Преобразование радона

Преобразование Радона. Отображает f в ( x ,   y )-области в Rf в ( α ,   s )-области.

В математике — преобразование Радона это интегральное преобразование , которое переводит функцию f, определенную на плоскости, в функцию Rf, определенную в (двумерном) пространстве линий на плоскости, значение которой на конкретной линии равно линейному интегралу. функции над этой строкой. Преобразование было введено в 1917 году Иоганном Радоном . который также предоставил формулу обратного преобразования. Радон далее включил формулы для преобразования в трех измерениях , в которых интеграл берется по плоскостям (интегрирование по линиям известно как рентгеновское преобразование ). Позже оно было обобщено на многомерные евклидовы пространства и в более широком смысле в контексте интегральной геометрии . Комплексный аналог преобразования Радона известен как преобразование Пенроуза . Преобразование Радона широко применимо к томографии — созданию изображения на основе данных проекции, связанных со сканированием объекта в поперечном сечении.

Объяснение

Преобразование Радона индикаторной функции двух квадратов показано на изображении ниже. Более светлые области указывают на большие значения функции. Черный означает ноль.

Исходная функция равна единице в белой области и нулю в темной области.

Если функция $f$ представляет неизвестную плотность, тогда преобразование Радона представляет данные проекции, полученные в результате томографического сканирования. Следовательно, обратное преобразование Радона может использоваться для восстановления исходной плотности на основе данных проекции и, таким образом, формирует математическую основу для томографической реконструкции , также известной как итеративная реконструкция .

Данные преобразования Радона часто называют синограммой, поскольку преобразование Радона точечного источника со смещением от центра представляет собой синусоиду. Следовательно, преобразование Радона ряда мелких объектов графически выглядит как ряд размытых синусоидальных волн с разными амплитудами и фазами.

Преобразование Радона полезно в компьютерной аксиальной томографии (КТ-сканировании), штрих-кодов сканерах , электронной микроскопии макромолекулярных агрегатов, таких как вирусы и белковые комплексы , сейсмологии отражения и при решении гиперболических уравнений в частных производных .

Горизонтальные проекции через форму приводят к накоплению сигнала (средняя полоса). Синограмма справа создается путем сбора множества таких проекций при вращении формы. Здесь цвет используется для выделения того, какой объект какую часть сигнала производит. Обратите внимание, как прямые объекты, выровненные по направлению проекции, приводят к более сильным сигналам.

Пример реконструкции с помощью преобразования Радона по наблюдениям под разными углами. Примененная инверсия к данным проекции затем восстанавливает изображение среза.

Определение

Позволять $f({\textbf {x}})=f(x,y)$ — функция, удовлетворяющая трем условиям регулярности:

1. $f({\textbf {x}})$ является непрерывным;
2. двойной интеграл $\iint {\dfrac {\vert f({\textbf {x}})\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dx\,dy$, распространяясь на всю плоскость, сходится;
3. для любой произвольной точки $(x,y)$ в самолете это так $\lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \varphi ,y+r\sin \varphi )\,d\varphi =0.$

Преобразование Радона, $Rf$, — функция, определенная в пространстве прямых $L\subset \mathbb {R} ^{2}$ линейным интегралом по каждой такой прямой как: $$Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\vert d\mathbf {x} \vert .$$Конкретно, параметризация любой прямой $L$ относительно длины дуги $z$ всегда можно написать: $$(x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,$$где $s$ расстояние $L$ от происхождения и $\alpha$ - угол вектора нормали к $L$ делает с $X$-ось. Отсюда следует, что величины $(\alpha ,s)$ можно рассматривать как координаты на пространстве всех строк в $\mathbb {R} ^{2}$, а преобразование Радона может быть выражено в этих координатах следующим образом: $${\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz.\end{aligned}}$$В более общем плане, в $n$-мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$, преобразование Радона функции $f$ удовлетворяющая условиям регулярности, является функцией $Rf$ на пространстве $\Sigma _{n}$ всех гиперплоскостей в $\mathbb {R} ^{n}$. Это определяется:

