Построение действительных чисел

В математике существует несколько эквивалентных способов определения действительных чисел . Один из них заключается в том, что они образуют полное упорядоченное поле , которое не содержит более мелких полных упорядоченных полей. Такое определение не доказывает, что такое полное упорядоченное поле существует, а доказательство существования состоит в построении математической структуры , удовлетворяющей этому определению.

В статье представлены несколько таких конструкций. Они эквивалентны в том смысле, что по результату любых двух таких конструкций между ними существует единственный изоморфизм упорядоченного поля . Это следует из приведенного выше определения и не зависит от конкретных конструкций. Эти изоморфизмы позволяют идентифицировать результаты построений и практически забыть, какая конструкция выбрана.

Аксиоматические определения

Аксиоматическое определение действительных чисел состоит в определении их как элементов полного упорядоченного поля. Это означает следующее: действительные числа образуют набор , обычно обозначаемый $\mathbb {R}$, содержащий два выделенных элемента, обозначаемых 0 и 1, и над которыми определены две бинарные операции и одно бинарное отношение ; операции называются сложением и умножением действительных чисел и обозначаются соответственно + и × ; бинарное отношение — это неравенство , обозначаемое $\leq .$ следующие свойства, называемые аксиомами Более того, должны выполняться .

Существование такой структуры является теоремой , которая доказывается построением такой структуры. Следствием аксиом является то, что эта структура уникальна с точностью до изоморфизма, и, таким образом, действительными числами можно пользоваться и манипулировать ими, не обращаясь к методу построения.

Аксиомы

1. $\mathbb {R}$ это поле сложения и умножения. Другими словами,
   • Для всех x , y и z в $\mathbb {R}$, Икс + ( y + z ) знак равно ( Икс + y ) + z и Икс × ( y × z ) знак равно ( Икс × y ) × z . ( ассоциативность сложения и умножения)
   • Для всех x и y в $\mathbb {R}$, Икс + у знак равно у + Икс и Икс × у знак равно у × Икс . ( коммутативность сложения и умножения)
   • Для всех x , y и z в $\mathbb {R}$, Икс × ( у + z ) знак равно ( Икс × у ) + ( Икс × z ). ( распределение умножения над сложением)
   • Для всех x в $\mathbb {R}$, Икс + 0 знак равно Икс . (существование аддитивной идентичности )
   • 0 не равен 1, и для всех x в $\mathbb {R}$, Икс × 1 знак равно Икс . (существование мультипликативной идентичности)
   • Для каждого х в $\mathbb {R}$, существует элемент − x в $\mathbb {R}$, такой, что x + (− x ) = 0. (существование аддитивных обратных )
   • Для каждого x ≠ 0 в $\mathbb {R}$, существует элемент x ⁻¹ в $\mathbb {R}$, такой, что x × x ⁻¹ = 1. (существование мультипликативных обратных)
2. $\mathbb {R}$ заказан полностью для $\leq$. Другими словами,
   • Для всех x в $\mathbb {R}$, Икс ≤ Икс . ( рефлексивность )
   • Для всех x и y в $\mathbb {R}$, если x ≤ y и y ≤ x , то x = y . ( антисимметрия )
   • Для всех x , y и z в $\mathbb {R}$, если x ≤ y и y ≤ z , то x ≤ z . ( транзитивность )
   • Для всех x и y в $\mathbb {R}$, x ≤ y или y ≤ x . ( совокупность )
3. Сложение и умножение совместимы с порядком. Другими словами,
   • Для всех x , y и z в $\mathbb {R}$, если x ≤ y , то x + z ≤ y + z . (сохранение заказа под дополнение)
   • Для всех x и y в $\mathbb {R}$, если 0 ⩽ x и 0 ⩽ y , то 0 ⩽ x × y (сохранение порядка при умножении)
4. Порядок ≤ полон в следующем смысле: каждое непустое подмножество $\mathbb {R}$ то, что ограничено сверху, имеет наименьшую верхнюю границу . Другими словами,
   • Если A — непустое подмножество $\mathbb {R}$, и если A имеет верхнюю границу в $\mathbb {R} ,$ тогда A имеет наименьшую верхнюю границу u что для каждой верхней v A границы u v ⩽ такую , .

