Внутренняя алгебра

В абстрактной алгебре внутренняя алгебра — это определенный тип алгебраической структуры , которая кодирует идею топологической внутренней части множества. Внутренние алгебры для топологии и модальной логики S4 являются тем же, чем булевы алгебры для теории множеств и обычной логики высказываний . Внутренние алгебры образуют разновидность модальных алгебр .

Определение

Внутренняя алгебра — это алгебраическая структура с сигнатурой

⟨ S , ·, +, ′, 0, 1, ^я⟩

где

⟨ S , ·, +, ′, 0, 1⟩

— булева алгебра и постфикс ^я обозначает унарный оператор , внутренний оператор , удовлетворяющий тождествам:

х ^я ≤ х
х ^II = х ^я
( ху ) ^я = х ^яи ^я
1 ^я = 1

х ^я называется внутренней частью x .

Двойником . внутреннего оператора является оператор замыкания ^С определяется x ^С = (( х ′) ^я)'. х ^С называется замыканием x . По принципу двойственности оператор замыкания удовлетворяет тождествам:

х ^С ≥ х
х ^СС = х ^С
( х + у ) ^С = х ^С + и ^С
0 ^С = 0

Если оператор замыкания считать примитивным, внутренний оператор можно определить как x ^я = (( х ′) ^С)'. Таким образом, теорию внутренних алгебр можно сформулировать, используя оператор замыкания вместо внутреннего оператора, и в этом случае рассматриваются алгебры замыкания вида ⟨ S , ·, +, ′, 0, 1, ^С⟩, где ⟨ S , ·, +, ′, 0, 1⟩ снова булева алгебра и ^С удовлетворяет вышеуказанным тождествам для оператора замыкания. Замыкающая и внутренняя алгебры образуют двойственные пары и являются парадигматическими экземплярами «булевых алгебр с операторами». В ранней литературе по этому вопросу (в основном в польской топологии) использовались операторы замыкания, но формулировка внутреннего оператора со временем стала нормой. ^{[ нужна ссылка ]} по творчеству Вима Блока .

Открытые и закрытые элементы

Элементы внутренней алгебры, удовлетворяющие условию x ^я = x называются открытыми . Дополнения открытых элементов называются закрытыми и характеризуются условием x ^С = х . Внутренняя часть элемента всегда открыта, а закрытие элемента всегда закрыто. Внутренности закрытых элементов называются регулярно открытыми , а замыкания открытых элементов — регулярно закрытыми . Элементы, которые одновременно открыты и закрыты, называются clopen . 0 и 1 закрыты.

Внутренняя алгебра называется булевой , если все ее элементы открыты (и, следовательно, открытозамкнуты). Булевы внутренние алгебры можно отождествить с обычными булевыми алгебрами, поскольку их внутренние операторы и операторы замыкания не предоставляют значимой дополнительной структуры. Особым случаем является класс тривиальных внутренних алгебр, которые представляют собой одноэлементные внутренние алгебры, характеризующиеся тождеством 0 = 1.

Морфизмы внутренних алгебр

Гомоморфизмы

Внутренние алгебры, будучи алгебраическими структурами , обладают гомоморфизмами . Для данных двух внутренних алгебр A и B отображение f : A → B является гомоморфизмом внутренней алгебры тогда и только тогда, когда f является гомоморфизмом между лежащими в основе булевыми алгебрами A и B , который также сохраняет внутренности и замыкания. Следовательно:

е ( х ^я) знак равно ж ( Икс ) ^я;
е ( х ^С) знак равно ж ( Икс ) ^С.

Топоморфизм

Топоморфизмы — еще один важный и более общий класс морфизмов внутренних алгебр. Отображение f : A → B является топоморфизмом тогда и только тогда, когда f гомоморфизмом между булевыми алгебрами, лежащими в основе A и B , который также сохраняет открытые и замкнутые элементы A. является Следовательно:

Если x открыт в A , то f ( x ) открыт в B ;
Если x замкнут в A , то f ( x замкнут в B. )

(Такие морфизмы также называются стабильными гомоморфизмами и полугомоморфизмами алгебры замыканий .) Каждый гомоморфизм внутренней алгебры является топоморфизмом, но не каждый топоморфизм является гомоморфизмом внутренней алгебры.

