циклоида

В геометрии циклоида кривая — это , очерченная точкой окружности , катящейся по прямой без скольжения. Циклоида — это особая форма трохоиды и пример рулетки , кривой, образованной кривой, катящейся по другой кривой.

Циклоида с вершинами , направленными вверх, представляет собой кривую наискорейшего спуска в условиях равномерной силы тяжести ( кривая брахистохроны ). Это также форма кривой, для которой период объекта простого гармонического движения (повторяющегося перекатывания вверх и вниз) по кривой не зависит от начального положения объекта ( кривая таутохрона ). В физике, когда покоящаяся заряженная частица находится в однородном электрическом и магнитном поле, перпендикулярном друг другу, траектория частицы образует циклоиду.

История

Именно в левой пробке «Пекода», когда вокруг меня усердно кружился мыльный камень, я впервые косвенно поразился тому замечательному факту, что в геометрии все тела, скользящие по циклоиде, мой мыльный камень, например, будет спускаться с любой момент точно в одно и то же время.

«Моби Дик» , Герман Мелвилл , 1851 г.

Циклоиду называли «Еленой геометров», поскольку, как и Елена Троянская , она вызывала частые ссоры среди математиков 17-го века, в то время как Сара Харт считает, что она названа так «потому что свойства этой кривой настолько прекрасны». ^[1]^[2]

Историки математики предложили несколько кандидатов на роль первооткрывателя циклоиды. Историк-математик Пол Таннери предположил, что такая простая кривая, должно быть, была известна древним , ссылаясь на аналогичную работу Карпа Антиохийского, описанную Ямвлихом . ^[3] Английский математик Джон Уоллис в 1679 году приписал это открытие Николаю Кузанскому . ^[4] но последующие исследования показывают, что либо Уоллис ошибался, либо доказательства, которые он использовал, теперь утеряны. ^[5] Имя Галилео Галилея было выдвинуто в конце XIX века. ^[6] и по крайней мере один автор сообщает, что заслуга принадлежит Марину Мерсенну . ^[7] Начиная с творчества Морица Кантора ^[8] и Зигмунд Гюнтер , ^[9] ученые теперь отдают приоритет французскому математику Шарлю де Бовелю ^[10]^[11]^[12] на основе его описания циклоиды в его «Введении в геометрию» , опубликованном в 1503 году. ^[13] В этой работе Бовель ошибочно принимает арку, очерченную катящимся колесом, за часть большего круга с радиусом на 120% больше, чем у меньшего колеса. ^[5]

Галилей ввел термин циклоида и был первым, кто серьезно изучил кривую. ^[5] По словам его ученицы Евангелисты Торричелли , ^[14] в 1599 году Галилей предпринял попытку квадратуры циклоиды (определение площади под циклоидой) с помощью необычного эмпирического подхода, который включал в себя отслеживание образующей окружности и полученной циклоиды на листовом металле, вырезание их и взвешивание. Он обнаружил, что соотношение составляет примерно 3:1, что является истинным значением, но он ошибочно пришел к выводу, что соотношение представляет собой иррациональную дробь, что сделало бы квадратуру невозможной. ^[7] Примерно в 1628 году Жиль Персон де Роберваль, вероятно, узнал о квадратурной задаче от отца Марина Мерсенна и выполнил квадратуру в 1634 году, используя теорему Кавальери . ^[5] Однако эта работа не была опубликована до 1693 года (в его «Трактате о неделимых» ). ^[15]

Построение касательной циклоиды датируется августом 1638 года, когда Мерсенн получил уникальные методы от Роберваля, Пьера де Ферма и Рене Декарта . Мерсенн передал эти результаты Галилею, который передал их своим ученикам Торричелли и Вивиани, которые смогли построить квадратуру. Этот и другие результаты были опубликованы Торричелли в 1644 г. ^[14] это также первая печатная работа по циклоиде. Это привело к тому, что Роберваль обвинил Торричелли в плагиате, но спор был прерван ранней смертью Торричелли в 1647 году. ^[15]

