Тропическая геометрия

В математике , когда сложение заменяется минимизацией , тропическая геометрия — это изучение многочленов и их геометрических свойств а умножение заменяется обычным сложением:

x\oplus y=\min\{x,y\},

x\otimes y=x+y.

Так, например, классический полином $x^{3}+2xy+y^{4}$ стал бы $\min\{x+x+x,\;2+x+y,\;y+y+y+y\}$ . Такие полиномы и их решения имеют важные приложения в задачах оптимизации, например, в задаче оптимизации времени отправления сети поездов.

Тропическая геометрия — это вариант алгебраической геометрии , в котором полиномиальные графы напоминают кусочно-линейные сетки и в котором числа принадлежат тропическому полукольцу , а не полю. Поскольку классическая и тропическая геометрия тесно связаны между собой, результаты и методы можно конвертировать между ними. Алгебраические многообразия можно сопоставить с тропическим аналогом, и, поскольку этот процесс все еще сохраняет некоторую геометрическую информацию об исходном многообразии, его можно использовать для доказательства и обобщения классических результатов алгебраической геометрии, таких как теорема Брилля – Нётер , с использованием инструментов тропической геометрии. ^{[ 1 ]}

История

Основные идеи тропического анализа были разработаны независимо друг от друга с использованием одних и тех же обозначений математиками, работающими в различных областях. ^{[ 2 ]} Центральные идеи тропической геометрии в различных формах проявились в ряде более ранних работ. Например, Виктор Павлович Маслов представил тропический вариант процесса интеграции. Он также заметил, что преобразование Лежандра и решения уравнения Гамильтона – Якоби являются линейными операциями в тропическом смысле. ^{[ 3 ]} Однако лишь с конца 1990-х годов были предприняты усилия по консолидации основных определений теории. Это было мотивировано его применением к перечислительной алгебраической геометрии с идеями Максима Концевича. ^{[ 4 ]} и произведения Григория Михалкина ^{[ 5 ]} среди других.

Прилагательное тропический было придумано французскими математиками в честь венгерского происхождения бразильского учёного-компьютерщика Имре Симона , писавшего в полевых условиях. Жан-Эрик Пин приписывает чеканку Доминику Перрену . ^{[ 6 ]} тогда как сам Симон приписывает это слово Кристиану Шоффруту. ^{[ 7 ]}

Алгебра фон

Тропическая геометрия основана на тропическом полукольце . Это определяется двумя способами, в зависимости от соглашения о максимальном или минимальном значении.

Минтропическое полукольцо – это полукольцо $(\mathbb {R} \cup \{+\infty \},\oplus ,\otimes )$ , с операциями:

x\oplus y=\min\{x,y\},

x\otimes y=x+y.

Операции $\oplus$ и $\otimes$ называются тропическим сложением и тропическим умножением соответственно. Элемент идентификации для $\oplus$ является $+\infty$ и элемент идентификации для $\otimes$ равен 0.

Аналогично, максимальное тропическое полукольцо — это полукольцо $(\mathbb {R} \cup \{-\infty \},\oplus ,\otimes )$ , с операциями:

x\oplus y=\max\{x,y\},

x\otimes y=x+y.

Элемент идентификации для $\oplus$ является $-\infty$ и элемент идентификации для $\otimes$ равен 0.

Эти полукольца изоморфны при отрицании $x\mapsto -x$ и обычно выбирают одно из них и называют его просто тропическим полукольцом . Соглашения различаются между авторами и подполями: некоторые используют минимальное соглашение, некоторые — максимальное .

Операции тропического полукольца моделируют поведение оценок при сложении и умножении в значимом поле .