Булевы гомоморфизмы

Ранние исследования часто рассматривали отображения между внутренними алгебрами, которые были гомоморфизмами лежащих в их основе булевых алгебр, но не обязательно сохраняли внутренний оператор или оператор замыкания. Такие отображения были названы булевыми гомоморфизмами . (Термины гомоморфизм замыкания или топологический гомоморфизм использовались в том случае, если они были сохранены, но эта терминология теперь излишняя, поскольку стандартное определение гомоморфизма в универсальной алгебре требует, чтобы он сохранял все операции.) Приложения, связанные со счетно полными внутренними алгебрами (в которые всегда существуют счетные встречи и соединения , также называемые σ-полными ), обычно используют счетно полные булевы гомоморфизмы, также называемые булевыми σ-гомоморфизмами — они сохраняют счетные встречи и соединения.

Непрерывные морфизмы

Самым ранним обобщением непрерывности на внутренние алгебры было обобщение Сикорского , основанное на обратного образа отображении непрерывного отображения . Это булев гомоморфизм, сохраняет объединения последовательностей и включает замыкание прообраза в прообраз замыкания. Таким образом, Сикорский определил непрерывный гомоморфизм как булев σ-гомоморфизм f между двумя σ-полными внутренними алгебрами такой, что f ( x ) ^С ≤ f ( х ^С). Это определение имело несколько трудностей: конструкция действует контрвариантно, создавая двойственное непрерывному отображению, а не обобщение. С одной стороны, σ-полнота слишком слаба для характеристики прообразов (требуется полнота), с другой стороны, она слишком ограничительна для обобщения. (Сикорский отметил использование не σ-полных гомоморфизмов, но включил σ-полноту в свои аксиомы для алгебр замыкания .) Позже Дж. Шмид определил непрерывный гомоморфизм или непрерывный морфизм для внутренних алгебр как булев гомоморфизм f между двумя внутренними алгебрами, удовлетворяющими f ( х ^С) ≤ ж ( Икс ) ^С. Это обобщает карту прямого изображения непрерывной карты — изображение замыкания содержится в замыкании изображения. Эта конструкция является ковариантной , но не подходит для приложений теории категорий , поскольку она позволяет строить непрерывные морфизмы из непрерывных отображений только в случае биекций. (К. Натурман вернулся к подходу Сикорского, отказавшись от σ-полноты для создания топоморфизмов, определенных выше. В этой терминологии оригинальные «непрерывные гомоморфизмы» Сикорского представляют собой σ-полные топоморфизмы между σ-полными внутренними алгебрами.)

Отношения с другими областями математики

Топология

Учитывая топологическое пространство X = ⟨ X , T ⟩, можно сформировать булеву алгебру множества степеней X :

⟨ P (Икс), \cap, \cup, ', ø, X ⟩

и расширим ее до внутренней алгебры

А (Икс) знак равно ⟨ п (Икс), \cap, \cup, ', ø, Икс, я ⟩

,

где ^я — обычный топологический внутренний оператор. Для всех S ⊆ X оно определяется формулой

С я знак равно \cup {О | O \subseteq S и O открыто в X}

Для всех S ⊆ X соответствующий оператор замыкания имеет вид

С С знак равно \cap {С | S \subseteq C и C замкнуто в X}

С ^я является крупнейшим открытым подмножеством S и S ^С является наименьшим замкнутым надмножеством S в X . Открытые, замкнутые, регулярно открытые, регулярно замкнутые и открытозамкнутые элементы внутренней алгебры A ( X ) — это просто открытые, замкнутые, регулярно открытые, регулярно замкнутые и открытозамкнутые подмножества X соответственно в обычном топологическом смысле.

