Jump to content

Гиперболоид


Гиперболоид одного листа

коническая поверхность между ними

Гиперболоид из двух листов

В геометрии гиперболоид вращения , иногда называемый круговым гиперболоидом , представляет собой поверхность , образованную вращением гиперболы вокруг одной из ее главных осей . Гиперболоид — это поверхность , полученная из гиперболоида вращения путем его деформации с помощью направленного масштабирования или, в более общем смысле, аффинного преобразования .

Гиперболоид — это квадрика , то есть поверхность определяемая как множество нулей многочлена , второй степени от трёх переменных. Среди квадратичных поверхностей гиперболоид характеризуется тем, что не является конусом или цилиндром , имеет центр симметрии и пересекает множество плоскостей в гиперболы. Гиперболоид имеет три попарно перпендикулярные оси симметрии и три попарно перпендикулярные плоскости симметрии .

Учитывая гиперболоид, можно выбрать декартову систему координат так, чтобы гиперболоид определялся одним из следующих уравнений: или Координатные оси являются осями симметрии гиперболоида, а начало координат — центром симметрии гиперболоида. В любом случае гиперболоид асимптотичен конусу уравнений:

Гиперболоид революции существует тогда и только тогда, когда В противном случае оси определяются однозначно ( вплоть до замены оси x и оси y ).

Существует два вида гиперболоидов. В первом случае ( +1 в правой части уравнения): однополостный гиперболоид , также называемый гиперболическим гиперболоидом . Это связная поверхность , имеющая отрицательную гауссову кривизну в каждой точке . Это означает, что вблизи каждой точки пересечение гиперболоида и его касательной плоскости в этой точке состоит из двух ветвей кривой, имеющих различные касательные в этой точке. В случае однополостного гиперболоида эти ветви кривых представляют собой линии , и, таким образом, однополостный гиперболоид представляет собой двулинейчатую поверхность.

Во втором случае ( −1 в правой части уравнения): двухполостный гиперболоид , также называемый эллиптическим гиперболоидом . Поверхность имеет две связные компоненты и положительную гауссову кривизну в каждой точке. Поверхность выпукла в том смысле, что касательная плоскость в каждой точке пересекает поверхность только в этой точке.

Параметрические представления

[ редактировать ]
Анимация гиперболоида вращения

Декартовы координаты для гиперболоидов могут быть определены аналогично сферическим координатам , сохраняя азимута угол θ [0, 2 π ) , но изменяя наклон v на гиперболические тригонометрические функции :

Одноповерхностный гиперболоид: v (−∞, ∞)

Двухповерхностный гиперболоид: v [0, ∞)

гиперболоид одного листа: генерация вращающейся гиперболой (вверху) и линией (внизу: красного или синего цвета)
однолистный гиперболоид: плоские сечения

Следующее параметрическое представление включает однолистные, двухлистовые гиперболоиды и их общий граничный конус, каждый из которых имеет -ось как ось симметрии:

  • Для получается однолистный гиперболоид,
  • Для гиперболоид из двух листов, и
  • Для двойной конус.

Можно получить параметрическое представление гиперболоида с другой осью координат в качестве оси симметрии, перетасовав положение член к соответствующему компоненту в приведенном выше уравнении.

Обобщенные уравнения

[ редактировать ]

В более общем смысле, произвольно ориентированный гиперболоид с центром в v определяется уравнением где A матрица , а x , v векторы .

Собственные векторы A A определяют главные направления гиперболоида, а собственные значения являются обратными квадратам полуосей: , и . Однополостный гиперболоид имеет два положительных собственных значения и одно отрицательное собственное значение. Двухполостный гиперболоид имеет одно положительное собственное значение и два отрицательных собственных значения.

Характеристики

[ редактировать ]

Гиперболоид одного листа

[ редактировать ]

Линии на поверхности

[ редактировать ]

Если гиперболоид имеет уравнение затем строки

содержатся в поверхности.