В 1658 году Блез Паскаль отказался от математики в пользу богословия, но, страдая от зубной боли, начал рассматривать несколько задач, касающихся циклоиды. Его зубная боль исчезла, и он воспринял это как небесный знак, чтобы продолжить свои исследования. Восемь дней спустя он закончил свое эссе и, чтобы опубликовать результаты, предложил конкурс. Паскаль предложил три вопроса, касающихся центра тяжести , площади и объема циклоиды, победитель или победители получили призы в размере 20 и 40 испанских дублонов . Судьями были Паскаль, Роберваль и сенатор Каркави, и ни одно из двух представлений ( Джона Уоллиса и Антуана де Лалувера ) не было признано адекватным. ^[16]^: 198 Пока соревнование продолжалось, Кристофер Рен отправил Паскалю предложение доказать выпрямление циклоиды ; Роберваль тут же заявил, что знал об этом доказательстве уже много лет. Уоллис опубликовал доказательство Рена (с указанием Рена) в «Трактате Дуэта» Уоллиса , отдав Рену приоритет для первого опубликованного доказательства. ^[15]

Пятнадцать лет спустя Христиан Гюйгенс применил циклоидальный маятник для улучшения хронометров и обнаружил, что частица может пройти сегмент перевернутой циклоидальной арки за то же время, независимо от ее начальной точки. В 1686 году Готфрид Вильгельм Лейбниц использовал аналитическую геометрию, чтобы описать кривую одним уравнением. В 1696 году Иоганн Бернулли поставил задачу о брахистохроне , решением которой является циклоида. ^[15]

Уравнения

Циклоида, проходящая через начало координат, образованная кругом радиуса $r,$ катящимся по $x$ оси с положительной стороны ( $y \geq 0$ ), состоит из точек $(x, y)$ с ${\begin{aligned}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t),\end{aligned}}$ где $t$ — действительный параметр, соответствующий углу, на который повернулась катящаяся окружность. Для данного $t$ центр круга лежит в $(x, y) = (rt, r)$ .

Декартово уравнение получается путем решения $y$ -уравнения для $t$ и подстановки в $x$ - уравнение: $x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}},$ или, исключив многозначный обратный косинус:

$r\cos \!\left({\frac {x+{\sqrt {y(2r-y)}}}{r}}\right)+y=r.$

Когда $y$ рассматривается как функция от $x$ , циклоида дифференцируема везде, кроме точек возврата на $оси x$ , при этом производная стремится к $\infty$ или $-\infty$ возле острия. Отображение $t$ в $(x, y)$ дифференцируемо, фактически класса $C$ ^∞, с производной 0 в точках возврата.

Наклон касательной к циклоиде в точке $(x,y)$ дается ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=\cot({\frac {t}{2}})}$ .

Отрезок циклоиды от одного возврата к другому называется дугой циклоиды, например точки с $0\leq t\leq 2\pi$ и $0\leq x\leq 2\pi$ .

Рассматривая циклоиду как график функции $y=f(x)$ , он удовлетворяет дифференциальному уравнению : ^[17]

\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r}{y}}-1.

Эвольвента

Эвольвента как циклоиды имеет точно такую же форму, и циклоида, из которой она возникла. Это можно представить как путь, прослеживаемый кончиком проволоки, первоначально лежащей на половине дуги циклоиды: по мере того, как она разворачивается, оставаясь касательной к исходной циклоиде, она описывает новую циклоиду (см. также циклоидальный маятник и длину дуги ).

Демонстрация

В этой демонстрации используется определение циклоиды в виде катящегося колеса, а также вектор мгновенной скорости движущейся точки, касательный к ее траектории. На соседней картинке $P_{1}$ и $P_{2}$ Это две точки, принадлежащие двум катящимся кругам, причем основание первой находится чуть выше вершины второй. Изначально, $P_{1}$ и $P_{2}$ совпадают в точке пересечения двух окружностей. Если круги катятся горизонтально с одинаковой скоростью, $P_{1}$ и $P_{2}$ пересечь две циклоиды. Учитывая красную линию, соединяющую $P_{1}$ и $P_{2}$ в данный момент можно доказать, что линия всегда касается нижней дуги в точке $P_{2}$ и ортогонально верхней дуге в точке $P_{1}$ . Позволять $Q$ быть точкой соприкосновения между верхним и нижним кругами в данный момент времени. Затем:

