Сетевой синтез

Сетевой синтез — это метод проектирования линейных электрических цепей . Синтез начинается с заданной функции импеданса частоты или частотной характеристики , а затем определяются возможные сети, которые дадут требуемый отклик. Этот метод можно сравнить с сетевым анализом , при котором рассчитывается реакция (или другое поведение) данной схемы. До синтеза сетей был доступен только сетевой анализ, но для этого необходимо знать, какую форму схемы следует анализировать. Нет никакой гарантии, что выбранная схема будет наиболее близко соответствовать желаемому ответу или что схема будет самой простой из возможных. Сетевой синтез напрямую решает обе эти проблемы. Сетевой синтез исторически был связан с синтезом пассивных сетей, но не ограничивался такими схемами.

Эта область была основана Вильгельмом Кауэром после прочтения статьи Рональда М. Фостера 1924 года «Теорема о реактивном сопротивлении» . Теорема Фостера предоставила метод синтеза LC-цепей с произвольным количеством элементов путем разложения функции импеданса в частные дроби. Кауэр распространил метод Фостера на цепи RC и RL , нашел новые методы синтеза и методы, которые могли бы синтезировать общую схему RLC . Другие важные достижения перед Второй мировой войной связаны с Отто Брюном и Сиднеем Дарлингтоном . В 1940-х годах Рауль Ботт и Ричард Даффин опубликовали метод синтеза, который в общем случае не требовал преобразователей (устранение которых какое-то время беспокоило исследователей). В 1950-х годах много усилий было приложено к вопросу минимизации количества элементов, необходимых для синтеза, но с ограниченным успехом. Мало что было сделано в этой области до 2000-х годов, когда проблема минимизации снова стала активной областью исследований, но по состоянию на 2023 год она все еще остается нерешенной проблемой.

Основным применением сетевого синтеза является разработка фильтров сетевого синтеза , но это не единственное его применение. Среди прочего — сети согласования импеданса , сети задержки времени , направленные ответвители и устройства выравнивания . В 2000-х годах сетевой синтез начал применяться как к механическим, так и к электрическим системам, особенно в Формулы-1 гонках .

Обзор

Синтез сети – это проектирование электрической сети, которая ведет себя заданным образом, без какого-либо предварительного представления о форме сети. Обычно импеданс необходимо синтезировать с использованием пассивных компонентов. То есть сеть, состоящая из сопротивлений (R), индуктивностей (L) и емкостей (С). Такие сети всегда имеют сопротивление, обозначаемое $Z(s)$, в виде рациональной функции комплексной частотной переменной s . То есть импеданс — это отношение двух полиномов по s .

Есть три широкие области исследования сетевого синтеза; аппроксимация требования рациональной функцией, синтез этой функции в сеть и определение эквивалентов синтезированной сети.

Приближение

Идеализированную заданную функцию редко можно точно описать полиномами. Поэтому невозможно синтезировать сеть, чтобы точно воспроизвести ее. Простой и распространенный пример — фильтр с кирпичной стеной . Это идеальный отклик фильтра нижних частот , но его кусочно-непрерывный отклик невозможно представить полиномами из-за разрывов. находится рациональная функция, которая близко приближает заданную функцию Чтобы преодолеть эту трудность, с помощью теории приближения . В общем, чем более точной должна быть аппроксимация, тем выше степень полинома и тем больше элементов потребуется в сети.

Для этой цели в сетевом синтезе используется множество полиномов и функций. Выбор зависит от того, какие параметры заданной функции желает оптимизировать проектировщик. Одним из первых использовавшихся были полиномы Баттерворта , которые приводят к максимально плоскому отклику в полосе пропускания. Распространенным выбором является аппроксимация Чебышева , в которой разработчик указывает, насколько характеристика полосы пропускания может отклоняться от идеала в обмен на улучшения других параметров. Доступны и другие приближения для оптимизации временной задержки, согласования импеданса , спада и многих других требований.

Реализация

Учитывая рациональную функцию, обычно необходимо определить, реализуема ли функция в виде дискретной пассивной сети. Все такие сети описываются рациональной функцией, но не все рациональные функции реализуемы в виде дискретной пассивной сети. Исторически сетевой синтез касался исключительно таких сетей. Современные активные компоненты сделали это ограничение менее актуальным во многих приложениях. но на более высоких радиочастотах пассивные сети по-прежнему остаются предпочтительной технологией. Существует простое свойство рациональных функций, которое предсказывает, реализуема ли функция как пассивная сеть. Как только определено, что функция реализуема, появляется ряд алгоритмов, которые синтезируют на ее основе сеть.

Эквивалентность

Сетевая реализация рациональной функции не единственна. Одна и та же функция может реализовать множество эквивалентных сетей. Известно, что все аффинные преобразования матрицы импеданса, сформированной при анализе сетки сети, являются матрицами импеданса эквивалентных сетей (дополнительную информацию см. в разделе Аналоговый фильтр § Реализуемость и эквивалентность ). Известны и другие преобразования импеданса , но существуют ли дополнительные классы эквивалентности , которые еще предстоит открыть, остается открытым вопросом.

Основная область исследований в области синтеза сетей заключалась в поиске реализации, в которой используется минимальное количество элементов. В общем случае этот вопрос до конца не решен. но для многих сетей доступны решения, имеющие практическое применение.