О свойстве наименьшей верхней границы

Аксиома 4, которая требует, чтобы порядок был дедекинд-полным , подразумевает архимедово свойство .

Аксиома имеет решающее значение для характеристики реальности. Например, полностью упорядоченное поле рациональных чисел Q удовлетворяет первым трем аксиомам, но не четвертой. Другими словами, модели рациональных чисел являются также моделями первых трех аксиом.

Обратите внимание, что аксиома не является первой упорядочиваемой , поскольку она выражает утверждение о наборах действительных чисел, а не только об отдельных таких числах. Как таковые, действительные числа не задаются логической теорией первого порядка .

О моделях

Модель действительных чисел — это математическая структура , удовлетворяющая вышеуказанным аксиомам. приведены несколько моделей Ниже . Любые две модели изоморфны; Итак, действительные числа уникальны с точностью до изоморфизмов.

Утверждение, что любые две модели изоморфны, означает, что для любых двух моделей $(\mathbb {R} ,0_{\mathbb {R} },1_{\mathbb {R} },+_{\mathbb {R} },\times _{\mathbb {R} },\leq _{\mathbb {R} })$ и $(S,0_{S},1_{S},+_{S},\times _{S},\leq _{S}),$ существует биекция $f\colon \mathbb {R} \to S$ это сохраняет как полевые операции, так и порядок. Явно,

• f одновременно инъективен и сюръективен .
• ж (0 _ℝ ) знак равно 0 _S и ж (1 _ℝ ) знак равно 1 _S .
• ж ( Икс + _ℝ y ) знак равно ж ( Икс ) + _S ж ( y ) и ж ( Икс × _ℝ y ) знак равно ж ( Икс ) × _S ж ( y ) , для всех x и y в $\mathbb {R} .$
• x ≤ _ℝ y тогда и только тогда, когда f ( x ) ≤ _S f ( y ) для всех x и y в $\mathbb {R} .$

Аксиоматизация реальности Тарского

Основная статья: Аксиоматизация реальности Тарским

Альтернативная синтетическая аксиоматизация действительных чисел и их арифметики была дана Альфредом Тарским и состояла только из 8 аксиом, показанных ниже, и всего лишь четырех примитивных понятий : набора , называемого действительными числами , обозначаемого $\mathbb {R}$, бинарное отношение над $\mathbb {R}$ называется order и обозначается инфиксным оператором <, бинарной операцией над $\mathbb {R}$ называется сложением , обозначается инфиксным оператором + и константой 1.

Аксиомы порядка (примитивы: $\mathbb {R}$, <):

Аксиома 1 . Если x < y , то не y < x . То есть «<» — асимметричное отношение .

Аксиома 2 . Если x < z , существует y такой, что x < y и y < z . Другими словами, «<» плотно в $\mathbb {R}$.

Аксиома 3 . «<» является дедекинд-полным . Более формально, для всех X , Y ⊆ $\mathbb {R}$, если для всех x ∈ X и y ∈ Y , x < y , то существует z такой, что для всех x ∈ X и y ∈ Y , если z ≠ x и z ≠ y , то x < z и z < y .

Чтобы несколько прояснить вышеприведенное утверждение, пусть X ⊆ $\mathbb {R}$ и Y ⊆ $\mathbb {R}$. Теперь мы определим два распространённых английских глагола особым образом, который соответствует нашей цели:

X предшествует Y тогда и только тогда, когда для каждого ∈ X и каждого y ∈ Y x y < x .

Действительное число z разделяет X и Y тогда и только тогда, когда для каждого x ∈ X с x ≠ z и каждого y ∈ Y с y ≠ z , x < z и z < y .

Тогда аксиому 3 можно сформулировать так:

«Если набор действительных чисел предшествует другому набору действительных чисел, то существует хотя бы одно действительное число, разделяющее эти два набора».

Аксиомы сложения (примитивы: $\mathbb {R}$, <, +):

Аксиома 4 . Икс + ( y + z ) знак равно ( Икс + z ) + y .

Аксиома 5 . Для всех x , y существует z такой , что x + z = y .