$P_{1},Q,P_{2}$ коллинеарны: действительно, равная скорость качения дает равные углы. ${\widehat {P_{1}O_{1}Q}}={\widehat {P_{2}O_{2}Q}}$ , и таким образом ${\widehat {O_{1}QP_{1}}}={\widehat {O_{2}QP_{2}}}$ . Суть $Q$ лежит на линии $O_{1}O_{2}$ поэтому ${\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{1}QO_{2}}}=\pi$ и аналогично ${\widehat {P_{2}QO_{2}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi$ . Из равенства ${\widehat {O_{1}QP_{1}}}$ и ${\widehat {O_{2}QP_{2}}}$ у одного это тоже есть ${\widehat {P_{1}QO_{2}}}={\widehat {P_{2}QO_{1}}}$ . Отсюда следует ${\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi$ .
Если $A$ является точкой встречи перпендикуляра из $P_{1}$ к отрезку прямой $O_{1}O_{2}$ и касательная к окружности в точке $P_{2}$ , то треугольник $P_{1}AP_{2}$ является равнобедренным, как легко видеть из построения: ${\widehat {QP_{2}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {P_{2}O_{2}Q}}$ и ${\widehat {QP_{1}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}R}}=$ ${\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}P_{1}}}$ . Для предыдущего отмеченного равенства между ${\widehat {P_{1}O_{1}Q}}$ и ${\widehat {QO_{2}P_{2}}}$ затем ${\widehat {QP_{1}A}}={\widehat {QP_{2}A}}$ и $P_{1}AP_{2}$ является равнобедренным.
Рисунок из $P_{2}$ ортогональный отрезок $O_{1}O_{2}$ , от $P_{1}$ прямая, касательная к верхнему кругу, и вызывающая $B$ место встречи, это видно $P_{1}AP_{2}B$ является ромбом по теоремам об углах между параллельными прямыми
Теперь рассмотрим скорость $V_{2}$ из $P_{2}$ . Ее можно рассматривать как сумму двух компонентов: скорости качения. $V_{a}$ и скорость дрейфа $V_{d}$ , которые равны по модулю, поскольку круги катятся без заноса. $V_{d}$ параллельно $P_{1}A$ , пока $V_{a}$ касается нижней окружности в точке $P_{2}$ и, следовательно, параллелен $P_{2}A$ . Ромб составлен из составляющих $V_{d}$ и $V_{a}$ поэтому подобен (те же углы) ромбу $BP_{1}AP_{2}$ потому что у них параллельные стороны. Затем $V_{2}$ , полная скорость $P_{2}$ , параллельно $P_{2}P_{1}$ потому что обе являются диагоналями двух ромбов с параллельными сторонами и имеют общее с $P_{1}P_{2}$ контактная точка $P_{2}$ . Таким образом, вектор скорости $V_{2}$ заключается в продлении $P_{1}P_{2}$ . Потому что $V_{2}$ касается циклоиды в точке $P_{2}$ , отсюда следует, что также $P_{1}P_{2}$ совпадает с касательной к нижней циклоиде в точке $P_{2}$ .
Аналогично можно легко продемонстрировать, что $P_{1}P_{2}$ ортогонален $V_{1}$ (другая диагональ ромба).
Это доказывает, что кончик проволоки первоначально был натянут на полудугу нижней циклоиды и прикреплен к верхнему кругу на уровне $P_{1}$ будет следовать за точкой вдоль ее пути, не меняя ее длины , поскольку скорость наконечника в каждый момент ортогональна проволоке (без растяжения или сжатия). В то же время провод будет касаться точки $P_{2}$ к нижней дуге из-за напряжения и фактов, продемонстрированных выше. (Если бы она не была касательной, то в точке был бы разрыв. $P_{2}$ и, следовательно, несбалансированные силы напряжения.)

Область

Используя приведенную выше параметризацию ${\textstyle x=r(t-\sin t),\ y=r(1-\cos t)}$ , площадь под одной аркой, $0\leq t\leq 2\pi ,$ дается: $A=\int _{x=0}^{2\pi r}y\,dx=\int _{t=0}^{2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}dt=3\pi r^{2}.$

Это в три раза больше площади катящегося круга.

Длина дуги

Длина дуги $S$ одной арки определяется выражением ${\begin{aligned}S&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt\\&=\int _{0}^{2\pi }r{\sqrt {2-2\cos t}}\,dt\\&=2r\int _{0}^{2\pi }\sin {\frac {t}{2}}\,dt\\&=8r.\end{aligned}}$

Другой геометрический способ расчета длины циклоиды состоит в том, чтобы заметить, что когда проволока, описывающая эвольвенту, полностью развернута из половины арки, она вытягивается вдоль двух диаметров, на длину $4 р$ . Таким образом, это равно половине длины арки, а длина полной арки — $8 р$ .