Всякая полная атомная внутренняя алгебра изоморфна внутренней алгебре вида A ( X для некоторого топологического пространства X. ) Более того, каждая внутренняя алгебра может быть вложена в такую внутреннюю алгебру, давая представление внутренней алгебры как топологическое поле множеств . Свойства структуры A ( X ) являются самой мотивацией определения внутренних алгебр. Из-за этой тесной связи с топологией внутренние алгебры также называют топобулевыми алгебрами или топологическими булевыми алгебрами .

Учитывая непрерывное отображение между двумя топологическими пространствами

е : Икс \to Y

мы можем определить полный топоморфизм

А (ж) : А (Y) \to А (Икс)

к

А ( ж )( S ) знак равно ж ⁻¹[ С ]

для всех подмножеств S из Y . Таким способом можно вывести любой полный топоморфизм между двумя полными атомными внутренними алгебрами. Если Top — категория топологических пространств и непрерывных отображений, а Cit — категория полных атомарных внутренних алгебр и полных топоморфизмов, то Top и Cit и дуально изоморфны A $: Top \to Cit —$ контравариантный функтор , который является двойственным изоморфизмом категорий. A ( f ) является гомоморфизмом тогда и только тогда, когда f — непрерывное открытое отображение .

При этом двойственном изоморфизме категорий многие естественные топологические свойства соответствуют алгебраическим свойствам, в частности свойства связности соответствуют свойствам неприводимости:

X пуст A тогда и только тогда, когда ( X ) тривиально
X является недискретным тогда и только тогда, когда A ( X ) является простым
X дискретен A тогда и только тогда, когда ( X ) является логическим
X почти дискретен тогда и только тогда, когда A ( X ) полупрост .
X ( конечно порождено Александров) тогда и только тогда, когда A ( X ) является операторно полным , т.е. его внутренние операторы и операторы замыкания распределяются по произвольным пересечениям и соединениям соответственно.
X связен A тогда и только тогда, когда ( X ) непосредственно неразложимо .
X ультрасвязен A тогда и только тогда, когда ( X ) конечно подпрямо неприводимо.
X компактно A ультрасвязно тогда и только тогда, когда ( X ) подпрямо неприводимо.

Обобщенная топология

Современная формулировка топологических пространств в терминах топологий открытых подмножеств мотивирует альтернативную формулировку внутренних алгебр: обобщенное топологическое пространство представляет собой алгебраическую структуру вида

⟨ Б , ·, +, ′, 0, 1, Т ⟩

где ⟨ B , ·, +, ′, 0, 1⟩ — обычная булева алгебра, а T — унарное отношение на B (подмножество B ), такое что:

$0,1 \in Т$
T замкнуто относительно произвольных соединений (т.е. если соединение произвольного подмножества T существует, то оно будет в T )
T замкнуто при конечных встречах
Для каждого элемента b из B соединение $Σ{a \in T | a \leq b}$ существует

T Говорят, что — обобщенная топология булевой алгебры.

Учитывая внутреннюю алгебру, ее открытые элементы образуют обобщенную топологию. Обратно, учитывая обобщенное топологическое пространство

⟨ Б , ·, +, ′, 0, 1, Т ⟩

мы можем определить внутренний оператор на B с помощью $b я знак равно Σ{а \in Т | a \leq b},$ тем самым создавая внутреннюю алгебру, открытыми элементами которой являются в точности T . Таким образом, обобщенные топологические пространства эквивалентны внутренним алгебрам.

Учитывая, что внутренние алгебры являются обобщенными топологическими пространствами, топоморфизмы тогда являются стандартными гомоморфизмами булевых алгебр с добавленными отношениями, так что применяются стандартные результаты универсальной алгебры .

