конечномерная не обязательно ассоциативная алгебра $A$ с единицей, наделенной невырожденной квадратичной формой $q$ такой, что $q (a b) = q (a) q (b)$ . Если базовое поле коэффициентов является действительным числом и $q$ положительно определенное, так что $( a , b ) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1/2 делением ⁠ q [ q ( a + b ) − q ( a ) − или ( b )]$ является скалярным произведением , то $A$ называется евклидовой алгеброй Гурвица (конечномерной) нормированной алгеброй с . ^[4]

Если $A$ — евклидова алгебра Гурвица и $a$ находится в $A$ , определите операторы инволюции и правого и левого умножения формулой

a^{*}=-a+2(a,1)1,\quad L(a)b=ab,\quad R(a)b=ba.

Очевидно, что инволюция имеет период два и сохраняет скалярный продукт и норму. Эти операторы обладают следующими свойствами:

инволюция является антиавтоморфизмом , т.е. $(ab)* = b * a *$
$аа * = ‖ а ‖ 2 1 = а * а$
$L (a *) = L (a)*$ , $R (a *) = R (a)*$ , так что инволюция на алгебре соответствует взятию сопряженных
$Re (ab) = Re (ba)$ , если $Re x = (x + x *)/2 = (x, 1)1$
$Re (ab) c знак равно Re а (bc)$
$Л (а 2) = L (а) 2$ , $Р (а 2) = р (а) 2$ , так что $A$ является альтернативной алгеброй .

Эти свойства доказываются, начиная с поляризованной версии тождества $(ab, ab) = (a, a)(b, b)$ :

\displaystyle {2(a,b)(c,d)=(ac,bd)+(ad,bc).}

Установка $b = 1$ или $d = 1$ дает $L (a *) = L (a)*$ и $R (c *) = R (c)*$ .

Следовательно, $Re(ab) = (ab, 1)1 = (a, b *)1 = (ba, 1)1 = Re(ba)$ .

Аналогично $Re (ab) c = ((ab) c,1)1 = (ab, c *)1 = (b, a * c *)1 = (bc, a *)1 = (a (bc),1 )1 знак равно Re а (до н.э.)$ .

Следовательно $((ab)*, c) = (ab, c *) = (b, a * c *) = (1, b *(a * c *)) = (1, (b * a *) c * ) = (b * a *, c)$ , так что $(ab)* = b * a *$ .

Поляризованной $‖a ‖ идентичностью 2 (c, d) = (ac, ad) = (a * (ac), d)$ поэтому $L (a *) L (a) = L (‖ a ‖ 2)$ . Применительно к 1 это дает $a * a = ‖ a ‖ 21$ . Замена $a$ на $* .$ дает другую идентичность

Подстановка формулы для $a *$ в $L (a *) L (a) = L (a * a)$ дает $L (a) 2 = L (а 2)$ . Формула $R (а 2) = р (а) 2$ доказывается аналогично.

Классификация

Обычно проверяется, что действительные числа $R$ , комплексные числа $C$ и кватернионы $H$ являются примерами ассоциативных евклидовых алгебр Гурвица с их стандартными нормами и инволюциями. Более того, существуют естественные включения $R \subset C \subset H$ .

Анализ такого включения приводит к конструкции Кэли–Диксона , формализованной А.А. Альбертом . Пусть $A$ — евклидова алгебра Гурвица, а $B —$ собственная подалгебра с единицей, то есть евклидова алгебра Гурвица сама по себе. Выберите единичный вектор $j$ в $A,$ ортогональный $B$ . Поскольку $(j, 1) = 0$ , отсюда следует, что $j * = - j$ и, следовательно, $j 2 = -1$ . Пусть $C$ — подалгебра, порожденная $B$ и $j$ . Она унитальна и снова является евклидовой алгеброй Гурвица. Он удовлетворяет следующим законам умножения Кэли – Диксона :

\displaystyle {C=B\oplus Bj,\,\,\,(a+bj)^{*}=a^{*}-bj,\,\,\,(a+bj)(c+dj)=(ac-d^{*}b)+(bc^{*}+da)j.}

$B$ и $Bj$ ортогональны, поскольку $j$ ортогонален $B$ . Если $a$ находится в $B$ , то $j a = a * j$ , поскольку по ортогоналу $0 = 2(j, a *) = ja - a * j$ . Формула инволюции следующая. Показать, что $B \oplus B j$ замкнуто относительно умножения $Bj = jB$ . Поскольку $Bj$ ортогонален 1, $(bj)* = - bj$ .

