Критерий доходности Друкера

Критерий доходности Друкера -Прагера. ^{[ 1 ]} представляет собой зависящую от давления модель для определения того, разрушился ли материал или подвергся пластической текучести. Критерий введен для учета пластической деформации грунтов. Его и многие его варианты применяли к камню, бетону, полимерам, пенопластам и другим материалам, зависящим от давления.

доходности Друкера Прагера – Критерий имеет вид

{\sqrt {J_{2}}}=A+B~I_{1}

где $I_{1}$ является первым инвариантом напряжения Коши и $J_{2}$ – второй инвариант девиаторной части напряжения Коши . Константы $A,B$ определяются из экспериментов.

В терминах эквивалентного напряжения (или напряжения фон Мизеса ) и гидростатического (или среднего) напряжения критерий Друкера-Прагера можно выразить как

\sigma _{e}=a+b~\sigma _{m}

где $\sigma _{e}$ эквивалентное напряжение, $\sigma _{m}$ – гидростатическое напряжение, а $a,b$ являются материальными константами. Критерий доходности Друкера-Прагера, выраженный в координатах Хейга-Вестергаарда, имеет вид

{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\sqrt {3}}~B\xi =A

Поверхность текучести Друкера -Прагера представляет собой гладкую версию поверхности текучести Мора-Кулона .

Выражения для A и B

Модель Друкера-Прагера можно записать в терминах главных напряжений как

{\sqrt {{\cfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}=A+B~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})~.

Если $\sigma _{t}$ - предел текучести при одноосном растяжении, критерий Друкера-Прагера подразумевает

{\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{t}=A+B~\sigma _{t}~.

Если $\sigma _{c}$ — предел текучести при одноосном сжатии, из критерия Друкера–Прагера следует

{\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{c}=A-B~\sigma _{c}~.

Решение этих двух уравнений дает

A={\cfrac {2}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{c}~\sigma _{t}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~;~~B={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~.

Коэффициент одноосной асимметрии

Различные одноосные напряжения текучести при растяжении и сжатии прогнозируются моделью Друкера-Прагера. Коэффициент одноосной асимметрии для модели Друкера – Прагера равен

\beta ={\cfrac {\sigma _{\mathrm {c} }}{\sigma _{\mathrm {t} }}}={\cfrac {1-{\sqrt {3}}~B}{1+{\sqrt {3}}~B}}~.

Выражения через сцепление и угол трения

Друкера-Прагера Поскольку поверхность текучести представляет собой гладкую версию поверхности текучести Мора-Кулона , ее часто выражают через когезию ( $c$ ) и угол внутреннего трения ( $\phi$ ), которые используются для описания поверхности текучести Мора – Кулона . ^{[ 2 ]} Если предположить, что поверхность текучести Друкера-Прагера описывает поверхность текучести Мора-Кулона, то выражения для $A$ и $B$ являются

A={\cfrac {6~c~\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}

Если середина поверхности текучести Друкера-Прагера описывает поверхность текучести Мора-Кулона, то

A={\cfrac {6~c~\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}

Если поверхность текучести Друкера-Прагера вписывает поверхность текучести Мора-Кулона, то

A={\cfrac {3~c~\cos \phi }{\sqrt {9+3~\sin ^{2}\phi }}}~;~~B={\cfrac {\sin \phi }{\sqrt {9+3~\sin ^{2}\phi }}}

Вывод выражений для

A,B

с точки зрения

c,\phi

The expression for the Mohr–Coulomb yield criterion in Haigh–Westergaard space is

\left[{\sqrt {3}}~\sin \left(\theta +{\tfrac {\pi }{3}}\right)-\sin \phi \cos \left(\theta +{\tfrac {\pi }{3}}\right)\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi

If we assume that the Drucker–Prager yield surface circumscribes the Mohr–Coulomb yield surface such that the two surfaces coincide at $\theta ={\tfrac {\pi }{3}}$ , then at those points the Mohr–Coulomb yield surface can be expressed as

\left[{\sqrt {3}}~\sin {\tfrac {2\pi }{3}}-\sin \phi \cos {\tfrac {2\pi }{3}}\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi

or,

{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\cfrac {2\sin \phi }{3+\sin \phi }}\xi ={\cfrac {{\sqrt {12}}c\cos \phi }{3+\sin \phi }}\qquad \qquad (1.1)

The Drucker–Prager yield criterion expressed in Haigh–Westergaard coordinates is

{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\sqrt {3}}~B\xi =A\qquad \qquad (1.2)

Comparing equations (1.1) and (1.2), we have

A={\cfrac {{\sqrt {12}}c\cos \phi }{3+\sin \phi }}={\cfrac {6c\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}

These are the expressions for $A,B$ in terms of $c,\phi$ .