Функции соседства и решетки соседства

Топологическое понятие окрестностей можно обобщить на внутренние алгебры: элемент y внутренней алгебры называется окрестностью элемента x , если $x \leq y. я$ . Множество окрестностей точки x обозначается N ( x ) и образует фильтр . Это приводит к другой формулировке внутренних алгебр:

Функция соседства в булевой алгебре — это отображение N лежащего в ее основе множества B в набор фильтров, такое, что:

Для всех $x \in B max{y \in B | x \in N (y)}$ существует
Для всех $x, y \in B, x \in N (y)$ тогда и только тогда, когда существует $z \in B$ такой, что $y ⩽ z ⩽ x$ и $z \in N (z)$ .

Отображение N элементов внутренней алгебры в их фильтры окрестностей является функцией окрестности на базовой булевой алгебре внутренней алгебры. Более того, учитывая функцию окрестности N в булевой алгебре с базовым множеством B , мы можем определить внутренний оператор через $x я = max{y \in B | x \in N (y)},$ тем самым получая внутреннюю алгебру. ⁠ $N(x)$ Тогда ⁠ будет в точности фильтром окрестностей точки x в этой внутренней алгебре. Таким образом, внутренние алгебры эквивалентны булевым алгебрам с заданными функциями окрестности.

С точки зрения функций соседства, открытыми элементами являются в точности те элементы x , что $x \in N (x)$ . В терминах открытых элементов $x \in N (y)$ тогда и только тогда, когда существует открытый элемент z такой, что $y \leq z \leq x$ .

Функции соседства могут быть определены в более общем смысле на (встречающихся)-полурешетках, образующих структуры, известные как соседние (полу)решетки . Таким образом, внутренние алгебры можно рассматривать как именно булевы решетки окрестностей , т.е. те решетки окрестностей, основная полурешетка которых образует булеву алгебру.

Модальная логика

Учитывая теорию (набор формальных предложений) M в модальной логике S4 , мы можем сформировать ее алгебру Линденбаума–Тарского :

L ( M ) знак равно ⟨ M / ~, ∧, ∨, ¬, F , Т , □⟩

где ~ — отношение эквивалентности предложений в M, заданное формулой p ~ q , тогда и только тогда, когда p и q в логически эквивалентны M , а M / ~ — множество классов эквивалентности по этому отношению. Тогда L ( M ) — внутренняя алгебра. Внутренний оператор в этом случае соответствует модальному оператору □ ( обязательно ), а оператор замыкания соответствует ◊ ( возможно ). Эта конструкция является частным случаем более общего результата для модальных алгебр и модальной логики.

Открытые элементы L ( M ) соответствуют предложениям, которые истинны только в том случае, если они обязательно истинны, тогда как закрытые элементы соответствуют предложениям, которые являются ложными только в том случае, если они обязательно ложны.

Из-за их связи с S4 внутренние алгебры иногда называют алгебрами S4 или алгебрами Льюиса , в честь логика К. И. Льюиса , который первым предложил модальные логики S4 и S5 .

Предзаказы

Поскольку внутренние алгебры являются (нормальными) булевыми алгебрами с операторами , они могут быть представлены полями множеств на соответствующих реляционных структурах. В частности, поскольку они являются модальными алгебрами , их можно представить как поля множеств на множестве с одним бинарным отношением , называемым фреймом Крипке . Фреймы Крипке, соответствующие внутренним алгебрам, представляют собой в точности предупорядоченные множества . Предупорядоченные множества (также называемые S4-фреймами ) обеспечивают семантику Крипке модальной логики S4 , а связь между внутренними алгебрами и предпорядками глубоко связана с их связью с модальной логикой.

Учитывая предупорядоченный набор X = ⟨ X , «⟩, мы можем построить внутреннюю алгебру

B (Икс) знак равно ⟨ п (Икс), \cap, \cup, ', ø, Икс, я ⟩

из степенного множества булевой алгебры X , где внутренний оператор ^я дается

С я знак равно {Икс \in Икс | для всех y \in X из x « y следует y \in S}

для всех S ⊆ X .

