Обратная задача Галуа

Нерешенная задача по математике :

Является ли каждая конечная группа группой Галуа Галуа расширения рациональных чисел ?

(еще нерешенные задачи по математике)

В теории Галуа обратная проблема Галуа ли каждая конечная группа касается того, является группой Галуа некоторого расширения Галуа рациональных чисел. $\mathbb {Q}$. Эта проблема, впервые поставленная в начале XIX века, является нерешённой.

Существуют некоторые группы перестановок , для которых общие полиномы известны , определяющие все алгебраические расширения $\mathbb {Q}$ наличие определенной группы как группы Галуа. В эти группы входят все степени не выше 5 . Также известны группы, не имеющие общих полиномов, например циклическая группа порядка 8 .

В более общем смысле, пусть G — заданная конечная группа, а K — поле. Если существует поле расширения Галуа L / K, Галуа которого G , K. говорят, что G реализуема над изоморфна группа

Частичные результаты

Известно множество случаев. Известно, что каждая конечная группа реализуема над любым полем функций от одной переменной над комплексными числами. $\mathbb {C}$и, в более общем плане, над функциональными полями от одной переменной над любым алгебраически замкнутым полем характеристики нулевой . Игорь Шафаревич показал, что любая конечная разрешимая группа реализуема над $\mathbb {Q}$. Известно также, что каждая простая спорадическая группа , за исключением, быть может, Матье M23 _группы , реализуема над $\mathbb {Q}$.

Дэвид Гильберт показал, что этот вопрос связан с вопросом рациональности для G :

Если K — любое расширение $\mathbb {Q}$ на которой G действует как группа автоморфизмов , а инвариантное поле K ^Г является рациональным в отношении $\mathbb {Q}$, то G реализуемо над $\mathbb {Q}$.

здесь Рациональное означает, что это чисто трансцендентальное расширение $\mathbb {Q}$, порожденный алгебраически независимым множеством. Этот критерий можно, например, использовать, чтобы показать, что все симметрические группы реализуемы.

Над этим вопросом, который ни в каком смысле не решен вообще, проведена большая детальная работа. Частично это основано на построении G геометрически как накрытия Галуа проективной прямой : говоря алгебраическими терминами, начиная с расширения поля $\mathbb {Q} (t)$ рациональных функций в неопределенном t . После этого применяется теорема о неприводимости Гильберта для специализации t таким образом, чтобы сохранить группу Галуа.

Известно, что все группы перестановок степени 16 и ниже реализуемы над $\mathbb {Q}$; группы PSL(2,16):2 степени 17 может не быть.

Известно, что все 13 неабелевых простых групп меньше PSL(2,25) (порядка 7800) реализуемы над $\mathbb {Q}$.

Простой пример: циклические группы

Используя классические результаты, можно явно построить многочлен , группа Галуа которого над $\mathbb {Q}$ — циклическая группа Z / n Z для любого натурального числа n . Для этого выберите простое число p такое, что p ≡ 1 (mod n ) ; это возможно по теореме Дирихле . Пусть Q ( µ ) — расширение круговое $\mathbb {Q}$ порожденный µ , где µ — примитивный корень p- й степени из единицы ; группа Галуа группы Q ( µ )/ Q циклическая порядка p − 1 .

Поскольку n делит p −1 , группа Галуа имеет циклическую подгруппу H порядка ( p −1)/ n . Фундаментальная теорема теории Галуа подразумевает, что соответствующее фиксированное поле F = Q ( µ ) ^ЧАС , имеет группу Галуа Z / n Z над $\mathbb {Q}$. Взяв соответствующие суммы сопряженных µ , следуя построению гауссовских периодов , можно найти элемент α из F , который порождает F над $\mathbb {Q}$и вычислите его минимальный полином .

Этот метод можно распространить на все конечные абелевы группы , поскольку каждая такая группа фактически появляется как фактор группы Галуа некоторого кругового расширения группы. $\mathbb {Q}$. (Однако не следует путать это утверждение с теоремой Кронекера–Вебера , которая лежит значительно глубже.)

