Функциональное уравнение

В математике функциональное уравнение ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ неуместная цитата ]} В самом широком смысле это уравнение , в котором одна или несколько функций являются неизвестными . Итак, дифференциальные уравнения и интегральные уравнения являются функциональными уравнениями. Однако часто используется более ограниченное значение, когда функциональное уравнение — это уравнение, связывающее несколько значений одной и той же функции. Например, функции логарифмирования логарифмическим по существу характеризуются функциональным уравнением $\log(xy)=\log(x)+\log(y).$

Если предполагается, что областью определения неизвестной функции являются натуральные числа , функцию обычно рассматривают как последовательность , и в этом случае функциональное уравнение (в более узком смысле) называется рекуррентным соотношением . Таким образом, термин «функциональное уравнение» используется в основном для вещественных и комплексных функций . Более того, для решений часто предполагается условие гладкости , поскольку без такого условия большинство функциональных уравнений имеют очень нерегулярные решения. Например, гамма-функция — это функция, удовлетворяющая функциональному уравнению $f(x+1)=xf(x)$ и начальное значение $f(1)=1.$ Существует множество функций, удовлетворяющих этим условиям, но гамма-функция является единственной, которая мероморфна во всей комплексной плоскости и логарифмически выпукла для $x$ действительных и положительных значений ( теорема Бора – Моллерупа ).

Примеры

Рекуррентные отношения можно рассматривать как функциональные уравнения в функциях над целыми или натуральными числами, в которых различия между индексами термов можно рассматривать как применение оператора сдвига . Например, рекуррентное соотношение, определяющее числа Фибоначчи , $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ , где $F_{0}=0$ и $F_{1}=1$

$f(x+P)=f(x)$ , характеризующее периодические функции

$f(x)=f(-x)$ , характеризующее четные функции , а также $f(x)=-f(-x)$ , характеризующее нечетные функции

$f(f(x))=g(x)$ , характеризующий функциональные квадратные корни функции g

$f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!$ ( функциональное уравнение Коши ), удовлетворяемое линейными отображениями . Уравнение может, в зависимости от выбранной аксиомы , также иметь другие патологические нелинейные решения, существование которых можно доказать с помощью базиса Гамеля для действительных чисел.
$f(x+y)=f(x)f(y),\,\!$ удовлетворяются все показательные функции . Как и аддитивное функциональное уравнение Коши, оно также может иметь патологические разрывные решения.
$f(xy)=f(x)+f(y)\,\!$ , удовлетворяемый всеми логарифмическими функциями и, по взаимно простым целым аргументам, аддитивными функциями
$f(xy)=f(x)f(y)\,\!$ , удовлетворяемый всеми степенными функциями и, по взаимно простым целым аргументам, мультипликативными функциями
$f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\,\!$ (квадратное уравнение или закон параллелограмма )
$f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!$ ( Функциональное уравнение Дженсена )
$g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)g(y)]\,\!$ ( функциональное уравнение Даламбера )
$f(h(x))=h(x+1)\,\!$ ( уравнение Абеля )
$f(h(x))=cf(x)\,\!$ ( уравнение Шредера ).
$f(h(x))=(f(x))^{c}\,\!$ ( уравнение Бетчера ).
$f(h(x))=h'(x)f(x)\,\!$ ( уравнение Джулии ).
$f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)\,\!$ (Леви-Чивита),
$f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!$ ( формула сложения синуса и формула сложения гиперболического синуса ),
$g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!$ ( формула сложения косинусов ),
$g(x+y)=g(x)g(y)+f(y)f(x)\,\!$ ( формула сложения гиперболических косинусов ).
Коммутативные представляют и ассоциативные законы собой функциональные уравнения. В привычной форме закон ассоциативности выражается записью бинарной операции в инфиксной записи : $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)~,$ но если мы напишем f ( a , b ) вместо $a ○ b$ , то ассоциативный закон будет больше похож на обычное функциональное уравнение, $f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).\,\!$

Функциональное уравнение $f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)$ удовлетворяется дзета-функцией Римана , как доказано здесь . Заглавная буква $Γ$ обозначает гамма-функцию .

Гамма-функция является единственным решением следующей системы трех уравнений: ^{[ нужна ссылка ]}
- $f(x)={f(x+1) \over x}$
- $f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)$
- $f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}$ ( Эйлера формула отражения )
Функциональное уравнение $f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$ где $a, b, c, d$ — целые числа, удовлетворяющие $ad-bc=1$ , то есть ${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$ = 1, определяет $f$ как модулярную форму порядка $k$ .

Одна особенность, которая объединяет все перечисленные выше примеры, заключается в том, что в каждом случае две или более известные функции (иногда умножение на константу, иногда сложение двух переменных, иногда тождественная функция внутри аргумента неизвестных функций находятся ). для чего нужно решить.

