Евклидовы плоскости в трехмерном пространстве

В евклидовой геометрии плоскость — это плоская двумерная , поверхность простирающаяся до бесконечности. Евклидовы плоскости часто возникают как подпространства трехмерного пространства. $\mathbb {R} ^{3}$ .Прототипическим примером является одна из стен комнаты, бесконечно протяженная и предполагаемая бесконечно тонкая.Хотя пара действительных чисел $\mathbb {R} ^{2}$ достаточно для описания точек на плоскости, взаимосвязь с точками вне плоскости требует особого рассмотрения для их встраивания в окружающее пространство $\mathbb {R} ^{3}$ .

Производные концепции

Плоский сегмент (или просто «плоскость» в обыденном использовании) представляет собой плоскую область поверхности ; это аналог отрезка прямой .Бивектор — это ориентированный плоский сегмент, аналог направленных отрезков прямых .Грань твердый — это сегмент плоскости, ограничивающий объект . ^[1]Плита – это область, ограниченная двумя параллельными плоскостями.Параллелепипед – это область , ограниченная тремя парами параллельных плоскостей.

Встречаемость в природе

Плоскость служит математической моделью многих физических явлений, таких как зеркальное отражение в плоском зеркале или волновые фронты в бегущей плоской волне .Свободная поверхность невозмущенных жидкостей имеет тенденцию быть почти плоской (см. Плоскость ).Самая плоская поверхность, когда-либо созданная, представляет собой квантово-стабилизированное атомное зеркало. ^[2]В астрономии различные опорные плоскости для определения положения на орбите используются . Анатомические плоскости могут быть латеральными («сагиттальными»), фронтальными («корональными») или поперечными.В геологии пласты (слои отложений) часто имеют плоскую форму.Плоскости участвуют в различных формах изображения , таких как фокальная плоскость , картинная плоскость и плоскость изображения .

Фон

Евклид предложил первую великую веху математической мысли — аксиоматическую трактовку геометрии. ^[3] Он выбрал небольшое ядро неопределенных терминов (называемых общими понятиями ) и постулатов (или аксиом ), которые затем использовал для доказательства различных геометрических утверждений. Хотя план в его современном понимании нигде в « Элементах» не имеет прямого определения , его можно рассматривать как часть общих понятий. ^[4] Евклид никогда не использовал числа для измерения длины, угла или площади. Евклидова плоскость, снабженная выбранной декартовой системой координат, называется декартовой плоскостью ; недекартову евклидову плоскость, снабженную полярной системой координат, назвали бы полярной плоскостью .

Плоскость — это линейчатая поверхность .

Евклидова плоскость

В математике евклидова плоскость — это евклидово пространство размерности два , обозначаемое ${\textbf {E}}^{2}$ или $\mathbb {E} ^{2}$ . Это геометрическое пространство , в котором два действительных числа требуются для определения положения каждой точки . Это аффинное пространство , которое включает в себя, в частности, концепцию параллельных линий . Он также имеет метрические свойства, обусловленные расстоянием , что позволяет определять круги и измерять углы .

Евклидова плоскость с выбранной декартовой системой координат называется декартовой плоскостью .

Набор

\mathbb {R} ^{2}

упорядоченных пар действительных чисел ( действительная координатная плоскость ), снабженная скалярным произведением , часто называют евклидовой плоскостью , поскольку каждая евклидова плоскость изоморфна ей.

Представительство

В этом разделе рассматриваются исключительно плоскости, вложенные в трех измерениях: в частности, в $R 3$ .

Определение по содержащимся точкам и линиям

В евклидовом пространстве любого числа измерений плоскость однозначно определяется любым из следующих факторов:

Три неколлинеарные точки (точки, не лежащие на одной линии).
Линия и точка, не лежащие на этой прямой.
Две разные, но пересекающиеся линии.
Две разные, но параллельные линии.

Характеристики

Следующие утверждения справедливы в трехмерном евклидовом пространстве, но не в более высоких измерениях, хотя у них есть аналоги в более высоких измерениях:

Две различные плоскости либо параллельны, либо пересекаются по прямой .
Линия либо параллельна плоскости, пересекает ее в одной точке, либо содержится в плоскости.
Две различные прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, должны быть параллельны друг другу.
Две различные плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, должны быть параллельны друг другу.

Точка – нормальная форма и общая форма уравнения плоскости

Подобно тому, как линии в двумерном пространстве описываются с использованием формы точечного наклона для их уравнений, плоскости в трехмерном пространстве имеют естественное описание с использованием точки на плоскости и вектора, ортогонального ей ( нормальный вектор ) для обозначения его «наклона».