История

Вильгельм Кауэр

Область сетевого синтеза была основана немецким математиком и учёным Вильгельмом Кауэром (1900–1945). Первый намек на теорию появился у американского математика Рональда М. Фостера (1896–1998), когда он опубликовал «Теорему о реактивном сопротивлении» в 1924 году. Кауэр сразу же осознал важность этой работы и приступил к ее обобщению и расширению. Его диссертация в 1926 году была на тему «Реализация импедансов заданной частотной зависимости» и стала началом этой области. Самая подробная работа Кауэра была проделана во время Второй мировой войны , но он был убит незадолго до окончания войны. Его работы не могли быть широко опубликованы во время войны, и только в 1958 году его семья собрала его статьи и опубликовала их для всего мира. Тем временем в Соединенных Штатах был достигнут прогресс на основе довоенных публикаций Кауэра и материалов, захваченных во время войны.

Английский математик-самоучка и ученый Оливер Хевисайд (1850–1925) был первым, кто показал, что импеданс сети RLC всегда был рациональной функцией частотного оператора, но не предоставил метода реализации сети на основе рациональной функции. Кауэр нашел необходимое условие реализации рациональной функции как пассивной сети. Южноафриканец Отто Брюн (1901–1982) позже ввел для этого состояния термин «положительно-действительная функция» (PRF). Кауэр постулировал, что PRF является необходимым и достаточным условием, но не смог этого доказать, и предложил это в качестве исследовательского проекта Брюну, который в то время был его аспирантом в Соединенных Штатах. Брюн опубликовал недостающее доказательство в своей докторской диссертации 1931 года .

Рауль Ботт

Реализация Фостера ограничивалась сетями LC и существовала в одной из двух форм; либо несколько последовательных цепей LC, включенных параллельно, либо несколько параллельных цепей LC, включенных последовательно. Метод Фостера заключался в расширении $Z(s)$ на частичные дроби . Кауэр показал, что метод Фостера можно распространить на сети RL и RC. Кауэр также нашел другой метод; расширение $Z(s)$ как непрерывная дробь , в результате чего образуется лестничная сеть , опять же в двух возможных формах. В общем, PRF будет представлять сеть RLC; при наличии всех трех видов элементов реализация сложнее. И Кауэр, и Брюн использовали идеальные преобразователи в своих реализациях сетей RLC. При практической реализации схемы необходимость включения трансформаторов нежелательна.

Метод реализации, не требующий трансформаторов, был предложен в 1949 году американским математиком венгерского происхождения Раулем Боттом (1923–2005) и американским физиком Ричардом Даффином (1909–1996). Метод Ботта и Даффина обеспечивает расширение путем многократного применения теоремы Ричардса , результата 1947 года, полученного американским физиком и математиком-прикладником Полом И. Ричардсом (1923–1978). Полученные в результате сети Ботта-Даффина имеют ограниченное практическое применение (по крайней мере, для рациональных функционалов высокой степени ), поскольку количество необходимых компонентов растет экспоненциально с увеличением степени. Ряд вариаций оригинального метода Ботта-Даффина уменьшают количество элементов в каждом разделе с шести до пяти, но при этом общее число все равно растет в геометрической прогрессии. К работам, достигшим этого, относятся Pantell (1954), Reza (1954), Storer (1954) и Fialkow & Gest (1955). По состоянию на 2010 год дальнейшего значительного прогресса в синтезе рациональных функций не произошло.

В 1939 году американский инженер-электрик Сидней Дарлингтон показал, что любой PRF можно реализовать как двухполюсную сеть, состоящую только из элементов L и C и оконченную на выходе резистором . То есть в любой сети необходим только один резистор, остальные компоненты без потерь. Теорема была независимо открыта Кауэром и Джованни Кокчи. Вытекающая из этого проблема - найти синтез PRF с использованием элементов R и C только с одним индуктором - нерешенная проблема в теории сетей. Другая нерешенная проблема - найти доказательство гипотезы Дарлингтона (1955) о том, что любой RC-2-порт с общим выводом может быть реализован как последовательно-параллельная сеть. Важным соображением в практических сетях является минимизация количества компонентов, особенно намотанных компонентов — катушек индуктивности и трансформаторов. Несмотря на большие усилия, прилагаемые к минимизации, никакая общая теория минимизации никогда не была открыта, как это было в случае с булевой алгеброй цифровых схем .

Кауэр использовал эллиптические рациональные функции для приближения к идеальным фильтрам. Особым случаем эллиптических рациональных функций являются полиномы Чебышева, принадлежащие Пафнутию Чебышеву (1821–1894), и они являются важной частью теории приближения . Полиномы Чебышева широко используются при проектировании фильтров. В 1930 году британский физик Стивен Баттерворт (1885–1958) сконструировал фильтр Баттерворта , также известный как максимально плоский фильтр, с использованием полиномов Баттерворта . Работа Баттерворта была полностью независима от Кауэра, но позже было обнаружено, что полиномы Баттерворта представляют собой предельный случай полиномов Чебышева. Еще раньше (1929 г.) и снова независимо американский инженер и ученый Эдвард Лоури Нортон (1898–1983) разработал максимально плоский механический фильтр с откликом, полностью аналогичным электрическому фильтру Баттерворта.

В 2000-х годах интерес к дальнейшему развитию теории сетевого синтеза усилился, когда эту теорию начали применять к большим механическим системам. Нерешенная проблема минимизации гораздо важнее в механической области, чем в электрической, из-за размера и стоимости компонентов. В 2017 году исследователи Кембриджского университета, ограничившись рассмотрением биквадратичных рациональных функций , определили, что реализации таких функций по методу Ботта-Даффина для всех последовательно-параллельных сетей и большинства произвольных сетей имеют минимальное число реактивных сопротивлений (Hughes, 2017). Они нашли этот результат удивительным, поскольку он показал, что метод Ботта-Даффина не так уж неминимален, как считалось ранее. Частично это исследование было сосредоточено на повторном посещении Каталога Ладенхейма . Это перечисление всех отдельных сетей RLC с не более чем двумя реактивными сопротивлениями и тремя сопротивлениями. Эдвард Ладенхейм выполнил эту работу в 1948 году, будучи студентом Фостера. Актуальность каталога в том, что все эти сети реализуются биквадратичными функциями.