Циклоидальный маятник

Если простой маятник подвешен к вершине перевернутой циклоиды так, что струна касается одной из ее дуг, а длина маятника L равна половине длины дуги циклоиды (т. е. в два раза диаметр образующей окружности L = 4r ), качание маятника также движется по циклоиде. Такой маятник является изохронным , с равновременными колебаниями независимо от амплитуды. Если ввести систему координат с центром в положении точки возврата, уравнение движения будет иметь вид: ${\begin{aligned}x&=r[2\theta (t)+\sin 2\theta (t)]\\y&=r[-3-\cos 2\theta (t)],\end{aligned}}$ где $\theta$ - это угол, который прямая часть струны образует с вертикальной осью, и определяется выражением $\sin \theta (t)=A\cos(\omega t),\qquad \omega ^{2}={\frac {g}{L}}={\frac {g}{4r}},$ где $А < 1$ — «амплитуда», $\omega$ — радианная частота маятника, а g — ускорение свободного падения.

Голландский математик 17-го века Христиан Гюйгенс открыл и доказал эти свойства циклоиды, когда искал более точные конструкции маятниковых часов для использования в навигации . ^[18]

Связанные кривые

Несколько кривых связаны с циклоидой.

Трохоида : обобщение циклоиды, в которой точка, описывающая кривую, может находиться внутри катящегося круга (курчатая) или снаружи (вытянутая).
Гипоциклоида : вариант циклоиды, в которой круг катится внутри другого круга, а не по прямой.
Эпициклоида : вариант циклоиды, в которой круг катится по внешней стороне другого круга, а не по прямой.
Гипотрохоида : обобщение гипоциклоиды, при котором образующая точка может не находиться на краю катящегося круга.
Эпитрохоида : обобщение эпициклоиды, при котором образующая точка может не находиться на краю катящегося круга.

Все эти кривые представляют собой рулетку с кругом, прокатанным по другой кривой равномерной кривизны . Циклоида, эпициклоида и гипоциклоида обладают тем свойством, что каждая из них подобна своей эволюте . Если q является произведением этой кривизны на радиус круга, со знаком положительным для эпи- и отрицательным для гипо-, то коэффициент подобия кривой для эволюции равен 1 + 2 q .

Классическая игрушка Спирограф отслеживает кривые гипотрохоиды и эпитрохоиды .

Другое использование

Циклоидальная арка была использована архитектором Луи Каном в его проекте Художественного музея Кимбелла в Форт-Уэрте, штат Техас . Его также использовал Уоллес К. Харрисон при проектировании Центра Хопкинса в Дартмутском колледже в Ганновере, Нью-Гэмпшир . ^[19]

Ранние исследования показали, что некоторые поперечные дугообразные кривые пластинок скрипок золотого века близко моделируются курчатыми циклоидными кривыми. ^[20] Более поздние работы показывают, что курчатые циклоиды не служат общей моделью для этих кривых. ^[21] которые существенно различаются.

