Список длинных математических доказательств

Это список необычайно длинных математических доказательств . В таких доказательствах часто используются вычислительные методы доказательства , и их можно считать не подлежащими обследованию .

По состоянию на 2011 год Самое длинное математическое доказательство, измеряемое количеством опубликованных журнальных страниц, представляет собой классификацию конечных простых групп объемом более 10 000 страниц. Есть несколько доказательств, которые были бы намного длиннее, если бы детали компьютерных расчетов, от которых они зависят, были опубликованы полностью.

Длинные доказательства

Длина необычайно длинных доказательств со временем увеличилась. Грубо говоря, 100 страниц в 1900 году, или 200 страниц в 1950 году, или 500 страниц в 2000 году — это необычно долго для доказательства.

• 1799 Теорема Абеля-Руффини была почти доказана Паоло Руффини , но его доказательство, занимающее 500 страниц, по большей части было проигнорировано, а позже, в 1824 году, Нильс Хенрик Абель опубликовал доказательство, которое потребовало всего шесть страниц.
• 1890 г. Классификация Киллингом простых комплексных алгебр Ли, включая открытие исключительных алгебр Ли , заняла 180 страниц в 4 статьях.
• 1894 г. Построение линейки и циркуля многоугольника с 65537 сторонами с помощью Иоганном Густавом Гермесом заняло более 200 страниц.
• 1905 г. проведенное Эмануэлем Ласкером Первоначальное доказательство теоремы Ласкера-Нётер, , заняло 98 страниц, но с тех пор было упрощено: современные доказательства занимают менее страницы.
• 1963 года Теорема Фейта и Томпсона о нечетном порядке имела объем 255 страниц, что в то время было более чем в 10 раз больше, чем ранее считавшаяся длинной статьей по теории групп.
• 1964 Разрешение особенностей . Первоначальное доказательство Хиронаки состояло из 216 страниц; с тех пор он был значительно упрощен до 10 или 20 страниц.
• 1966 г. Доказательство Абыханкара разрешения особенностей для трехмерных кратностей с характеристикой больше 6 заняло около 500 страниц в нескольких статьях. В 2009 году Каткоски упростил его примерно до 40 страниц.
• 1966 Дискретные рядные представления групп Ли . Для их создания Хариш-Чандрой потребовалась длинная серия статей общим объемом около 500 страниц. Его более поздняя работа над теоремой Планшереля для полупростых групп добавила к ним еще 150 страниц.
• 1968 г. доказательство Новикова – Адяна , отрицательно решающее проблему Бернсайда о конечно порожденных бесконечных группах с конечными показателями. Оригинальный документ, состоящий из трех частей, имеет объем более 300 страниц. (Позже Бриттон опубликовал 282-страничную статью, в которой пытался решить эту проблему, но в его статье был серьезный пробел.)
• 1960-1970 «Основы алгебраической геометрии» , «Элементы алгебраической геометрии» и Семинар «Алгебраическая геометрия» . Работы Гротендика по основам алгебраической геометрии занимают многие тысячи страниц. Хотя это не доказательство одной теоремы, в нем есть несколько теорем, доказательства которых основаны на сотнях предыдущих страниц.
• 1974 Теорема о N-группе . В классификации N-групп Томпсона использовалось 6 статей общим объемом около 400 страниц, а также использовались более ранние его результаты, такие как теорема о нечетном порядке , в результате чего общий объем достигал более 700 страниц.
• 1974 Гипотеза Рамануджана и гипотеза Вейля . Хотя последняя статья Делиня, доказывающая эти гипотезы, имела объем «всего» около 30 страниц, она зависела от базовых результатов в области алгебраической геометрии и этальных когомологий , объем которых, по оценкам Делиня, составлял около 2000 страниц.
• 1974 года Теорема о 4 цветах . Доказательство этого Аппеля и Хакена заняло 139 страниц и также основывалось на длительных компьютерных вычислениях.
• 1974 г. Теорема Горенштейна – Харады , классифицирующая конечные группы секционного 2-ранга не более 4, имела объем 464 страницы.
• 1976 Серия «Эйзенштейн» . Доказательство Ленглендса функционального уравнения для ряда Эйзенштейна занимало 337 страниц.
• 1983 Теорема о трихотомии . Доказательство Горенштейна и Лайонса для случая ранга не ниже 4 составило 731 страницу, а доказательство Ашбахера для случая ранга 3 добавляет еще 159 страниц, в общей сложности 890 страниц.
• 1983 года Формула следа Сельберга . Доказательство Хейхаля общей формы формулы следа Сельберга состояло из двух томов общим объемом 1322 страницы.
• Формула следа Артура–Сельберга . Доказательства Артуром различных версий этой книги занимают несколько сотен страниц и разбросаны по множеству статей.
• 2000 Теорема о регулярности Альмгрена . Доказательство Альмгрена занимало 955 страниц.
• 2000 Теорема Лафорга о гипотезе Ленглендса для полной линейной группы над функциональными полями. Лорана Лафорга насчитывало около 600 страниц, не считая многих страниц исходных результатов. Доказательство
• 2003 Гипотеза Пуанкаре , Теорема о геометризации , Гипотеза о геометризации . Оригинальные доказательства Перельмана гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации не были объемными, но довольно схематичными. Несколько других математиков опубликовали доказательства с заполненными деталями, которые занимают несколько сотен страниц.
• 2004 Квазитоновые группы . Классификация простых квазитоновых групп Ашбахера и Смита составила 1221 страницу и стала одной из самых длинных когда-либо написанных статей.
• 2004 Классификация конечных простых групп . Доказательство этого разбросано по сотням журнальных статей, поэтому сложно оценить его общий объем, который, вероятно, составляет от 10 000 до 20 000 страниц.
• 2004 Теорема Робертсона – Сеймура . Доказательство занимает около 500 страниц, разбитых примерно на 20 статей.
• 2005 года Гипотеза Кеплера . . Доказательство этого Хейлза включает в себя несколько сотен страниц опубликованных аргументов, а также несколько гигабайт компьютерных вычислений
• 2006 — сильная теорема о совершенном графе , авторы Мария Чудновская , Нил Робертсон , Пол Сеймур и Робин Томас . Статья заняла 180 страниц в «Анналах математики» .

