Двойное отрицание

Эта статья о логической концепции. О лингвистическом понятии см. двойное отрицание .

Двойное отрицание

Тип	Теорема
Поле	Пропозициональное исчисление Классическая логика
Заявление	Если утверждение истинно, то это не значит, что оно неверно, и наоборот».
Символическое заявление	$A\equiv \sim (\sim A)$

В логике высказываний двойное отрицание утверждения утверждает, что «это не тот случай, когда утверждение неверно». В классической логике каждое утверждение логически эквивалентно это неверно его двойному отрицанию, но в интуиционистской логике ; это можно выразить формулой A ≡ ~(~A), где знак ≡ выражает логическую эквивалентность, а знак ~ выражает отрицание .

Подобно закону исключенного третьего , этот принцип считается законом мышления в классической логике. но это недопустимо интуиционистской логикой . Этот принцип был сформулирован как теорема логики высказываний Расселом Уайтхедом и Principia в Mathematica как:

$\mathbf {*4\cdot 13} .\ \ \vdash .\ p\ \equiv \ \thicksim (\thicksim p)$

«Это принцип двойного отрицания, т.е. предложение эквивалентно ложности его отрицания».

Устранение и введение

Устранение двойного отрицания и введение двойного отрицания — два действующих правила замены . Это выводы о том, что если не-А истинно, то А истинно, и обратное : если А истинно, то и не-А истинно соответственно. Правило позволяет ввести или исключить отрицание из формального доказательства . Правило основано на эквивалентности, например: «Неверно, что дождя нет». и идет дождь.

Правило введения двойного отрицания :

П $\Rightarrow$ $\neg$$\neg$П

и исключения двойного отрицания правило :

$\neg$$\neg$П $\Rightarrow$ П

Где " $\Rightarrow$«является металогическим символом , обозначающим «можно заменить в доказательстве на».

В логиках, где действуют оба правила, отрицание является инволюцией .

Формальные обозначения

Правило введения двойного отрицания можно записать в последовательной записи:

$P\vdash \neg \neg P$

Правило исключения двойного отрицания можно записать так:

$\neg \neg P\vdash P$

В форме правила :

${\frac {P}{\neg \neg P}}$

и

${\frac {\neg \neg P}{P}}$

или как тавтология (простое предложение исчисления высказываний):

$P\to \neg \neg P$

и

$\neg \neg P\to P$

Их можно объединить в одну двуусловную формулу:

$\neg \neg P\leftrightarrow P$.

Поскольку двуобусловленность является отношением эквивалентности , любой экземпля𠬬 A в правильно построенной формуле может быть заменен на A , оставляя неизменным истинностное значение правильно сформированной формулы.

Двойное отрицательное исключение является теоремой классической логики , но не более слабых логик, таких как интуиционистская логика и минимальная логика . Введение двойного отрицания — это теорема как интуиционистской логики, так и минимальной логики. $\neg \neg \neg A\vdash \neg A$.

В силу своего конструктивного характера такие утверждения, как « Это не тот случай, когда не идет дождь», слабее, чем «Идет дождь». Последнее требует доказательства дождя, тогда как первое требует просто доказательства того, что дождь не будет противоречить. Это различие возникает и в естественном языке в форме литоты .

Доказательства

В классической системе исчисления высказываний

В дедуктивных системах в стиле Гильберта для логики высказываний двойное отрицание не всегда принимается как аксиома (см. список систем Гильберта ), а скорее является теоремой. Опишем доказательство этой теоремы в системе трёх аксиом, предложенной Яном Лукасевичем :

А1. $\phi \to \left(\psi \to \phi \right)$

А2. $\left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)$

А3. $\left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)$

Используем лемму $p\to p$ доказанную здесь , которую мы обозначим как (L1), и воспользуемся следующей дополнительной леммой, доказанной здесь :

(Л2) $p\to ((p\to q)\to q)$

Мы сначала докажем $\neg \neg p\to p$. Для краткости обозначим $q\to (r\to q)$ по φ ₀ . Мы также неоднократно используем метод метатеоремы гипотетического силлогизма как сокращение для нескольких шагов доказательства.

(1) $\varphi _{0}$ (пример (A1))

(2) $(\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)\to (\neg p\to \neg \varphi _{0})$ (пример (A3))

(3) $(\neg p\to \neg \varphi _{0})\to (\varphi _{0}\to p)$ (пример (A3))

(4) $(\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)\to (\varphi _{0}\to p)$ (из (2) и (3) по метатеореме гипотетического силлогизма)

(5) $\neg \neg p\to (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)$ (пример (A1))

(6) $\neg \neg p\to (\varphi _{0}\to p)$ (из (4) и (5) по метатеореме гипотетического силлогизма)

(7) $\varphi _{0}\to ((\varphi _{0}\to p)\to p)$ (пример (L2))

(8) $(\varphi _{0}\to p)\to p$ (из (1) и (7) по modus ponens)

(9) $\neg \neg p\to p$ (из (6) и (8) по метатеореме гипотетического силлогизма)

Теперь мы докажем $p\to \neg \neg p$.

(1) $\neg \neg \neg p\to \neg p$ (пример первой части только что доказанной теоремы)

(2) $(\neg \neg \neg p\to \neg p)\to (p\to \neg \neg p)$ (пример (A3))

(3) $p\to \neg \neg p$ (из (1) и (2) по modus ponens)

И доказательство завершено.

См. также

• Отрицательный перевод Гёделя – Генцена

Библиография

• Уильям Гамильтон , 1860, Лекции по метафизике и логике, Vol. II. Логика; Под редакцией Генри Мэнсела и Джона Вейча , Бостон, Гулд и Линкольн.
• Кристоф Сигварт , 1895, «Логика: суждение, концепция и вывод»; Второе издание, перевод Хелен Денди , Macmillan & Co., Нью-Йорк.
• Стивен К. Клини , 1952, «Введение в метаматематику» , 6-е переиздание с исправлениями, 1971 г., издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, штат Нью-Йорк, ISBN   0-7204-2103-9 .
• Стивен К. Клини , 1967, Математическая логика , Dover edition 2002, Dover Publications, Inc, Минеола, штат Нью-Йорк ISBN   0-486-42533-9
• Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел , Principia Mathematica до *56 , 2-е издание 1927 г., переиздание 1962 г., Кембридж в University Press.