Рабочий пример: циклическая группа третьего порядка

Для n = 3 мы можем взять p = 7 . Тогда Gal( Q ( µ )/ Q ) циклический шестого порядка. Возьмем генератор η этой группы, который переводит µ в µ ³ . Нас будет интересовать подгруппа H = {1, η ³ } второго порядка. Рассмотрим элемент α = µ + η ³ ( мкм ) . По построению α фиксируется H и имеет только три сопряжения над $\mathbb {Q}$:

а = п ⁰ ( а ) знак равно µ + µ ⁶ ,

б = п ¹ ( а ) = м ³ + м ⁴ ,

с = п ² ( а ) = м ² + м ⁵ .

Используя личность:

1 + м + м ² + ⋯ + м ⁶ = 0 ,

человек обнаруживает, что

α + β + γ = −1 ,

αβ + βγ + γα = −2 ,

среднее = 1 .

Следовательно, α является корнем многочлена

( Икс - α )( Икс - β )( Икс - γ ) знак равно Икс ³ + х ² - 2 х - 1 ,

который, следовательно, имеет группу Галуа Z /3 Z над $\mathbb {Q}$.

Симметричные и чередующиеся группы

Гильберт показал, что все симметричные и знакопеременные группы представлены как группы Галуа многочленов с рациональными коэффициентами .

Полином x ^н + ax + b имеет дискриминант

$(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\!\left(n^{n}b^{n-1}+(-1)^{1-n}(n-1)^{n-1}a^{n}\right)\!.$

Берем частный случай

ж ( Икс , s ) знак равно Икс ^н - сх - с .

Подстановка простого целого числа вместо s в f ( x , s ) дает многочлен (называемый специализацией f ) , ( x , s ) который по критерию Эйзенштейна является неприводимым . Тогда f ( x , s ) должно быть неприводимым над $\mathbb {Q} (s)$. Кроме того, f ( x , s ) можно записать

$x^{n}-{\tfrac {x}{2}}-{\tfrac {1}{2}}-\left(s-{\tfrac {1}{2}}\right)\!(x+1)$

и f ( x , 1/2) можно разложить на:

${\tfrac {1}{2}}(x-1)\!\left(1+2x+2x^{2}+\cdots +2x^{n-1}\right)$

второй множитель которого неприводим (но не по критерию Эйзенштейна). Только обратный многочлен неприводим по критерию Эйзенштейна. Мы показали, что группа Gal( f ( x , s )/ Q ( s )) транзитивна дважды .

Затем мы можем обнаружить, что эта группа Галуа имеет транспозицию. Используйте масштабирование (1 − n ) x = ny , чтобы получить

$y^{n}-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n-1}\right\}y-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n}\right\}$

и с

$t={\frac {s(1-n)^{n-1}}{n^{n}}},$

мы приходим к:

г ( у , т ) знак равно у ^н − nty + ( n − 1) t

который можно организовать

и ^н - y - ( n - 1)( y - 1) + ( t - 1) (- или + n - 1) .

Тогда g ( y , 1) имеет 1 как двойной нуль , а остальные n − 2 нулей являются простыми транспозиция в Gal( f ( x , s )/ Q ( s )) , и подразумевается . Любая конечная дважды транзитивная группа подстановок, содержащая транспозицию, является полной симметрической группой.

Тогда из теоремы Гильберта о неприводимости следует, что бесконечное множество рациональных чисел дает специализации f ( x , t ), чьи группы Галуа являются S _n над рациональным полем. $\mathbb {Q}$. На самом деле это множество рациональных чисел плотно в $\mathbb {Q}$.

Дискриминант g ( y , t ) равен

$(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t),$

и это вообще не идеальный квадрат.

Чередование групп

Решения для чередующихся групп должны обрабатываться по-разному для нечетных и четных степеней.

Нечетная степень

Позволять

$t=1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}$

При этой замене дискриминант g ( y , t ) равен

${\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-\left(1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left((-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\\&=n^{n+1}(n-1)^{n-1}t^{n-1}u^{2}\end{aligned}}$

который является полным квадратом, когда n нечетно.

Четная степень

Позволять:

$t={\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}$

При этой замене дискриминант g ( y , t ) равен:

${\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-{\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {\left(1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)-1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(t(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)\\&=n^{n}(n-1)^{n}t^{n}u^{2}\end{aligned}}$

который является идеальным квадратом, когда n четно.

Опять же, теорема Гильберта о неприводимости подразумевает существование бесконечного числа специализаций, группы Галуа которых являются знакопеременными группами.