Некоторые общие поля значений, встречающиеся в тропической геометрии (с минимальным соглашением):

$\mathbb {Q}$ или $\mathbb {C}$ с тривиальной оценкой, $v(a)=0$ для всех $a\neq 0$ .
$\mathbb {Q}$ или его расширения с p-адическим нормированием , $v_{p}(p^{n}a/b)=n$ для a и b взаимно просты с p .
Поле серии Лорана $\mathbb {C} (\!(t)\!)$ (целые степени), или поле (комплексного) ряда Пюизо $\mathbb {C} \{\!\{t\}\!\}$ , при этом оценка возвращает наименьший показатель степени t, встречающийся в ряду.

Тропические полиномы

Тропический полином – это функция $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ которая может быть выражена как тропическая сумма конечного числа мономиальных членов . Мономиальный член — это тропическое произведение (и/или частное) константы и переменных из $X_{1},\ldots ,X_{n}$ . Таким образом, тропический многочлен F является минимумом конечного набора аффинно-линейных функций, в которых переменные имеют целые коэффициенты, поэтому он является вогнутым , непрерывным и кусочно-линейным . ^{[ 8 ]}

{\begin{aligned}F(X_{1},\ldots ,X_{n})&=\left(C_{1}\otimes X_{1}^{\otimes a_{11}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{n1}}\right)\oplus \cdots \oplus \left(C_{s}\otimes X_{1}^{\otimes a_{1s}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{ns}}\right)\\&=\min\{C_{1}+a_{11}X_{1}+\cdots +a_{n1}X_{n},\;\ldots ,\;C_{s}+a_{1s}X_{1}+\cdots +a_{ns}X_{n}\}.\end{aligned}}

Учитывая многочлен f в кольце многочленов Лорана $K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]$ где K — значенное поле, f , тропикализация обозначаемая $\operatorname {Trop} (f)$ , — тропический полином, полученный из f путем замены умножения и сложения их тропическими аналогами и каждой константы в K ее оценкой. То есть, если

f=\sum _{i=1}^{s}c_{i}x^{A_{i}}\quad {\text{ with }}A_{1},\ldots ,A_{s}\in \mathbb {Z} ^{n},

затем

\operatorname {Trop} (f)=\bigoplus _{i=1}^{s}v(c_{i})\otimes X^{\otimes A_{i}}.

Множество точек, в которых тропический многочлен F недифференцируем, называется ассоциированной с ним тропической гиперповерхностью и обозначается $\mathrm {V} (F)$ (по аналогии с исчезающим множеством многочлена). Эквивалентно, $\mathrm {V} (F)$ — это набор точек, в которых минимум среди членов F достигается как минимум дважды. Когда $F=\operatorname {Trop} (f)$ для полинома Лорана f эта последняя характеристика $\mathrm {V} (F)$ отражает тот факт, что при любом решении $f=0$ , минимальная оценка членов f должна быть достигнута как минимум дважды, чтобы все они сократились. ^{[ 9 ]}

Тропические сорта

Определения

Для X алгебраическое многообразие в алгебраическом торе $(K^{\times })^{n}$ , тропическая X разновидность или тропикализация X обозначаемая , $\operatorname {Trop} (X)$ , является подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ это можно определить несколькими способами. Эквивалентность этих определений называется Основной теоремой тропической геометрии . ^{[ 9 ]}

Пересечение тропических гиперповерхностей

Позволять $\mathrm {I} (X)$ — идеал полиномов Лорана, обращающихся в нуль на X в $K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]$ . Определять

\operatorname {Trop} (X)=\bigcap _{f\in \mathrm {I} (X)}\mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f))\subseteq \mathbb {R} ^{n}.

Когда X — гиперповерхность, ее исчезающий идеал $\mathrm {I} (X)$ — главный идеал, порожденный полиномом Лорана f и тропическим многообразием $\operatorname {Trop} (X)$ это именно тропическая гиперповерхность $\mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f))$ .