On the other hand, if the Drucker–Prager surface inscribes the Mohr–Coulomb surface, then matching the two surfaces at $\theta =0$ gives

A={\cfrac {6c\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}

Модель Друкера – Прагера для полимеров.

Модель Друкера-Прагера использовалась для моделирования таких полимеров, как полиоксиметилен и полипропилен. ^{[ нужна ссылка ]}. ^{[ 3 ]} Для полиоксиметилена предел текучести является линейной функцией давления. Однако полипропилен демонстрирует квадратичную зависимость предела текучести от давления.

Модель Друкера – Прагера для пен.

Для пенопластов используется модель ГАЗТ. ^{[ 4 ]} использует

A=\pm {\cfrac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}~;~~B=\mp {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\rho }{5~\rho _{s}}}\right)

где $\sigma _{y}$ является критическим напряжением для разрушения при растяжении или сжатии, $\rho$ - плотность пены, а $\rho _{s}$ – плотность основного материала.

Расширения изотропной модели Друкера – Прагера.

Критерий Друкера–Прагера также можно выразить в альтернативной форме

J_{2}=(A+B~I_{1})^{2}=a+b~I_{1}+c~I_{1}^{2}~.

Критерий текучести Дешпанде – Флека или критерий текучести изотропной пены

Критерий текучести Дешпанде – Флека ^{[ 5 ]} для пен имеет форму, указанную в приведенном выше уравнении. Параметры $a,b,c$ для критерия Дешпанде–Флека равны

a=(1+\beta ^{2})~\sigma _{y}^{2}~,~~b=0~,~~c=-{\cfrac {\beta ^{2}}{3}}

где $\beta$ это параметр ^{[ 6 ]} который определяет форму поверхности текучести, и $\sigma _{y}$ – предел текучести при растяжении или сжатии.

Анизотропный критерий текучести Друкера – Прагера

Анизотропной формой критерия текучести Друкера-Прагера является критерий текучести Лю-Хуана-Стаута. ^{[ 7 ]} Этот критерий доходности является расширением обобщенного критерия доходности Хилла и имеет вид

{\begin{aligned}f:=&{\sqrt {F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}}}\\&+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}-1\leq 0\end{aligned}}

Коэффициенты $F,G,H,L,M,N,I,J,K$ являются

{\begin{aligned}F=&{\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{2}^{2}+\Sigma _{3}^{2}-\Sigma _{1}^{2}\right]~;~~G={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{3}^{2}+\Sigma _{1}^{2}-\Sigma _{2}^{2}\right]~;~~H={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{1}^{2}+\Sigma _{2}^{2}-\Sigma _{3}^{2}\right]\\L=&{\cfrac {1}{2(\sigma _{23}^{y})^{2}}}~;~~M={\cfrac {1}{2(\sigma _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2(\sigma _{12}^{y})^{2}}}\\I=&{\cfrac {\sigma _{1c}-\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~J={\cfrac {\sigma _{2c}-\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~K={\cfrac {\sigma _{3c}-\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}\end{aligned}}

где

\Sigma _{1}:={\cfrac {\sigma _{1c}+\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~\Sigma _{2}:={\cfrac {\sigma _{2c}+\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~\Sigma _{3}:={\cfrac {\sigma _{3c}+\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}

и $\sigma _{ic},i=1,2,3$ – одноосные напряжения текучести при сжатии в трех основных направлениях анизотропии, $\sigma _{it},i=1,2,3$ – одноосные напряжения текучести при растяжении , $\sigma _{23}^{y},\sigma _{31}^{y},\sigma _{12}^{y}$ – напряжения текучести при чистом сдвиге. Выше предполагалось, что величины $\sigma _{1c},\sigma _{2c},\sigma _{3c}$ являются положительными и $\sigma _{1t},\sigma _{2t},\sigma _{3t}$ являются отрицательными.

