Обобщения чисел Фибоначчи

В математике числа Фибоначчи образуют последовательность, определяемую рекурсивно следующим образом:

$F_{n}={\begin{cases}0&n=0\\1&n=1\\F_{n-1}+F_{n-2}&n>1\end{cases}}$

То есть после двух начальных значений каждое число представляет собой сумму двух предыдущих чисел.

Последовательность Фибоначчи широко изучалась и обобщалась разными способами, например, начиная с чисел, отличных от 0 и 1, добавляя более двух чисел для создания следующего числа или добавляя объекты, отличные от чисел.

Расширение до отрицательных целых чисел

С использованием $F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1}$, можно расширить числа Фибоначчи до отрицательных целых чисел . Итак, мы получаем:

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

и $F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}$.

См. также Кодирование Негафибоначчи .

Расширение на все действительные или комплексные числа.

Существует ряд возможных обобщений чисел Фибоначчи, которые включают в свою область действительные числа (а иногда и комплексные числа ). Каждый из них включает золотое сечение φ и основан на формуле Бине.

$F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.$

Аналитическая функция

$\operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}$

имеет свойство, которое $\operatorname {Fe} (n)=F_{n}$ для четных целых чисел $n$. Аналогично аналитическая функция:

$\operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}$

удовлетворяет $\operatorname {Fo} (n)=F_{n}$ для нечетных целых чисел $n$.

Наконец, сложив их вместе, аналитическая функция

$\operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}$

удовлетворяет $\operatorname {Fib} (n)=F_{n}$ для всех целых чисел $n$.

С $\operatorname {Fib} (z+2)=\operatorname {Fib} (z+1)+\operatorname {Fib} (z)$ для всех комплексных чисел $z$, эта функция также обеспечивает расширение последовательности Фибоначчи на всю комплексную плоскость. Следовательно, мы можем вычислить обобщенную функцию Фибоначчи комплексной переменной, например:

$\operatorname {Fib} (3+4i)\approx -5248.5-14195.9i$

Векторное пространство

Термин «последовательность Фибоначчи» также применяется в более общем смысле к любой функции. $g$ от целых чисел к полю, для которого $g(n+2)=g(n)+g(n+1)$. Эти функции в точности являются функциями вида $g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)$, поэтому последовательности Фибоначчи образуют векторное пространство с функциями $F(n)$ и $F(n-1)$ в качестве основы .

В более общем плане диапазон $g$ можно взять любую абелеву группу (рассматриваемую как Z - модуль ). Тогда последовательности Фибоначчи образуют 2-мерный Z аналогичным образом -модуль.

Подобные целочисленные последовательности

Целочисленные последовательности Фибоначчи

2-мерный $\mathbb {Z}$-модуль целочисленных последовательностей Фибоначчи состоит из всех целочисленных последовательностей, удовлетворяющих $g(n+2)=g(n)+g(n+1)$. Выражаясь через два начальных значения, мы имеем:

$g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi )^{1-n}}{\sqrt {5}}},$

где $\varphi$ это золотое сечение.

Отношение между двумя последовательными элементами сходится к золотому сечению, за исключением случаев, когда последовательность постоянно равна нулю, а также последовательностей, в которых отношение двух первых членов равно $(-\varphi )^{-1}$.

Последовательность можно записать в виде

$a\varphi ^{n}+b(-\varphi )^{-n},$

в котором $a=0$ тогда и только тогда, когда $b=0$. В этой форме простейший нетривиальный пример имеет $a=b=1$, который представляет собой последовательность чисел Люка :

$L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}.$

У нас есть $L_{1}=1$ и $L_{2}=3$. Свойства включают в себя:

${\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\!n}={\frac {L(n)+F(n){\sqrt {5}}}{2}},\\L(n)&=F(n-1)+F(n+1).\end{aligned}}$

Каждая нетривиальная целочисленная последовательность Фибоначчи появляется (возможно, после сдвига на конечное число позиций) как одна из строк массива Витхоффа . Сама последовательность Фибоначчи — это первая строка, а сдвиг последовательности Люка — вторая строка.