В случае гиперболоид представляет собой поверхность вращения и может быть создан путем вращения одной из двух линий. или , которые наклонены к оси вращения (см. рисунок). Это свойство называется Рена теоремой . [1] Более распространенное создание однополостного гиперболоида вращения - это вращение гиперболы вокруг ее малой полуоси (см. Рисунок; вращение гиперболы вокруг другой оси дает двухполостную гиперболу вращения).

Однополостный гиперболоид проективно эквивалентен гиперболическому параболоиду .

Плоские сечения

[ редактировать ]

Для простоты плоские сечения единичного гиперболоида с уравнением считаются. Поскольку гиперболоид общего положения является аффинным образом единичного гиперболоида, результат применим и к общему случаю.

  • Плоскость с наклоном менее 1 (1 — наклон прямых на гиперболоиде) пересекает в эллипсе ,
  • Плоскость с наклоном, равным 1, содержащая начало координат, пересекает в паре параллельных линий ,
  • Плоскость с наклоном, равным 1, не содержащая начало координат, пересекает в параболе ,
  • Касательная плоскость пересекает в паре пересекающихся линий ,
  • Некасательная плоскость с наклоном больше 1 пересекает в гиперболе . [2]

Очевидно, что любой однополостный гиперболоид вращения содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. круговой раздел ).

Гиперболоид из двух листов

[ редактировать ]
гиперболоид двух листов: генерация вращением гиперболы
гиперболоид двух листов: плоские сечения

Двухлистный гиперболоид не содержит прямых. Рассмотрение плоских сечений можно вести для единичного двухлистового гиперболоида с уравнением который может быть порожден вращением гиперболы вокруг одной из своих осей (той, которая разрезает гиперболу)

  • Плоскость с наклоном меньше 1 (1 — наклон асимптот порождающей гиперболы) пересекает либо в эллипсе , либо в точке , либо вообще нет,
  • Плоскость с наклоном, равным 1, содержащая начало координат (середину гиперболоида), не пересекается. ,
  • Плоскость с наклоном, равным 1, не содержащая начало координат, пересекает в параболе ,
  • Плоскость с наклоном больше 1 пересекает в гиперболе . [3]

Очевидно, что любой двухполостный гиперболоид вращения содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. круговой раздел ).

Замечание: Двухлистный гиперболоид проективно эквивалентен сфере.

Другие объекты недвижимости

[ редактировать ]

Симметрии

[ редактировать ]

Гиперболоиды с уравнениями являются

  • точки, симметричные началу координат,
  • симметричны координатным плоскостям и
  • вращательно-симметрично оси z и симметрично любой плоскости, содержащей ось z, в случае (гиперболоид революции).

Кривизна

[ редактировать ]

В то время как гауссова кривизна однополостного гиперболоида отрицательна, двухполостного гиперболоида положительна. Двухлистный гиперболоид с другой подходящей метрикой, несмотря на свою положительную кривизну, также может быть использован в качестве модели гиперболической геометрии.

В более чем трёх измерениях

[ редактировать ]

Воображаемые гиперболоиды часто встречаются в математике высших измерений. Например, в псевдоевклидовом пространстве используется квадратичная форма : Когда c — любая константа , то часть пространства, заданная выражением называется гиперболоидом . Вырожденный случай соответствует c = 0 .

В качестве примера рассмотрим следующий отрывок: [4]

... векторы скорости всегда лежат на поверхности, которую Минковский называет четырехмерным гиперболоидом, поскольку, выраженное в терминах чисто вещественных координат ( y 1 , ..., y 4 ) , ее уравнение равно y 2
1+
и 2
2+
и 2
3
- и 2
4
= −1
, аналог гиперболоида y 2
1+
и 2
2
- и 2
3
= −1
трехмерного пространства. [6]

Однако термин «квазисфера» также используется в этом контексте, поскольку сфера и гиперболоид имеют некоторую общность (см. § Связь со сферой ниже).

