Правило правой руки

В математике и физике правило правой руки — это соглашение и мнемоника , используемая для определения ориентации осей , а также для установления в трехмерном пространстве и для определения направления векторного произведения двух векторов направления сила, действующая на проводник с током в магнитном поле .

Различные правила правой и левой руки возникают из-за того, что три оси трехмерного пространства имеют две возможные ориентации. Это можно увидеть, сложив руки вместе ладонями вверх и согнутыми пальцами. Если сгибание пальцев представляет собой движение от первой оси или оси X ко второй оси или оси Y, то третья ось или ось Z может указывать либо на большой палец правой, либо на левую ось.

История

Правило правой руки восходит к 19 веку, когда оно было реализовано как способ определения положительного направления осей координат в трех измерениях. Уильяму Роуэну Гамильтону , известному за разработку кватернионов , математической системы для представления трехмерных вращений, часто приписывают введение этого соглашения. В контексте кватернионов гамильтоново произведение двух векторных кватернионов дает кватернион, содержащий как скалярные , так и векторные компоненты. ^{[ 1 ]} Джозайя Уиллард Гиббс признал, что рассмотрение этих компонентов отдельно, как скалярного и векторного произведения, упрощает векторный формализм. После содержательных дебатов ^{[ 2 ]} основное направление сместилось от кватернионной системы Гамильтона к трехвекторной системе Гиббса. Этот переход привел к повсеместному принятию правила правой руки в современном контексте.

Перекрестное произведение векторов ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$ — вектор, перпендикулярный плоскости, натянутой на ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$ в направлении, заданном правилом правой руки : если положить указатель правой руки на ${\vec {a}}$ и средний палец на ${\vec {b}}$ , затем большой палец указывает в направлении ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ . ^{[ 3 ]}

Правило правой руки в физике было введено в конце 19 века Джоном Флемингом в его книге «Магниты и электрические токи». ^{[ 4 ]} Флеминг описал ориентацию индуцированной электродвижущей силы, ссылаясь на движение проводника и направление магнитного поля на следующем изображении: «Если проводник, представленный средним пальцем, перемещается в поле магнитного потока , направление из которых представлено направлением указательного пальца , причем направление этого движения находится в направлении большого пальца, то электродвижущая сила, возникшая в нем, будет обозначена направлением, в котором указывает средний палец». ^{[ 4 ]}

Координаты

Для правосторонних координат используйте правую руку.
Для левых координат используйте левую руку.
Ось/вектор	Два пальца и большой палец	Скрюченные пальцы
x (или первый вектор)	Первый или индексный	Пальцы вытянуты
y (или второй вектор)	Второй палец или ладонь	Пальцы согнуты на 90°.
z (или третий вектор)	Большой палец	Большой палец

Для правосторонних координат, если большой палец правой руки человека указывает вдоль оси z в положительном направлении (третий координатный вектор), то пальцы сгибаются от положительной оси x (первый координатный вектор) к положительному y - ось (второй координатный вектор). Если смотреть из положения вдоль положительной оси Z , поворот на четверть от положительной оси X к положительной Y оси происходит против часовой стрелки .

Для левых координат приведенное выше описание осей такое же, за исключением использования левой руки; и поворот на ¼ — по часовой стрелке .

Перестановка меток любых двух осей меняет направление вращения. Изменение направления одной оси (или трех осей) также меняет направление вращения. Реверс двух осей означает поворот на 180° вокруг оставшейся оси, при этом также сохраняется ориентация. Эти операции могут быть составлены таким образом, чтобы обеспечить повторяющуюся смену рук. ^{[ 5 ]} (Если оси не имеют положительного или отрицательного направления, то ручность не имеет значения.)

Ротации

Вращающееся тело

В математике вращающееся тело обычно изображается псевдовектором вдоль оси вращения . Длина вектора определяет скорость вращения , а направление оси определяет направление вращения в соответствии с правилом правой руки: правые пальцы согнуты в направлении вращения, а правый большой палец указывает в положительном направлении оси. Это позволяет выполнить некоторые простые вычисления с использованием векторного векторного произведения. Ни одна часть тела не движется в направлении стрелки оси. Если большой палец указывает на север, Земля вращается по правилу правой руки ( поступательное движение ). Из-за этого создается впечатление, что Солнце, Луна и звезды вращаются на запад по правилу левой руки.

Спирали и винты

Спираль — это изогнутая линия , образованная точкой, вращающейся вокруг центра, в то время как центр перемещается вверх или вниз по оси z . Спирали бывают правосторонними или левосторонними: согнутые пальцы указывают направление вращения, а большой палец указывает направление продвижения вдоль оси z .