Приложения

Единственное наиболее широко используемое применение сетевого синтеза — это разработка фильтров обработки сигналов . Современные конструкции таких фильтров почти всегда представляют собой некую форму фильтра сетевого синтеза .

Хендрик Боде

Другое применение — проектирование сетей согласования импедансов . Согласование импеданса на одной частоте требует только тривиальной сети — обычно одного компонента. Однако согласование импеданса в широком диапазоне требует более сложной сети, даже в том случае, если сопротивления источника и нагрузки не изменяются в зависимости от частоты. Если сделать это с помощью пассивных элементов и без использования трансформаторов, получится конструкция, подобная фильтру. Более того, если нагрузка не является чистым сопротивлением , то можно добиться идеального согласования только на нескольких дискретных частотах; совпадение по группе в целом должно быть приближенным. Разработчик сначала определяет полосу частот, в которой должна работать согласующая сеть, а затем разрабатывает полосовой фильтр для этой полосы. Единственное существенное различие между стандартным фильтром и согласующей цепью состоит в том, что импедансы источника и нагрузки не равны.

Существуют различия между фильтрами и соответствующими сетями, в которых важны параметры. Если сеть не выполняет двойную функцию, разработчика не слишком беспокоит поведение сети согласования импеданса за пределами полосы пропускания . Не имеет значения, не очень ли узкая полоса перехода или что полоса задерживания имеет плохое затухание . Фактически, попытка улучшить полосу пропускания сверх того, что строго необходимо, приведет к снижению точности согласования импедансов. При заданном количестве элементов в сети сужение расчетной полосы пропускания улучшает согласование, и наоборот. Ограничения сетей согласования импедансов были впервые исследованы американским инженером и ученым Хендриком Уэйдом Боде в 1945 году, а принцип, согласно которому они обязательно должны быть похожими на фильтры, был установлен итало-американским ученым-компьютерщиком Робертом Фано в 1950 году. Одним из параметров полосы пропускания, который обычно устанавливается для фильтров, является максимальная вносимая потеря . Для сетей согласования импеданса лучшее согласование можно получить, установив минимальные потери. То есть выигрыш никогда не достигает единицы в любой момент.

Сети с задержкой могут быть спроектированы путем синтеза сетей со структурами, подобными фильтрам. Невозможно спроектировать сеть задержки, которая имела бы постоянную задержку на всех частотах полосы. Приближение к этому поведению должно использоваться в пределах заданной полосы пропускания. Предписанная задержка будет иметь место не более чем на конечном числе точечных частот. Фильтр Бесселя имеет максимально плоскую задержку.

Применение сетевого синтеза не ограничивается электрической областью. Его можно применять к системам в любой энергетической области, которые можно представить в виде сети линейных компонентов. В частности, сетевой синтез нашел применение в механических сетях в механической области. Рассмотрение синтеза механической сети привело Малкольма К. Смита к предложению нового элемента механической сети, инертора , который аналогичен электрическому конденсатору. Механические компоненты, обладающие свойством инерции, нашли применение в подвесках Формулы-1 . гоночных автомобилей

Методы синтеза

Синтез начинается с выбора метода аппроксимации, который дает рациональную функцию, аппроксимирующую требуемую функцию сети. Если функция должна быть реализована с использованием пассивных компонентов, она также должна соответствовать условиям положительно-действительной функции (PRF). Используемый метод синтеза частично зависит от того, какая форма сети требуется, а частично от того, сколько типов элементов необходимо в сети. Одноэлементная сеть представляет собой тривиальный случай, сводящийся к импедансу одного элемента. Сеть двухэлементного типа (LC, RC или RL) может быть синтезирована с помощью синтеза Фостера или Кауэра. Сеть трехэлементного типа (сеть RLC) требует более сложной обработки, такой как синтез Бруна или Ботта-Даффина.

Какие элементы и сколько видов требуются, можно определить, исследуя полюсы и нули (вместе называемые критическими частотами) функции. Требования к критическим частотам приведены для каждого типа сети в соответствующих разделах ниже.

Фостерский синтез

Синтез Фостера в исходном виде применим только к LC-сетям. PRF представляет собой двухэлементную LC-цепь, если критические частоты $Z(s)$ все существуют на $i\omega$ ось комплексной плоскости $s=\sigma +i\omega$ ( s -плоскость ) и будет чередовать полюса и нули. В начале координат и на бесконечности должна быть одна критическая частота, все остальные должны находиться в сопряженных парах . $Z(s)$ должно быть отношением четного и нечетного многочлена, а их степени должны отличаться ровно на единицу. Эти требования являются следствием теоремы о реактивном сопротивлении Фостера .

Фостер я формирую

Пример реализации формы Фостера I

Синтез первой формы Фостера (форма Фостера I) $Z(s)$ как набор параллельных LC-цепей, соединенных последовательно. Например,

$Z(s)={\frac {9s^{5}+30s^{3}+24s}{18s^{4}+36s^{2}+8}}$

можно разложить на частичные дроби так:

$Z(s)={s \over 2}+{\frac {(25+11{\sqrt {5}})s}{5(9+3{\sqrt {5}})s^{2}+20}}+{\frac {(25-11{\sqrt {5}})s}{5(9-3{\sqrt {5}})s^{2}+20}}\approx {s \over 2}+{\frac {2.48s}{3.93s^{2}+1}}+{\frac {0.020s}{0.573s^{2}+1}}$

Первый член представляет собой последовательный индуктор, следствие $Z(s)$ имея полюс в бесконечности. Если бы у него был полюс в начале координат, это представляло бы собой последовательный конденсатор. Остальные два члена представляют собой сопряженные пары полюсов на $i\omega$ ось. Каждый из этих членов можно синтезировать как параллельную LC-цепь путем сравнения с выражением импеданса для такой цепи:

$Z_{LC}(s)={\frac {Ls}{LCs^{2}+1}}$

Получившаяся схема показана на рисунке.