Каждое тропическое многообразие представляет собой пересечение конечного числа тропических гиперповерхностей. Конечный набор полиномов $\{f_{1},\ldots ,f_{r}\}\subseteq \mathrm {I} (X)$ называется тропическим базисом X , если $\operatorname {Trop} (X)$ является пересечением тропических гиперповерхностей $\operatorname {Trop} (f_{1}),\ldots ,\operatorname {Trop} (f_{r})$ . В общем, генераторная установка $\mathrm {I} (X)$ недостаточно для формирования тропической основы. Пересечение конечного числа тропических гиперповерхностей называется тропическим предмногообразием и, вообще говоря, не является тропическим многообразием. ^{[ 9 ]}

Первоначальные идеалы

Выбор вектора $\mathbf {w}$ в $\mathbb {R} ^{n}$ определяет отображение из мономиальных членов $K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]$ к $\mathbb {R}$ отправив термин m в $\operatorname {Trop} (m)(\mathbf {w} )$ . Для полинома Лорана $f=m_{1}+\cdots +m_{s}$ , определите начальную форму f как сумму членов $m_{i}$ для f, которого $\operatorname {Trop} (m_{i})(\mathbf {w} )$ является минимальным. Для идеала $\mathrm {I} (X)$ , определим свой первоначальный идеал относительно $\mathbf {w}$ быть

\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)=(\operatorname {in} _{\mathbf {w} }(f):f\in \mathrm {I} (X)).

Затем определите

\operatorname {Trop} (X)=\{\mathbf {w} \in \mathbb {R} ^{n}:\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)\neq (1)\}.

Поскольку мы работаем в лорановском кольце, это то же самое, что набор весовых векторов, для которых $\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)$ не содержит монома.

Когда K имеет тривиальную оценку, $\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)$ именно является первоначальным идеалом $\mathrm {I} (X)$ относительно мономиального порядка, заданного весовым вектором $\mathbf {w}$ . Отсюда следует, что $\operatorname {Trop} (X)$ является поклонником Грёбнера фаната $\mathrm {I} (X)$ .

Изображение карты оценки

Предположим, что X — многообразие над полем K нормировки v , образ которого плотен в $\mathbb {R}$ (например, поле серии Пюизо). Действуя по координатам, v определяет отображение алгебраического тора $(K^{\times })^{n}$ к $\mathbb {R} ^{n}$ . Затем определите

\operatorname {Trop} (X)={\overline {\{(v(x_{1}),\ldots ,v(x_{n})):(x_{1},\ldots ,x_{n})\in X\}}},

где черта сверху указывает на замыкание в евклидовой топологии . Если оценка K не плотна в $\mathbb {R}$ , то приведенное выше определение можно адаптировать, расширив скаляры до большего поля, которое действительно имеет плотную оценку.

Это определение показывает, что $\operatorname {Trop} (X)$ — неархимедова амеба над алгебраически замкнутым неархимедовым полем K . ^{[ 10 ]}

Если X — многообразие над $\mathbb {C}$ , $\operatorname {Trop} (X)$ можно рассматривать как ограничивающий объект амебы $\operatorname {Log} _{t}(X)$ поскольку основание t карты логарифма стремится к бесконечности. ^{[ 11 ]}

Полиэдрический комплекс

Следующая характеристика описывает тропические многообразия по существу без ссылки на алгебраические многообразия и тропикизацию. Набор V в $\mathbb {R} ^{n}$ является неприводимым тропическим многообразием, если оно является носителем весового многогранного комплекса чистой размерности d, удовлетворяющего условию нулевого натяжения и связного в коразмерности один. Когда d равно единице, условие нулевого напряжения означает, что вокруг каждой вершины взвешенная сумма исходящих направлений ребер равна нулю. Для более высокого измерения суммы берутся вокруг каждой ячейки измерения. $d-1$ после факторизации аффинного диапазона ячейки. ^{[ 8 ]} Свойство V связности в коразмерности один означает, что для любых двух точек, лежащих в ячейках размерности d , существует соединяющий их путь, не проходящий ни через какие ячейки размерности меньше $d-1$ . ^{[ 12 ]}

