Гомологическая сфера

В алгебраической топологии сферой гомологий называется n - многообразие X, имеющее группы гомологий сферы n - . для некоторого целого числа $n\geq 1$. То есть,

$H_{0}(X,\mathbb {Z} )=H_{n}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$

и

$H_{i}(X,\mathbb {Z} )=\{0\}$ для всех остальных я .

Следовательно, X — связное пространство с одним ненулевым высшим числом Бетти , а именно: $b_{n}=1$. Из этого не следует, что X односвязно , а следует что его фундаментальная группа совершенна лишь то , (см. теорему Гуревича ).

Сфера рациональных гомологии определяется аналогично, но с использованием гомологии с рациональными коэффициентами.

Сфера гомологии Пуанкаре

Сфера гомологии Пуанкаре (также известная как додекаэдрическое пространство Пуанкаре) является частным примером сферы гомологии, впервые построенной Анри Пуанкаре . Будучи сферическим 3-многообразием , это единственная 3-сфера гомологии (помимо самой 3-сферы ) с конечной фундаментальной группой . Ее фундаментальная группа известна как бинарная группа икосаэдра и имеет порядок 120. Поскольку фундаментальная группа 3-сферы тривиальна, это показывает, что существуют 3-многообразия с теми же группами гомологии, что и 3-сфера, которые не гомеоморфны это.

Строительство

Простое построение этого пространства начинается с додекаэдра . Каждая грань додекаэдра идентифицируется с противоположной гранью, используя минимальный поворот по часовой стрелке для выравнивания граней. Склеивание каждой пары противоположных граней вместе с использованием этой идентификации дает замкнутое трехмерное многообразие. (См. в пространстве Зейферта – Вебера аналогичную конструкцию , в которой используется больше «поворотов», что приводит к гиперболическому трехмерному многообразию .)

Альтернативно, сфера гомологий Пуанкаре может быть построена как фактор-пространство SO(3) /I, где I — группа икосаэдра (т. е. группа вращательной симметрии правильного икосаэдра и додекаэдра, изоморфная знакопеременной группе A ₅ ). На более интуитивном уровне это означает, что сфера гомологии Пуанкаре представляет собой пространство всех геометрически различимых положений икосаэдра (с фиксированным центром и диаметром) в евклидовом 3-мерном пространстве. Вместо этого можно также перейти к универсальному накрытию SO(3), которое может быть реализовано как группа единичных кватернионов и гомеоморфно 3-сфере. В этом случае сфера гомологий Пуанкаре изоморфна $S^{3}/{\widetilde {I}}$ где ${\widetilde {I}}$ — это бинарная группа икосаэдра , идеальное двойное покрытие I, встроенное в $S^{3}$.

Другой подход – операция Дена . Сфера гомологий Пуанкаре получается в результате операции +1 на правом узле -трилистнике .

Космология

В 2003 году отсутствие структуры в самых крупных масштабах (более 60 градусов) в космическом микроволновом фоне , наблюдаемое в течение одного года космическим кораблем WMAP, и его коллег к предположению привело Жана-Пьера Люмине из Парижской обсерватории , что форма Вселенной является сфера Пуанкаре . В 2008 году астрономы нашли наилучшую ориентацию модели на небе и подтвердили некоторые предсказания модели, используя трехлетние наблюдения космического корабля WMAP. Анализ данных космического корабля «Планк» показывает, что во Вселенной не существует наблюдаемой нетривиальной топологии.

Конструкции и примеры

• Операция на узле в 3-сфере S ³ с оснащением +1 или −1 дает сферу гомологии.
• В более общем смысле, операция на ссылке дает сферу гомологии всякий раз, когда матрица, заданная числами пересечения (вне диагонали) и оснащением (по диагонали), имеет определитель +1 или -1.
• Если p , q и r — попарно простые относительно простые положительные целые числа, то звено особенности x ^п + и ^д + я ^р = 0 (другими словами, пересечение маленькой 3-сферы вокруг 0 ​​с этой комплексной поверхностью) представляет собой многообразие Брискорна , которое представляет собой 3-сферу гомологии, называемую Брискорна 3-сферой Σ( p , q , r ). Она гомеоморфна стандартной 3-сфере, если один из p , q и r равен 1, а Σ(2, 3, 5) — сфера Пуанкаре.
• Связная сумма двух ориентированных гомологических 3-сфер является гомологической 3-сферой. 3-сфера гомологий, которая не может быть записана как связная сумма двух 3-сфер гомологий, называется неприводимой или простой , и каждая 3-сфера гомологий может быть записана как связная сумма простых 3-сфер гомологий существенно единственным способом. (См. Простое разложение (3-многообразие) .)
• Предположим, что $a_{1},\ldots ,a_{r}$ являются целыми числами, все из которых не менее 2, такие, что любые два из них взаимно просты. Тогда расслоение Зейферта