Фостер II форма

Пример реализации формы Foster II

Синтез формы Фостера II $Z(s)$ как набор последовательных LC-цепей, включенных параллельно. Используется тот же метод разложения на простейшие дроби, что и для формы Фостера I, но применяется адмиттансу к $Y(s)$, вместо $Z(s)$. Используя тот же пример PRF, что и раньше,

$Y(s)={1 \over Z(s)}={\frac {18s^{4}+36s^{2}+8}{9s^{5}+30s^{3}+24s}}$

Разложенный на частичные дроби,

$Y(s)\simeq {1 \over 3s}+{\frac {2.498s}{0.6346s^{2}+1}}+{\frac {1.415s}{0.4719s^{2}+1}}$

Первый член представляет собой шунтирующий индуктор, следствие $Y(s)$ имеющий полюс в начале координат (или, что то же самое, $Z(s)$ имеет ноль в начале координат). Если бы у него был полюс на бесконечности, это представляло бы собой шунтирующий конденсатор. Остальные два члена представляют собой сопряженные пары полюсов на $i\omega$ ось. Каждый из этих членов можно синтезировать как последовательную LC-цепь путем сравнения с выражением проводимости для такой цепи:

$Y_{LC}(s)={\frac {Cs}{LCs^{2}+1}}$

Получившаяся схема показана на рисунке.

Расширение сетей RC или RL

Синтез Фостера можно распространить на любую двухэлементную сеть. Например, члены неполной дроби сети RC в форме Фостера I будут представлять элементы R и C параллельно. В этом случае простейшие дроби будут иметь вид:

$Z_{RC}(s)={\frac {R}{RCs+1}}$

Остальные формы и виды элементов следуют по аналогии. Как и в случае с сетью LC, PRF можно проверить, чтобы определить, является ли она сетью RC или RL, исследуя критические частоты. Все критические частоты должны находиться на отрицательной действительной оси и чередоваться между полюсами и нулями, и каждого из них должно быть одинаковое количество. Если критическая частота, ближайшая к началу координат или находящаяся в ней, является полюсом, то PRF является RC-сетью, если она представляет собой $Z(s)$, или это сеть RL, если она представляет собой $Y(s)$. И наоборот, если ближайшая к началу координат критическая частота равна нулю. Эти расширения теории также применимы к формам Кауэра, описанным ниже.

Иммитанс

В приведенном выше синтезе Фостера расширение функции представляет собой одну и ту же процедуру как в форме Фостера I, так и в форме Фостера II. Удобно, особенно в теоретических работах, рассматривать их вместе как иммитанс, а не отдельно как импеданс или адмиттанс. Необходимо только объявить, представляет ли функция импеданс или адмиттанс в тот момент, когда необходимо реализовать реальную схему. Иммитанс также можно использовать таким же образом с формами Кауэра I и Кауэра II и другими процедурами.

Синтез Кауэра

Синтез Кауэра является альтернативой синтезу Фостера, и условия, которым должен соответствовать PRF, точно такие же, как и синтезу Фостера. Как и синтез Фостера, существует две формы синтеза Кауэра, и обе могут быть распространены на сети RC и RL.

Кауэр I формирую

Пример реализации формы Кауэра I

Форма Кауэра I расширяется $Z(s)$ в непрерывную дробь . Используя тот же пример, что и для формы Foster I,

$Z(s)=0.5s+{\cfrac {1}{1.5s+{\cfrac {1}{2s+{\cfrac {1}{1.5s+{\cfrac {1}{0.5s}}}}}}}}$

или, в более компактных обозначениях,

$Z(s)=[0.5s;1.5s,2s,1.5s,0.5s].$

Условия этого расширения могут быть непосредственно реализованы как значения компонентов лестничной сети, как показано на рисунке. Данная PRF может иметь знаменатель большей степени, чем числитель. В таких случаях вместо этого расширяется мультипликативная обратная функция. То есть, если функция представляет $Z(s)$, затем $Y(s)$ вместо этого расширяется и наоборот.

Кауэр II форма

Пример реализации формы Кауэра II

Форма Кауэра II расширяется $Z(s)$ точно так же, как в форме Кауэра I, за исключением того, что член самой низкой степени извлекается первым в разложении цепной дроби, а не член самой высокой степени, как это делается в форме Кауэра I. Пример, использованный для формы Кауэра I и форм Фостера при расширении до формы Кауэра II, приводит к тому, что некоторые элементы имеют отрицательные значения. Таким образом, этот конкретный PRF не может быть реализован в пассивных компонентах как форма Кауэра II без включения трансформаторов или взаимных индуктивностей .

Основная причина того, что пример $Z(s)$ не может быть реализована как форма Кауэра II, заключается в том, что эта форма имеет высокочастотную топологию. Первый элемент, выделенный в цепной дроби, — это последовательный конденсатор. Это делает невозможным достижение нуля $Z(s)$ в начале, чтобы быть реализованным. С другой стороны, форма Кауэра I имеет низкочастотную топологию и, естественно, имеет ноль в начале координат. Однако $Y(s)$ Эта функция может быть реализована как форма Кауэра II, поскольку первым извлеченным элементом является шунтирующий индуктор. Это дает полюс в начале координат $Y(s)$, но это приводит к необходимому нулю в начале координат для $Z(s)$. Расширение непрерывной дроби:

$Y(s)\simeq \left[{1 \over 3s};{1 \over 1.083s},{1 \over 0.2175s},{1 \over 1.735s}\right]$

а реализованная сеть показана на рисунке.