Гиперболоидные структуры

[ редактировать ]

В построении используются однополостные гиперболоиды, причем конструкции называются гиперболоидными конструкциями . Гиперболоид — это двулинейчатая поверхность ; таким образом, его можно построить из прямых стальных балок, создав прочную конструкцию с меньшими затратами, чем другие методы. Примеры включают градирни , особенно электростанций , и многие другие сооружения .

Отношение к сфере

[ редактировать ]

В 1853 году Уильям Роуэн Гамильтон опубликовал свои «Лекции по кватернионам» , которые включали представление бикватернионов . Следующий отрывок со страницы 673 показывает, как Гамильтон использует алгебру бикватернионов и векторы из кватернионов для создания гиперболоидов из уравнения сферы :

... уравнение единичной сферы ρ 2 + 1 = 0 и измените вектор ρ на бивекторную форму , например σ + τ −1 . Уравнение сферы тогда распадается на систему двух следующих:

п 2 т 2 + 1 знак равно 0 , С . е = 0 ;

и предлагает рассматривать σ и τ как два действительных и прямоугольных вектора, такие что

Т τ = ( Т σ 2 − 1 ) 1/2 .

Отсюда легко сделать вывод, что если мы предположим, что σ || λ , где λ — вектор в данной позиции, новый вещественный вектор σ + τ оканчивается на поверхности двулистного и равностороннего гиперболоида ; и что, если, с другой стороны, мы предположим, что τ || λ , то геометрическое место конца вещественного вектора σ + τ будет равносторонним, но однополостным гиперболоидом . Таким образом, изучение этих двух гиперболоидов очень просто связано через бикватернионы с изучением сферы; ...

В этом отрывке S — оператор, задающий скалярную часть кватерниона, а T — «тензор», который теперь называется нормой кватерниона.

Современный взгляд на объединение сферы и гиперболоида использует идею конического сечения как среза квадратичной формы . Вместо конической поверхности требуются конические гиперповерхности в четырехмерном пространстве с точками p = ( w , x , y , z ) ∈ R 4 определяется квадратичными формами . Сначала рассмотрим коническую гиперповерхность

  • и
  • что является гиперплоскостью .

Затем представляет собой сферу радиуса r . С другой стороны, коническая гиперповерхность

предусматривает, что является гиперболоидом.

В теории квадратичных форм единичная состоящее квазисфера — это подмножество квадратичного пространства X, из таких точек x X , что квадратичная норма x равна единице. [7]

См. также

[ редактировать ]
Шуховская гиперболоидная башня (1898 г.) в Выксе , Россия
  1. ^ К. Штрубекер: Лекции по начертательной геометрии. Ванденхук и Рупрехт, Геттинген, 1967, с. 218
  2. ^ CDKG: Компьютерная начертательная и конструктивная геометрия (ТУ Дармштадта) (PDF; 3,4 МБ), стр. 116.
  3. ^ CDKG: Компьютерная начертательная и конструктивная геометрия (ТУ Дармштадта) (PDF; 3,4 МБ), стр. 122.
  4. ^ Томас Хокинс (2000) Возникновение теории групп Ли: очерк по истории математики, 1869–1926 , §9.3 «Математизация физики в Геттингене», см. стр. 340, Springer ISBN   0-387-98963-3
  5. ^ Уолтер, Скотт А. (1999), «Неевклидов стиль относительности Минковского» , в книге Дж. Грея (ред.), Символическая Вселенная: геометрия и физика 1890–1930 , Oxford University Press, стр. 91–127.
  6. ^ Минковский использовал термин «четырехмерный гиперболоид» только один раз, в посмертно опубликованной машинописной рукописи, и это было нестандартное использование, поскольку гиперболоид Минковского представляет собой трехмерное подмногообразие четырехмерного пространства Минковского. [5]
  7. ^ Ян Р. Портеус (1995) Алгебры Клиффорда и классические группы , страницы 22, 24 и 106, Cambridge University Press ISBN   0-521-55177-3
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 0f46804ff26e2e367d8ae8dd74d3f90e__1719088260
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/0f/0e/0f46804ff26e2e367d8ae8dd74d3f90e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Hyperboloid - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)