Критерий Друкера-Прагера не следует путать с более ранним критерием Друкера. ^{[ 8 ]} которое не зависит от давления ( $I_{1}$ ). Критерий доходности Друкера имеет вид

f:=J_{2}^{3}-\alpha ~J_{3}^{2}-k^{2}\leq 0

где $J_{2}$ – второй инвариант девиаторного напряжения, $J_{3}$ – третий инвариант девиаторного напряжения, $\alpha$ - константа, которая находится между -27/8 и 9/4 (чтобы поверхность текучести была выпуклой), $k$ константа, которая меняется в зависимости от значения $\alpha$ . Для $\alpha =0$ , $k^{2}={\cfrac {\sigma _{y}^{6}}{27}}$ где $\sigma _{y}$ – предел текучести при одноосном растяжении.

Анизотропный критерий Друкера.

Анизотропной версией критерия текучести Друкера является критерий текучести Казаку – Барла (CZ). ^{[ 9 ]} который имеет вид

f:=(J_{2}^{0})^{3}-\alpha ~(J_{3}^{0})^{2}-k^{2}\leq 0

где $J_{2}^{0},J_{3}^{0}$ являются обобщенными формами девиаторного напряжения и определяются как

{\begin{aligned}J_{2}^{0}:=&{\cfrac {1}{6}}\left[a_{1}(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+a_{2}(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+a_{3}(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}\right]+a_{4}\sigma _{23}^{2}+a_{5}\sigma _{31}^{2}+a_{6}\sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}:=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}+\{2(b_{1}+b_{4})-(b_{2}+b_{3})\}\sigma _{33}^{3}\right]\\&-{\cfrac {1}{9}}\left[(b_{1}\sigma _{22}+b_{2}\sigma _{33})\sigma _{11}^{2}+(b_{3}\sigma _{33}+b_{4}\sigma _{11})\sigma _{22}^{2}+\{(b_{1}-b_{2}+b_{4})\sigma _{11}+(b_{1}-b_{3}+b_{4})\sigma _{22}\}\sigma _{33}^{2}\right]\\&+{\cfrac {2}{9}}(b_{1}+b_{4})\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2b_{11}\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}\\&-{\cfrac {1}{3}}\left[\{2b_{9}\sigma _{22}-b_{8}\sigma _{33}-(2b_{9}-b_{8})\sigma _{11}\}\sigma _{31}^{2}+\{2b_{10}\sigma _{33}-b_{5}\sigma _{22}-(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\}\sigma _{12}^{2}\right.\\&\qquad \qquad \left.\{(b_{6}+b_{7})\sigma _{11}-b_{6}\sigma _{22}-b_{7}\sigma _{33}\}\sigma _{23}^{2}\right]\end{aligned}}

Критерий текучести Казаку – Барла для плоского напряжения

Для тонких листового металла напряженное состояние можно аппроксимировать как плоское напряжение . В этом случае критерий текучести Казаку–Барла сводится к двумерной версии с

{\begin{aligned}J_{2}^{0}=&{\cfrac {1}{6}}\left[(a_{2}+a_{3})\sigma _{11}^{2}+(a_{1}+a_{3})\sigma _{22}^{2}-2a_{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\right]+a_{6}\sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}\right]-{\cfrac {1}{9}}\left[b_{1}\sigma _{11}+b_{4}\sigma _{22}\right]\sigma _{11}\sigma _{22}+{\cfrac {1}{3}}\left[b_{5}\sigma _{22}+(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\right]\sigma _{12}^{2}\end{aligned}}

Для тонких листов металлов и сплавов параметры критерия текучести Казаку–Барла равны