Синтез Брюна

Синтез Бруна может синтезировать любую произвольную PRF, так что в целом это приведет к сети трехэлементного типа (т.е. RLC). Полюса и нули могут лежать где угодно в левой половине комплексной плоскости. Метод Брюна начинается с некоторых предварительных шагов по исключению критических частот на мнимой оси, как и в методе Фостера. Эти предварительные шаги иногда называют преамбулой Фостера . Затем следует цикл шагов для создания каскада секций Брюна.

Удаление критических частот на мнимой оси

Полюса и нули на $j\omega$ оси представляют элементы L и C, которые можно извлечь из PRF. Конкретно,

• полюс в начале координат представляет собой последовательный конденсатор
• полюс на бесконечности представляет собой последовательную индуктивность
• ноль в начале координат представляет собой шунтирующий индуктор
• ноль на бесконечности представляет собой шунтирующий конденсатор
• пара шестов в $s=\pm i\omega _{c}$ представляет собой параллельный LC-контур резонансной частоты $\omega _{c}$ в серии
• пара нулей в $s=\pm i\omega _{c}$ представляет собой последовательный LC-контур резонансной частоты $\omega _{c}$ в шунтирующем режиме

После этих извлечений оставшаяся PRF не имеет критических частот на мнимой оси и известна как минимального реактивного сопротивления и минимальной проводимости функция . Собственно синтез Брюна начинается с такой функции.

Общая схема метода

Суть метода Брюна заключается в создании сопряженной пары нулей на $i\omega$ оси, извлекая действительную и мнимую части функции на этой частоте, а затем извлекая пару нулей в виде резонансного контура. Это первая секция Бруна синтезированной сети. Полученный остаток представляет собой еще одну минимальную функцию реактивного сопротивления, которая на два градуса ниже. Затем цикл повторяется, каждый цикл создает еще один участок Брюна конечной сети, пока не останется постоянное значение (сопротивление). Синтез Брюна является каноническим, то есть количество элементов в окончательно синтезированной сети равно числу произвольных коэффициентов в функции импеданса. Следовательно, дальнейшее уменьшение количества элементов в синтезированной схеме невозможно.

Удаление минимального сопротивления

Извлечение минимального сопротивления

Функция минимального реактивного сопротивления будет иметь минимальную действительную часть, $R_{\text{min}}$, на некоторой частоте $\omega _{0}$. Это сопротивление можно извлечь из функции, оставив остаток от другой PRF, называемой минимальной положительно-действительной функцией или просто минимальной функцией . Например, функция минимального реактивного сопротивления

$Z(s)={\frac {3s^{2}+3s+6}{2s^{2}+s+2}}$

имеет $\omega _{\text{min}}={\sqrt {2}}$ и $R_{\text{min}}=1$. Минимальная функция, $Z_{1}(s)$, следовательно,

$Z_{1}(s)=Z(s)-R_{\text{min}}={\frac {s^{2}+2s+4}{2s^{2}+s+2}}$

Удаление отрицательной индуктивности или емкости

Извлечение отрицательной индуктивности

С $Z_{1}(i\omega _{0})$ не имеет реальной части, мы можем написать,

$Z_{1}(i\omega _{0})=iX\ .$

Для примера функции

$Z_{1}(i\omega _{0})=-i{\sqrt {2}}=iX\ .$

В этом случае, $X$ отрицательно, и мы интерпретируем его как реактивное сопротивление катушки индуктивности с отрицательным значением, $L_{1}$. Таким образом,

$iX=i\omega _{0}L_{1}$ и

$L_{1}=-1$

после подстановки значений $\omega _{0}$ и $iX$. Эта индуктивность затем извлекается из $Z_{1}(s)$, оставив еще один ПРФ, $Z_{2}(s)$,

$Z_{2}(s)=Z_{1}(s)-sL_{1}={\frac {2s^{3}+2s^{2}+4s+4}{2s^{2}+s+2}}\ .$

Причина извлечения отрицательного значения заключается в том, что $-sL_{1}$ является PRF, чего не было бы, если бы $L_{1}$ были положительными. Это гарантирует, что $Z_{2}(s)$ также будет PRF (поскольку сумма двух PRF также является PRF). Для случаев, когда $X$ является положительным значением, вместо него используется функция проводимости и извлекается отрицательная емкость. Как реализуются эти отрицательные значения, объясняется в следующем разделе.

Удаление сопряженной пары нулей

Извлечение пары нулей

И действительная, и мнимая части $Z(i\omega _{0})$ были удалены на предыдущих шагах. В результате остается пара нулей. $Z_{2}(s)$ в $\pm i\omega _{0}$ как показано путем факторизации примера функции;

$Z_{2}(s)={\frac {2s^{3}+2s^{2}+4s+4}{2s^{2}+s+2}}={\frac {(s^{2}+2)(2s+2)}{2s^{2}+s+2}}\ .$

Поскольку такая пара нулей представляет собой шунтирующий резонансный контур, мы извлекаем ее как пару полюсов из функции проводимости:

${\begin{aligned}Y_{2}(s)&={1 \over Z_{2}(s)}={\frac {2s^{2}+s+2}{(s^{2}+2)(2s+2)}}\\&={1 \over {2s+2}}+{\frac {s/2}{s^{2}+2}}\\&=Y_{3}(s)+{\frac {s/2}{s^{2}+2}}\\\end{aligned}}$

Крайний правый член представляет собой выделенный резонансный контур с $L_{2}=2$ и $C_{2}=1/4$. Синтезированная на данный момент сеть показана на рисунке.

