Нули и полюса

В анализе (разделе математики) полюс это особый вид комплексной функции — комплексной комплексном переменной. Это простейший тип неустранимой особенности такой функции (см. существенная особенность ). Технически точка $z0 является$ полюсом функции $f,$ является нулем функции $1/ f$ и $1/ f$ голоморфна точки (т.е. комплексно дифференцируема ) в некоторой окрестности z0 $она .$ если

Функция $f$ называется мероморфной в открытом множестве $U$ , если для каждой точки $z$ из $U$ существует окрестность $z$ , в которой хотя бы одно из $f$ и $1/ f$ голоморфно.

Если $f$ мероморфен в $U$ , то нуль $f$ является полюсом $1/ f$ , а полюс $f$ является нулем $1/ f$ . Это вызывает двойственность между нулями и полюсами , которая является фундаментальной для изучения мероморфных функций. Например, если функция мероморфна на всей комплексной плоскости плюс точка, находящаяся на бесконечности , то сумма кратностей ее полюсов равна сумме кратностей ее нулей.

Определения

Функция комплексной переменной $z$ голоморфна если в открытой области $U,$ она дифференцируема по $z$ в каждой точке $U$ . Эквивалентно, он голоморфен, если он аналитичен , то есть если его ряд Тейлора существует в каждой точке $U$ и сходится к функции в некоторой окрестности точки. Функция мероморфна в $U$ , если каждая точка $U$ имеет окрестность такую, что хотя бы одна из $f$ и $1/ f$ голоморфна в ней.

Нуль — мероморфной функции $f$ это комплексное число $z$ такое, что $f (z) = 0$ . Полюс — f $f$ это ноль $/ .$ 1

Если $f$ — функция, мероморфная в окрестности точки $z_{0}$ комплексной плоскости , то существует целое число $n$ такое, что

(z-z_{0})^{n}f(z)

голоморфен и отличен от нуля в окрестности $z_{0}$ (это следствие аналитического свойства).Если $n > 0$ , то $z_{0}$ является полюсом порядка функции (или кратности $n$ f $.$ ) Если $n < 0$ , то $z_{0}$ является нулем порядка $|n|$ выключенный $$ . Простой ноль и простой полюс — это термины, используемые для обозначения нулей и полюсов порядка. $|n|=1.$ Степень иногда используется как синоним порядка.

Эта характеристика нулей и полюсов подразумевает, что нули и полюса изолированы , то есть каждый нуль или полюс имеет окрестность, которая не содержит других нулей и полюсов.

Поскольку порядок нулей и полюсов определяется как неотрицательное число $n$ и симметрия между ними, часто полезно рассматривать полюс порядка $n$ как нуль порядка $- n$ , а нуль порядка $n$ как полюс. порядка $- н$ . В этом случае точка, которая не является ни полюсом, ни нулём, рассматривается как полюс (или ноль) порядка 0.

Мероморфная функция может иметь бесконечное количество нулей и полюсов. Так обстоит дело с гамма-функцией (см. изображение в информационном окне), которая мероморфна во всей комплексной плоскости и имеет простой полюс в каждом неположительном целом числе. Дзета -функция Римана также мероморфна во всей комплексной плоскости с единственным полюсом порядка 1 при $z = 1$ . Его нули в левой полуплоскости — все отрицательные четные целые числа, а гипотеза Римана — это гипотеза о том, что все остальные нули расположены вдоль $Re(z) = 1/2$ .

В окрестности точки $z_{0},$ ненулевая мероморфная функция $f$ представляет собой сумму ряда Лорана с не более чем конечной главной частью (члены с отрицательными значениями индекса):

f(z)=\sum _{k\geq -n}a_{k}(z-z_{0})^{k},

где $n$ — целое число, а $a_{-n}\neq 0.$ Опять же, если $n > 0$ (сумма начинается с $a_{-|n|}(z-z_{0})^{-|n|}$ , главная часть имеет $n$ членов), имеет полюс порядка $n$ , и если $n \leq 0$ (сумма начинается с $a_{|n|}(z-z_{0})^{|n|}$ , главной части нет), имеется нуль порядка $|n|$ .