Тропические кривые

Особенно хорошо развито изучение тропических кривых (тропических разновидностей размерности один) и тесно связано с теорией графов . Например, теория делителей тропических кривых связана с играми со стрельбой чипами на графах, связанных с тропическими кривыми. ^{[ 13 ]}

Многие классические теоремы алгебраической геометрии имеют аналоги в тропической геометрии, в том числе:

Теорема Паппа о шестиугольнике . ^{[ 14 ]}
Теорема Безу .
Формула степени -рода .
Теорема Римана–Роха . ^{[ 15 ]}
Групповой закон кубиков . ^{[ 16 ]}

Олег Виро использовал тропические кривые для классификации реальных кривых 7-й степени на плоскости с точностью до изотопии . Его метод лоскутного шитья дает процедуру построения реальной кривой данного изотопического класса на основе ее тропической кривой.

Приложения

Тропическая линия появилась в Пола Клемперера, схеме аукционов которую использовал Банк Англии во время финансового кризиса 2007 года. ^{[ 17 ]} Ёсинори Сиодзава определил субтропическую алгебру как полукольцо max-time или min-time (вместо max-plus и min-plus). Он обнаружил, что теорию рикардианской торговли (международная торговля без торговли ресурсами) можно интерпретировать как субтропическую выпуклую алгебру. ^{[ 18 ]} Тропическая геометрия также использовалась для анализа сложности нейронных сетей прямого распространения с активацией ReLU . ^{[ 19 ]}

Более того, в рамках тропической геометрии можно сформулировать и решить несколько задач оптимизации, возникающих, например, при планировании работ, анализе местоположения, транспортных сетях, принятии решений и динамических системах с дискретными событиями. ^{[ 20 ]} Тропический аналог карты Абеля-Якоби можно применить к кристаллическому дизайну. ^{[ 21 ]} веса во взвешенном преобразователе конечного состояния Часто требуется, чтобы представляли собой тропическое полукольцо. Тропическая геометрия может проявлять самоорганизованную критичность . ^{[ 22 ]}