Удаление полюса на бесконечности

Извлечение полюса на бесконечность

$Z_{3}(s)$ должен иметь полюс на бесконечности, поскольку он был создан там за счет выделения отрицательной индуктивности. Теперь этот полюс можно извлечь как положительную индуктивность.

$Z_{3}(s)={1 \over Y_{3}(s)}=2s+2=Z_{4}(s)+2s.$

Таким образом $L_{3}=2$ как показано на рисунке.

Замена отрицательной индуктивности трансформатором

Устраните отрицательную индуктивность с помощью трансформатора.

Отрицательная индуктивность не может быть реализована напрямую с помощью пассивных компонентов. Однако «тройник» индукторов можно преобразовать во взаимно связанные индукторы , поглощающие отрицательную индуктивность. При коэффициенте связи , равном единице (сильно связанной) взаимная индуктивность, $M$, в данном примере это 2.0.

Промойте и повторите.

В общем, $Z_{4}(s)$ будет еще одна функция минимального реактивного сопротивления, и затем цикл Брюна повторяется для извлечения еще одной секции Брюна. В данном примере исходный PRF имел степень 2, поэтому после уменьшения его на две степени остается только постоянный член, который тривиально синтезируется как сопротивление.

Положительный X

На втором этапе цикла было упомянуто, что необходимо извлечь отрицательное значение элемента, чтобы гарантировать остаток PRF. Если $X$ положительный, то извлекаемый элемент должен быть шунтирующим конденсатором, а не последовательным индуктором, если элемент должен быть отрицательным. Он извлекается из допуска $Y_{1}(s)$ вместо импеданса $Z_{1}(s)$. Топология схемы, полученная на четвертом этапе цикла, представляет собой Π (pi) конденсаторов плюс катушка индуктивности вместо тройника катушек индуктивности плюс конденсатор. Можно показать, что это Π конденсаторов плюс катушка индуктивности представляет собой эквивалентную схему тройника катушек индуктивности плюс конденсатор. Таким образом, допустимо извлечь положительную индуктивность и затем действовать так, как будто $Z_{2}(s)$ были ПРФ, хотя это не так. Правильный результат все равно будет получен, а функция остатка будет PRF, поэтому ее можно будет использовать в следующем цикле.

Синтез Ботта-Даффина

Пример синтеза Ботта-Даффина, этапы 1 и 2

Пример этапов синтеза Ботта-Даффина 3 и 4

Синтез Ботта-Даффина начинается, как и синтез Брюна, с удаления всех полюсов и нулей на $i\omega$ ось. Затем теорема Ричардса применяется , которая гласит:

$R(s)={\frac {kZ(s)-sZ(k)}{kZ(k)-sZ(s)}}$

если $Z(s)$ тогда это PRF $R(s)$ является PRF для всех реальных, положительных значений $k$.

Изготовление $Z(s)$ подлежащее выражения приводит к тому,

$Z(s)=\left({\frac {R(s)}{Z(k)}}+{\frac {k}{sZ(k)}}\right)^{-1}+\left({\frac {1}{Z(k)R(s)}}+{\frac {s}{kZ(k)}}\right)^{-1}$

Пример одного цикла синтеза Ботта-Даффина показан на рисунках. Четыре члена в этом выражении представляют собой, соответственно, PRF ( $Z_{2}(s)$ на схеме), индуктивность, $L$, параллельно с ним еще один ПРФ( $Z_{1}(s)$ на схеме) и емкость, $C$, параллельно с ним. Пара критических частот на $i\omega$ Затем ось извлекается из каждого из двух новых PRF (подробности здесь не приводятся), каждый из которых реализован как резонансный контур. Два оставшихся PRF ( $Y_{3}(s)$ и $Z_{4}(s)$ на диаграмме) каждая на два градуса ниже, чем $Z(s)$. Затем та же процедура неоднократно применяется к новым сгенерированным PRF, пока не останется только один элемент. Поскольку количество генерируемых PRF удваивается с каждым циклом, количество синтезируемых элементов будет расти экспоненциально. Хотя метод Ботта-Даффина позволяет избежать использования преобразователей и может быть применен к любому выражению, которое можно реализовать в виде пассивной сети, его практическое применение ограничено из-за требуемого большого количества компонентов.

Синтез Баярда

Синтез Баярда — это метод синтеза в пространстве состояний, основанный на процедуре факторизации Гаусса . Этот метод возвращает синтез с использованием минимального количества резисторов и не содержит гираторов . Однако метод неканонический и, как правило, возвращает неминимальное количество элементов реактивного сопротивления.

Синтез Дарлингтона

Синтез Дарлингтона начинается с точки зрения, отличной от обсуждавшихся до сих пор методов, которые все начинают с заданной рациональной функции и реализуют ее как однопортовый импеданс. Синтез Дарлингтона начинается с заданной рациональной функции, которая является желаемой передаточной функцией двухпортовой сети . Дарлингтон показал, что любой PRF можно реализовать как двухпортовую сеть, используя только элементы L и C с одним резистором, завершающим выходной порт. Метод Дарлингтона и родственные ему методы называются методом вносимых потерь . Этот метод можно распространить на многопортовые сети, в которых каждый порт завершается одним резистором.

Для метода Дарлингтона обычно требуются трансформаторы или связанные катушки индуктивности. Однако наиболее распространенные типы фильтров могут быть построены по методу Дарлингтона без этих нежелательных особенностей.