Когда дело доходит до поиска всех решений, возможно, условия математического анализа следует применить ; например, в случае упомянутого выше уравнения Коши решения, которые являются непрерывными функциями , являются «разумными», в то время как другие решения, которые вряд ли будут иметь практическое применение, могут быть построены (с использованием базиса Гамеля для действительных чисел как векторное пространство над рациональными числами ). Теорема Бора – Моллерупа — еще один хорошо известный пример.

Инволюции

Инволюции уравнением характеризуются функциональным $f(f(x))=x$ . Они появляются в функциональном уравнении Бэббиджа (1820 г.): ^{[ 3 ]}

f(f(x))=1-(1-x)=x\,.

Другие инволюции и решения уравнения включают

$f(x)=a-x\,,$
$f(x)={\frac {a}{x}}\,,$ и
$f(x)={\frac {b-x}{1+cx}}~,$

который включает предыдущие три как особые случаи или ограничения.

Решение

Одним из методов решения элементарных функциональных уравнений является замена. ^{[ нужна ссылка ]}

Некоторые решения функциональных уравнений используют сюръективность , инъективность , нечетность и четность . ^{[ нужна ссылка ]}

Некоторые функциональные уравнения решены с использованием анзацев , математической индукции . ^{[ нужна ссылка ]}

Некоторые классы функциональных уравнений можно решать с помощью компьютерных методов. ^{[ нечеткий ]}^{[ 4 ]}

В динамическом программировании разнообразные методы последовательного приближения. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} используются для решения функционального уравнения Беллмана , включая методы, основанные на итерациях с фиксированной точкой .

См. также

Примечания

^ Рассиас, Фемистокл М. (2000). Функциональные уравнения и неравенства . 3300 AA Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers . п. 335. ИСБН 0-7923-6484-8 . {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
^ Червик, Стефан (2002). Функциональные уравнения и неравенства с несколькими переменными . PO Box 128, Farrer Road, Сингапур 912805: World Scientific Publishing Co. p. 410 . ISBN 981-02-4837-7 . {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
^ Ритт, Дж. Ф. (1916). «О некоторых действительных решениях функционального уравнения Бэббиджа». Анналы математики . 17 (3): 113–122. дои : 10.2307/2007270 . JSTOR 2007270 .
^ Хази, Аттила (1 марта 2004 г.). «Решение линейных функциональных уравнений с двумя переменными на компьютере». уравнения Математические 67 (1): 47–62. дои : 10.1007/s00010-003-2703-9 . ISSN 1420-8903 . S2CID 118563768 .
^ Беллман, Р. (1957). Динамическое программирование, Издательство Принстонского университета .
^ Снедович, М. (2010). Динамическое программирование: основы и принципы, Тейлор и Фрэнсис .

Ссылки

Янош Ачель , Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям , Academic Press , 1966, перепечатано Dover Publications, ISBN 0486445232 .
Янош Ачель и Дж. Домбрес, Функциональные уравнения с несколькими переменными , Cambridge University Press , 1989.
К. Эфтимиу, Введение в функциональные уравнения , AMS, 2011, ISBN 978-0-8218-5314-6 ; онлайн .
Пл. Каннаппан, Функциональные уравнения и неравенства с приложениями , Springer, 2009.
Марек Кучма , Введение в теорию функциональных уравнений и неравенств , второе издание, Биркхойзер, 2009.
Хенрик Стеткер, Функциональные уравнения групп , первое издание, World Scientific Publishing, 2013.
Кристофер Г. Смолл (3 апреля 2007 г.). Функциональные уравнения и способы их решения . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48901-8 .

Внешние ссылки

Функциональные уравнения: точные решения на EqWorld: мир математических уравнений.
Функциональные уравнения: индекс EqWorld: мир математических уравнений.
Текст сборника ИМО (в архиве) по функциональным уравнениям при решении задач.

[rassias-1] Рассиас, Фемистокл М. (2000). Функциональные уравнения и неравенства . 3300 AA Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers . п. 335. ИСБН 0-7923-6484-8 . {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

[rassias4-2] Червик, Стефан (2002). Функциональные уравнения и неравенства с несколькими переменными . PO Box 128, Farrer Road, Сингапур 912805: World Scientific Publishing Co. p. 410 . ISBN 981-02-4837-7 . {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

[3] Ритт, Дж. Ф. (1916). «О некоторых действительных решениях функционального уравнения Бэббиджа». Анналы математики . 17 (3): 113–122. дои : 10.2307/2007270 . JSTOR 2007270 .

[4] Хази, Аттила (1 марта 2004 г.). «Решение линейных функциональных уравнений с двумя переменными на компьютере». уравнения Математические 67 (1): 47–62. дои : 10.1007/s00010-003-2703-9 . ISSN 1420-8903 . S2CID 118563768 .

[5] Беллман, Р. (1957). Динамическое программирование, Издательство Принстонского университета .

[6] Снедович, М. (2010). Динамическое программирование: основы и принципы, Тейлор и Фрэнсис .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]