См. также

Примечания

^ Хартнетт, Кевин (5 сентября 2018 г.). «Модели Tinkertoy создают новые геометрические представления» . Журнал Кванта . Проверено 12 декабря 2018 г.
^ См. Кунингем-Грин, Раймонд А. (1979). Минимаксная алгебра . Конспект лекций по экономике и математическим наукам. Том. 166. Спрингер. ISBN 978-3-540-09113-4 и ссылки в нем.
^ Маслов, Виктор (1987). «О новом принципе суперпозиции для задач оптимизации». Российские математические обзоры . 42 (3): 43–54. Бибкод : 1987РуМаС..42...43М . дои : 10.1070/RM1987v042n03ABEH001439 . S2CID 250889913 .
^ Концевич Максим ; Сойбельман, Ян (7 ноября 2000 г.). «Гомологическая зеркальная симметрия и расслоения тора». arXiv : math/0011041 .
^ Михалкин, Григорий (2005). «Перечислительная тропическая алгебраическая геометрия в R ² math / (PDF) . Журнал Американского математического общества . 18 (2): 313–377. arXiv : 0312530 . doi : 10.1090/S0894-0347-05-00477-7 .
^ Пин, Жан-Эрик (1998). "Тропические полукольца" (PDF) . В Гунавардене, Дж. (ред.). Идемпотентность . Публикации Института Ньютона. Том. 11. Издательство Кембриджского университета . стр. 50–69. дои : 10.1017/CBO9780511662508.004 . ISBN 9780511662508 .
^ Саймон, Имре (1988). «Узнаваемые множества с кратностями в тропическом полукольце». Математические основы информатики 1988 . Конспекты лекций по информатике . Том. 324. Берлин/Гейдельберг: Шпрингер. стр. 107–120. дои : 10.1007/BFb0017135 . ISBN 978-3-540-50110-7 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Шпейер, Дэвид; Штурмфельс, Бернд (2009), «Тропическая математика» (PDF) , Mathematics Magazine , 82 (3): 163–173, doi : 10.1080/0025570X.2009.11953615 , S2CID 15278805
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Маклаган, Дайан ; Штурмфельс, Бернд (2015). Введение в тропическую геометрию . Американское математическое общество . ISBN 9780821851982 .
^ Михалкин, Григорий (2004). «Амебы алгебраических многообразий и тропическая геометрия». В Дональдсоне, Саймон ; Элиашберг, Яков ; Громов, Михаил (ред.). Разные грани геометрии . Международная математическая серия. Том. 3. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Kluwer Academic/Plenum. стр. 257–300. ISBN 978-0-306-48657-9 . Збл 1072.14013 .
^ Кац, Эрик (2017), «Что такое тропическая геометрия?» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 64 (4): 380–382, doi : 10.1090/noti1507
^ Картрайт, Дастин; Пейн, Сэм (2012), «Связность тропикализации», Mathematical Research Letters , 19 (5): 1089–1095, arXiv : 1204.6589 , Bibcode : 2012arXiv1204.6589C , doi : 10.4310/MRL.2012.v19.n5.a10 , S2CID 51767353
^ Хладки, Ян; Краль, Дэниел; Норина, Сергей (1 сентября 2013 г.). «Ранг дивизоров на тропических кривых». Журнал комбинаторной теории, серия А. 120 (7): 1521–1538. arXiv : 0709.4485 . дои : 10.1016/j.jcta.2013.05.002 . ISSN 0097-3165 . S2CID 3045053 .
^ Табера, Луис Фелипе (1 января 2005 г.). «Тропическая конструктивная теорема Паппа». Уведомления о международных математических исследованиях . 2005 (39): 2373–2389. arXiv : math/0409126 . дои : 10.1155/IMRN.2005.2373 . ISSN 1073-7928 . S2CID 14250249 . {{cite journal}}: CS1 maint: неотмеченный бесплатный DOI ( ссылка )
^ Кербер, Майкл; Гатманн, Андреас (1 мая 2008 г.). «Теорема Римана – Роха в тропической геометрии». Математический журнал . 259 (1): 217–230. arXiv : math/0612129 . дои : 10.1007/s00209-007-0222-4 . ISSN 1432-1823 . S2CID 15239772 .
^ Чан, Мелоди ; Штурмфельс, Бернд (2013). «Эллиптические кривые в форме сот». В Бругалле, Эрван (ред.). Алгебраические и комбинаторные аспекты тропической геометрии. Материалы семинара CIEM по тропической геометрии, Международный центр математических встреч (CIEM), Кастро-Урдиалес, Испания, 12–16 декабря 2011 г. Современная математика. Том. 589. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 87–107. arXiv : 1203.2356 . Бибкод : 2012arXiv1203.2356C . ISBN 978-0-8218-9146-9 . Коллекция 1312.14142 .
^ «Как геометрия пришла на помощь во время банковского кризиса» . Факультет экономики Оксфордского университета . Проверено 24 марта 2014 г.
^ Сиодзава, Ёсинори (2015). «Теория международной торговли и экзотические алгебры» . Обзор эволюционной и институциональной экономики . 12 (1): 177–212. дои : 10.1007/s40844-015-0012-3 . S2CID 155827635 . Это сборник проекта статьи Ю. Сиодзавы « Субтропическая выпуклая геометрия как рикардианская теория международной торговли ».
^ Чжан, Ливэнь; Найцат, Грегори; Лим, Лек-Хенг (2018). «Тропическая геометрия глубоких нейронных сетей» . Материалы 35-й Международной конференции по машинному обучению . 35-я Международная конференция по машинному обучению. стр. 5824–5832.
^ Кривулин, Николай (2014). «Задачи тропической оптимизации». У Леона А. Петросяна; Дэвид В.К. Юнг; Иосиф В. Романовский (ред.). Успехи экономики и оптимизации: Сборник научных исследований, посвящённый памяти Л. В. Канторовича . Нью-Йорк: Издательство Nova Science. стр. 195–214. arXiv : 1408.0313 . ISBN 978-1-63117-073-7 .
^ Сунада, Т. (2012). Топологическая кристаллография: взгляд на дискретный геометрический анализ . Обзоры и учебные пособия по прикладным математическим наукам. Том. 6. Спрингер Япония. ISBN 9784431541769 .
^ Калинин Н.; Гусман-Саенс, А.; Прието, Ю.; Школьников М.; Калинина В.; Луперсио, Э. (15 августа 2018 г.). «Самоорганизованная критичность и возникновение закономерностей через призму тропической геометрии» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 115 (35): Е8135–Е8142. arXiv : 1806.09153 . Бибкод : 2018PNAS..115E8135K . дои : 10.1073/pnas.1805847115 . ISSN 0027-8424 . ПМК 6126730 . ПМИД 30111541 .