Активные и цифровые реализации

Пример фильтра нижних частот с ячейкой Саллена-Ки

Если отменить требование использования только пассивных элементов, то реализация может значительно упроститься. Усилители можно использовать для буферизации частей сети друг от друга, чтобы они не взаимодействовали. Каждая буферизованная ячейка может напрямую реализовать пару полюсов рациональной функции. Тогда нет необходимости в каком-либо итеративном расширении функции. Первый пример такого рода синтеза принадлежит Стивену Баттерворту в 1930 году. Созданный им фильтр Баттерворта стал классикой конструкции фильтров, но чаще всего он реализовывался с чисто пассивными, а не с активными компонентами. Более широко применимые конструкции такого типа включают топологию Саллена-Ки, предложенную Р. П. Салленом и Э. Л. Ки в 1955 году в Лаборатории Линкольна Массачусетского технологического института , и биквадратичный фильтр . Как и подход Дарлингтона, Баттерворт и Саллен-Ки начинают с заданной передаточной функции, а не импеданса. Основным практическим преимуществом активной реализации является то, что она позволяет вообще избежать использования намотанных компонентов (трансформаторов и индукторов). Это нежелательно по производственным причинам. Еще одна особенность активных проектов заключается в том, что они не ограничиваются PRF.

Цифровые реализации, такие как активные схемы, не ограничиваются PRF и могут реализовать любую рациональную функцию, просто запрограммировав ее. Однако эта функция может быть нестабильной. То есть это может привести к колебаниям . PRF гарантированно будут стабильными, но другие функции могут и не быть стабильными. Устойчивость рациональной функции можно определить, исследуя полюсы и нули функции и применяя критерий устойчивости Найквиста .

Библиография

Источники

• Аатре, Васудев К., Теория сетей и проектирование фильтров , New Age International, 1986. ISBN   0852260148 .
• Андерсон, Брайан Д.О.; Вонгпанитлерд, Сумет, Сетевой анализ и синтез: подход современной теории систем , Courier Corporation, 2013 г. ISBN   0486152170 .
• Аванг, Заики, Проектирование микроволновых систем , Springer, 2013 г. ISBN   9789814451246 .
• Бакши, UA; Бакши А.В., Анализ цепей - II , Технические публикации, 2009. ISBN   9788184315974 .
• Бакши, UA; Читоде, Дж. С., Анализ линейных систем , Технические публикации, 2009 г. ISBN   8184317409 .
• Белевич, Витольд , «Краткое содержание истории теории цепей» , Труды ИРЭ , вып. 50, вып. 5, стр. 848–855, май 1962 г.
• Карлин, Герберт Дж.; Чиваллери, Пьер Паоло, Проектирование широкополосных схем , CRC Press, 1997 г. ISBN   9780849378973 .
• Кауэр, Эмиль; Матис, Вольфганг; Паули, Райнер, «Жизнь и работа Вильгельма Кауэра (1900–1945)» , Труды четырнадцатого международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS2000) , Перпиньян, июнь 2000 г.
• Чао, Алан; Атанс, Майкл, «Устойчивость к неструктурированной неопределенности для линейных инвариантных во времени систем», гл. 30 дюймов, Левин, Уильям С., Справочник по контролю , CRC Press, 1996. ISBN   0849385709 .
• Чен, Майкл ZQ; Ху, Иньлун, «Инертер и его применение в системах контроля вибрации» , Springer, 2019 г. ISBN   981107089X .
• Чен, Майкл ZQ; Смит, Малкольм К. , «Синтез электрических и механических пассивных сетей», стр. 35–50, Блондель, Винсент Д.; Бойд, Стивен П.; Кимуру, Хиденори (редакторы), «Последние достижения в области обучения и контроля» , Springer, 2008 г. ISBN   9781848001541 .
• Комер, Дэвид Дж.; Комер, Дональд Т., Проектирование передовых электронных схем , Wiley, 2003 г. ISBN   0471228281 .
• Дарлингтон, Сидни «История сетевого синтеза и теории фильтров для схем, состоящих из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов» , IEEE Transactions: Circuits and Systems , vol. 31, стр. 3–13, 1984.
• Гош, С.П., Чакроборти, А.К., Сетевой анализ и синтез , Тата МакГроу Хилл, 2010 г. ISBN   9781259081422 .
• Глиссон, Тилдон Х., Введение в анализ и проектирование схем , Springer, 2011 ISBN ISBN   9048194431 .
• Упис, Константин Х.; Любельфельд, Ежи, Импульсные схемы , Саймон и Шустер, 1970 г. OCLC   637996615 .
• Хаббард, Джон Х. , «Синтез электрических цепей Ботта-Даффина», стр. 100–111. 33–40, Котюга, П. Роберт (редактор), Празднование математического наследия Рауля Ботта , Американское математическое общество, 2010 г. ISBN   9780821883815 .
• Хьюз, Тимоти Х.; Морелли, Алессандро; Смит, Малкольм К. , «Синтез электрических сетей: обзор недавних работ» , стр. 281–293, Tempo, R.; Юркович, С.; Мисра, П. (редакторы), «Новые приложения управления и теории систем» , Springer, 2018 г. ISBN   9783319670676 .
• Кальман, Рудольф , «Старые и новые направления исследований в теории систем», стр. 3–13, Виллемс, Ян; Хара, Синдзи; Охта, Ёсито; Фудзиока, Хисая (редакторы), Перспективы математической теории систем, управления и обработки сигналов , Springer, 2010 г. ISBN   9783540939177 .
• Ли, Томас Х. , Планарная микроволновая техника , издательство Кембриджского университета, 2004 г. ISBN   0521835267 .
• Маттеи, Джордж Л.; Янг, Лео ; Джонс, ЕМТ, СВЧ-фильтры, схемы согласования импеданса и структуры связи , McGraw-Hill, 1964, LCCN   64-7937 .
• Паарманн, Ларри Д., Проектирование и анализ аналоговых фильтров , Springer Science & Business Media, 2001 г. ISBN   0792373731 .
• Робертсон, Иан; Сомджит, Нутапонг; Чонгчеавчамнан Митчай, Проектирование микроволновых и миллиметровых волн для беспроводной связи , John Wiley & Sons, 2016 г. ISBN   1118917219 .
• Шеной, Белль А., Аппроксимация величины и задержки одномерных и двумерных цифровых фильтров , Springer, 2012 г. ISBN   3642585736 .
• Сисодия, ML; Гупта, Виджай Лакшми, Микроволновые печи: введение в схемы, устройства и антенны , New Age International, 2007 г. ISBN   8122413382 .
• Сторер, Джеймс Эдвард, Синтез пассивной сети , McGraw-Hill, 1957 г. OCLC   435995425 .
• Суонсон, Дэвид К., Обработка сигналов для интеллектуальных сенсорных систем с помощью MATLAB , CRC Press, 2012 г. ISBN   1420043056 .
• Vaisband, Inna P.; Jakushokas, Renatas, Popovich, Mikhail; Mezhiba, Andrey V.; Köse, Selçuk; Friedman Eby G., On-Chip Power Delivery and Management , Springer, 2016 ISBN   3319293958 .
• Ванхаммар, Ларс , Аналоговые фильтры с использованием MATLAB , Springer, 2009 г. ISBN   0387927670 .
• Юла, Данте К., Теория и синтез линейных пассивных стационарных сетей , Cambridge University Press, 2015 г. ISBN   1107122864 .
• Винг, Омар, Классическая теория цепей , Springer, 2008 г. ISBN   0387097406 .

