Теорема Шура

В дискретной математике теорема Шура — это любая из нескольких теорем математика Шура Иссая . В дифференциальной геометрии теорема Шура является теоремой Акселя Шура . В функциональном анализе теорему Шура часто называют свойством Шура , что также связано с Иссаи Шуром.

Теория Рэмси

В Рамсея теории теорема Шура утверждает, что для любого разделения натуральных чисел на конечное число частей одна из частей содержит три целых числа x , y , z с

x+y=z.

Для каждого положительного целого числа S c ( c ) обозначает наименьшее число S такое, что для каждого раздела целых чисел $\{1,\ldots ,S(c)\}$ на c частей, одна из частей содержит целые числа x , y и z с $x+y=z$ . Теорема Шура гарантирует, что S ( c ) корректно определен для каждого положительного целого числа c . Числа вида S ( c ) называются числом Шура s.

Теорема Фолкмана обобщает теорему Шура, утверждая, что существуют сколь угодно большие множества целых чисел, все непустые суммы которых принадлежат одной и той же части.

Используя это определение, единственными известными числами Шура являются S (n) = 2, 5, 14, 45 и 161 ( OEIS : A030126 ) . Доказательство того, что S (5) = 161, было объявлено в 2017 году и потребовало 2 петабайта места. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Комбинаторика

В комбинаторике теорема Шура указывает количество способов выразить данное число в виде (неотрицательной, целой) линейной комбинации фиксированного набора относительно простых чисел. В частности, если $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ представляет собой набор целых чисел такой, что $\gcd(a_{1},\ldots ,a_{n})=1$ , количество различных кратных неотрицательных целых чисел $(c_{1},\ldots ,c_{n})$ такой, что $x=c_{1}a_{1}+\cdots +c_{n}a_{n}$ когда $x$ уходит в бесконечность:

{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!a_{1}\cdots a_{n}}}(1+o(1)).

В результате для любого набора относительно простых чисел $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ существует значение $x$ такое, что каждое большее число можно представить в виде линейной комбинации $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ хотя бы одним способом. Это следствие теоремы можно переформулировать в знакомом контексте, рассматривая задачу изменения суммы с помощью набора монет. Если достоинство монет представляет собой относительно простые числа (например, 2 и 5), то любую достаточно большую сумму можно обменять, используя только эти монеты. (См. Проблема с монетами .)

Дифференциальная геометрия

В дифференциальной геометрии теорема Шура сравнивает расстояние между концами пространственной кривой. $C^{*}$ расстоянию между концами соответствующей плоской кривой $C$ меньшей кривизны.

Предполагать $C(s)$ представляет собой плоскую кривую с кривизной $\kappa (s)$ которая образует выпуклую кривую, если ее замкнуть хордой, соединяющей ее конечные точки, и $C^{*}(s)$ представляет собой кривую той же длины с кривизной $\kappa ^{*}(s)$ . Позволять $d$ обозначают расстояние между конечными точками $C$ и $d^{*}$ обозначают расстояние между конечными точками $C^{*}$ . Если $\kappa ^{*}(s)\leq \kappa (s)$ затем $d^{*}\geq d$ .

Теорему Шура обычно формулируют для $C^{2}$ кривые, но Джон М. Салливан заметил, что теорема Шура применима к кривым конечной полной кривизны (утверждение немного отличается).

Линейная алгебра

В линейной алгебре теорема Шура называется либо триангуляризацией квадратной матрицы с комплексными элементами, либо квадратной матрицей с действительными элементами и действительными собственными значениями .

Функциональный анализ

В функциональном анализе и изучении банаховых пространств теорема Шура, принадлежащая И. Шуру , часто ссылается на свойство Шура , что для некоторых пространств слабая сходимость влечет за собой сходимость по норме.

Теория чисел

В теории чисел Иссаи Шур показал в 1912 году, что для каждого непостоянного многочлена p ( x ) с целыми коэффициентами , если S — множество всех ненулевых значений ${\begin{Bmatrix}p(n)\neq 0:n\in \mathbb {N} \end{Bmatrix}}$ , то множество простых чисел , делящих некоторый член S , бесконечно.

См. также

Лемма Шура (из римановой геометрии)

Ссылки

^ Хойле, Марин Дж. Х. (2017). «Шур номер пять». arXiv : 1711.08076 .
^ «Шур номер пять» . www.cs.utexas.edu . Проверено 6 октября 2021 г.

Герберт С. Уилф (1994). порождающая функционалология . Академическая пресса.
Шиинг-Шен Черн (1967). Кривые и поверхности в евклидовом пространстве. В исследованиях по глобальной геометрии и анализу. Прентис-Холл.
Джесси Шур (1912). О существовании бесконечного числа простых чисел в некоторых специальных арифметических прогрессиях, труды Berliner Math.

Дальнейшее чтение

Дэни Бреслауер и Девдатт П. Дубхаши (1995). Комбинаторика для компьютерщиков
Джон М. Салливан (2006). Кривые конечной полной кривизны . arXiv.

[1] Хойле, Марин Дж. Х. (2017). «Шур номер пять». arXiv : 1711.08076 .

[2] «Шур номер пять» . www.cs.utexas.edu . Проверено 6 октября 2021 г.

[ 1 ]

[ 2 ]