Аксиома 6 . Если x + y < z + w , то x < z или y < w .

Аксиомы для одного (примитивы: $\mathbb {R}$, <, +, 1):

Аксиома 7 . 1 € $\mathbb {R}$.

Аксиома 8 . 1 < 1 + 1.

Эти аксиомы подразумевают, что $\mathbb {R}$ является линейно упорядоченной абелевой группой при сложении с выделенным элементом 1. $\mathbb {R}$ также является дедекиндово полным и делимым .

Явные конструкции моделей

Мы не будем доказывать, что любые модели аксиом изоморфны. Такое доказательство можно найти в любом количестве современных учебников по анализу или теории множеств. Однако мы опишем основные определения и свойства ряда конструкций, поскольку каждая из них важна как по математическим, так и по историческим причинам. Первые три, связанные с Георгом Кантором / Шарлем Мере , Рихардом Дедекиндом / Жозефом Бертраном и Карлом Вейерштрассом , произошли с разницей в несколько лет друг от друга. У каждого есть преимущества и недостатки. Основной мотивацией во всех трех случаях было обучение студентов-математиков.

Построение из последовательностей Коши

Стандартная процедура, позволяющая заставить все последовательности Коши в метрическом пространстве сходиться, — это добавление новых точек в метрическое пространство в процессе, называемом завершением .

$\mathbb {R}$ определяется как пополнение множества $\mathbb {Q}$ рациональных чисел относительно метрики | х - у | Обычно метрики определяются с использованием действительных чисел в качестве значений, но это не делает конструкцию/определение циклической, поскольку все подразумеваемые числа (даже неявно) являются рациональными числами.

Пусть R — множество последовательностей Коши рациональных чисел. То есть последовательности

( х ₁ , х ₂ , х ₃ ,...)

рациональных чисел таких, что для каждого рационального ε > 0 существует целое число N такое, что для всех натуральных чисел m , n > N , | Икс _м - Икс _п | < е . Здесь вертикальные полосы обозначают абсолютное значение.

Последовательности Коши ( x _n ) и ( y _n ) можно складывать и умножать следующим образом:

( Икс _п ) + ( y _п ) знак равно ( Икс _п + y _п )

( Икс _п ) × ( y _п ) знак равно ( Икс _п × y _п ) .

Две последовательности Коши ( x _n ) и ( y _n ) называются эквивалентными тогда и только тогда, когда разница между ними стремится к нулю; то есть для каждого рационального числа ε > 0 существует целое число N такое, что для всех натуральных чисел n > N имеет место | Икс _п - у _п | < е .

Это определяет отношение эквивалентности , совместимое с операциями, определенными выше, и множество R всех классов эквивалентности можно показать, что удовлетворяет всем аксиомам действительных чисел . $\mathbb {Q}$ можно рассматривать как подмножество $\mathbb {R}$ путем отождествления рационального числа r с классом эквивалентности последовательности Коши ( r , r , r , ...) .

Сравнение действительных чисел получается путем определения следующего сравнения между последовательностями Коши: ( x _n ) ≥ ( y _n ) тогда и только тогда, когда x эквивалентен y или существует целое число N такое, что x _n ≥ y _n для всех п > Н. ​

По построению каждое действительное число x представляется последовательностью рациональных чисел Коши. Это представление далеко не уникально; каждая рациональная последовательность, сходящаяся к x, является последовательностью Коши, представляющей x . Это отражает наблюдение о том, что часто можно использовать разные последовательности для аппроксимации одного и того же действительного числа.

Единственная аксиома вещественного числа, которая не легко вытекает из определений, – это полнота ≤ , т.е. свойство наименьшей верхней границы . Это можно доказать следующим образом: пусть S — непустое подмножество $\mathbb {R} '$ и U верхняя граница для S. — Подставив при необходимости большее значение, мы можем предположить, что U рационально. Поскольку S непусто, мы можем выбрать такое рациональное число L , что L < s для некоторого s из S . определим последовательности рациональных чисел un ) ₍ и ( ln ) _{следующим} Теперь образом:

Установите u ₀ = U и l ₀ = L . Для каждого n рассмотрим число м _п знак равно ( ты _п + л _п )/2 .Если m _n — верхняя граница для S , установите u _{n +1} = m _n и l _{n +1} = l _n .В противном случае установите л _{п +1} знак равно м _п и ты _{п +1} знак равно ты _п .