Соответствующий оператор замыкания имеет вид

С С знак равно {Икс \in Икс | существует y \in S такой, что y « x}

для всех S ⊆ X .

С ^я — множество всех миров, недоступных из миров вне S , а S ^С — это набор всех миров, доступных из некоторого мира в S . Любая внутренняя алгебра может быть вложена во внутреннюю алгебру вида B ( X ) для некоторого предупорядоченного множества X, дающего упомянутое выше представление в виде поля множеств ( поле предпорядка ).

Эта теорема о построении и представлении является частным случаем более общего результата для модальных алгебр и фреймов Крипке. В этом отношении внутренние алгебры особенно интересны из-за их связи с топологией . Конструкция предоставляет предупорядоченному множеству X топологию ), открытыми , топологию Александрова , создавая топологическое пространство T ( X множествами которого являются:

{О \subseteq Икс | для всех x \in O и всех y \in X из x « y следует y \in O}

.

Соответствующие закрытые множества:

{С \subseteq Икс | для всех x \in C и всех y \in X из y « x следует y \in C}

.

Другими словами, открытые множества — это те, миры которых недоступны снаружи (расстроенные ) , а закрытые множества — те, для которых каждый внешний мир недоступен изнутри ( нижние множества ). Более того, B ( X ) = A ( T ( X )).

Монадические булевы алгебры

Любую монадическую булеву алгебру можно рассматривать как внутреннюю алгебру, где внутренний оператор является квантором универсальности, а оператор замыкания — квантором существования. Тогда монадические булевы алгебры представляют собой в точности многообразие внутренних алгебр, удовлетворяющих тождеству x ^IC = х ^я. Другими словами, это в точности внутренние алгебры, в которых каждый открытый элемент замкнут или, что то же самое, в которых каждый закрытый элемент открыт. Более того, такие внутренние алгебры являются в точности полупростыми внутренними алгебрами. Они также являются внутренними алгебрами, соответствующими модальной логике S5 , и поэтому их также называют алгебрами S5 .

В отношениях между предупорядоченными множествами и внутренними алгебрами они соответствуют случаю, когда предупорядоченный набор является отношением эквивалентности , отражая тот факт, что такие предупорядоченные множества обеспечивают семантику Крипке для S5 . Это также отражает связь между монадической логикой квантификации (для которой монадические булевы алгебры обеспечивают алгебраическое описание ) и S5 , где модальные операторы □ ( обязательно ) и ◊ ( возможно ) могут быть интерпретированы в семантике Крипке с использованием монадической универсальной и экзистенциальной квантификации. , соответственно, без ссылки на отношение доступности.

Алгебры Гейтинга

Открытые элементы внутренней алгебры образуют алгебру Гейтинга , а закрытые элементы образуют двойственную алгебру Гейтинга. Регулярные открытые элементы и регулярные закрытые элементы соответствуют псевдодополняемым элементам и двойственным псевдодополняемым элементам этих алгебр соответственно и, таким образом, образуют булевы алгебры. Закрыто-открытые элементы соответствуют дополненным элементам и образуют общую подалгебру этих булевых алгебр, а также самой внутренней алгебры. Каждую гейтинговскую алгебру можно представить как открытые элементы внутренней алгебры, а последняя может быть выбрана в качестве внутренней алгебры, порожденной ее открытыми элементами - такие внутренние алгебры взаимно однозначно соответствуют гейтинговым алгебрам (с точностью до изоморфизма), являющимся бесплатные логические расширения последнего.

Алгебры Гейтинга ту же роль играют для интуиционистской логики , которую внутренние алгебры играют для модальной логики S4 , а булевы алгебры — для логики высказываний . Связь между алгебрами Гейтинга и внутренними алгебрами отражает связь между интуиционистской логикой и S4 , в которой можно интерпретировать теории интуиционистской логики как S4 теории , замкнутые по необходимости . Взаимно однозначное соответствие между гейтинговыми алгебрами и внутренними алгебрами, порожденными их открытыми элементами, отражает соответствие между расширениями интуиционистской логики и нормальными расширениями модальной логики S4.Grz .