В частности, пусть $r 0$ будет вектором положения некоторой точки $P 0 = (x 0, y 0, z 0)$ , и пусть $n = (a, b, c)$ будет ненулевым вектором. Плоскость, определяемая точкой $P 0$ и вектором $n,$ состоит из тех точек $P$ с вектором положения $r$ , что вектор, проведенный из $P 0$ в $P,$ перпендикулярен $n$ . Вспоминая, что два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, отсюда следует, что искомую плоскость можно описать как набор всех точек $r$ таких, что ${\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})=0.$ Точка здесь означает скалярное произведение .
В расширенном виде это становится $a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,$ что является точечно-нормальной формой уравнения плоскости. ^[5] Это просто линейное уравнение $ax+by+cz+d=0,$ где $d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}),$ что представляет собой расширенную форму $-{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}.$

В математике принято выражать нормаль как единичный вектор , но приведенный выше аргумент справедлив для вектора нормали любой ненулевой длины.

И наоборот, легко показать, что если $a$ , $b$ , $c$ и $d$ являются константами и $не все a$ , $b$ и $c$ равны нулю, то график уравнения $ax+by+cz+d=0,$ — плоскость, имеющая вектор $n = (a, b, c)$ в качестве нормали. ^[6] Это знакомое нам уравнение плоскости называется общей формой уравнения плоскости. ^[7]

Так, например, уравнение регрессии формы $y = d + ax + cz$ (с $b = -1$ ) устанавливает плоскость наилучшего соответствия в трехмерном пространстве при наличии двух объясняющих переменных.

Описание плоскости с точкой и двумя лежащими на ней векторами.

В качестве альтернативы плоскость может быть описана параметрически как набор всех точек вида ${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+s{\boldsymbol {v}}+t{\boldsymbol {w}},$

где $s$ и $t$ варьируются по всем действительным числам, $v$ и $w$ — заданные линейно независимые векторы , определяющие плоскость, а $r 0$ — вектор, представляющий положение произвольной (но фиксированной) точки на плоскости. Векторы $v$ и $w$ можно представить как векторы, начинающиеся с $r 0$ и указывающие в разных направлениях вдоль плоскости. Векторы $v$ и $w$ могут быть перпендикулярны , но не могут быть параллельны.

Описание плоскости через три точки.

Пусть $p 1 = (x 1, y 1, z 1)$ , $p 2 = (x 2, y 2, z 2)$ и $p 3 = (x 3, y 3, z 3)$ — неколлинеарные точки.

Способ 1

Плоскость, проходящая через $, p1$ p2 $и точки$ p3 $, может$ быть описана как совокупность всех точек ( x , y , z ), которые удовлетворяют следующим определяющим уравнениям: ${\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\\x-x_{3}&y-y_{3}&z-z_{3}\end{vmatrix}}=0.$

Способ 2

Описать плоскость уравнением вида $ax+by+cz+d=0$ , решите следующую систему уравнений: $ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0$ $ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0$ $ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0.$

Эту систему можно решить, используя правило Крамера и основные матричные манипуляции. Позволять $D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}.$

Если $D$ не равно нулю (то есть для плоскостей, не проходящих через начало координат), значения $a$ , $b$ и $c$ можно рассчитать следующим образом: $a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}$ $b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3}\end{vmatrix}}$ $c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.$

Эти уравнения являются параметрическими по d . Установка d равным любому ненулевому числу и подстановка его в эти уравнения даст один набор решений.

Способ 3

Эту плоскость также можно описать приведенным выше рецептом « точка и вектор нормали ». Подходящий вектор нормали определяется векторным произведением ${\boldsymbol {n}}=({\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{1})\times ({\boldsymbol {p}}_{3}-{\boldsymbol {p}}_{1}),$ а точкой $r 0$ можно считать любую из заданных точек $p 1$ , $p 2$ или $p 3$ ^[8] (или любую другую точку плоскости).

Операции

Расстояние от точки до плоскости

В евклидовом пространстве расстояние от точки до плоскости — это расстояние между данной точкой и ее ортогональной проекцией на плоскость, расстояние по перпендикуляру до ближайшей точки на плоскости.

Его можно найти, начиная с замены переменных , которая перемещает начало координат так, чтобы оно совпадало с заданной точкой, а затем находя точку на сдвинутой плоскости. $ax+by+cz=d$ то, что ближе всего к источнику . Полученная точка имеет декартовы координаты. $(x,y,z)$ :

\displaystyle x={\frac {ad}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle y={\frac {bd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle z={\frac {cd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

.