Ссылки

Маслов, Виктор (1986). «Новый принцип суперпозиции для задач оптимизации», Семинар по уравнениям в частных производных 1985/6, Математический центр Политехнической школы, Палезо, презентация 24.
Маслов, Виктор (1987). «Оперативные методы». Москва, Мир, 707 с. (См. главу 8, Линейная теория полумодулей, стр. 652–701).
Богарт, Тристрам; Дженсен, Андерс; Шпейер, Дэвид; Штурмфельс, Бернд ; Томас, Рекха (2005). «Вычисление тропических разновидностей». Журнал символических вычислений . 42 (1–2): 54–73. arXiv : math/0507563 . Бибкод : 2005math......7563B . дои : 10.1016/j.jsc.2006.02.004 . S2CID 24788157 .
Отшельник, Манфред; Капранов Михаил; Линд, Дуглас (2006). «Неархимедовы амебы и тропические разновидности». Дж. Рейн Анжью. Математика . 601 : 139–157. arXiv : math/0408311 . Бибкод : 2004math......8311E .
Гатманн, Андреас (2006). «Тропическая алгебраическая геометрия». arXiv : math/0601322v1 .
Гросс, Марк (2010). Тропическая геометрия и зеркальная симметрия . Провиденс, Род-Айленд: Опубликовано для Совета конференции математических наук Американским математическим обществом при поддержке Национального научного фонда. ISBN 9780821852323 .
Итенберг, Илья; Григорий Михалкин; Евгений Шустин (2009). Тропическая алгебраическая геометрия (2-е изд.). Базель: Биркхойзер Базель. ISBN 9783034600484 . Коллекция 1165.14002 .
Маклаган, Дайан; Штурмфельс, Бернд (2015). Введение в тропическую геометрию . Американское математическое соц. ISBN 9780821851982 .
Михалкин, Григорий (2006). «Тропическая геометрия и ее приложения». arXiv : math/0601041v2 .
Михалкин, Григорий (2004). «Перечислительная тропическая алгебраическая геометрия в R2». arXiv : math/0312530v4 .
Михалкин, Григорий (2004). «Амебы алгебраических многообразий и тропическая геометрия». arXiv : math/0403015v1 .
Пахтер, Лиор ; Штурмфельс, Бернд (2004). «Тропическая геометрия статистических моделей» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 101 (46): 16132–16137. arXiv : q-bio/0311009 . Бибкод : 2004PNAS..10116132P . дои : 10.1073/pnas.0406010101 . ПМК 528960 . ПМИД 15534224 . Збл 1135.62302 .
Шпейер, Дэвид Э. (2003). «Тропический Грассманиан». arXiv : math/0304218v3 .
Шпейер, Дэвид; Штурмфельс, Бернд (2009) [2004]. «Тропическая математика». Журнал «Математика» . 82 (3): 163–173. arXiv : math/0408099 . дои : 10.4169/193009809x468760 . S2CID 119142649 . Збл 1227.14051 .
Теобальд, Торстен (2003). «Первые шаги в тропической геометрии». arXiv : math/0306366v2 .