Производные алгебры

Для внутренней алгебры A оператор замыкания подчиняется аксиомам оператора производной : ^Д. Следовательно, мы можем сформировать производную алгебру D ( A ) с той же базовой булевой алгеброй, что и A, используя оператор замыкания в качестве оператора производной.

Таким образом, внутренние алгебры являются производными алгебрами . С этой точки зрения они представляют собой разновидность производных алгебр, удовлетворяющих тождеству x ^Д ≥ х . Производные алгебры обеспечивают подходящую алгебраическую семантику для модальной логики wK4 . Следовательно, производные алгебры соответствуют топологическим производным множествам , а wK4 как внутренние алгебры/замыкания соответствуют топологическим внутренностям/замыканиям и S4 .

Дана производная алгебра V с производным оператором ^Д, мы можем сформировать внутреннюю алгебру $I (V)$ с той же базовой булевой алгеброй, что и V , с внутренними операторами и операторами замыкания, определенными $x я = х \cdot х' Д'$ и $х С = х + х Д$ , соответственно. Таким образом, любую производную алгебру можно рассматривать как внутреннюю алгебру. Более того, для внутренней алгебры A имеем $I (D (A)) = A$ . Однако $D (I (V)) = V$ не обязательно выполняется для каждой производной алгебры V .

Двойственность Стоуна и представление внутренних алгебр

Двойственность Стоуна обеспечивает теоретико-категорную двойственность между булевыми алгебрами и классом топологических пространств, известных как булевы пространства . Опираясь на зарождающиеся идеи реляционной семантики (позже формализованной Крипке ) и результаты Р. С. Пирса, Йонссона , Тарского и Г. Хансула, расширили двойственность Стоуна на булевы алгебры с операторами , снабдив булевы пространства отношениями, которые соответствуют операторам через степенной набор строительство . В случае внутренних алгебр внутренний оператор (или замыкания) соответствует предварительному порядку в булевом пространстве. Гомоморфизмы между внутренними алгебрами соответствуют классу непрерывных отображений между булевыми пространствами, известным как псевдоэпиморфизмы или p-морфизмы для краткости . Это обобщение двойственности Стоуна на внутренние алгебры, основанное на представлении Йонссона-Тарского, было исследовано Лео Эсакиа и также известно как двойственность Эсакиа для S4-алгебр (внутренних алгебр) и тесно связано с двойственностью Эсакиа для алгебр Гейтинга.

В то время как обобщение Йонссона-Тарского двойственности Стоуна применимо к булевым алгебрам с операторами вообще, связь между внутренними алгебрами и топологией позволяет использовать другой метод обобщения двойственности Стоуна, уникальный для внутренних алгебр. Промежуточным шагом в развитии двойственности Стоуна является теорема Стоуна о представлении , которая представляет булеву алгебру как поле множеств . Топология Стоуна соответствующего булевого пространства затем генерируется с использованием поля множеств в качестве топологической основы . Опираясь на топологическую семантику, введенную Тан Цао-Ченом для модальной логики Льюиса, McKinsey и Тарский показали, что путем создания топологии, эквивалентной использованию в качестве базиса только комплексов, соответствующих открытым элементам, представление внутренней алгебры получается в виде топологическое поле множеств — поле множеств в топологическом пространстве, замкнутое относительно внутренностей или замыканий. Оснащая топологические поля множеств соответствующими морфизмами, известными как карты полей , К. Натурман показал, что этот подход может быть формализован как теоретико-категорная двойственность Стоуна, в которой обычная двойственность Стоуна для булевых алгебр соответствует случаю внутренних алгебр, имеющих избыточный внутренний оператор (булевые внутренние алгебры).