В бесконечности

Функция $z\mapsto f(z)$ мероморфен на бесконечности, если он мероморфен в некоторой окрестности бесконечности (то есть вне некоторого круга ) и существует целое число $n$ такое, что

\lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z^{n}}}

существует и является ненулевым комплексным числом.

В этом случае точка на бесконечности является полюсом порядка $n,$ если $n > 0$ , и нулем порядка $|n|$ если $п <0$ .

Например, многочлен степени $n$ имеет полюс степени $n$ в бесконечности.

Комплексная плоскость, продолженная бесконечно удаленной точкой, называется сферой Римана .

Если $f$ — функция, мероморфная на всей сфере Римана, то она имеет конечное число нулей и полюсов, а сумма порядков ее полюсов равна сумме порядков ее нулей.

Всякая рациональная функция мероморфна на всей сфере Римана, и в этом случае сумма порядков нулей или полюсов есть максимум степеней числителя и знаменателя.

Примеры

Полином степени 9 имеет полюс порядка 9 в точке ∞, который здесь изображен с помощью доменной раскраски сферы Римана.

Функция

f(z)={\frac {3}{z}}

мероморфен на всей сфере Римана. Он имеет полюс порядка 1 или простой полюс в точке

z=0,

и простой ноль на бесконечности.

Функция

f(z)={\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}

мероморфна на всей сфере Римана. Он имеет полюс второго порядка

z=5,

и полюс порядка 3 при

z=-7

. Он имеет простой ноль в

z=-2,

и четверной ноль на бесконечности.

Функция

f(z)={\frac {z-4}{e^{z}-1}}

мероморфен во всей комплексной плоскости, но не на бесконечности. Он имеет полюсы порядка 1 при

z=2\pi ni{\text{ for }}n\in \mathbb {Z}

. В этом можно убедиться, написав Тейлора ряд

e^{z}

вокруг начала.

Функция

f(z)=z

имеет единственный полюс на бесконечности порядка 1 и один нуль в начале координат.

Все приведенные выше примеры, кроме третьего, являются рациональными функциями . Общее обсуждение нулей и полюсов таких функций см. в разделе График полюс-ноль § Системы с непрерывным временем .

Функция на кривой

Понятие нулей и полюсов естественным образом распространяется на функции на комплексной кривой , то есть на комплексное аналитическое многообразие размерности один (над комплексными числами). Простейшими примерами таких кривых являются комплексная плоскость и риманова поверхность . Это расширение осуществляется путем передачи структур и свойств через карты , которые являются аналитическими изоморфизмами .

Точнее, пусть $f$ будет функцией комплексной кривой $M$ комплексных чисел. Эта функция голоморфна (соответственно мероморфна) в окрестности точки $z$ множества $M,$ если существует карта $\phi$ такой, что $f\circ \phi ^{-1}$ голоморфен (соответственно мероморфен) в окрестности $\phi (z).$ Тогда $z$ является полюсом или нулем порядка $n,$ если то же самое верно для $\phi (z).$

Если кривая компактна и функция $f$ мероморфна на всей кривой, то число нулей и полюсов конечно, а сумма порядков полюсов равна сумме порядков нулей. Это один из основных фактов, которые включены в теорему Римана-Роха .

См. также

Ссылки

Конвей, Джон Б. (1986). Функции одной комплексной переменной I . Спрингер. ISBN 0-387-90328-3 .
Конвей, Джон Б. (1995). Функции одной комплексной переменной II . Спрингер. ISBN 0-387-94460-5 .
Хенрици, Питер (1974). Прикладной и вычислительный комплексный анализ 1 . Джон Уайли и сыновья .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Полюс» . Математический мир .