Жесткие группы

Предположим, что C ₁ , …, C _n — классы сопряженных элементов конечной группы G , а — множество n -кортежей ( g ₁ , …, g _n ) группы G таких, что находится _gi в Ci _A и произведение g ₁ … g _n тривиально. Тогда A называется жестким , если оно непусто , G действует на нем транзитивно сопряжением и каждый элемент A порождает G .

Томпсон (1984) показал, что если конечная группа G имеет жесткое множество, то ее часто можно реализовать как группу Галуа над круговым расширением рациональных чисел. (Точнее, над круговым расширением рациональных чисел, порожденных значениями неприводимых характеров группы G на классах сопряженности C _i .)

Это можно использовать, чтобы показать, что многие конечные простые группы, включая группу монстров , являются группами Галуа расширений рациональных чисел. Группа монстров генерируется триадой элементов порядков 2 , 3 и 29 . Все такие триады сопряжены.

Прототипом жесткости является симметрическая группа S _n , которая порождается n -циклом и транспозицией, продуктом которой является ( n - 1) -цикл. В конструкции предыдущего раздела эти генераторы использовались для установления группы Галуа многочлена.

Конструкция с эллиптической модульной функцией

Пусть n > 1 — любое целое число. Решетка Λ в комплексной плоскости с отношением периодов τ имеет подрешетку Λ' с отношением периодов nτ . Последняя решетка представляет собой одну из конечного множества подрешеток, перестановочных модулярной группой PSL(2, Z ) , основанной на замене базиса для Λ . Пусть j обозначает эллиптическую модулярную функцию Феликса Клейна . Определим многочлен φ _n как произведение разностей ( X − j (Λ _i )) по сопряженным подрешеткам. Как полином от X , φ _n имеет коэффициенты, являющиеся полиномами по $\mathbb {Q}$ в j ( τ ) .

На сопряженных решетках модулярная группа действует как PGL(2, Z / n Z ) . Отсюда следует, что φ _n имеет группу Галуа, изоморфную PGL(2, Z / n Z ) над $\mathbb {Q} (\mathrm {J} (\tau ))$.

Использование теоремы о неприводимости Гильберта дает бесконечный (и плотный) набор рациональных чисел, превращающий φ _n в полиномы с группой Галуа PGL(2, Z / n Z ) над $\mathbb {Q}$. Группы PGL(2, Z / n Z ) включают в себя бесконечное число неразрешимых групп.

См. также

• Полуабелева группа (теория Галуа)

Ссылки

• Макбит, AM (1969). «Расширения рациональных чисел с помощью группы Галуа PGL (2, Z _n )». Бюллетень Лондонского математического общества . 1 (3): 332–338. дои : 10.1112/BLMS/1.3.332 .
• Томпсон, Джон Г. (1984), «Некоторые конечные группы, которые появляются как Gal L/K, где K ⊆ Q(μ _n )», Journal of Algebra , 89 (2): 437–499, doi : 10.1016/0021- 8693(84)90228-Х , МР   0751155
• Хельмут Фёлкляйн, Группы как группы Галуа, введение , Cambridge University Press, 1996. ISBN 978-0521065030.
• Серр, Жан-Пьер (1992). Темы теории Галуа . Исследования по математике. Том. 1. Джонс и Бартлетт. ISBN  0-86720-210-6 . Артикул   0746.12001 .
• Гюнтер Малле, Генрих Мацат, Обратная теория Галуа , Springer-Verlag, 1999, ISBN   3-540-62890-8 .
• Гюнтер Малле, Генрих Мацат, Обратная теория Галуа , 2-е издание, Springer-Verlag, 2018.
• Александр Шмидт, Кей Вингберг, Теорема Шафаревича о разрешимых группах как группах Галуа ( см. также Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Основы математических наук , том. 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4 , МР   1737196 , Збл   0948.11001 )
• Кристиан У. Йенсен, Арне Ледет и Норико Юи , Общие полиномы, конструктивные аспекты обратной задачи Галуа , Cambridge University Press, 2002.

Внешние ссылки

• «Обратная задача Галуа. Программа летней школы для выпускников PCMI 2021 — Теория чисел на основе вычислений — 26–30 июля 2021 г.» . Архивировано из оригинала 16 февраля 2023 г.