Предпорядок, полученный в подходе Йонссона–Тарского, соответствует отношению доступности в семантике Крипке для теории S4, а промежуточное поле множеств соответствует представлению алгебры Линденбаума–Тарского для теории с использованием множеств возможных миров. в семантике Крипке, в которой выполняются предложения теории. Переход от области множеств к булевому пространству несколько запутывает эту связь. Рассматривая поля множеств предпорядков как самостоятельную категорию, эту глубокую связь можно сформулировать как теоретико-категорную двойственность, которая обобщает представление Стоуна без топологии. Р. Голдблатт показал, что с ограничениями на соответствующие гомоморфизмы такую двойственность можно сформулировать для произвольных модальных алгебр и фреймов Крипке. Натурман показал, что в случае внутренних алгебр эта двойственность применима к более общим топоморфизмам и может быть факторизована через теоретико-категорный функтор через двойственность с топологическими полями множеств. Последние представляют собой алгебру Линденбаума–Тарского с использованием наборов точек, удовлетворяющих предложениям теории S4 в топологической семантике. Предварительный порядок можно получить как предварительный порядок специализации топологии McKinsey – Тарского. Двойственность Эсакии можно восстановить с помощью функтора, который заменяет поле множеств генерируемым им булевым пространством. С помощью функтора, который вместо этого заменяет предварительный порядок соответствующей топологией Александрова, получается альтернативное представление внутренней алгебры как поле множеств, где топология представляет собой бикоотражение Александрова топологии МакКинси – Тарского. Подход к формулировке топологической двойственности для внутренних алгебр с использованием как топологии Стоуна подхода Йонссона–Тарского, так и топологии Александрова предпорядка для формирования битопологического пространства исследовался Г. Бежанишвили, Р. Майнесом и Пи Джей Моранди. Топология внутренней алгебры МакКинси – Тарского представляет собой пересечение двух первых топологий.

Метаматематика

Гжегорчик доказал теорию первого порядка алгебр замыкания неразрешимых . ^[1]^[2] Натурман показал, что теория наследственно неразрешима (все ее подтеории неразрешимы), и продемонстрировал бесконечную цепочку элементарных классов внутренних алгебр с наследственно неразрешимыми теориями.

Примечания

^ Анджей Гжегорчик (1951), «Неразрешимость некоторых топологических теорий», Fundamenta Mathematicae 38 : 137–52.
^ Согласно сноске 19 в McKinsey and Tarski, 1944, результат был ранее доказан Станиславом Ясковским в 1939 году, но остался неопубликованным и недоступным ввиду нынешних [в то время] условий войны .

Ссылки

Блок, В.А., 1976, Многообразия внутренних алгебр, доктор философии. диссертация, Амстердамский университет.
Эсакиа Л., 2004, « Интуиционистская логика и модальность через топологию », Annals of Pure and Applied Logic 127 : 155-70.
McKinsey, JCC и Альфред Тарский , 1944, «Алгебра топологии», Annals of Mathematics 45 : 141–91.
Натурман, Калифорния, 1991, Внутренние алгебры и топология , доктор философии. диссертация, факультет математики Кейптаунского университета.
Бежанишвили Г., Майнс Р. и Моранди П.Дж., 2008, Топо-канонические пополнения алгебр замыкания и алгебр Гейтинга , Algebra Universalis 58 : 1-34.
Шмид Дж., 1973, О компактификации алгебр замыкания , Fundamenta Mathematicae 79 : 33-48.
Сикорский Р., 1955, Замыкающие гомоморфизмы и внутренние отображения , Fundamenta Mathematicae 41 : 12-20

[1] Анджей Гжегорчик (1951), «Неразрешимость некоторых топологических теорий», Fundamenta Mathematicae 38 : 137–52.

[2] Согласно сноске 19 в McKinsey and Tarski, 1944, результат был ранее доказан Станиславом Ясковским в 1939 году, но остался неопубликованным и недоступным ввиду нынешних [в то время] условий войны .

[1]

[2]