действительные числа l = ( l _n ) и u = ( un _{Это определяет две последовательности Коши рациональных чисел, а значит ,} ) . легко доказать, Индукцией по n что un _S является верхней оценкой для всех n и l _n никогда не является верхней границей S ни при каком n

Таким образом, u является верхней границей для S . Чтобы убедиться, что это наименьшая верхняя граница, обратите внимание, что предел ( u _n − l _n ) равен 0 , и поэтому l = u . Теперь предположим, что < u = l — меньшая верхняя граница для S. b Поскольку ( l _n ) монотонно возрастает, легко видеть, что b < l _n для некоторого n . Но ln _, не является верхней границей для S как и b . Следовательно, u — минимальная верхняя граница для S и функция ≤ полна.

Обычная десятичная запись может быть естественным образом переведена в последовательности Коши. Например, обозначение π = 3,1415... означает, что π — класс эквивалентности последовательности Коши (3, 3,1, 3,14, 3,141, 3,1415, ...) . Уравнение 0,999... = 1 утверждает, что последовательности (0, 0,9, 0,99, 0,999,...) и (1, 1, 1, 1,...) эквивалентны, т. е. их разность сходится к 0 .

Преимущество построения $\mathbb {R}$ по мере завершения $\mathbb {Q}$ заключается в том, что эту конструкцию можно использовать для любых других метрических пространств.

Строительство Дедекинда сокращает

Дедекинд использовал свой подход для построения иррациональных , действительных чисел .

Дедекиндовым разрезом упорядоченного поля называется разбиение его ( A , B ) такое, что A непусто и замкнуто вниз, B непусто и замкнуто вверх, а A не содержит наибольшего элемента . Действительные числа можно построить как дедекиндовы разрезы рациональных чисел.

Для удобства можно взять нижний набор $A\,$ как представитель любого данного дедекиндовского разреза $(A,B)\,$, с $A$ полностью определяет $B$. Делая это, мы можем интуитивно думать о действительном числе как о представленном наборе всех меньших рациональных чисел. Более подробно, реальное число $r$ это любое подмножество множества ${\textbf {Q}}$ рациональных чисел, удовлетворяющее следующим условиям:

1. $r$ не пусто
2. $r\neq {\textbf {Q}}$
3. $r$ закрыто вниз. Другими словами, для всех $x,y\in {\textbf {Q}}$ такой, что $x<y$, если $y\in r$ затем $x\in r$
4. $r$ не содержит величайшего элемента. Другими словами, нет $x\in r$ такой, что для всех $y\in r$, $y\leq x$

• Формируем набор ${\textbf {R}}$ действительных чисел как множество всех дедекиндовых разрезов $A$ из ${\textbf {Q}}$и определим общий порядок действительных чисел следующим образом: $x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y$
• Мы встраиваем рациональные числа в действительные, определяя рациональное число. $q$ с набором всех меньших рациональных чисел $\{x\in {\textbf {Q}}:x<q\}$. Поскольку рациональные числа плотны , такое множество не может иметь наибольшего элемента и, таким образом, удовлетворяет условиям реального числа, изложенным выше.
• Добавление . $A+B:=\{a+b:a\in A\land b\in B\}$
• Вычитание . $A-B:=\{a-b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}$ где ${\textbf {Q}}\setminus B$ обозначает дополнение относительное $B$ в ${\textbf {Q}}$, $\{x:x\in {\textbf {Q}}\land x\notin B\}$
• Отрицание является частным случаем вычитания: $-B:=\{a-b:a<0\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}$
• Определить умножение не так просто.
  • если $A,B\geq 0$ затем $A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}$
  • если либо $A\,$ или $B\,$ отрицательно, мы используем тождества $A\times B=-(A\times -B)=-(-A\times B)=(-A\times -B)\,$ конвертировать $A\,$ и/или $B\,$ к положительным числам, а затем примените приведенное выше определение.
• определяем деление Аналогично :
  • если $A\geq 0{\mbox{ and }}B>0$ затем $A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}$
  • если либо $A\,$ или $B\,$ отрицательно, мы используем тождества $A/B=-(A/{-B})=-(-A/B)=-A/{-B}\,$ конвертировать $A\,$ на неотрицательное число и/или $B\,$ к положительному числу, а затем примените приведенное выше определение.
• высший ​Если непустое множество $S$ действительных чисел имеет любую верхнюю границу в ${\textbf {R}}$, то он имеет наименьшую верхнюю границу в ${\textbf {R}}$ это равно $\bigcup S$.