Резьба винта винтовая , поэтому винты могут быть правосторонними или левосторонними. Чтобы правильно закрутить или открутить винт, следует применять приведенные выше правила: если винт правша, направив большой палец правой руки в направлении отверстия и повернув его в направлении согнутых пальцев правой руки (т. е. по часовой стрелке), вы закрепите винт. винт, направив его в сторону от отверстия и повернув в новом направлении (т. е. против часовой стрелки), винт отвинтится.

Ориентация кривых и векторы нормалей

В векторном исчислении необходимо связать вектор нормали поверхности с граничной кривой поверхности. Учитывая поверхность $S$ с заданным нормальным направлением $n̂$ (выбор «направления вверх» по отношению к $S$ ), граничная кривая $C$ вокруг $S$ определяется как положительно ориентированная при условии, что большой палец правой руки указывает в направлении $n̂$ , а остальные пальцы закручивайтесь вдоль ориентации ограничивающей кривой $C$ .

Электромагнетизм

Когда электричество течет (с направлением, заданным обычным током ) по длинному прямому проводу, оно создает цилиндрическое магнитное поле вокруг провода в соответствии с правилом правой руки. Условное направление магнитной линии задается стрелкой компаса.
Электромагнит : Магнитное поле вокруг провода относительно слабое. Если проволока свернута в спираль, все силовые линии внутри спирали направлены в одном направлении, и каждая последующая витка усиливает остальные. Продвижение спирали, некруглая часть тока и силовые линии указывают в положительном направлении z . нет Поскольку магнитного монополя , силовые линии выходят из конца + z , загибаются за пределы спирали и снова входят в конец - z . Конец + z , где выходят линии, определяется как северный полюс. Если пальцы правой руки согнуты в направлении круговой составляющей тока, то большой палец правой руки указывает на северный полюс.
Сила Лоренца : Если электрический заряд движется поперек магнитного поля, на него действует сила, соответствующая силе Лоренца, с направлением, заданным правилом правой руки. Если указательный палец представляет направление потока заряда (то есть тока), а средний палец представляет направление магнитного поля в пространстве, то направление силы, действующей на заряд, обозначается большим пальцем. Поскольку заряд движется, сила заставляет траекторию частицы изгибаться. Изгибающая сила вычисляется с помощью векторного векторного произведения. Это означает, что изгибающая сила увеличивается с ростом скорости частицы и силы магнитного поля. Сила максимальна, когда направление частицы и магнитные поля перпендикулярны, меньше под любым другим углом и равна нулю, когда частица движется параллельно полю.

Правило Ампера правой рукой.

Прогнозирование направления поля ( B ), учитывая, что ток I течет в направлении большого пальца.

Правило Ампера правой рукой. ^{[ 6 ]} также называется правилом правого винта , правилом кофейной кружки или правилом штопора; используется либо когда вектор (например, вектор Эйлера ) должен быть определен для представления вращения тела, магнитного поля или жидкости, либо наоборот, когда необходимо определить вектор вращения, чтобы понять, как происходит вращение . Он выявляет связь между током и силовыми линиями магнитного поля в магнитном поле, которое создает ток. Ампер был вдохновлен коллегой-физиком Гансом Кристианом Эрстедом , который заметил, что иглы закручиваются вблизи провода, по которому течет электрический ток , и пришел к выводу, что электричество может создавать магнитные поля .

Приложение

Это правило используется в двух различных применениях закона замыкания Ампера :

Электрический ток проходит по прямому проводу. Когда большой палец направлен в направлении обычного тока (от положительного к отрицательному), согнутые пальцы будут указывать в направлении линий магнитного потока вокруг проводника. Направление магнитного поля ( вращение координат против часовой стрелки вместо вращения координат по часовой стрелке при взгляде на кончик большого пальца) является результатом этого соглашения, а не основным физическим явлением.
Электрический ток проходит через соленоид , создавая магнитное поле. При обхвате соленоида правой рукой пальцами в направлении условного тока большой палец указывает в направлении северного магнитного полюса.

Перекрестные произведения

В физике и технике часто принимают векторное произведение двух векторов. Например, как обсуждалось выше, сила, действующая на движущуюся заряженную частицу при движении в магнитном поле B, определяется магнитным членом силы Лоренца:

\mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B}

(векторное векторное произведение)

Направление векторного произведения можно найти, применив правило правой руки следующим образом:

Указательный палец указывает в направлении вектора скорости v.
Средний палец указывает в направлении вектора магнитного поля B.
Большой палец указывает в направлении векторного произведения F.

Например, для положительно заряженной частицы, движущейся на север, в области, где магнитное поле направлено на запад, результирующая сила направлена вверх. ^{[ 5 ]}

Приложения

Правило правой руки широко используется в физике . Ниже приведен список физических величин, направления которых связаны правилом правой руки. (Некоторые из них лишь косвенно связаны с перекрестными произведениями и используют вторую форму.)