См. также целочисленные последовательности Фибоначчи по модулю n .

Последовательности Лукаса

Другим обобщением последовательности Фибоначчи являются последовательности Люка , определяемые следующим образом:

${\begin{aligned}U(0)&=0\\U(1)&=1\\U(n+2)&=PU(n+1)-QU(n),\end{aligned}}$

где нормальная последовательность Фибоначчи является частным случаем $P=1$ и $Q=-1$. Другой вид последовательности Лукаса начинается с $V(0)=2$, $V(1)=P$. Такие последовательности находят применение в теории чисел и доказательстве простоты .

Когда $Q=-1$, эта последовательность называется P -последовательностью Фибоначчи , например, последовательность Пелля также называется 2-последовательностью Фибоначчи .

Последовательность 3- Фибоначчи

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 6065 29080, ... (последовательность A006190 в OEIS )

Последовательность 4- Фибоначчи

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, ... A001076 в OEIS )

Последовательность 5- Фибоначчи

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, ... (последовательность A05 2918 в ОЭИС )

Последовательность 6- Фибоначчи

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, ... (последовательность A005668 в ОЭИС )

Константа n -Фибоначчи — это отношение, к которому примыкают соседние $n$-Числа Фибоначчи имеют тенденцию; его также называют n- м металлическим средним , и это единственный корень положительный $x^{2}-nx-1=0$. Например, случай $n=1$ является ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$, или золотое сечение , и случай $n=2$ является $1+{\sqrt {2}}$, или соотношение серебра . Как правило, случай $n$ является ${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$.

В целом, $U(n)$ можно назвать ( P , −Q ) -последовательностью Фибоначчи , а V ( n ) можно назвать ( P , −Q ) -последовательностью Люка .

-последовательность (1,2) Фибоначчи

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 139810, 1, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, ... (последовательность A001045 в OEIS )

Последовательность (1,3)-Фибоначчи имеет вид

1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 1122833, 2, 25856071, 59541067, ...( последовательность A006130 в OEIS )

имеет (2,2)-Последовательность Фибоначчи вид

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752 , ... (последовательность A002605 в OEIS )

Последовательность (3,3)-Фибоначчи имеет вид

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531 , 5715470808, ... (последовательность A030195 в OEIS )

Числа Фибоначчи высшего порядка

Последовательность Фибоначчи порядка n — это целочисленная последовательность, в которой каждый элемент последовательности представляет собой сумму предыдущих $n$ элементы (за исключением первого $n$ элементы последовательности). Обычные числа Фибоначчи представляют собой последовательность Фибоначчи второго порядка. Случаи $n=3$ и $n=4$ были тщательно расследованы. Количество композиций целых неотрицательных чисел на части, не более $n$ представляет собой последовательность Фибоначчи порядка $n$. Последовательность количества строк 0 и 1 длины $m$ которые содержат не более $n$ последовательные нули также являются последовательностью Фибоначчи порядка $n$.

Эти последовательности, их предельные соотношения и предел этих предельных соотношений были исследованы Марком Барром в 1913 году.

Числа Трибоначчи

Числа трибоначчи подобны числам Фибоначчи, но вместо того, чтобы начинаться с двух заранее определенных членов, последовательность начинается с трех заранее определенных членов, и каждый последующий член представляет собой сумму трех предыдущих членов. Первые несколько чисел трибоначчи:

0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 4 , 7 , 13 , 24 , 44 , 81 , 149 , 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … (последовательность A00 0073 в ОЭИС )

Впервые серия была формально описана Агрономом. в 1914 году, но первое его непреднамеренное использование находится в « Происхождении видов» Чарльза Р. Дарвина . В примере, иллюстрирующем рост популяции слонов, он опирался на расчеты, сделанные его сыном Джорджем Х. Дарвином . Термин трибоначчи был предложен Фейнбергом в 1963 году.