$b (cj) = (cb) j,$ поскольку $(b, j) = 0$ , так что для $x$ в $A$ , $(b (cj), x) = (b (jx), j (cj)) = - (b (jx), c *) знак равно -(cb, (jx)*) знак равно -((cb) j, x *) = ((cb) j, x)$ .
$(jc) b = j (bc)$ с сопряженными выше.
$(bj)(cj) = - c * b$ , поскольку $(b, cj)$ = 0, так что для $x$ в $A$ , $((bj)(cj), x) = -((cj) x *, bj) = (bx *, (cj) j) знак равно - (c * b, x)$ .

Наложение мультипликативности нормы на $C$ для $a + bj$ и $c + dj$ дает:

\displaystyle {(\|a\|^{2}+\|b\|^{2})(\|c\|^{2}+\|d\|^{2})=\|ac-d^{*}b\|^{2}+\|bc^{*}+da\|^{2},}

что приводит к

\displaystyle {(ac,d^{*}b)=(bc^{*},da).}

Следовательно, $d (ac) = (da) c$ , так что $B$ должно быть ассоциативным .

к включению $R$ в $C$ и $C$ в $H.$ Этот анализ применим Взяв $O = H \oplus H$ с приведенным выше произведением и скалярным произведением, получим некоммутативную неассоциативную алгебру, порожденную $J = (0, 1)$ . Это восстанавливает обычное определение октонионов или чисел Кэли . Если $A$ евклидова алгебра, она должна содержать $R.$ — Если он строго больше $R$ , приведенный выше аргумент показывает, что он $C.$ содержит Если он больше $C$ содержит $H.$ , он Если он еще больше, он должен содержать $O$ . Но на этом процесс должен остановиться, потому что $О$ не ассоциативно. На самом деле $H$ не коммутативен и $a (bj) = (ba) j \neq (ab) j$ в $O$ . ^[5]

Теорема. Единственными евклидовыми алгебрами Гурвица являются действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы.

Другие доказательства

доказательствах Ли (1948) и Шевалле (1954) используются алгебры Клиффорда , чтобы показать, что размерность $N$ A $В$ должна быть 1, 2, 4 или 8. Фактически операторы $L (a)$ с $(a, 1) = 0$ удовлетворяют $Л (а) 2 = -‖ а ‖ 2$ и таким образом образуют настоящую алгебру Клиффорда. Если $a$ — единичный вектор, то $L (a)$ кососопряжен с квадратом $- I$ . Таким образом, $N$ должно быть либо четным , либо 1 (в этом случае $A$ не содержит единичных векторов, ортогональных 1). Вещественная алгебра Клиффорда и ее комплексификация действуют на комплексификацию $A$ , $N$ -мерного комплексного пространства. Если $N$ четно, $N - 1$ нечетно , поэтому алгебра Клиффорда имеет ровно два комплексных неприводимых представления размерности $2. Н /2 - 1$ . эта степень 2 должна делить $N.$ Итак , Легко видеть, что это означает, что $N$ может быть только 1, 2, 4 или 8.

Доказательство Экмана (1943) использует теорию представлений конечных групп или проективную теорию представлений элементарных абелевых 2-групп , которая, как известно, эквивалентна теории представлений вещественных алгебр Клиффорда. , взятие ортонормированного базиса $ei =$ ортогонального дополнения к 1 приводит к появлению операторов $U i (L Действительно e i)$ удовлетворяющий

U_{i}^{2}=-I,\quad U_{i}U_{j}=-U_{j}U_{i}\,\,(i\neq j).