Шепп-призрак Логана

Преобразование радона

Обратное преобразование Радона

$$Rf(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad \forall \xi \in \Sigma _{n}$$где интеграл берется по естественной гиперповерхностной мере , $d\sigma$ (обобщая $\vert d\mathbf {x} \vert$ срок от $2$-мерный случай). Обратите внимание, что любой элемент $\Sigma _{n}$ характеризуется как место решения уравнения $\mathbf {x} \cdot \alpha =s$, где $\alpha \in S^{n-1}$ является единичным вектором и $s\in \mathbb {R}$. Таким образом, $n$-мерное преобразование Радона можно переписать как функцию от $S^{n-1}\times \mathbb {R}$ с помощью: $$Rf(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ).$$Также возможно еще больше обобщить преобразование Радона, вместо этого интегрируя по $k$-мерные аффинные подпространства $\mathbb {R} ^{n}$. Рентгеновское преобразование является наиболее широко используемым частным случаем этой конструкции и получается путем интегрирования по прямым линиям.

Связь с преобразованием Фурье

Основная статья: Теорема о проекционном срезе

Вычисление двумерного преобразования Радона с помощью двух преобразований Фурье.

Преобразование Радона тесно связано с преобразованием Фурье . Здесь мы определяем одномерное преобразование Фурье как: $${\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.$$ Для функции $2$-вектор $\mathbf {x} =(x,y)$, одномерное преобразование Фурье: $${\hat {f}}(\mathbf {w} )=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.$$ Для удобства обозначим ${\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)$. Теорема Фурье о срезе тогда гласит: $${\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))$$ где $\mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).$

Таким образом, двумерное преобразование Фурье исходной функции вдоль прямой под углом наклона $\alpha$ - это преобразование Фурье с одной переменной преобразования Радона (полученное под углом $\alpha$) этой функции. Этот факт можно использовать для вычисления как преобразования Радона, так и обратного ему. Результат можно обобщить на n измерений: $${\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.$$

Двойное преобразование

Двойное преобразование Радона является своего рода сопряжением с преобразованием Радона. Начиная с функции g в пространстве $\Sigma _{n}$двойственное преобразование Радона — это функция ${\mathcal {R}}^{*}g$ на R ^н определяется: $${\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} \in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi ).$$Интеграл здесь берется по множеству всех гиперплоскостей, инцидентных точке ${\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$, и мера $d\mu$ — единственная вероятностная мера на множестве $\{\xi |\mathbf {x} \in \xi \}$ инвариант относительно вращений вокруг точки $\mathbf {x}$.

Конкретно, для двумерного преобразования Радона двойное преобразование определяется формулой: $${\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha .$$ В контексте обработки изображений двойное преобразование обычно называют обратной проекцией. поскольку он принимает функцию, определенную для каждой линии на плоскости, и «размазывает» или проецирует ее обратно на линию, чтобы создать изображение.

Переплетающаяся недвижимость

Позволять $\Delta$ обозначим лапласиан на $\mathbb {R} ^{n}$ определяется: $$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}$$Это естественный вращательно-инвариантный дифференциальный оператор второго порядка . На $\Sigma _{n}$, «радиальная» вторая производная $Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)$ также является вращательно-инвариантным. Преобразование Радона и его двойственные операторы являются переплетающимися операторами для этих двух дифференциальных операторов в том смысле, что: $${\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g).$$При анализе решений волнового уравнения в нескольких пространственных измерениях свойство переплетения приводит к трансляционному представлению Лакса и Филипса. В изображениях и численный анализ это используется для сведения многомерных задач к одномерным в качестве метода разделения измерений.

Подходы к реконструкции

Процесс реконструкции создает изображение (или функцию $f$ в предыдущем разделе) на основе данных его проекции. Реконструкция – это обратная задача .

Формула инверсии радона

В двумерном случае наиболее часто используемая аналитическая формула для восстановления $f$ из его преобразования Радона является формула фильтрованной обратной проекции или формула инверсии Радона. : $$f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )\,d\theta$$где $h$ таков, что ${\hat {h}}(k)=|k|$. Ядро свертки $h$ в некоторой литературе называется фильтром Ramp.