В качестве примера дедекиндового разреза, представляющего иррациональное число , мы можем взять положительный квадратный корень из 2 . Это можно определить набором $A=\{x\in {\textbf {Q}}:x<0\lor x\times x<2\}$. Из приведенных выше определений видно, что $A$ это действительное число, и это $A\times A=2\,$. Однако ни одно из этих утверждений не является немедленным. Показывая, что $A\,$ реален, необходимо показать, что $A$ не имеет наибольшего элемента, т. е. того, что для любого положительного рационального $x\,$ с $x\times x<2\,$, есть рациональное $y\,$ с $x<y\,$ и $y\times y<2\,.$ Выбор $y={\frac {2x+2}{x+2}}\,$ работает. Затем $A\times A\leq 2$ но чтобы показать равенство, необходимо показать, что если $r\,$ любое рациональное число, имеющее $r<2\,$, то есть положительный $x\,$ в $A$ с $r<x\times x\,$.

Преимущество этой конструкции в том, что каждое действительное число соответствует уникальному разрезу. Более того, ослабив первые два требования определения разреза, можно получить расширенную систему действительных чисел , связав $-\infty$ с пустым набором и $\infty$ со всеми ${\textbf {Q}}$.

Построение с использованием гиперреальных чисел

Как и в случае с гипердействительными числами , строятся гиперрациональные числа. $^{*}\mathbb {Q}$ из рациональных чисел с помощью ультрафильтра . Здесь гиперрациональное число по определению является отношением двух гиперцелых чисел . Рассмотрим кольцо $B$ всех ограниченных (т.е. конечных) элементов в $^{*}\mathbb {Q}$. Затем $B$ имеет единственный максимальный идеал $I$, бесконечно малые гиперрациональные числа. Фактор-кольцо $B/I$ дает поле $\mathbb {R}$ действительных чисел. В этой конструкции используется неглавный ультрафильтр по множеству натуральных чисел, существование которого гарантируется аксиомой выбора .

Оказывается, максимальный идеал соблюдает порядок $^{*}\mathbb {Q}$. Следовательно, полученное поле является упорядоченным полем. Полнота доказывается аналогично построению из последовательностей Коши.

Конструкция из сюрреалистических цифр

Каждое упорядоченное поле можно встроить в сюрреалистические числа . Действительные числа образуют максимальное подполе, которое является архимедовым (это означает, что ни одно действительное число не является бесконечно большим или бесконечно малым). Это вложение не уникально, хотя его можно выбрать каноническим образом.

Построение из целых чисел (действительные числа Евдокса)

Относительно менее известная конструкция позволяет определять действительные числа, используя только аддитивную группу целых чисел. $\mathbb {Z}$ с разными версиями. Конструкция была официально проверена проектом IsarMathLib. Шенитцер (1987) и Артан (2004) называют эту конструкцию реалиями Евдокса , названными в честь древнегреческого астронома и математика Евдокса Книдского .