Это проективное представление прямого произведения $N - 1$ групп порядка 2. ( $Предполагается, что N$ больше 1.) Операторы $U i$ по построению кососимметричны и ортогональны. На самом деле Экман построил операторы этого типа несколько иным, но эквивалентным способом. Фактически, именно этому методу первоначально следовал Гурвиц (1923) . ^[6] Предположим, что существует закон композиции двух форм.

\displaystyle {(x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2})(y_{1}^{2}+\cdots +y_{N}^{2})=z_{1}^{2}+\cdots +z_{N}^{2},}

где $z i$ билинейна по $x$ и $y$ . Таким образом

\displaystyle {z_{i}=\sum _{j=1}^{N}a_{ij}(x)y_{j}}

где матрица $T (x) = (a ij)$ линейна по $x$ . Приведенные выше соотношения эквивалентны

\displaystyle {T(x)T(x)^{t}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}.}

Письмо

\displaystyle {T(x)=T_{1}x_{1}+\cdots +T_{N}x_{N},}

отношения становятся

\displaystyle {T_{i}T_{j}^{t}+T_{j}T_{i}^{t}=2\delta _{ij}I.}

Теперь установим $V i = (T N) т Т я$ . Таким образом, $V N = I$ и $V 1, ... , V N - 1$ кососопряжены, ортогональны и удовлетворяют точно тем же соотношениям, что и $U i$ :

\displaystyle {V_{i}^{2}=-I,\quad V_{i}V_{j}=-V_{j}V_{i}\,\,(i\neq j).}

Поскольку $V i$ — ортогональная матрица с квадратом $- I$ в вещественном векторном пространстве , $N$ четно.

Пусть $G$ — конечная группа, порожденная элементами $v i$ такими, что

\displaystyle {v_{i}^{2}=\varepsilon ,\quad v_{i}v_{j}=\varepsilon v_{j}v_{i}\,\,(i\neq j),}

где $ε$ является центральным , порядка 2. Коммутант $[G, G]$ только что образован из 1 и $ε$ . Если $N$ нечетно, это совпадает с центром , а если $N$ четно, то центр имеет порядок 4 с дополнительными элементами $γ = v 1 ... v N - 1$ и $ε γ$ . Если $элемент g$ в $G$ не находится в центре, его класс сопряженности равен в точности $g$ и $εg$ . Таким образом, существуют $2 Н - 1 + 1$ класс сопряжения для $N$ нечетных и $2 Н - 1 +2$ за $N$ даже. $G$ имеет $| г / [г, г] | = 2 Н - 1$ Одномерные комплексные представления. Общее число неприводимых комплексных представлений равно числу классов сопряженности. Итак, поскольку $N$ четно, есть еще два неприводимых комплексных представления. Так как сумма квадратов размеров равна $| г |$ и размеры делятся $| г |$ , две неприводимые должны иметь размерность $2 (Н - 2)/2$ . Когда $N$ четно, их два, и их размерность должна делить порядок группы, как и степень двойки, поэтому они оба должны иметь размерность $2. (Н - 2)/2$ . Пространство, на котором $действуют Ви,$ может быть комплексизовано. будет иметь комплексную размерность $N.$ Он Он распадается на несколько комплексных неприводимых представлений $G$ , все из которых имеют размерность $2. (Н - 2)/2$ . В частности, это измерение $\leq N$ , поэтому $N$ меньше или равно 8. Если $N = 6$ , размерность равна 4, что не делит 6. Таким образом, N может быть только 1, 2, 4 или 8.

Приложения к йордановым алгебрам

Пусть $A$ — евклидова алгебра Гурвица, и пусть $n (A) —$ алгебра $n$ -x $n$ матриц над $A.$ M Это неассоциативная алгебра с единицей с инволюцией, заданной формулой

\displaystyle {(x_{ij})^{*}=(x_{ji}^{*}).}

След $Tr(X)$ определяется как сумма диагональных элементов $X$ и вещественного следа по формуле $Тр р (Икс) знак равно Ре Тр(Икс)$ . След с действительным знаком удовлетворяет:

\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }XY=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }YX,\qquad \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }(XY)Z=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }X(YZ).

Это непосредственные следствия известных тождеств для $n = 1$ .