Трибоначчи Константа

${\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\frac {3}{8}}\right)\right)}{3}}\approx 1.839286755214161,$ (последовательность A058265 в OEIS )

- это отношение, к которому стремятся соседние числа трибоначчи. Это корень многочлена $x^{3}-x^{2}-x-1=0$, а также удовлетворяет уравнению $x+x^{-3}=2$. Это важно при исследовании курносого куба .

Геометрическое построение постоянной Трибоначчи (AC) с циркулем и отмеченной линейкой в ​​соответствии с методом, описанным Ксерардо Нейрой.

Обратная константа Трибоначчи , выраженная соотношением $\xi ^{3}+\xi ^{2}+\xi =1$, можно записать как:

$\xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33}}}}-1}{3}}={\frac {3}{1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}}\approx 0.543689012.$ (последовательность A192918 в OEIS )

Числа трибоначчи также определяются выражением

$T(n)=\left\lfloor 3b\,{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil$

где $\lfloor \cdot \rceil$ обозначает ближайшую целочисленную функцию и

${\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33}}}}\,,\\b&={\sqrt[{3}]{586+102{\sqrt {33}}}}\,.\end{aligned}}$

Числа тетраначчи

Числа тетраначчи начинаются с четырех заранее определенных членов, каждый из которых впоследствии представляет собой сумму четырех предыдущих членов. Первые несколько чисел тетраначчи:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15 , 29 , 56 , 108 , 208 , 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (последовательность A000078 в OEIS )

— Константа тетраначчи это отношение, к которому стремятся соседние числа тетраначчи. Это корень многочлена $x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0$, примерно 1,927561975482925 (последовательность A086088 в OEIS ), а также удовлетворяет уравнению $x+x^{-4}=2$.

Константу тетраначчи можно выразить в радикалах следующим выражением:

$x={\frac {1}{4}}\!\left(1+{\sqrt {u}}+{\sqrt {11-u+{\frac {26}{\sqrt {u}}}}}\,\right)$

где,

$u={\frac {11}{12}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {65+3{\sqrt {1689}}}{2}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-65+3{\sqrt {1689}}}{2}}}$

и $u$ действительный корень кубического уравнения $u^{3}-11u^{2}+115u-169.$

Высшие заказы

Были вычислены числа Пентаначчи, гексаначчи, гептаначчи, октаначчи и эннеаначчи. Числа Пентаначчи:

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, … (последовательность A001591 в OEIS )

Числа Гексаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … (последовательность A001592 в OEIS )

Числа Гептаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … (последовательность A122189 в ОЭИС )

Числа Октаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... ( последовательность A079262 в OEIS )

Числа Эннеаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, .. .(последовательность A104144 в OEIS )

Предел отношения последовательных членов $n$-ряд Наччи стремится к корню уравнения $x+x^{-n}=2$ ( OEIS : A103814 , OEIS : A118427 , OEIS : A118428 ).

Альтернативная рекурсивная формула для предела отношения $r$ из двух последовательных $n$-числа Наччи можно выразить как

$r=\sum _{k=0}^{n-1}r^{-k}$.

Особый случай $n=2$ это традиционный ряд Фибоначчи, дающий золотое сечение $\varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}$.

Приведенные выше формулы соотношения справедливы даже для $n$-наччи ряд, созданный из произвольных чисел. Предел этого отношения равен 2, поскольку $n$ увеличивается. Последовательность «инфиначчи», если бы ее можно было описать, после бесконечного числа нулей дала бы последовательность

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

которые представляют собой просто степени двойки .

Предел отношения для любого $n>0$ положительный корень $r$ характеристического уравнения

$x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0.$

Корень $r$ находится в интервале $2(1-2^{-n})<r<2$. Отрицательный корень характеристического уравнения находится в интервале (−1, 0), когда $n$ четный. Этот корень и каждый комплексный корень характеристического уравнения имеют модуль $3^{-n}<|r|<1$.