Таблица 1. **Параметры критерия текучести Казаку–Барла для листовых металлов и сплавов**
Материал	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{6}$	$b_{1}$	$b_{2}$	$b_{3}$	$b_{4}$	$b_{5}$	$b_{10}$	$\alpha$
6016-T4 Алюминиевый сплав	0.815	0.815	0.334	0.42	0.04	-1.205	-0.958	0.306	0.153	-0.02	1.4
2090-T3 Алюминиевый сплав	1.05	0.823	0.586	0.96	1.44	0.061	-1.302	-0.281	-0.375	0.445	1.285

См. также

Ссылки

^ Друкер, округ Колумбия, и Прагер, В. (1952). Механика грунтов и пластический анализ для предельного проектирования . Ежеквартальный журнал прикладной математики, том. 10, нет. 2, стр. 157–165.
^ Маклин, MR; Аддис, Массачусетс (1990). «Устойчивость ствола скважины: влияние критериев прочности на рекомендации по весу бурового раствора» . Все дни . дои : 10.2118/20405-MS .
^ Абрате, С. (2008). Критерии текучести или разрушения клеточных материалов . Журнал сэндвич-структур и материалов, том. 10. стр. 5–51.
^ Гибсон, Л.Дж., Эшби, М.Ф. , Чжан, Дж. и Триантафиллиу, Т.К. (1989). Поверхности разрушения ячеистых материалов при многоосных нагрузках. I. Моделирование . Международный журнал Механические науки, том. 31, нет. 9, стр. 635–665.
^ В.С. Дешпанде и Флек, Н.А. (2001). Многоосная текучесть пенопластов. Acta Materialia, том. 49, нет. 10, стр. 1859–1866.
^ $\beta =\alpha /3$ где $\alpha$ это количество, использованное Дешпанде-Флеком
^ Лю, К., Хуан, Ю. и Стаут, М.Г. (1997). Об асимметричной поверхности текучести пластически ортотропных материалов: Феноменологическое исследование. Acta Materialia, том. 45, нет. 6, стр. 2397–2406.
^ Друкер, округ Колумбия (1949) Связь экспериментов с математическими теориями пластичности , Журнал прикладной механики, том. 16, стр. 349–357.
^ Казаку, О.; Барлат, Ф. (2001), «Обобщение критерия текучести Друкера на ортотропию», Mathematics & Mechanics of Solids , 6 (6): 613–630, doi : 10.1177/108128650100600603 , S2CID 121817612 .

[1] Друкер, округ Колумбия, и Прагер, В. (1952). Механика грунтов и пластический анализ для предельного проектирования . Ежеквартальный журнал прикладной математики, том. 10, нет. 2, стр. 157–165.

[2] Маклин, MR; Аддис, Массачусетс (1990). «Устойчивость ствола скважины: влияние критериев прочности на рекомендации по весу бурового раствора» . Все дни . дои : 10.2118/20405-MS .

[3] Абрате, С. (2008). Критерии текучести или разрушения клеточных материалов . Журнал сэндвич-структур и материалов, том. 10. стр. 5–51.

[4] Гибсон, Л.Дж., Эшби, М.Ф. , Чжан, Дж. и Триантафиллиу, Т.К. (1989). Поверхности разрушения ячеистых материалов при многоосных нагрузках. I. Моделирование . Международный журнал Механические науки, том. 31, нет. 9, стр. 635–665.

[5] В.С. Дешпанде и Флек, Н.А. (2001). Многоосная текучесть пенопластов. Acta Materialia, том. 49, нет. 10, стр. 1859–1866.

[6] $\beta =\alpha /3$ где $\alpha$ это количество, использованное Дешпанде-Флеком

[7] Лю, К., Хуан, Ю. и Стаут, М.Г. (1997). Об асимметричной поверхности текучести пластически ортотропных материалов: Феноменологическое исследование. Acta Materialia, том. 45, нет. 6, стр. 2397–2406.

[8] Друкер, округ Колумбия (1949) Связь экспериментов с математическими теориями пластичности , Журнал прикладной механики, том. 16, стр. 349–357.

[9] Казаку, О.; Барлат, Ф. (2001), «Обобщение критерия текучести Друкера на ортотропию», Mathematics & Mechanics of Solids , 6 (6): 613–630, doi : 10.1177/108128650100600603 , S2CID 121817612 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]