В $A$ определите ассоциатор как

\displaystyle {[a,b,c]=a(bc)-(ab)c.}

Он трилинейен и тождественно обращается в нуль, если $A$ ассоциативен. Поскольку $A$ — альтернативная алгебра, $[a, a, b] = 0$ и $[b, a, a] = 0$ . Из поляризации следует, что ассоциатор антисимметричен в своих трех элементах. Более того, если $a$ , $b$ или $c$ лежат в $R$ , то $[a, b, c] = 0$ . Из этих фактов следует, что $M 3 (A)$ обладает определенными коммутационными свойствами. Фактически, если $X$ — матрица из $M 3 (A)$ с вещественными элементами на диагонали, то

\displaystyle {[X,X^{2}]=aI,}

с $а$ в $А.$ Фактически, если $Y = [X, X 2]$ , затем

\displaystyle {y_{ij}=\sum _{k,\ell }[x_{ik},x_{k\ell },x_{\ell j}].}

Поскольку диагональные элементы $X$ действительны, недиагональные элементы $Y$ исчезают. Каждая диагональзапись $Y$ представляет собой сумму двух ассоциаторов, включающих только недиагональные члены $X$ . Поскольку ассоциаторы инвариантны относительно циклических перестановок , все диагональные элементы $Y$ равны.

Пусть $H n (A)$ — пространство самосопряженных элементов в $M n (A)$ с произведением $X \circ Y = ⁠ 1 / 2 ⁠ (Икс Y + Y Икс)$ и внутренний продукт $(Икс, Y) знак равно Tr р (Икс Y)$ .

Теорема. $H n (A)$ является евклидовой йордановой алгеброй, если $A$ ассоциативна (действительные числа, комплексные числа или кватернионы) и $n \geq 3$ или если $A$ неассоциативна (октонионы) и $n = 3$ .

Исключительная O йордановая алгебра $H3 А.А. () по$ называется алгеброй Альберта имени Альберта .

Чтобы проверить, что $H n (A)$ удовлетворяет аксиомам евклидовой йордановой алгебры, действительный след определяет симметричную билинейную форму с $(X, X) = Σ ‖ x ij ‖ 2$ . Итак, это внутренний продукт. Он удовлетворяет свойству ассоциативности $(Z \circ X, Y) = (X, Z \circ Y)$ из-за свойств реального следа. Основная аксиома, которую необходимо проверить, — это условие Жордана для операторов $L (X),$ определяемых формулой $L (X) Y = X \circ Y$ :

\displaystyle {[L(X),L(X^{2})]=0.}

Это легко проверить, когда $A$ ассоциативна, поскольку $M n (A)$ — ассоциативная алгебра, а значит, йордановая алгебра с $X \circ Y = ⁠ 1 / 2 ⁠ (Икс Y + Y Икс)$ . Когда $A = O$ и $n = 3,$ требуется специальный аргумент, один из самых коротких принадлежит Фрейденталю (1951) . ^[7]

Фактически, если $T$ находится в $H 3 (O)$ с $Tr T = 0$ , то

\displaystyle {D(X)=TX-XT}

определяет кососопряженный вывод $H 3 (O)$ . Действительно,

\operatorname {Tr} (T(X(X^{2}))-T(X^{2}(X)))=\operatorname {Tr} T(aI)=\operatorname {Tr} (T)a=0,

так что

(D(X),X^{2})=0.

Поляризационная доходность:

(D(X),Y\circ Z)+(D(Y),Z\circ X)+(D(Z),X\circ Y)=0.

Установка $Z = 1$ показывает, что $D$ кососопряжен. Отсюда следует свойство вывода $D (X \circ Y) = D (X) \circ Y + X \circ D (Y)$ и свойство ассоциативности скалярного произведения в приведенном выше тождестве.

С $A$ и $n$ как в формулировке теоремы, пусть $K$ будет группой автоморфизмов E = $, H n (A),$ оставляющих инвариантным скалярное произведение. Это замкнутая подгруппа группы $O (E),$ поэтому компактная группа Ли . Ее алгебра Ли состоит из кососопряженных дифференцирований. Фрейденталь (1951) показал, что для данного $X$ в $E$ существует автоморфизм $k$ в $K$ такой, что $k (X)$ является диагональной матрицей . (Ввиду самосопряженности диагональные элементы будут действительными.) Из теоремы о диагонализации Фрейденталя немедленно следует условие Жордана, поскольку йордановые произведения на вещественные диагональные матрицы коммутируют на $M n (A)$ для любой неассоциативной алгебры $A$ .