некорректность

Интуитивно, в фильтрованной формуле обратной проекции по аналогии с дифференцированием, для которой ${\textstyle \left({\widehat {{\frac {d}{dx}}f}}\right)\!(k)=ik{\widehat {f}}(k)}$, мы видим, что фильтр выполняет операцию, аналогичную производной. Грубо говоря, фильтр делает объекты более уникальными. Количественное утверждение о некорректности инверсии Радона выглядит следующим образом: $${\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g]}}(\mathbf {k} )={\frac {1}{\|\mathbf {k} \|}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )$$ где ${\mathcal {R}}^{*}$ является ранее определенным сопряжением к преобразованию Радона. Таким образом, для $g(\mathbf {x} )=e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }$, у нас есть: $${\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g](\mathbf {x} )={\frac {1}{\|\mathbf {k_{0}} \|}}e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }$$ Комплексная экспонента $e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }$ таким образом, является собственной функцией ${\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}$ с собственным значением ${\textstyle {\frac {1}{\|\mathbf {k} _{0}\|}}}$. Таким образом, сингулярные значения ${\mathcal {R}}$ являются ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {\|\mathbf {k} \|}}}}$. Поскольку эти сингулярные значения имеют тенденцию $0$, ${\mathcal {R}}^{-1}$ является неограниченным.

Итерационные методы реконструкции

Основная статья: Итеративная реконструкция

По сравнению с методом фильтрованной обратной проекции итеративная реконструкция требует большого времени вычислений, что ограничивает ее практическое использование. Однако из-за некорректности инверсии Радона метод обратной проекции с фильтром может оказаться невозможным при наличии разрывов или шума. Итеративные методы реконструкции ( например, итеративный метод разреженной асимптотической минимальной дисперсии). ) может обеспечить снижение металлических артефактов, шума и дозы для реконструированного результата, что вызывает большой исследовательский интерес во всем мире.

Формулы обращения

Доступны явные и эффективные с точки зрения вычислений формулы обращения для преобразования Радона и его двойника. Преобразование Радона в $n$ размеры можно инвертировать по формуле: $$c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}R^{*}Rf\,$$где $c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}$, и сила лапласиана $(-\Delta )^{(n-1)/2}$ определяется как псевдодифференциальный оператор, если необходимо, с помощью преобразования Фурье : $$\left[{\mathcal {F}}(-\Delta )^{(n-1)/2}\varphi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\varphi )(\xi ).$$В вычислительных целях степень лапласиана коммутируется с помощью двойного преобразования $R^{*}$ дать: $$c_{n}f={\begin{cases}R^{*}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ odd}}\\R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ even}}\end{cases}}$$где ${\mathcal {H}}_{s}$ — преобразование Гильберта по переменной s . В двух измерениях оператор ${\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}$ появляется при обработке изображений как фильтр рампы . Непосредственно на основе теоремы Фурье о срезах и замены переменных при интегрировании можно доказать, что для непрерывной функции с компактным носителем $f$ двух переменных: $$f={\frac {1}{2}}R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}Rf.$$Таким образом, в контексте обработки изображений исходное изображение $f$ можно восстановить по данным «синограммы» $Rf$ применив линейно-линейный фильтр (в $s$ переменная), а затем обратное проецирование. Поскольку этап фильтрации может выполняться эффективно (например, с использованием методов цифровой обработки сигналов ), а этап обратного проецирования представляет собой просто накопление значений в пикселях изображения, это приводит к высокоэффективному и, следовательно, широко используемому алгоритму.

В явном виде формула обращения, полученная последним методом, имеет вид: $$f(x)={\begin{cases}\displaystyle -\imath 2\pi (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\int _{S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{2\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x)\,d\alpha &n{\text{ odd}}\\\displaystyle (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\iint _{\mathbb {R} \times S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{q\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x+q)\,d\alpha \,dq&n{\text{ even}}\\\end{cases}}$$Двойное преобразование также можно инвертировать по аналогичной формуле: $$c_{n}g=(-L)^{(n-1)/2}R(R^{*}g).\,$$

Преобразование Радона в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии преобразование Радона (также известное как преобразование Брылинского–Радона ) строится следующим образом.

Писать

$\mathbf {P} ^{d}\,{\stackrel {p_{1}}{\gets }}\,H\,{\stackrel {p_{2}}{\to }}\,\mathbf {P} ^{\vee ,d}$

для универсальной гиперплоскости , т. е. H состоит из пар ( x , h ), где x — точка в d -мерном проективном пространстве. $\mathbf {P} ^{d}$ и h — точка в двойственном проективном пространстве (другими словами, x — линия, проходящая через начало координат в ( d +1)-мерном аффинном пространстве , а h — гиперплоскость в этом пространстве) такая, что x содержится в h .