Расстояние между началом координат и точкой

(x,y,z)

является

{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}

.

Пересечение линии и плоскости

В аналитической геометрии пересечение линии и плоскости в трехмерном пространстве может быть пустым множеством , точкой или линией. Это вся линия, если эта линия встроена в плоскость, и пустое множество, если линия параллельна плоскости, но находится вне ее. В противном случае линия пересекает плоскость в одной точке.

Различение этих случаев и определение уравнений для точки и линии в последних случаях находят применение в компьютерной графике , планировании движения и обнаружении столкновений .

Линия пересечения двух плоскостей

В аналитической геометрии пересечение двух плоскостей в трехмерном пространстве представляет собой линию .

Пересечение сферы и плоскости

Когда пересечение сферы и плоскости не является пустым или единственной точкой, это круг. Это можно увидеть следующим образом:

Пусть S — сфера с центром O , P — плоскость, S. пересекающая Нарисуйте OE перпендикулярно P и встретите P в E. точке Пусть A и B — любые две разные точки пересечения. Тогда AOE и BOE — прямоугольные треугольники с общей стороной OE и гипотенузами AO и BO равными. Следовательно, остальные стороны AE и BE равны. Это доказывает, что все точки пересечения находятся на одинаковом расстоянии от точки E в плоскости P все точки пересечения лежат на окружности C с центром E. , другими словами , ^[9] Это доказывает, что пересечение P и S содержится в C . Обратите внимание, что OE — это ось круга.

рассмотрим точку D окружности C. Теперь Поскольку C лежит в P , то же самое делает D. и С другой стороны, треугольники AOE и DOE — прямоугольные треугольники с общей стороной OE и катетами EA и ED равными. Следовательно, гипотенузы AO и DO равны и равны радиусу S так что D лежит в S. , Это доказывает, что содержится в пересечении P и S. C

Как следствие, на сфере существует ровно одна окружность, которую можно провести через три заданные точки. ^[10]

Доказательство можно расширить, чтобы показать, что все точки окружности находятся на общем угловом расстоянии от одного из ее полюсов. ^[11]

Сравните также конические сечения , из которых можно получить овалы .

См. также

Примечания

^ Университетский словарь Мерриам-Вебстера (одиннадцатое изд.). Спрингфилд, Массачусетс: Мерриам-Вебстер . 2004.
^ Эванс, Джон (22 августа 2008 г.). «Самая гладкая поверхность — это зеркало для атомов» . Новый учёный . Проверено 5 марта 2023 г.
^ Евс 1963 , с. 19
^ Джойс, DE (1996), Элементы Евклида, Книга I, Определение 7 , Университет Кларка , получено 8 августа 2009 г.
^ Антон 1994 , с.
^ Антон 1994 , стр. 156.
^ Вайсштейн, Эрик В. (2009), «Самолет» , MathWorld — веб-ресурс Wolfram , получено 8 августа 2009 г.
^ Докинз, Пол, «Уравнения плоскостей» , Исчисление III.
^ Доказательство следует за Хоббсом, предложение 304.
^ Хоббс, предложение 308.
^ Хоббс, предложение 310.

Ссылки

Антон, Ховард (1994), Элементарная линейная алгебра (7-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
Ивс, Ховард (1963), Обзор геометрии , том. Я, Бостон: Allyn and Bacon, Inc.

Внешние ссылки

«Самолет» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Самолет» . Математический мир .
«Облегчение трудностей арифметики и планарной геометрии» — это арабская рукопись XV века, служащая учебным пособием по плоской геометрии и арифметике.

[1] Университетский словарь Мерриам-Вебстера (одиннадцатое изд.). Спрингфилд, Массачусетс: Мерриам-Вебстер . 2004.

[Evans_2008-2] Эванс, Джон (22 августа 2008 г.). «Самая гладкая поверхность — это зеркало для атомов» . Новый учёный . Проверено 5 марта 2023 г.

[3] Евс 1963 , с. 19

[4] Джойс, DE (1996), Элементы Евклида, Книга I, Определение 7 , Университет Кларка , получено 8 августа 2009 г.

[5] Антон 1994 , с.

[6] Антон 1994 , стр. 156.

[Weisstein2009-7] Вайсштейн, Эрик В. (2009), «Самолет» , MathWorld — веб-ресурс Wolfram , получено 8 августа 2009 г.

[PaulsPlanes-8] Докинз, Пол, «Уравнения плоскостей» , Исчисление III.

[9] Доказательство следует за Хоббсом, предложение 304.

[10] Хоббс, предложение 308.

[11] Хоббс, предложение 310.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]