Серия для положительного корня $r$ для любого $n>0$ является

$2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{2^{(n+1)i}}}.$

решение характеристического уравнения в радикалах не существует При 5 ≤ n ≤ 11 .

k - й элемент последовательности n -наччи имеет вид

$F_{k}^{(n)}=\left\lfloor {\frac {r^{k-1}(r-1)}{(n+1)r-2n}}\right\rceil \!,$

где $\lfloor \cdot \rceil$ обозначает ближайшую целочисленную функцию и $r$ это $n$-константа Наччи, которая является корнем $x+x^{-n}=2$ ближайший к 2.

связана Задача о подбрасывании монеты с $n$-последовательность Наччи. Вероятность того, что нет $n$ последовательные хвосты будут встречаться в $m$ подбрасывание идеализированной монеты - это ${\frac {1}{2^{m}}}F_{m+2}^{(n)}$.

Слово Фибоначчи

Основная статья: слово Фибоначчи

По аналогии со своим числовым аналогом слово Фибоначчи определяется следующим образом:

$F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&n=0;\\{\text{a}}&n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&n>1.\\\end{cases}}$

где $+$ обозначает объединение двух строк. Последовательность строк Фибоначчи начинается:

б, а, аб, аба, абааб, абаабаба, абаабабаабааб, … (последовательность A106750 в OEIS )

Длина каждой строки Фибоначчи является числом Фибоначчи, и аналогично существует соответствующая строка Фибоначчи для каждого числа Фибоначчи.

Строки Фибоначчи используются в качестве входных данных для наихудшего случая в некоторых компьютерных алгоритмах .

Если «a» и «b» представляют два разных материала или длины атомных связей, структура, соответствующая струне Фибоначчи, представляет собой квазикристалл Фибоначчи , апериодическую квазикристаллическую структуру с необычными спектральными свойствами.

Свернутые последовательности Фибоначчи

Свёрнутая последовательность Фибоначчи получается применением операции свертки к последовательности Фибоначчи один или несколько раз. В частности, определите

$F_{n}^{(0)}=F_{n}$

и

$F_{n}^{(r+1)}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}F_{n-i}^{(r)}$

Первые несколько последовательностей

$r=1$: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, … (последовательность A001629 в OEIS ).

$r=2$: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, … (последовательность A001628 в OEIS ).

$r=3$: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, … (последовательность A001872 в OEIS ).

Последовательности можно рассчитать с помощью рекуррентного метода

$F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n}^{(r)}$

функция Производящая ​ $r$эта свертка

$s^{(r)}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{n}^{(r)}x^{n}=\left({\frac {x}{1-x-x^{2}}}\right)^{r}.$

Последовательности связаны с последовательностью полиномов Фибоначчи соотношением

$F_{n}^{(r)}=r!F_{n}^{(r)}(1)$

где $F_{n}^{(r)}(x)$ это $r$-я производная от $F_{n}(x)$. Эквивалентно, $F_{n}^{(r)}$ коэффициент ​ ​ $(x-1)^{r}$ когда $F_{x}(x)$ расширены полномочия $(x-1)$.

Первая свертка, $F_{n}^{(1)}$ можно записать через числа Фибоначчи и Люка как

$F_{n}^{(1)}={\frac {nL_{n}-F_{n}}{5}}$

и следует за повторением

$F_{n+1}^{(1)}=2F_{n}^{(1)}+F_{n-1}^{(1)}-2F_{n-2}^{(1)}-F_{n-3}^{(1)}.$

Подобные выражения можно найти для $r>1$ с возрастающей сложностью, так как $r$ увеличивается. Числа $F_{n}^{(1)}$ — суммы строк треугольника Хосои .

Как и в случае с числами Фибоначчи, существует несколько комбинаторных интерпретаций этих последовательностей. Например $F_{n}^{(1)}$ это количество способов $n-2$ можно записать в виде упорядоченной суммы, включающей только 0, 1 и 2, причем 0 используется ровно один раз. В частности $F_{4}^{(1)}=5$ а 2 можно записать 0 + 1 + 1 , 0 + 2 , 1 + 0 + 1 , 1 + 1 + 0 , 2 + 0 .

Другие обобщения

Полиномы Фибоначчи являются еще одним обобщением чисел Фибоначчи.