Тогда преобразование Брылински–Радона является функтором между соответствующими производными категориями этальных пучков.

$\operatorname {Rad} :=Rp_{2,*}p_{1}^{*}:D(\mathbf {P} ^{d})\to D(\mathbf {P} ^{\vee ,d}).$

Основная теорема об этом преобразовании состоит в том, что это преобразование индуцирует эквивалентность категорий перверсивных пучков в проективном пространстве и его двойственном проективном пространстве с точностью до постоянных пучков.

См. также

• Периодограмма
• Соответствующий фильтр
• Деконволюция
• Рентгеновское преобразование
• Фанк-трансформация
• , Преобразование Хафа записанное в непрерывной форме, очень похоже, если не эквивалентно, на преобразование Радона.
• Теорема Коши – Крофтона — это тесно связанная формула для вычисления длины кривых в пространстве.
• Быстрое преобразование Фурье

Ссылки

• Киль, Райнхардт ; Вайсауэр, Райнер (2001), гипотезы Вейля, извращенные пучки и адическое преобразование Фурье , Springer, doi : 10.1007/978-3-662-04576-3 , ISBN  3-540-41457-6 , МР   1855066
• Радон, Иоганн (1917), «Об определении функций по их целым значениям вдоль некоторых многообразий», отчеты о трудах Королевской Саксонской академии наук в Лейпциге, Математико-физический класс [Доклады о трудах Королевского Саксонская академия наук в Лейпциге, Математический и физический отдел] (69), Лейпциг: Тойбнер: 262–277 ;
  Перевод: Радон, Дж. (декабрь 1986 г.), «Об определении функций по их целым значениям вдоль определенных многообразий», IEEE Transactions on Medical Imaging , 5 (4), перевод Parks, PC: 170–176, doi : 10.1109/TMI .1986.4307775 , PMID   18244009 , S2CID   26553287 .
• Рёрдинк, JBTM (2001) [1994], «Томография» , Математическая энциклопедия , EMS Press .
• Хельгасон, Сигурдур (1984), Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции , Academic Press, ISBN  0-12-338301-3 .
• Кандес, Эммануэль (2 февраля 2016a). «Прикладной анализ Фурье и элементы современной обработки сигналов - лекция 9» (PDF) .
• Кандес, Эммануэль (4 февраля 2016b). «Прикладной анализ Фурье и элементы современной обработки сигналов - лекция 10» (PDF) .
• Нигрен, Андерс Дж. (1997). «Фильтрованная обратная проекция» . Томографическая реконструкция данных ОФЭКТ .
• ван Гинкель, М.; Хендрикс, К. Л. Луенго; ван Влит, ЖЖ (2004). «Краткое введение в преобразования Радона и Хафа и их связь друг с другом» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 29 июля 2016 г.

Дальнейшее чтение

• Локенат Дебнат; Дамбару Бхатта (19 апреля 2016 г.). Интегральные преобразования и их приложения . ЦРК Пресс. ISBN  978-1-4200-1091-6 .
• Динс, Стэнли Р. (1983), Преобразование радона и некоторые его применения , Нью-Йорк: John Wiley & Sons.
• Хельгасон, Сигурдур (2008), Геометрический анализ симметричных пространств , Математические обзоры и монографии, том. 39 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , doi : 10.1090/surv/039 , ISBN  978-0-8218-4530-1 , МР   2463854
• Герман, Габор Т. (2009), Основы компьютерной томографии: реконструкция изображений по проекциям (2-е изд.), Springer, ISBN  978-1-85233-617-2
• Минлос, Р.А. (2001) [1994], «Преобразование Радона» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Наттерер, Франк (июнь 2001 г.), Математика компьютерной томографии , Классика прикладной математики, том. 32, Общество промышленной и прикладной математики, ISBN.  0-89871-493-1
• Наттерер, Фрэнк; Вюббелинг, Франк (2001), Математические методы реконструкции изображений , Общество промышленной и прикладной математики, ISBN  0-89871-472-9

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование радона» . Математический мир .
• Аналитическая проекция (преобразование Радона) (видео). Часть курса «Компьютерная томография и набор инструментов ASTRA». Университет Антверпена . 10 сентября 2015 г.