См. также

Ссылки

^ Каджори, Флориан (1999). История математики . Нью-Йорк: Челси. п. 177. ИСБН 978-0-8218-2102-2 .
^ Харт, Сара (7 апреля 2023 г.). «Удивительные связи между математикой и литературой» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 7 апреля 2023 г.
^ Таннери, Пол (1883), «К истории изогнутых линий и поверхностей в древности» , Смеси, Бюллетень математических и астрономических наук , сер. 2, 7 : 278–291, с. 284: Прежде чем оставить цитату из Ямвлиха, добавлю, что в двойной кривой движения Карпоса трудно не узнать циклоиду, простое зарождение которой не должно было ускользнуть от древних. [Прежде чем оставить цитату Ямвлиха, добавлю, что в кривой двойного движения Карпа ) . трудно не узнать циклоиду, столь простое зарождение которой не могло ускользнуть от древних.] (цитата по Whitman 1943 );
^ Уоллис, Д. (1695). «Отрывок из письма доктора Уоллиса от 4 мая 1697 года о циклоиде, известной кардиналу Кузанскому около 1450 года; и Каролу Бовиллусу около 1500 года» . Философские труды Лондонского королевского общества . 19 (215–235): 561–566. дои : 10.1098/rstl.1695.0098 . (Цитируется по Гюнтеру, стр. 5)
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Уитмен, Э.А. (май 1943 г.), «Некоторые исторические заметки о циклоиде», The American Mathematical Monthly , 50 (5): 309–315, doi : 10.2307/2302830 , JSTOR 2302830 (требуется подписка)
^ Каджори, Флориан (1999), История математики (5-е изд.), Стр. 162, ИСБН 0-8218-2102-4 (Примечание: в первом (1893 г.) издании и его переизданиях утверждается, что Галилей изобрел циклоиду. По словам Филлипса, это было исправлено во втором (1919 г.) издании и сохранилось до самого последнего (пятого) издания.)
^ Перейти обратно: ^а ^б Ройдт, Том (2011). Циклоиды и пути (PDF) (MS). Портлендский государственный университет. п. 4. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
^ Кантор, Мориц (1892), Лекции по истории математики, Том 2 , Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, OCLC 25376971.
^ Гюнтер, Зигмунд (1876), Разные исследования по истории математических наук , Лейпциг: печать и публикация Б. Г. Тойбнера, стр. 352, OCLC 2060559
^ Филлипс, JP (май 1967 г.), «Брахистохрона, Таутохрона, Циклоида — яблоко раздора», Учитель математики , 60 (5): 506–508, doi : 10.5951/MT.60.5.0506 , JSTOR 27957609 (требуется подписка)
^ Виктор, Джозеф М. (1978), Шарль де Бовель, 1479–1553: интеллектуальная биография , с. 42, ISBN 978-2-600-03073-1
^ Мартин, Дж. (2010). «Елена геометрии». Математический журнал колледжа . 41 : 17–28. дои : 10.4169/074683410X475083 . S2CID 55099463 .
^ де Буэль, Шарль (1503), Введение в геометрию ... Книга о квадратуре круга. Книга о комнате сферы. Перспективное знакомство. , OCLC 660960655
^ Перейти обратно: ^а ^б Торричелли, Евангелиста (1644 г.), Геометрическая работа , OCLC 55541940
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Уокер, Эвелин (1932), Исследование «Трактата о неделимых» Роберваля , Колумбийский университет (цитируется по Whitman, 1943);
^ Коннер, Джеймс А. (2006), Ставка Паскаля: человек, который играл в кости с Богом (1-е изд.), HarperCollins, стр. 224 , ISBN 9780060766917
^ Робертс, Чарльз (2018). Элементарные дифференциальные уравнения: приложения, модели и вычисления (2-е иллюстрированное изд.). ЦРК Пресс. п. 141. ИСБН 978-1-4987-7609-7 . Выдержка со страницы 141, уравнение (f) с K =2 r
^ К. Гюйгенс, «Маятниковые часы или геометрические демонстрации движения маятника (так в оригинале) применительно к часам», Перевод Р. Дж. Блэквелла, издательство Университета штата Айова (Эймс, Айова, США, 1986).
^ 101 причина полюбить Дартмут , журнал выпускников Дартмута, 2016 г.
^ Плейфэр, К. «Курчатая циклоидная дуга в инструментах семейства кремонских скрипок Золотого века». Журнал Акустического общества Кетгута . II. 4 (7): 48–58.
^ Моттола, РМ (2011). «Сравнение изогнутых профилей кремонских скрипок Золотого века и некоторых математически построенных кривых» . Журнал Савар . 1 (1). Архивировано из оригинала 11 декабря 2017 г. Проверено 13 августа 2012 г.

Дальнейшее чтение

Приложение из физики : Гатак А. и Махадеван Л. Крэк-стрит: циклоидальный след цилиндра, разрывающего лист. Письма о физическом обзоре, 91 (2003). link.aps.org
Эдвард Каснер и Джеймс Ньюман (1940) Математика и воображение , стр. 196–200, Саймон и Шустер .
Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. стр. 445–47. ISBN 0-14-011813-6 .

Внешние ссылки

О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Циклоида» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
Вайсштейн, Эрик В. «Циклоида» . Математический мир . Проверено 27 апреля 2007 г.
Циклоиды на развязке
Трактат о циклоиде и всех формах циклоидальных кривых , монография Ричарда А. Проктора, бакалавра наук, опубликованная библиотекой Корнелльского университета .
Циклоидные кривые Шона Мэдсена при участии Дэвида фон Зеггерна, Демонстрационный проект Wolfram .
Циклоида на PlanetPTC (Mathcad)
ВИЗУАЛЬНЫЙ подход к задачам ИСЧИСЛЕНИЯ Тома Апостола

[1] Каджори, Флориан (1999). История математики . Нью-Йорк: Челси. п. 177. ИСБН 978-0-8218-2102-2 .

[2] Харт, Сара (7 апреля 2023 г.). «Удивительные связи между математикой и литературой» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 7 апреля 2023 г.

