Решение уравнений

{\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}

Квадратная формула , символическое решение квадратного уравнения

ах 2 + Ьх + с = 0

В математике решить уравнение — значит найти его решения , которые представляют собой значения ( числа , функции , множества и т. д.), удовлетворяющие условию, установленному уравнением , состоящим обычно из двух выражений, связанных знаком равенства . При поиске решения одна или несколько переменных обозначаются как неизвестные . Решение — это присвоение значений неизвестным переменным, которое делает равенство в уравнении истинным. Другими словами, решение — это значение или набор значений (по одному на каждое неизвестное), при котором при замене неизвестных уравнение становится равенством . Решение уравнения часто называют корнем уравнения, особенно, но не только, для полиномиальных уравнений . Совокупность всех решений уравнения является множеством его решений .

Уравнение может быть решено как численно , так и символически. решение уравнения Численное означает, что в качестве решений принимаются только числа. решение уравнения Символическое означает, что для представления решений можно использовать выражения.

Например, уравнение $x + y = 2 x - 1$ решается относительно неизвестного $x$ с помощью выражения $x = y + 1$ , поскольку замена $y + 1$ на $x$ в уравнении $приводит к (y + 1) + y = 2(y + 1) - 1$ , верное утверждение. Также можно принять переменную $y$ как неизвестную, и тогда уравнение решается как $y = x - 1$ . Или $x$ и $y$ можно рассматривать как неизвестные, и тогда у уравнения будет много решений; символическое решение — $(x, y) = (a + 1, a)$ , где переменная $a$ может принимать любое значение. Создание символического решения с конкретными числами дает численное решение; например, $a = 0$ дает $(x, y) = (1, 0)$ (то есть $x = 1, y = 0$ ), а $a = 1$ дает $(x, y) = (2, 1)$ .

Различие между известными и неизвестными переменными обычно проводится в формулировке задачи с помощью таких фраз, как «уравнение для $x$ и $y$ » или «решить для $x$ и $y$ », которые указывают на неизвестные, здесь $x$ и $y$ . Однако принято оставлять $x$ , $y$ , $z$ ,... для обозначения неизвестных и использовать $a$ , $b$ , $c$ ,... для обозначения известных переменных, которые часто называют параметрами . Обычно это имеет место при рассмотрении полиномиальных уравнений , таких как квадратные уравнения . Однако в некоторых задачах все переменные могут выполнять любую роль.

В зависимости от контекста решение уравнения может заключаться в поиске любого решения (достаточно найти одно решение), всех решений или решения, которое удовлетворяет дополнительным свойствам, таким как принадлежность к заданному интервалу . Когда задача состоит в том, чтобы найти решение, которое является лучшим по какому-либо критерию, это задача оптимизации . Решение задачи оптимизации обычно не называется «решением уравнений», поскольку, как правило, методы решения начинаются с конкретного решения для поиска лучшего решения и повторяются процесс до тех пор, пока в конечном итоге не будет найдено лучшее решение.

Обзор

Одна общая форма уравнения:

f\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)=c,

где $f$ — функция , $x 1, ..., x n$ — неизвестные, а $c$ — константа. Ее решения являются элементами обратного образа

f^{-1}(c)={\bigl \{}(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\mid f\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)=c{\bigr \}},

где $D$ — область определения функции $f$ . Множество решений может быть пустым (нет решений), одноэлементным (существует ровно одно решение), конечным или бесконечным (решений бесконечно много).

Например, такое уравнение, как

3x+2y=21z,

с неизвестными $x, y$ и $z$ , можно привести к приведенной выше форме, вычитая $21 z$ из обеих частей уравнения, чтобы получить

3x+2y-21z=0

В этом конкретном случае существует не одно решение, а бесконечное множество решений, которое можно записать с использованием нотации построителя множеств как

{\bigl \{}(x,y,z)\mid 3x+2y-21z=0{\bigr \}}.

Одним из частных решений является $x = 0, y = 0, z = 0$ . Два других решения: $x = 3, y = 6, z = 1$ и $x = 8, y = 9, z = 2$ . существует единственная плоскость В трехмерном пространстве , которая проходит через три точки с этими координатами , и эта плоскость представляет собой совокупность всех точек, координаты которых являются решениями уравнения.

Наборы решений

Набор решений данного набора уравнений или неравенств — это набор всех его решений, причем решение представляет собой кортеж значений, по одному для каждого неизвестного , который удовлетворяет всем уравнениям или неравенствам. Если множество решений пусто, то не существует значений неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям и неравенствам.