Первичные документы

• Ботт, Рауль ; Даффин, Ричард , «Синтез импеданса без использования трансформаторов» , Журнал прикладной физики , том. 20, вып. 8, с. 816, август 1949 г.
• Боде, Хендрик , Сетевой анализ и проектирование усилителя обратной связи , стр. 360–371, Компания Д. Ван Ностранда, 1945 г. OCLC   1078811368 .
• Брюн, Отто , «Синтез конечной двухполюсной сети, полное сопротивление ведущей точки которой является заданной функцией частоты» , MIT Journal of Mathematics and Physics , vol. 10, стр. 191–236, апрель 1931 г.
• Баттерворт, Стивен , «К теории усилителей с фильтрами» , Experimental Wireless and the Wireless Engineer , vol. 7, нет. 85, стр. 536–541, октябрь 1930 г.
• Кауэр, Вильгельм , «Реализация импедансов заданной частотной зависимости», Archiv für Elektrotechnik , vol. 17, стр. 355–388, 1926 г. (на немецком языке).
• Кауэр, Вильгельм, «Четырехполюсный с заданным поведением затухания», Telegraph, Telephone, Radio and Television Technology , vol. 29, стр. 185–192, 228–235. 1940 г. (на немецком языке).
• Кокчи, Джованни, «Представление любых биполей с четырехполями с чистыми реактивными сопротивлениями, замкнутыми на резисторах», Alta Frequenza , vol. 9, с. 685–698, 1940 (на итальянском языке).
• Дарлингтон, Сидни , «Синтез 4-полюсных реактивных сопротивлений, которые обеспечивают заданные характеристики вносимых потерь: включая специальные приложения для проектирования фильтров» , MIT Journal of Mathematics and Physics , vol. 18, стр. 257–353, апрель 1939 г.
• Фано, Роберт , «Теоретические ограничения на широкополосное согласование произвольных импедансов» , Журнал Института Франклина , том. 249, вып. 1, стр. 57–83, январь 1950 г.
• Фиалко, Аарон; Герст, Ирвинг, «Синтез импеданса без взаимной связи» , Quarterly of Applied Mathematics , vol. 12, № 4, стр. 420–422, 1955 г.
• Хьюз, Тимоти Х., «Почему для реализации определенных импедансов RLC требуется гораздо больше элементов хранения энергии, чем ожидалось» , IEEE Transactions on Auto Control , vol. 62, выпуск 9, стр. 4333-4346, сентябрь 2017 г.
• Хьюз, Тимоти Х., «Пассивность и электрические цепи: поведенческий подход» , IFAC-PapersOnLine , vol. 50, вып. 1, стр. 15500–15505, июль 2017 г.
• Ладенхейм, Эдвард Л., Синтез биквадратичных импедансов , магистерская диссертация, Бруклинский политехнический институт, Нью-Йорк, 1948.
• Пантелл, Р.Х., «Новый метод синтеза импеданса движущейся точки» , Proceedings of the IRE , vol. 42, вып. 5, с. 861, 1954.
• Реза, Ф.М., «Эквивалент моста для цикла Брюна, завершенного резистором» , Proceedings of IRE , vol. 42, вып. 8, с. 1321, 1954.
• Ричардс, Пол И. , «Особый класс функций с положительной вещественной частью в полуплоскости» , Duke Mathematical Journal , vol. 14, нет. 3, 777–786, 1947.
• Саллен, РП; Ки, Э.Л., «Практический метод проектирования RC-активных фильтров» , IRE Transactions on Circuit Theory , vol. 2, вып. 1 стр. 74–85, март 1955 г.
• Смит, Малкольм К. , «Синтез механических сетей: инертер» , Транзакции IEEE по автоматическому управлению , том. 47, вып. 10, стр. 1648–1662, октябрь 2002 г.
• Сторер, Дж. Э., «Взаимосвязь между синтезом импеданса Ботта-Даффина и Пантелла» , Proceedings of the IRE , vol. 42, вып. 9, с. 1451, сентябрь 1954 г.