Пусть почти гомоморфизмом является отображение $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ такой, что набор $\{f(n+m)-f(m)-f(n):n,m\in \mathbb {Z} \}$ конечно. (Обратите внимание, что $f(n)=\lfloor \alpha n\rfloor$ является почти гомоморфизмом для любого $\alpha \in \mathbb {R}$.) Почти гомоморфизмы образуют абелеву группу при поточечном сложении. Будем говорить, что два почти гомоморфизма $f,g$ почти равны, если множество $\{f(n)-g(n):n\in \mathbb {Z} \}$ конечно. Это определяет отношение эквивалентности на множестве почти гомоморфизмов. Действительные числа определяются как классы эквивалентности этого отношения. Альтернативно, почти гомоморфизмы, принимающие только конечное число значений, образуют подгруппу, а основная аддитивная группа действительного числа является факторгруппой. Чтобы добавить действительные числа, определенные таким образом, мы добавляем почти гомоморфизмы, которые их представляют. Умножение действительных чисел соответствует функциональной композиции почти гомоморфизмов. Если $[f]$ обозначает действительное число, представленное почти гомоморфизмом $f$ мы говорим это $0\leq [f]$ если $f$ ограничен или $f$ принимает бесконечное число положительных значений $\mathbb {Z} ^{+}$. Это определяет отношение линейного порядка на множестве действительных чисел, построенное таким образом.

Другие конструкции

Фалтин и др. (1975) пишут: «Немногие математические структуры претерпели столько изменений или были представлены в таком количестве обличий, как действительные числа. Каждое поколение пересматривает действительные числа в свете своих ценностей и математических целей».

Был дан ряд других конструкций:

• де Брейн (1976) , де Брейн (1977)
• Ригер (1982)
• Кнопфмахер и Кнопфмахер (1987) , Кнопфмахер и Кнопфмахер (1988)

Обзор см. в Weiss (2015) .

Как заметил один из рецензентов: «Все подробности включены, но, как обычно, они утомительны и не слишком поучительны».

См. также

• Конструктивизм (математика)#Пример из реального анализа - математическая точка зрения, согласно которой доказательства существования должны быть конструктивными. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Разрешимость теорий действительных чисел первого порядка

Библиография

• А'Кампо, Норберт (2003). «Естественная конструкция действительных чисел». arXiv : математика/0301015 .

• Артан, Р.Д. (2004). «Действительные числа Евдокса». arXiv : math/0405454 .

• де Брейн, НГ (1976). «Определение действительности без использования рациональных чисел» . Indagationes Mathematicae (Труды) . 79 (2): 100–108. дои : 10.1016/1385-7258(76)90055-X . также по адресу http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/597556.pdf.

• де Брейн, Н.Г. (1977). «Построение системы действительных чисел». Голландский Акад. Научный Отчетный отдел Естественный . 86 (9): 121–125.

• Фалтин, Ф.; Метрополис, М.; Росс, Б.; Рота, Г.-К. (1975). «Реальные цифры как сплетенное произведение» . Достижения в математике . 16 (3): 278–304. дои : 10.1016/0001-8708(75)90115-2 .

• Херш, Рубен (1997). Что такое математика на самом деле? . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета, США. п. 274. ИСБН  978-0-19-513087-4 .

• IsarMathLib (2022). «ИсарМатематика» .

• Кемп, Тодд (2016). «Конструкция R Коши» (PDF) .

• Кнопфмахер, Арнольд; Кнопфмахер, Джон (1987). «Новая конструкция действительных чисел (через бесконечные произведения)». Нью-Арк. Виск . 4 (5): 19–31.

• Кнопфмахер, Арнольд; Кнопфмахер, Джон (1988). «Две конкретные новые конструкции действительных чисел» . Математический журнал Роки Маунтин . 18 (4): 813–824. дои : 10.1216/RMJ-1988-18-4-813 . S2CID   122161507 .

• Пью, Чарльз Чепмен (2002). Реальный математический анализ . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 11–15 . ISBN  978-0-387-95297-0 .

• Ригер, Георг Иоганн (1982). «Новый подход к действительным числам (на основе цепных дробей)» (PDF) . Трактаты Брауншвейгского научного общества . 33 :205-217.

• Шенитцер, А (1987). «Тематический курс по математике». Математический интеллект . 9 (3): 44–52. дои : 10.1007/bf03023955 . S2CID   122199850 .

• Стрит, Росс (сентябрь 2003 г.). «Обновленная информация об эффективных реалах» (PDF) . Проверено 23 октября 2010 г.

• Вайс, Иттай (2015). «Реальные цифры – обследование строек» . Математический журнал Роки Маунтин . 45 (3): 737–762. arXiv : 1506.03467 . дои : 10.1216/RMJ-2015-45-3-737 .