В качестве простого примера рассмотрим уравнение

x^{2}=2.

Это уравнение можно рассматривать как диофантово уравнение , то есть уравнение, для которого только целочисленные ищутся решения. В этом случае набором решений является пустой набор , поскольку 2 не является квадратом целого числа. Однако если искать реальные решения, есть два решения: $\sqrt 2$ и $- \sqrt 2$ ; другими словами, множество решений равно ${\sqrt 2, - \sqrt 2}$ .

Когда уравнение содержит несколько неизвестных, а также когда имеется несколько уравнений с большим количеством неизвестных, чем уравнений, множество решений часто бесконечно. В этом случае решения не могут быть перечислены. Для их представления часто бывает полезна параметризация , заключающаяся в выражении решений через некоторые неизвестные или вспомогательные переменные. Это всегда возможно, когда все уравнения линейны .

Такие бесконечные множества решений естественным образом можно интерпретировать как геометрические фигуры, такие как линии , кривые (см. рисунок), плоскости и, в более общем плане, алгебраические разновидности или многообразия . В частности, алгебраическую геометрию можно рассматривать как исследование множеств решений алгебраических уравнений .

Методы решения

Методы решения уравнений обычно зависят от типа уравнения, как от вида выражений в уравнении, так и от типа значений, которые могут принимать неизвестные. Разнообразие типов уравнений велико, как и соответствующие методы. Ниже упомянуты лишь некоторые конкретные типы.

В общем, для данного класса уравнений не может быть известного систематического метода ( алгоритма ), который гарантированно будет работать. Это может быть связано с недостатком математических знаний; некоторые проблемы были решены только после столетий усилий. Но это также отражает то, что в целом такого метода не может существовать: известно, что некоторые проблемы неразрешимы с помощью алгоритма, например десятая проблема Гильберта , неразрешимость которой была доказана в 1970 году.

Для нескольких классов уравнений были найдены алгоритмы их решения, некоторые из которых были реализованы и включены в системы компьютерной алгебры , но зачастую не требуют более сложной технологии, чем карандаш и бумага. В некоторых других случаях известны эвристические методы, которые часто бывают успешными, но не гарантированно приведут к успеху.

Грубая сила, метод проб и ошибок, вдохновенная догадка

Если набор решений уравнения ограничен конечным набором (как, например, в случае уравнений модульной арифметики ) или может быть ограничен конечным числом возможностей (как в случае с некоторыми диофантовыми уравнениями ), то Набор решений можно найти методом перебора , то есть путем проверки каждого из возможных значений ( кандидатных решений ). Однако может случиться так, что число возможностей, которые необходимо учитывать, хотя и конечно, настолько велико, что исчерпывающий поиск практически неосуществим; по сути, это требование к надежным методам шифрования .

Как и во всех видах решения проблем , метод проб и ошибок иногда может привести к решению, в частности, когда форма уравнения или его сходство с другим уравнением с известным решением может привести к «вдохновленному предположению» о решении. Если предположение при проверке не оказывается решением, рассмотрение того, почему оно не удалось, может привести к модифицированному предположению.

Элементарная алгебра

Уравнения, включающие линейные или простые рациональные функции от одного вещественного неизвестного, например $x$ , такие как

8x+7=4x+35\quad {\text{or}}\quad {\frac {4x+9}{3x+4}}=2\,,

можно решить методами элементарной алгебры .

Системы линейных уравнений

Меньшие системы линейных уравнений могут быть решены также методами элементарной алгебры. Для решения более крупных систем используются алгоритмы, основанные на линейной алгебре . См. исключение Гаусса и численное решение линейных систем .

Полиномиальные уравнения

Полиномиальные уравнения степени до четвертой можно точно решить алгебраическими методами, квадратичная формула простейшим примером которых является . Полиномиальные уравнения со степенью пять или выше требуют общих численных методов (см. ниже) или специальных функций, таких как Bring радикалы , хотя некоторые конкретные случаи могут быть решены алгебраически, например

4x^{5}-x^{3}-3=0

(с использованием теоремы о рациональном корне ) и

x^{6}-5x^{3}+6=0\,,

(с помощью замены $x = z .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 ⁄ 3$ , что упрощает это до квадратного уравнения относительно $z$ ).