Последовательность Падована генерируется повторением $P(n)=P(n-2)+P(n-3)$.

Последовательность коров Нараяны порождается повторением $N(k)=N(k-1)+N(k-3)$.

Случайную последовательность Фибоначчи можно определить, подбрасывая монету для каждой позиции. $n$ последовательности и принятия $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$ если он приземлится головой и $F(n)=F(n-1)-F(n-2)$ если выпадет решка. Работа Фюрстенберга и Кестена гарантирует, что эта последовательность почти наверняка растет экспоненциально с постоянной скоростью: константа не зависит от подбрасывания монеты и была вычислена в 1999 году Дивакаром Вишванатом . Теперь она известна как постоянная Вишваната .

Repfigit , представляет собой целое число , , или число Кита такое, что когда его цифры начинают последовательность Фибоначчи с таким количеством цифр, в конечном итоге достигается исходное число. Примером является 47, потому что последовательность Фибоначчи, начинающаяся с 4 и 7 (4, 7, 11, 18, 29, 47), достигает 47. Рефигит может быть последовательностью трибоначчи, если в числе 3 цифры, числом тетраначчи, если число состоит из четырех цифр и т. д. Первые несколько повторов:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, … (последовательность A007629 в OEIS )

Поскольку множество последовательностей, удовлетворяющих соотношению $S(n)=S(n-1)+S(n-2)$ замкнуто при почленном сложении и при почленном умножении на константу, его можно рассматривать как векторное пространство . Любая такая последовательность однозначно определяется выбором двух элементов, поэтому векторное пространство является двумерным . Если мы сократим такую ​​последовательность как $(S(0),S(1))$, последовательность Фибоначчи $F(n)=(0,1)$ и сдвинутая последовательность Фибоначчи $F(n-1)=(1,0)$ рассматриваются как каноническая основа этого пространства, что дает тождество:

$S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)$

для всех таких последовательностей S . Например, если S — последовательность Люка 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... , то мы получаем

$L(n)=2F(n-1)+F(n)$.

N -сгенерированная последовательность Фибоначчи

Мы можем определить N -порожденную последовательность Фибоначчи (где N — положительное рациональное число ): если

$N=2^{a_{1}}\cdot 3^{a_{2}}\cdot 5^{a_{3}}\cdot 7^{a_{4}}\cdot 11^{a_{5}}\cdot 13^{a_{6}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{a_{r}},$

где p _{r —} - е r простое число, то мы определяем

$F_{N}(n)=a_{1}F_{N}(n-1)+a_{2}F_{N}(n-2)+a_{3}F_{N}(n-3)+a_{4}F_{N}(n-4)+a_{5}F_{N}(n-5)+...$

Если $n=r-1$, затем $F_{N}(n)=1$, и если $n<r-1$, затем $F_{N}(n)=0$.

Последовательность	Н	OEIS Последовательность
Последовательность Фибоначчи	6	А000045
Последовательность Пелла	12	А000129
Последовательность Якобсталя	18	А001045
Сцена с коровами Нараяны	10	А000930
Падованская последовательность	15	А000931
Последовательность Пелла третьего порядка	20	А008998
Последовательность Трибоначчи	30	А000073
Последовательность Тетраначчи	210	А000288

Последовательность полуфибоначчи

Последовательность полуфибоначчи (последовательность A030067 в OEIS ) определяется с помощью той же рекурсии для термов с нечетным индексом. $a(2n+1)=a(2n)+a(2n-1)$ и $a(1)=1$, но для четных индексов $a(2n)=a(n)$, $n\geq 1$. Биссекция A030068 термов с нечетным индексом $s(n)=a(2n-1)$ поэтому проверяет $s(n+1)=s(n)+a(n)$ и строго возрастает . Это дает набор получисел Фибоначчи

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, ... ( последовательность A030068 в OEIS )

которые происходят как $s(n)=a(2^{k}(2n-1)),k=0,1,...\,.$

Внешние ссылки

• «Число Трибоначчи» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]