Чтобы доказать теорему о диагонализации, возьмем $X$ из $E$ . По компактности $k$ можно выбрать в $K,$ минимизируя суммы квадратов норм недиагональных членов $k (X)$ . Поскольку $K$ сохраняет суммы всех квадратов, это эквивалентно максимизации сумм квадратов норм диагональных членов $k (X)$ . Заменяя $X$ на $k X$ , можно считать, что максимум достигается при $X$ . Поскольку симметрическая группа $Sn x$ , действующая перестановкой координат, лежит в $K$ , то если $X$ не диагональна, то можно считать, что $12 и$ сопряженный к ней $x 21$ отличны от нуля. Пусть $T$ — кососопряженная матрица с $(2, 1)$ элементом $a$ , $(1, 2)$ элементом $— a *$ и 0 в другом месте, и пусть $D$ — вывод ad $T$ матрицы $E$ . Пусть $k t = exp tD$ в $K$ . первые два диагональных элемента в $X (t) = k t X$ отличаются от элементов $X.$ Тогда только Диагональные записи настоящие. Производная $x 11 (t)$ в $t = 0$ является $(1, 1)$ координатой $[T, X]$ , т.е. $a * x 21 + x 12 a = 2(x 21, a)$ . Эта производная отлична от нуля, если $a = x 21$ . С другой стороны, группа $k t$ сохраняет вещественный след. Поскольку оно может измениться только $x 11$ и $x 22$ , он сохраняет их сумму. Однако на линии $x + y =$ константа $x 2 + и 2$ не имеет локального максимума (только глобальный минимум), противоречие. Следовательно, $X$ должен быть диагональным.

См. также

Примечания

^
См.:
^
См.:
- Экманн 1989 г.
- Экманн 1999 г.
^ Джордан, фон Нейман и Вигнер 1934 г.
^ Фараут и Кораньи 1994 , с. 82
^ Фараут и Кораньи 1994 , стр. 81–86
^
См.:
- Гурвиц 1923 , с. 11
- Херштейн 1968 , стр. 141–144
^
Видеть:
- Фараут и Кораньи 1994 , стр. 88–91
- Postnikov 1986