Длинные компьютерные вычисления

Существует множество математических теорем, проверенных долгими компьютерными вычислениями. Если бы они были записаны как доказательства, многие из них были бы намного длиннее, чем большинство приведенных выше доказательств. На самом деле не существует четкого различия между компьютерными расчетами и доказательствами, поскольку некоторые из приведенных выше доказательств, такие как теорема о четырех цветах и ​​гипотеза Кеплера, используют длинные компьютерные вычисления, а также многие страницы математических аргументов. Для компьютерных расчетов в этом разделе математические рассуждения занимают всего несколько страниц, и такая длина обусловлена ​​длинными, но рутинными вычислениями. Некоторые типичные примеры таких теорем включают:

• Несколько доказательств существования спорадических простых групп , таких как группа Лайонса , первоначально использовали компьютерные вычисления с большими матрицами или с перестановками на миллиардах символов. В большинстве случаев, например, в случае с группой младенцев-монстров , компьютерные доказательства позже были заменены более короткими доказательствами, избегающими компьютерных вычислений. Точно так же при расчете максимальных подгрупп более крупных спорадических групп используется множество компьютерных вычислений.
• 2004 г. Проверка гипотезы Римана для первых 10 ¹³ нули дзета-функции Римана .
• 2007 г. Проверка ничьей шашек .
• 2008 г. Доказательства того, что различные числа Мерсенна, содержащие около десяти миллионов цифр, являются простыми.
• Вычисления большого количества цифр числа π.
• 2010 Показано, что кубик Рубика можно собрать за 20 ходов .
• 2012 г. Показано, что для судоку нужно не менее 17 подсказок .
• 2013 г Троичная гипотеза Гольдбаха .: каждое нечетное число больше 5 можно выразить как сумму трех простых чисел.
• 2014 г. Доказательство гипотезы Эрдёша о неточности для частного случая C=2: каждая ±1-последовательность длины 1161 имеет неточность не менее 3; исходное доказательство, созданное решателем SAT, имело размер 13 гигабайт, а позже было уменьшено до 850 мегабайт.
• 2016 г. Решение булевой задачи о тройках Пифагора потребовало создания 200 терабайт доказательств.
• В 2017 году Марин Хойле , соавтор решения задачи булевых троек Пифагора, объявил о доказательстве длиной в 2 петабайта того, что 5-е число Шура равно 161.

Длинные доказательства по математической логике

Основная статья: теорема Гёделя об ускорении

Курт Гёдель показал, как найти явные примеры утверждений в формальных системах, которые доказуемы в этой системе, но самое короткое доказательство которых абсурдно длинно. Например, утверждение:

«Это утверждение невозможно доказать в арифметике Пеано менее чем с помощью символов гуголплекса»

доказуемо в арифметике Пеано, но кратчайшее доказательство содержит как минимум символы гуголплекса. У него есть короткое доказательство в более мощной системе: на самом деле оно легко доказуемо в арифметике Пеано вместе с утверждением о непротиворечивости арифметики Пеано (которое нельзя доказать в арифметике Пеано с помощью теоремы Гёделя о неполноте ).

В этом аргументе арифметику Пеано можно заменить любой более мощной последовательной системой, а гуголплекс можно заменить любым числом, которое можно кратко описать в системе.

Харви Фридман нашел несколько явных естественных примеров этого явления, приведя некоторые явные утверждения в арифметике Пеано и других формальных системах, самые короткие доказательства которых смехотворно длинны ( Smoryński 1982 ). Например, заявление

«существует целое число n такое, что если существует последовательность корневых деревьев T ₁ , T ₂ , ..., T _n такая, что T _k имеет не более k +10 вершин, то некоторое дерево можно гомеоморфно вложить в более позднее один"

доказуемо в арифметике Пеано, но кратчайшее доказательство имеет длину не менее ¹⁰⁰⁰ 2, где ⁰ 2 = 1 и ^{п + 1} 2 = 2 ^{( н 2)} ( тетрационный рост). Это утверждение является частным случаем теоремы Краскала и имеет краткое доказательство в арифметике второго порядка .

См. также

• Список неполных доказательств
• Доказательство путем запугивания

Ссылки

• Кранц, Стивен Г. (2011), Доказательство находится в пудинге. Меняющаяся природа математического доказательства (PDF) , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-0-387-48744-1 , ISBN  978-0-387-48908-7 , МР   2789493
• Смориньски, К. (1982), «Разновидности древесного опыта», Math. Intelligencer , 4 (4): 182–189, doi : 10.1007/bf03023553 , MR   0685558 , S2CID   125748405