Для вращающегося объекта, если пальцы правой руки следуют за кривой точки объекта, то большой палец указывает вдоль оси вращения в направлении вектора угловой скорости .
Крутящий момент , сила , вызывающая его, и положение точки приложения силы.
Магнитное поле, положение точки, в которой оно определяется, и электрический ток (или изменение электрического потока ), вызывающий его.
Магнитное поле в катушке с проводом и электрический ток в проводе.
Сила магнитного поля, действующая на заряженную частицу, само магнитное поле и скорость объекта.
Завихренность в любой точке поля течения жидкости
Индуцированный ток от движения в магнитном поле (известный как правило правой руки Флеминга ).
Единичные векторы x , y и z в декартовой системе координат могут быть выбраны так, чтобы следовать правилу правой руки. Правосторонние системы координат часто используются в твердом теле и кинематике .

Метаматематические проблемы

В отличие от большинства математических понятий, смысл правосторонней системы координат не может быть выражен в терминах каких-либо математических аксиом . Скорее, определение зависит от хиральных явлений в физическом мире, например, передаваемого в культуре значения правой и левой рук, большинства людей с доминирующей правой рукой или определенных явлений, связанных со слабой силой .

См. также

Ссылки

^ Гамильтон, Уильям Роуэн (1853). Лекции по кватернионам . неизвестная библиотека. Дублин.
^ Чаппелл, Джеймс М.; Икбал, Азхар; Хартнетт, Джон Г.; Эбботт, Дерек (2016). «Война векторной алгебры: историческая перспектива» . Доступ IEEE . 4 : 1997–2004. arXiv : 1509.00501 . дои : 10.1109/access.2016.2538262 . ISSN 2169-3536 .
^ Хаббард, Джон Х. (Джон Хамал) (2009). Векторное исчисление, линейная алгебра и дифференциальные формы: единый подход . Интернет-архив. Итака, Нью-Йорк: Matrix Editions. ISBN 978-0-9715766-5-0 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Флеминг, Дж. А. (Джон Амброуз) (1902). Магниты и электрические токи. Элементарный трактат для специалистов по электротехнике и преподавателей естественных наук . Гарвардский университет. Лондон, E. & FN Spon, Limited; Нью-Йорк, Спон и Чемберлен.
^ Перейти обратно: ^а ^б Уотсон, Джордж (1998). «PHYS345: Введение в правило правой руки» . udel.edu . Университет штата Делавэр.
^ Серия IIT Foundation: Физика – 8 класс , Пирсон, 2009, стр. 312.

Внешние ссылки

Лекция Фейнмана о правиле правой руки.
Правила правой и левой руки - Интерактивное руководство по Java Национальная лаборатория сильных магнитных полей
Вайсштейн, Эрик В. «Правило правой руки» . Математический мир .
Кристиан Мозер: правило правой руки: wpftutorial.net

[1] Гамильтон, Уильям Роуэн (1853). Лекции по кватернионам . неизвестная библиотека. Дублин.

[2] Чаппелл, Джеймс М.; Икбал, Азхар; Хартнетт, Джон Г.; Эбботт, Дерек (2016). «Война векторной алгебры: историческая перспектива» . Доступ IEEE . 4 : 1997–2004. arXiv : 1509.00501 . дои : 10.1109/access.2016.2538262 . ISSN 2169-3536 .

[3] Хаббард, Джон Х. (Джон Хамал) (2009). Векторное исчисление, линейная алгебра и дифференциальные формы: единый подход . Интернет-архив. Итака, Нью-Йорк: Matrix Editions. ISBN 978-0-9715766-5-0 .

[:0-4] Перейти обратно: ^а ^б Флеминг, Дж. А. (Джон Амброуз) (1902). Магниты и электрические токи. Элементарный трактат для специалистов по электротехнике и преподавателей естественных наук . Гарвардский университет. Лондон, E. & FN Spon, Limited; Нью-Йорк, Спон и Чемберлен.

[p345-5] Перейти обратно: ^а ^б Уотсон, Джордж (1998). «PHYS345: Введение в правило правой руки» . udel.edu . Университет штата Делавэр.

[6] Серия IIT Foundation: Физика – 8 класс , Пирсон, 2009, стр. 312.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

v т и Научная мнемоника
Физика	ФБР Правило левой руки Правило правой руки ОБАФГКМ Планетарная мнемоника СУВАС Термодинамический квадрат
Биология	ЧОН/ХНОПС ЭСКАППМ Четыре Ф Мнемоника таксономии Список мнемоник биохимии
Математика	ФОЛЬГА Мнемоника в тригонометрии ПЕМДАС Пифилология Ксиззи
Другой	Клорпт СКОРПАН Список мнемоник по химии