Дальнейшее чтение

Амини, Омид; Бейкер, Мэтью; Фабер, Ксандер, ред. (2013). Тропическая и неархимедова геометрия. Семинар Беллэрса по теории чисел, тропической и неархимедовой геометрии, Научно-исследовательский институт Беллэрса, Хоултаун, Барбадос, США, 6–13 мая 2011 г. Современная математика. Том. 605. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-1-4704-1021-6 . Збл 1281.14002 .
Тропическая геометрия и зеркальная симметрия

Внешние ссылки

Тропическая геометрия, я

[1] Хартнетт, Кевин (5 сентября 2018 г.). «Модели Tinkertoy создают новые геометрические представления» . Журнал Кванта . Проверено 12 декабря 2018 г.

[2] См. Кунингем-Грин, Раймонд А. (1979). Минимаксная алгебра . Конспект лекций по экономике и математическим наукам. Том. 166. Спрингер. ISBN 978-3-540-09113-4 и ссылки в нем.

[3] Маслов, Виктор (1987). «О новом принципе суперпозиции для задач оптимизации». Российские математические обзоры . 42 (3): 43–54. Бибкод : 1987РуМаС..42...43М . дои : 10.1070/RM1987v042n03ABEH001439 . S2CID 250889913 .

[4] Концевич Максим ; Сойбельман, Ян (7 ноября 2000 г.). «Гомологическая зеркальная симметрия и расслоения тора». arXiv : math/0011041 .

[5] Михалкин, Григорий (2005). «Перечислительная тропическая алгебраическая геометрия в R ² math / (PDF) . Журнал Американского математического общества . 18 (2): 313–377. arXiv : 0312530 . doi : 10.1090/S0894-0347-05-00477-7 .

[Pin1998-6] Пин, Жан-Эрик (1998). "Тропические полукольца" (PDF) . В Гунавардене, Дж. (ред.). Идемпотентность . Публикации Института Ньютона. Том. 11. Издательство Кембриджского университета . стр. 50–69. дои : 10.1017/CBO9780511662508.004 . ISBN 9780511662508 .

[Simon1988-7] Саймон, Имре (1988). «Узнаваемые множества с кратностями в тропическом полукольце». Математические основы информатики 1988 . Конспекты лекций по информатике . Том. 324. Берлин/Гейдельберг: Шпрингер. стр. 107–120. дои : 10.1007/BFb0017135 . ISBN 978-3-540-50110-7 .

[SpeyerSturmfels2009-8] Перейти обратно: ^а ^б Шпейер, Дэвид; Штурмфельс, Бернд (2009), «Тропическая математика» (PDF) , Mathematics Magazine , 82 (3): 163–173, doi : 10.1080/0025570X.2009.11953615 , S2CID 15278805

[Maclagan-9] Перейти обратно: ^а ^б ^с Маклаган, Дайан ; Штурмфельс, Бернд (2015). Введение в тропическую геометрию . Американское математическое общество . ISBN 9780821851982 .

[10] Михалкин, Григорий (2004). «Амебы алгебраических многообразий и тропическая геометрия». В Дональдсоне, Саймон ; Элиашберг, Яков ; Громов, Михаил (ред.). Разные грани геометрии . Международная математическая серия. Том. 3. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Kluwer Academic/Plenum. стр. 257–300. ISBN 978-0-306-48657-9 . Збл 1072.14013 .