$\{b,(o_{1},0);(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{r},b_{r})\}\,$

над сферой с исключительными слоями степеней a ₁ , ..., a _r — сфера гомологий, где b выбраны так, что

$b+b_{1}/a_{1}+\cdots +b_{r}/a_{r}=1/(a_{1}\cdots a_{r}).$

(Всегда есть способ выбрать b , и сфера гомологий не зависит (с точностью до изоморфизма) от выбора b .) Если r не превосходит 2, это просто обычная 3-сфера; в противном случае они представляют собой различные нетривиальные сферы гомологии. Если a равны 2, 3 и 5, это дает сферу Пуанкаре. Если существует по крайней мере 3 a , а не 2, 3, 5, то это ациклическая гомологическая 3-сфера с бесконечной фундаментальной группой, которая имеет геометрию Терстона , смоделированную на универсальном накрытии SL ₂ ( R ) .

Инварианты

• – Инвариант Рохлина это $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$-значный инвариант гомологии 3-сфер.
• — Инвариант Кэссона это целочисленный инвариант гомологических 3-сфер, редукция которого по модулю 2 является инвариантом Рохлина.

Приложения

Если A не гомеоморфная стандартной 3-сфере, то надстройка A является — 3-сфера гомологий , примером 4-мерного гомологического многообразия , которое не является топологическим многообразием . Двойная подвеска A гомеоморфна стандартной 5-сфере, но ее триангуляция (индуцированная некоторой триангуляцией A ) не является PL-многообразием . Другими словами, это дает пример конечного симплициального комплекса , который является топологическим многообразием, но не PL-многообразием. (Это не PL-многообразие, поскольку точка не всегда является 4-сферой.)

Галевский и Штерн показали, что все компактные топологические многообразия (без края) размерности не менее 5 гомеоморфны симплициальным комплексам тогда и только тогда, когда существует сфера гомологии 3 Σ с инвариантом Рохлина 1 такая, что связная сумма Σ#Σ матрицы Σ с самой собой ограничивает гладкое ациклическое 4-многообразие. Чиприан Манолеску показал что такой сферы гомологии с данным свойством не существует и, следовательно, существуют 5-многообразия, не гомеоморфные симплициальным комплексам. В частности, пример, первоначально приведенный Галевским и Штерном, не является триангулируемым.

См. также

• Пространство Эйленберга – Маклейна
• Пространство Мура (алгебраическая топология)

Избранное чтение

• Дрор, Эммануэль (1973). «Гомологические сферы». Израильский математический журнал . 15 (2): 115–129. дои : 10.1007/BF02764597 . МР   0328926 . S2CID   189796498 .
• Галевски, Дэвид; Стерн, Рональд (1980). «Классификация симплициальных триангуляций топологических многообразий». Анналы математики . 111 (1): 1–34. дои : 10.2307/1971215 . JSTOR   1971215 . МР   0558395 .
• Робион Кирби , Мартин Шарлеман, Восемь граней 3-сферы гомологии Пуанкаре . Геометрическая топология (Proc. Georgia Topology Conf., Афины, Джорджия, 1977), стр. 113–146, Academic Press , Нью-Йорк-Лондон, 1979.
• Кервер, Мишель (1969). «Гладкие сферы гомологий и их фундаментальные группы» . Труды Американского математического общества . 144 : 67–72. дои : 10.1090/S0002-9947-1969-0253347-3 . JSTOR   1995269 . МР   0253347 . S2CID   54063849 .
• Николай Савельев, Инварианты гомологии 3-сфер , Энциклопедия математических наук, том 140. Низкомерная топология, I. Springer-Verlag, Берлин, 2002. MR 1941324 ISBN   3-540-43796-7

Внешние ссылки

• 16-вершинная триангуляция 3-сферы гомологии Пуанкаре и сфер без PL с небольшим количеством вершин, авторы Андерс Бьёрнер и Фрэнк Х. Лутц
• Лекция Дэвида Гиллмана « Лучшее изображение сферы гомологии Пуанкаре»