[Tannery-3] Таннери, Пол (1883), «К истории изогнутых линий и поверхностей в древности» , Смеси, Бюллетень математических и астрономических наук , сер. 2, 7 : 278–291, с. 284: Прежде чем оставить цитату из Ямвлиха, добавлю, что в двойной кривой движения Карпоса трудно не узнать циклоиду, простое зарождение которой не должно было ускользнуть от древних. [Прежде чем оставить цитату Ямвлиха, добавлю, что в кривой двойного движения Карпа ) . трудно не узнать циклоиду, столь простое зарождение которой не могло ускользнуть от древних.] (цитата по Whitman 1943 );

[Wallis-4] Уоллис, Д. (1695). «Отрывок из письма доктора Уоллиса от 4 мая 1697 года о циклоиде, известной кардиналу Кузанскому около 1450 года; и Каролу Бовиллусу около 1500 года» . Философские труды Лондонского королевского общества . 19 (215–235): 561–566. дои : 10.1098/rstl.1695.0098 . (Цитируется по Гюнтеру, стр. 5)

[Whitman-5] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Уитмен, Э.А. (май 1943 г.), «Некоторые исторические заметки о циклоиде», The American Mathematical Monthly , 50 (5): 309–315, doi : 10.2307/2302830 , JSTOR 2302830 (требуется подписка)

[Cajori-6] Каджори, Флориан (1999), История математики (5-е изд.), Стр. 162, ИСБН 0-8218-2102-4 (Примечание: в первом (1893 г.) издании и его переизданиях утверждается, что Галилей изобрел циклоиду. По словам Филлипса, это было исправлено во втором (1919 г.) издании и сохранилось до самого последнего (пятого) издания.)

[Roidt-7] Перейти обратно: ^а ^б Ройдт, Том (2011). Циклоиды и пути (PDF) (MS). Портлендский государственный университет. п. 4. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.

[Cantor-8] Кантор, Мориц (1892), Лекции по истории математики, Том 2 , Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, OCLC 25376971.

[Gunther-9] Гюнтер, Зигмунд (1876), Разные исследования по истории математических наук , Лейпциг: печать и публикация Б. Г. Тойбнера, стр. 352, OCLC 2060559

[Phillips-10] Филлипс, JP (май 1967 г.), «Брахистохрона, Таутохрона, Циклоида — яблоко раздора», Учитель математики , 60 (5): 506–508, doi : 10.5951/MT.60.5.0506 , JSTOR 27957609 (требуется подписка)

[Victor-11] Виктор, Джозеф М. (1978), Шарль де Бовель, 1479–1553: интеллектуальная биография , с. 42, ISBN 978-2-600-03073-1

[Martin-12] Мартин, Дж. (2010). «Елена геометрии». Математический журнал колледжа . 41 : 17–28. дои : 10.4169/074683410X475083 . S2CID 55099463 .

[Bovelles-13] де Буэль, Шарль (1503), Введение в геометрию ... Книга о квадратуре круга. Книга о комнате сферы. Перспективное знакомство. , OCLC 660960655

[Torricelli-14] Перейти обратно: ^а ^б Торричелли, Евангелиста (1644 г.), Геометрическая работа , OCLC 55541940

[Walker-15] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Уокер, Эвелин (1932), Исследование «Трактата о неделимых» Роберваля , Колумбийский университет (цитируется по Whitman, 1943);

[Conner-16] Коннер, Джеймс А. (2006), Ставка Паскаля: человек, который играл в кости с Богом (1-е изд.), HarperCollins, стр. 224 , ISBN 9780060766917

[17] Робертс, Чарльз (2018). Элементарные дифференциальные уравнения: приложения, модели и вычисления (2-е иллюстрированное изд.). ЦРК Пресс. п. 141. ИСБН 978-1-4987-7609-7 . Выдержка со страницы 141, уравнение (f) с K =2 r

[18] К. Гюйгенс, «Маятниковые часы или геометрические демонстрации движения маятника (так в оригинале) применительно к часам», Перевод Р. Дж. Блэквелла, издательство Университета штата Айова (Эймс, Айова, США, 1986).

[DartmouthAlumniMagazine-19] 101 причина полюбить Дартмут , журнал выпускников Дартмута, 2016 г.

[20] Плейфэр, К. «Курчатая циклоидная дуга в инструментах семейства кремонских скрипок Золотого века». Журнал Акустического общества Кетгута . II. 4 (7): 48–58.

[21] Моттола, РМ (2011). «Сравнение изогнутых профилей кремонских скрипок Золотого века и некоторых математически построенных кривых» . Журнал Савар . 1 (1). Архивировано из оригинала 11 декабря 2017 г. Проверено 13 августа 2012 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]