[11] Кац, Эрик (2017), «Что такое тропическая геометрия?» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 64 (4): 380–382, doi : 10.1090/noti1507

[12] Картрайт, Дастин; Пейн, Сэм (2012), «Связность тропикализации», Mathematical Research Letters , 19 (5): 1089–1095, arXiv : 1204.6589 , Bibcode : 2012arXiv1204.6589C , doi : 10.4310/MRL.2012.v19.n5.a10 , S2CID 51767353

[13] Хладки, Ян; Краль, Дэниел; Норина, Сергей (1 сентября 2013 г.). «Ранг дивизоров на тропических кривых». Журнал комбинаторной теории, серия А. 120 (7): 1521–1538. arXiv : 0709.4485 . дои : 10.1016/j.jcta.2013.05.002 . ISSN 0097-3165 . S2CID 3045053 .

[14] Табера, Луис Фелипе (1 января 2005 г.). «Тропическая конструктивная теорема Паппа». Уведомления о международных математических исследованиях . 2005 (39): 2373–2389. arXiv : math/0409126 . дои : 10.1155/IMRN.2005.2373 . ISSN 1073-7928 . S2CID 14250249 . {{cite journal}}: CS1 maint: неотмеченный бесплатный DOI ( ссылка )

[15] Кербер, Майкл; Гатманн, Андреас (1 мая 2008 г.). «Теорема Римана – Роха в тропической геометрии». Математический журнал . 259 (1): 217–230. arXiv : math/0612129 . дои : 10.1007/s00209-007-0222-4 . ISSN 1432-1823 . S2CID 15239772 .

[16] Чан, Мелоди ; Штурмфельс, Бернд (2013). «Эллиптические кривые в форме сот». В Бругалле, Эрван (ред.). Алгебраические и комбинаторные аспекты тропической геометрии. Материалы семинара CIEM по тропической геометрии, Международный центр математических встреч (CIEM), Кастро-Урдиалес, Испания, 12–16 декабря 2011 г. Современная математика. Том. 589. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 87–107. arXiv : 1203.2356 . Бибкод : 2012arXiv1203.2356C . ISBN 978-0-8218-9146-9 . Коллекция 1312.14142 .

[17] «Как геометрия пришла на помощь во время банковского кризиса» . Факультет экономики Оксфордского университета . Проверено 24 марта 2014 г.

[18] Сиодзава, Ёсинори (2015). «Теория международной торговли и экзотические алгебры» . Обзор эволюционной и институциональной экономики . 12 (1): 177–212. дои : 10.1007/s40844-015-0012-3 . S2CID 155827635 . Это сборник проекта статьи Ю. Сиодзавы « Субтропическая выпуклая геометрия как рикардианская теория международной торговли ».

[19] Чжан, Ливэнь; Найцат, Грегори; Лим, Лек-Хенг (2018). «Тропическая геометрия глубоких нейронных сетей» . Материалы 35-й Международной конференции по машинному обучению . 35-я Международная конференция по машинному обучению. стр. 5824–5832.

[20] Кривулин, Николай (2014). «Задачи тропической оптимизации». У Леона А. Петросяна; Дэвид В.К. Юнг; Иосиф В. Романовский (ред.). Успехи экономики и оптимизации: Сборник научных исследований, посвящённый памяти Л. В. Канторовича . Нью-Йорк: Издательство Nova Science. стр. 195–214. arXiv : 1408.0313 . ISBN 978-1-63117-073-7 .

[21] Сунада, Т. (2012). Топологическая кристаллография: взгляд на дискретный геометрический анализ . Обзоры и учебные пособия по прикладным математическим наукам. Том. 6. Спрингер Япония. ISBN 9784431541769 .

[22] Калинин Н.; Гусман-Саенс, А.; Прието, Ю.; Школьников М.; Калинина В.; Луперсио, Э. (15 августа 2018 г.). «Самоорганизованная критичность и возникновение закономерностей через призму тропической геометрии» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 115 (35): Е8135–Е8142. arXiv : 1806.09153 . Бибкод : 2018PNAS..115E8135K . дои : 10.1073/pnas.1805847115 . ISSN 0027-8424 . ПМК 6126730 . ПМИД 30111541 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]