Диофантовы уравнения

В диофантовых уравнениях решения должны быть целыми числами . В некоторых случаях можно использовать метод грубой силы, как упоминалось выше. В некоторых других случаях, в частности, если уравнение с одним неизвестным, можно решить уравнение для рациональных -значных неизвестных (см. Теорема о рациональном корне ), а затем найти решения диофантова уравнения, ограничив набор решений целочисленными. ценные решения. Например, полиномиальное уравнение

2x^{5}-5x^{4}-x^{3}-7x^{2}+2x+3=0\,

имеет рациональные решения $x = - ⁠ 1/2 x ⁠ =$ и $x 3$ , поэтому, если рассматривать его как диофантово уравнение, оно имеет единственное решение $= 3$ .

Однако в целом диофантовы уравнения относятся к числу наиболее сложных для решения уравнений.

Обратные функции

В простом случае функции одной переменной, скажем, $h (x)$ , мы можем решить уравнение вида $h (x) = c$ для некоторой константы $c$ , рассматривая то, что известно как обратная функция $h$ .

Учитывая функцию $h : A \to B$ , обратная функция, обозначаемая $h -1$ и определяется как $h -1 : B \to A$ — такая функция, что

h^{-1}{\bigl (}h(x){\bigr )}=h{\bigl (}h^{-1}(x){\bigr )}=x\,.

Теперь, если мы применим обратную функцию к обеим сторонам $h (x) = c$ , где $c$ — постоянное значение в $B$ , мы получим

{\begin{aligned}h^{-1}{\bigl (}h(x){\bigr )}&=h^{-1}(c)\\x&=h^{-1}(c)\\\end{aligned}}

и мы нашли решение уравнения. Однако, в зависимости от функции, обратную функцию может быть трудно определить, или она может не быть функцией для всего множества $B$ (только для некоторого подмножества) и иметь много значений в какой-то момент.

Если вместо полного набора решений подойдет только одно решение, то на самом деле достаточно, если только функциональная идентичность

h\left(h^{-1}(x)\right)=x

держит. Например, проекция $π 1 : R 2 \to R$ , определенный формулой $π 1 (x, y) = x$ , не имеет постинверсии, но имеет преинверсию $π -1 1$ определяется как $π -1 1 (Икс) знак равно (Икс, 0)$ . Действительно, уравнение $π 1 (x, y) = c$ решается формулой

(x,y)=\pi _{1}^{-1}(c)=(c,0).

Примеры обратных функций включают $n-й$ корень степени (обратный $x н$ ); логарифм к обратный $(х$ ); обратные тригонометрические функции ; и Ламберта $W$ функция (обратная $xe х$ ).

Факторизация

Если выражение левой части уравнения $P = 0$ можно факторизовать как $P = QR$ , набор решений исходного решения состоит из объединения наборов решений двух уравнений $Q = 0$ и $R = 0$ . Например, уравнение

\tan x+\cot x=2

можно переписать, используя тождество $tan x cot x = 1$ как

{\frac {\tan ^{2}x-2\tan x+1}{\tan x}}=0,

которые можно факторизовать на

{\frac {\left(\tan x-1\right)^{2}}{\tan x}}=0.

Таким образом, решения являются решениями уравнения $tan x = 1$ и, таким образом, представляют собой множество

x={\tfrac {\pi }{4}}+k\pi ,\quad k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots .

Численные методы

В случае более сложных уравнений с действительными или комплексными числами простые методы решения уравнений могут оказаться неэффективными. Часто алгоритмы поиска корней, такие как метод Ньютона-Рафсона, могут использоваться для поиска численного решения уравнения, которого для некоторых приложений может быть вполне достаточно для решения некоторой проблемы. Существуют также численные методы для систем линейных уравнений .

Матричные уравнения

Уравнения, включающие матрицы и векторы действительных чисел, часто можно решить, используя методы линейной алгебры .

Дифференциальные уравнения

Существует обширный массив методов решения различного рода дифференциальных уравнений , как численных , так и аналитических . К особому классу задач, который можно отнести сюда, относится интеграция , и аналитические методы решения такого рода задач теперь называются символической интеграцией . ^{[ нужна ссылка ]} Решения дифференциальных уравнений могут быть неявными и явными . ^[1]

См. также

Посторонние и недостающие решения
Одновременные уравнения
Приравнивающие коэффициенты
Решение уравнений геодезических
Унификация (информатика) — решение уравнений, включающих символьные выражения.

Ссылки

^ Деннис Г. Зилл (15 марта 2012 г.). Первый курс дифференциальных уравнений с приложениями для моделирования . Cengage Обучение. ISBN 978-1-285-40110-2 .

[Zill2012-1] Деннис Г. Зилл (15 марта 2012 г.). Первый курс дифференциальных уравнений с приложениями для моделирования . Cengage Обучение. ISBN 978-1-285-40110-2 .

[1]