Ссылки

Альберт, А.А. (1934), «Об одной алгебре квантовой механики», Ann. математики. , 35 (1): 65–73, номер документа : 10.2307/1968118 , JSTOR 1968118.
Шевалле, К. (1954), Алгебраическая теория спиноров и алгебр Клиффорда , издательство Колумбийского университета
Экманн, Бено (1943), «Теоретико-групповое доказательство теоремы Гурвица – Радона о композиции квадратных форм» , Комментарий. Math. Helv. , 15 : 358–366, номер документа : 10.1007/bf02565652 , S2CID 123322808.
Экманн, Бено (1989), «Матрицы Гурвица – Радона и периодичность по модулю 8» , Enseign. Математика. , 35 : 77–91, заархивировано из оригинала 16 июня 2013 г.
Экманн, Бено (1999), «Топология, алгебра, анализ — отношения и недостающие звенья» , Notes Amer. Математика. Соц. , 46 : 520–527
Фараут, Дж.; Кораньи, А. (1994), Анализ симметричных конусов , Оксфордские математические монографии, Oxford University Press, ISBN 978-0198534778
Фрейденталь, Ганс (1951), Октавы, группы исключений и октавная геометрия , Математический институт Рейксуниверситета в Утрехте.
Фрейденталь, Ганс (1985), «Октавы, группы исключений и геометрия октав», Geom. Dedicata , 19 : 7–63, doi : 10.1007/bf00233101 , S2CID 121496094 (перепечатка статьи 1951 года)
Херштейн, И.Н. (1968), Некоммутативные кольца , Математические монографии Каруса, том. 15, Математическая ассоциация Америки, ISBN. 978-0883850152
Гурвиц, А. (1898), «О составе квадратичных форм любого числа переменных» , Goett. Сообщение : 309–316.
Гурвиц, А. (1923), «О составе квадратных фигур» , Ann. , 88 (1–2): 1–25, doi : 10.1007/bf01448439 , S2CID 122147399
Джейкобсон, Н. (1968), Структура и представления йордановых алгебр , Публикации коллоквиума Американского математического общества, том. 39, Американское математическое общество
Джордан, П.; фон Нейман, Дж.; Вигнер, Э. (1934), «Об алгебраическом обобщении квантовомеханического формализма», Ann. математики. , 35 (1): 29–64, номер документа : 10.2307/1968117 , JSTOR 1968117.
Лам, Цит-Юэнь (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Аспирантура по математике , том. 67, Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-1095-8 , МР 2104929 , Збл 1068.11023
Ли, Х.К. (1948), «О теореме Гурвица-Радона для композиции квадратичных форм» , комментарий. Математика. Хелв. , 21 : 261–269, doi : 10.1007/bf02568038 , S2CID 121079375 , заархивировано из оригинала 3 мая 2014 г.
Портеус, ИК (1969), Топологическая геометрия , Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN 978-0-442-06606-2 , Збл 0186.06304
Постников, М. (1986), Группы Ли и алгебры Ли. Лекции по геометрии. V семестр , Мир
Радон, Дж. (1922), «Линейные множества ортогональных матриц» , статьи Математического семинара Гамбургского университета , 1 : 1–14, doi : 10.1007/bf02940576 , S2CID 120583389
Раджваде, А.Р. (1993), Squares , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 171, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-42668-8 , Збл 0785.11022
Шафер, Ричард Д. (1995) [1966], Введение в неассоциативные алгебры , Dover Publications , ISBN 978-0-486-68813-8 , Збл 0145.25601
Шапиро, Дэниел Б. (2000), Композиции квадратичных форм , Изложения Де Грюйтера по математике, том. 33, Вальтер де Грюйтер, ISBN 978-3-11-012629-7 , Збл 0954.11011

Дальнейшее чтение

Баэз, Джон К. (2002), «Октонионы» , Bull. амер. Математика. Соц. , 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X , S2CID 586512
Конвей, Джон Х.; Смит, Дерек А. (2003), О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия , AK Peters, ISBN 978-1568811345
Кантор, Иллинойс; Солодовников А.С. (1989), "Нормированные алгебры с единицей. Теорема Гурвица". , Гиперкомплексные числа. Элементарное введение в алгебры , Пер. А. Шенитцер (2-е изд.), Springer-Verlag , с. 121 , ISBN 978-0-387-96980-0 , Збл 0669.17001
Макс Кехер и Райнхольд Реммерт (1990) «Композиционные алгебры. Теорема Гурвица — алгебры векторного произведения», глава 10 книги «Числа» Хайнца -Дитера Эббингауза и др., Спрингер, ISBN 0-387-97202-1
Спрингер, штат Калифорния ; Ф.Д. Вельдкамп (2000), Октонионы, йордановые алгебры и исключительные группы , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66337-9

[1] См.:
Лам 2005 г.
Раджваде 1993 г.
Шапиро 2000

[2] Лам 2005 г.

[3] Раджваде 1993 г.

[4] Шапиро 2000

[2] См.:
Экманн 1989 г.
Экманн 1999 г.

[6] Экманн 1989 г.

[7] Экманн 1999 г.

[3] Джордан, фон Нейман и Вигнер 1934 г.

[4] Фараут и Кораньи 1994 , с. 82

[5] Фараут и Кораньи 1994 , стр. 81–86

[6] См.:
Гурвиц 1923 , с. 11
Херштейн 1968 , стр. 141–144

[12] Гурвиц 1923 , с. 11

[13] Херштейн 1968 , стр. 141–144

[7] Видеть:
Фараут и Кораньи 1994 , стр. 88–91
Postnikov 1986

[15] Фараут и Кораньи 1994 , стр. 88–91

[16] Postnikov 1986

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]